Probabil

Probabil
Zestaw 5
Semestr zimowy 2015/2016
Kraków, 4-5 listopad 2015
Wartość oczekiwana
Na początek zadanie o mrówkach . . .
Zadanie 1. 24 mrówki lądują losowo i z losowym zwrotem na patyku (każdy kij ma
dwa końce). Na hasło start mrówki ruszają, każda zgodnie ze swoim zwrotem. Gdy dwie
mrówki się zderzą to odbijają się, a więc zmieniają zwroty na przeciwne i kontunuują
marsz. Gdy mrówka dojdzie na koniec kija, spadnie. Jaka jest oczekiwana liczba zderzeń?
Zadanie 2 (Liniowość wartości oczekiwanej). Wykaż, że dla dowolnych zmiennych losowych X, Y zachodzi
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
Zadanie 3. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi Bernoulliego z p = 12 . Pokaż, że
X + Y i |X − Y | są nieskorelowane i zależne.
Zadanie 4. Jeśli Var(X) = 0 to istnieje a ∈ R takie, że P(X = a) = 1.
Zadanie 5. Pokazać, że suma dwóch niezależnych zmiennych o rozkładzie dwumianowym
B(m, p) i B(n, p) wynosi B(m + n, p).
Zadanie 6. Wykonujemy n rzutów monetą, z których na każdej wypada orzeł z prawdopodobieństwem p, niezależnie od pozostałych. Rzucamy ponownie każdą monetą na której
wypadł orzeł. Jaki jest rozkład liczby orłów które wypadną w wyniku drugiego rzutu.
Zadanie 7. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, z których każda przyjmuje wartości 1 i −1 z prawdopodobieństwem 12 , oraz niech Z = XY . Pokazać, że X, Y i
Z są parami niezależne. Czy są one niezależne?
Zadanie 8. W każdej paczce płatków śniadaniowych znajduje się jedna z c różnych zabawek. Kupujemy paczkę co tydzień.
(i) Policz oczekiwany czas pomiędzy zdobyciem j i j + 1 zabawki.
(ii) Policz oczekiwany czas zdobycia wszystkich zabawek.
Zadanie 9. Każdy z n graczy rzuca niezależnie od pozostałych kostką.
(i) Za dowolną parę graczy którzy wyrzucili ten sam wynik grupa dostaje 1 punkt.
Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję całkowitej liczby punktów grupy.
(ii) Za dowolną parę graczy którzy wyrzucili ten sam wynik grupa dostaje tyle punktów ile wyrzucili. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję całkowitej liczby punktów
grupy.
Zadanie 10. Spośród 2n ludzi pogrupowanych w dokładnie n par, dokładnie m ginie. Zakładając, że te m osób zostało wybranych w sposób całkowicie losowy, znajdź oczekiwaną
liczbę par, które przeżyły.
Strona 1/2
Zestaw 5
Semestr zimowy 2015/2016
Kraków, 4-5 listopad 2015
Probabil
Zadanie 11. Urna C zawiera n czerwonych kul, zaś urna N ma n niebieskich kul. W
każdym ruchu losujemy po jednej kuli z każdej z urn i zamieniamy miejscami. Jaka jest
wartość oczekiwana liczby czerwonych kul w C po k ruchach?
Zadanie 12. Niech X i Y będą dyskretnymi zmiennymi losowymi o wartości oczekiwanej
1
0, wariancji 1 i kowariancji ρ. Pokaż, że E(max{X 2 , Y 2 }) 6 1 + (1 − ρ2 ) 2 .
Zadanie 13. Okres życia maszyny (liczony w dniach) jest zmienną losową X o rozkładzie
f . Jeżeli wiemy, że minęło już t dni, jaki będzie oczekiwany czas dalszego działania jeżeli:
(i) f (x) =
1
N +1
dla x ∈ {0, 1, . . . , N }.
(ii) f (x) = 2−x dla x = 1, 2, . . .
Zadanie 14. Jeżeli X ma rozkład geometryczny pokazać, że P(X = n + k|X > n) =
P(X = k).
Zadanie 15. Sekretarka mając n listów i n dopasowanych do nich kopert pakuje je w
sposób losowy. Pokazać, że ilość poprawnie dopasowanych listów X ma wartość oczekiwaną
i wariancję równą 1.
Zadanie 16. Jeżeli X przyjmuje tylko nieujemne wartości pokazać, że
E(X) =
∞
X
P(X > x).
x=0
Zadanie 17.
(i) W urnie mamy b niebieskich kul i r czerwonych. Losujemy bez zwracania dopóki nie
wyciągniemy niebieskiej kuli. Policz oczekiwaną liczbę wyciągniętych kul.
(ii) Z takiej samej urny losujemy bez zwracania dopóki w urnie nie pozostaną tylko kule
jednego koloru. Znajdź oczekiwaną liczbę kul pozostałych w urnie.
Zadanie 18. W urnie znajduje się n kul ponumerowanych od 1 do n. Wyciągamy bez
zwracania k z nich i sumujemy wartości które wyciągnęliśmy. Policz wartość oczekiwaną
i wariancję tej sumy.
Zadanie 19. Wykaż, że dla dowolnych zmiennych losowych X, Y zachodzi: |ρ(X, Y )| = 1
wtedy i tylko wtedy, gdy P(Y = aX + b) = 1 dla pewnych a, b ∈ R.
Strona 2/2