Matematyczne Metody Chemii II Zadania

Projekt współfinansowany przez Unie˛ Europejska˛ w ramach Europejskiego
Funduszu Społecznego
Matematyczne Metody Chemii II
Zadania
Marcin Makowski, Mariusz Radoń, Grzegorz Mazur
„Zwiekszenie
˛
liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścisłych Uniwersytetu
Jagiellońskiego”
UDA-POKL.04.01.02-00-097/09-00
www.zamawiane.uj.edu.pl
Projekt współfinansowany przez Unie˛ Europejska˛ w ramach Europejskiego
Funduszu Społecznego
Zestaw 1
Zadanie 1.1 Pokaż, że
1. δ(−x) = δ(x)
2. δ (ax) =
1
|a| δ (x)
3. δ 0 (−x) = −δ 0 (x)
Zadanie 1.2 Niech w b˛edzie wielomianem majacym
˛
jedynie jednokrotne pierwiastki rzeczywiste. Pokaż, że
δ(w(x)) =
X δ(x − xi )
i
|w0 (xi )|
gdzie xi oznacza i-ty pierwiastek w.
Zadanie 1.3 Sprawdzić, czy nast˛epujace
˛ granice sa˛ modelami delty Diraca:
γ/π
dla γ → 0+ ;
+ γ2
Z +∞
1
exp (ikx − ε|k|) dk dla ε → 0+ .
2.
2π −∞
1.
x2
Zadanie 1.4 Rozważamy ciagł
˛ a˛ superpozycj˛e drgań o cz˛estościach z zakresu [ω0 − α, ω0 + α]:
Z ω0 +α
ψ (t) =
exp (ωt) dω,
ω0 −α
Znaleźć postać funkcji ψ(t) i intensywności, I = |ψ(t)|2 . Jak wyglada
˛ wykres funkcji I dla α = 1, a jak dla α = 10,
i jaki ma to zwiazek
˛
z delta˛ Diraca?
Zestaw 2
Zadanie 2.1 Znajdź transformaty Laplace’a nast˛epujacych
˛
funkcji:

 0, t < a
A, a < t < b
1. f (t) =

0, t > b

 0, t < 0
sin t, 0 < t < π
2. f (t) =

0, t > π
3. f (t) = t − btc
„Zwiekszenie
˛
liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścisłych Uniwersytetu
Jagiellońskiego”
UDA-POKL.04.01.02-00-097/09-00
www.zamawiane.uj.edu.pl
Projekt współfinansowany przez Unie˛ Europejska˛ w ramach Europejskiego
Funduszu Społecznego
Zadanie 2.2 Znajdź transformaty Laplace’a nast˛epujacych
˛
całek:
Rt
1. 0 cos τ dτ
Rt
2. 0 τ e−τ dτ
Zadanie 2.3 Znajdź odwrotna˛ transformat˛e Laplace’a nast˛epujacych
˛
funkcji:
1. G(s) = 1s e−s + e−2s
2. G(s) =
s+4
s2 +9
3. G(s) =
3
s2 (s+2)
4. G(s) =
ω
s(s2 +ω 2 )
Zadanie 2.4 Rozwia˛ż, korzystajac
˛ z transformacji Laplace’a, nast˛epujace
˛ równania różniczkowe:
1. y 0 (t) + y(t) = sin t, z warunkiem poczatkowym
˛
y(0) = 0
2. y 00 (t) − y 0 (t) + y(t) = et , z warunkami poczatkowymi:
˛
y(0) = 0, y 0 (0) = 0
Zestaw 3
Zadanie 3.1 Rozwiń w szereg Fouriera funkcj˛e
−1, −π ≤ t < 0
,
f (t) =
1, 0 ≤ t < π
f (t + 2π) = f (t)
Zadanie 3.2 Wyznacz transformaty Fouriera funkcji
1. f (x) = c
2. f (x) = δ(x − x0 )
3. f (x) = cos x
4. f (x) = x
2
5. f (x) = e−αx
6. f (x) = H(x) (funkcja Heaviside’a)
Zadanie 3.3 Wyznacz odwrotna˛ transformat˛e Fouriera funkcji
1. F (k) = δ(k)
2. F (k) = e−αk
2
3. F (k) = e−iαk
„Zwiekszenie
˛
liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścisłych Uniwersytetu
Jagiellońskiego”
UDA-POKL.04.01.02-00-097/09-00
www.zamawiane.uj.edu.pl
Projekt współfinansowany przez Unie˛ Europejska˛ w ramach Europejskiego
Funduszu Społecznego
Zestaw 4
Zadanie 4.1 Dla współrz˛ednych
(a) sferycznych (r, θ, ϕ),
(b) cylindrycznych (ρ, ϕ, z)
wyznacz lokalne wersory, czynniki skali oraz tensor metryczny.
Zadanie 4.2 Rozważamy nast˛epujace
˛ współrz˛edne krzywoliniowe w R2 :
x = uv
x = a cosh ξ cos ν
(a)
(b)
u2 −v 2
y = a sinh ξ sin ν
y= 2
(c)
x=ξ+η
y = ξη
(Jaki jest zakres zmienności współrz˛ednych krzywoliniowych w każdym przypadku?) Sprawdź, czy definiuja˛ one
ortogonalne układy współrz˛ednych.
Zadanie 4.3 Wyprowadź wzór na laplasjan w ogólnych współrz˛ednych ortogonalnych (szkic podany na wykładzie).
Korzystajac
˛ z tego wzoru wyznacz laplasjan we współrz˛ednych
(a) sferycznych w R3 ,
(b) cylindrycznych w R3 ,
(c) parabolicznych w R2 – tj. we współrz˛ednych (u, v) zdefiniowanych w zadaniu 4.2 (a).
Zestaw 5
Zadanie 5.1 Rozwia˛ż równanie Schrödingera rotatora sztywnego.
Zadanie 5.2 Rozwia˛ż równanie Schrödingera oscylatora harmonicznego.
Zestaw 6
Zadanie 6.1 Jadro
˛
korelacyjno-wymienne jest druga˛ pochodna˛ funkcjonalna˛ energii korelacyjno-wymiennej wzgl˛edem g˛estości spinowej. Wyprowadź jawna˛ postać jadra
˛
korelacyjno-wymiennego w przybliżeniu Adiabatic Local
Density Approximation (ALDA) tzn. wielkości
fσσ0 (r, r 0 ) =
LDA
δ 2 Exc
,
δρσ (r)δρσ0 (r 0 )
LDA [ρ , ρ ] to funkcjonał energii korelacyjno wymiennej w przybliżeniu lokalnej g˛
gdzie Exc
estości.
α β
„Zwiekszenie
˛
liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścisłych Uniwersytetu
Jagiellońskiego”
UDA-POKL.04.01.02-00-097/09-00
www.zamawiane.uj.edu.pl