Zmienne dyskretne 28.11.2011 ćwiczenia z wykładu Zadanie 1. X i

Rachunek prawdopodobieństwa, ćwiczenia 4:
Zmienne dyskretne
28.11.2011
ćwiczenia z wykładu
Zadanie 1. X i Y to niezależne zmienne losowe przyjmujące jedynie wartości dodatnich
liczb naturalnych i o tym samym rozkładzie f (x) = 2−x . Określ:
(1) P(min(X, Y ) ¬ x),
(2) P(Y > X),
(3) P(X = Y ),
(4) P(X ­ kY ), dla ustalonej liczby naturalnej k,
(5) P(X dzieli Y ),
(6) P(X = rY ), dla ustalonej liczby wymiernej r.
Zadanie 2. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi Bernoulliego z p = 21 . Pokaż, że
X + Y i |X − Y | są nieskorelowane i zależne.
Zadanie 3. Jeśli var(X) = 0 to istnieje a ∈ R takie, że P(X = a) = 1.
ćwiczenia łatwe
Zadanie 4. Pokazać, że jeżeli wariancja jest równa 0, to X zmienną wskaźnikową.
Zadanie 5. Dla jakich k i α f jest rozkładem, gdy:
a) f (x) = k/(n(n + 1)), n = 1, 2, . . .
b) f (x) = knα , n = 1, 2, . . . .
Zadanie 6. Pokazać, że suma dwóch niezależnych zmiennych o rozkładzie dwumianowym B(m, p) i B(n, p) wynosi B(m + n, p).
Zadanie 7. Czy dla dowolnej zmiennej losowej zachodzi E(1/X) = 1/E(X). Czy w
ogóle jest możliwe, żeby E(1/X) = 1/E(X)?
ćwiczenia
Zadanie 8. Wykonujemy n rzutów monetą, z których na każdej wypada orzeł z prawdopodobieństwem p, niezależnie od pozostałych. Rzucamy ponownie każdą monetą na której
wypadł orzeł. Jaki jest rozkład liczby orłów które wypadną w wyniku drugiego rzutu.
Zadanie 9. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, z których każda
przyjmuje wartości 1 i -1 z prawdopodobieństwem 12 , oraz niech Z = XY . Pokazać, że
X, Y i Z są parami niezależne. Czy są one niezależne?
Zadanie 10. Trzech graczy A, B i C rzucają kostką w kolejności ABCABCA . . . .
a) Pokazać, że prawdopodobieństwo zdarzenia, że A pierwszy wyrzuci szóstkę, B jako
216
drugi , zaś C jako trzeci wynosi 1001
.
b) Pokazać, że prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwsza szóstka zostanie wyrzucona
46656
przez A, druga przez B, zaś trzecia przez C wynosi 753571
.
Zadanie 11. W każdej paczce płatków śniadaniowych znajduje się jedna c różnych
zabawek. Kupujemy paczkę co tydzień.
a) Znaleźć oczekiwany czas pomiędzy zdobyciem j i j + 1 zabawki.
b) Znaleźć oczekiwany czas zdobycia wszystkich zabawek.
Zadanie 12. Rzucamy symetryczną monetą dopóki nie wypadnie orzeł. Niech X będzie zmienną losową liczącą ile rzutów zostało wykonanych zanim wypadł orzeł. Mamy
następującą grę. Jeżeli T = k to otrzymujemy 2k zł. Jaka powinna być ”uczciwa” opłata
za taką grę?
Zadanie 13. Każdy w grupie n graczy rzuca kostką.
a) Za dowolną parę graczy którzy wyrzucili ten sam wynik grupa dostaje 1 punkt.
Znaleść wartość oczekiwaną i wariancję całkowitej liczby punktów grupy.
b) Za dowolną parę graczy którzy wyrzucili ten sam wynik grupa dostaje tyle punktów
ile wyrzucili. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję całkowitej liczby punktów grupy.
1
2
Zadanie 14. Spośród 2n ludzi pogrupowanych w dokładnie n par, dokładnie m ginie. Zakładając, że te m osób zostało wybranych w sposób całkowicie losowy, znaleźć
oczekiwaną liczbę par które przeżyły.
Zadanie 15. Urna C zawiera n czerwonych kul, zaś urna N n niebieskich kul. W każdym
ruch losujemy po jednej kuli z każdej z urn i zamieniamy miejscami. Pokazać, że wartość
oczekiwana liczby czerwonych kul w C po k ruchach wynosi 21 n(1 + (1 − n2 )k ).
Zadanie 16. Niech X i Y będą dyskretnymi zmiennymi losowymi o wartości oczekiwa1
nej 0, wariancji 1 i kowariancji ρ. Pokazać, że E(max{X 2 , Y 2 }) ¬ 1 + (1 − ρ2 ) 2 .
Zadanie 17. Okres życia maszyny (liczony w dniach) jest zmienną losową X o rozkładzie f . Jeżeli wiemy, że minęło już t dni, jaki będzie oczekiwany czas dalszego działania
jeżeli:
a) f (x) = (N + 1)−1 dla x ∈ {0, 1, . . . , N }.
b) f (x) = 2−x dla x = 1, 2, . . . .
Zadanie 18. Jeżeli X ma rozkład geometryczny pokazać, że P(X = n + k|X > n) =
P(X = k).
Zadanie 19. Sekretarka mając n listów i dopasowanych do nich kopert pakuje je w sposób losowy. Pokazać, że ilość poprawnie dopasowanych listów X ma wartość oczekiwaną
i waiancję równą 1.
zadania domowe
Zadanie 20. a) Jeżeli X przyjmuje tylko nieujemne wartości pokazać, że
E(X) =
∞
X
P(X > x)
x=0
b) W urnie mamy b niebieskich kul i r czerwonych. Losujemy bez zwracania dopóki nie
wyciągniemy niebieskiej kuli. Pokazać, żeoczekiwana liczba wyciągniętych kul wynosi
b+r+1
b+1 .
c) Z takiej samej urny losujemy bez zwracania dopóki w urnie nie pozostaną tylko kule
jednego koloru. Znaleźć oczekiwaną ilość kul pozostałych w urnie.
Zadanie 21. W urnie znajduje się n kul ponumerowanych od 1 do n. Wyciągamy bez
zwracania k z nich i sumujemy wartości które wyciągneliśmy. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję tej sumy.
Zadanie 22. Niech X i Y będą zmiennymi losowymi oraz niech ψ(X) i φ(X) będą
dwoma funkcjami na X takimi, że:
E(ψ(X)g(X)) = E(φ(X)g(X)) = E(Y g(X))
dla dowolnej funkcji g dla której wszystkie te wartości istnieją. Pokazać, że P(φ(X) =
ψ(X)) = 1.