Lista 1 - IM PAN

ANALIZA FUNKCJONALNA i TOPOLOGIA
WPPT M III
Lista 1
1. Wskazać nietrywialny funkcjonał liniowy na L∞ (R) zerujący się na Cb (R).
2. Pokazać, że istnieje ciągły funkcjonał liniowy T na L∞ (R) o własności: T f = f (0)
dla f ∈ Cb (R).
3. Niech x∗ będzie ograniczonym funkcjonałem na podprzestrzeni M przestrzeni Hilberta H. Opisać postać rozszerzeń x∗ do ciągłych funkcjonałów na H.
4. Funkcjonał g jest zdefiniowany na C[0, 1] ⊂ L∞ (0, 1) wzorem g(f ) = f (0), f ∈
C[0, 1]. Sprawdzić, że g rozszerza się do ograniczonego funkcjonału G na L∞ (0, 1).
Czy istnieje funkcja h ∈ L1 (0, 1) taka, że
G(f ) =
Z 1
h(x)f (x) dx,
f ∈ L∞ (0, 1).
0
5. Pokazać, że istnieje funkcjonał L na `∞
R o własności
lim inf an ¬ L({an }) ¬ lim sup an ,
n→∞
n→∞
{an } ∈ `∞
R.
6. Pokazać, że istnieje ograniczony funkcjonał L na `∞ o własnościach: i) Lx =
limn→∞ xn dla x = {xn } ∈ c; ii) kLk = 1 (w szczególności kLxk ¬ kxk). Czy L
P
1
można zrealizować w postaci Lx = ∞
n=1 xn yn dla pewnego y = {yn } ∈ ` ?
7. (Lemat Hahna) Niech M będzie podprzestrzenią przestrzeni unormowanej X,
niech xo ∈ X oraz dist(xo , M ) = d. Udowodnić, że istnieje funkcjonał x∗ ∈ X ∗ taki, że kx∗ k ¬ 1, x∗ (xo ) = d oraz x∗ (x) = 0 dla x ∈ M . Uzasadnić, że w przypadku
d > 0 norma takiego funkcjonału nie może być mniejsza niż 1.
8. Niech X będzie przestrzenią unormowaną. Pokazać, że jeśli X ∗ jest ośrodkowa to
również X jest ośrodkowa. (Wsk. skorzystać z poprzedniego zadania). Czy odwrotna implikacja też jest prawdziwa?
9. Niech n ­ 1. Pokazać, że istnieje miara (znakowana) µ na [0, 1] taka, że dla każdego
wielomianu p o stopniu ¬ n, zachodzi
Z 1
n
k
X
p(x) dµ(x) =
p(k)
.
n
0
k=1
Dla n = 2 wskazać jawnie miarę µ. Czy jest ona jedyna?
10. Niech n ­ 1. Czy istnieje miara (znakowana) µ na [0, 1] taka, że
p0 (0) =
Z 1
p(x) dµ(x)
0
dla każdego wielomianu p o stopniu ¬ n? Czy istnieje miara (znakowana) spełniająca powyższy warunek dla dowolnego wielomianu p (bez ograniczenia na stopień)?
Autorzy: Krzysztof Stempak i Adam Nowak