MMF 2016

MMF 2016
ZESTAW 1
Zadanie 1.1
Prosz˛e wyprowadzić postać operatora Laplace’a we współrz˛ednych cylindrycznych oraz sferycznych w 3 wymiarach. We współrz˛ednych kartezjańskich:
4 = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 .
Rachunek prosz˛e wykonać używajac
˛ form różniczkowych, definicji operatora Laplace’s jako
4f = ∗d ∗ df , gdzie ∗ jest gwiazdka˛ Hodge’a, zdefiniowana˛ jako:
∗dx ∧ dy ∧ dz = 1,
∗dx = dy ∧ dz,
∗dy = −dx ∧ dz,
∗dz = dx ∧ dy.
Zadanie 1.2
Funkcja zespolona f : C → C jest analityczna jeśli ∂z̄ f ≡ 0. Prosz˛e wyprowadzić warunek
na funkcje R i Φ równoważny analityczności f dla przedstawienia f jako:
f (z) = R(r, φ)eiΦ(r,φ) ,
z = reiφ .
Zadanie 1.3
Funkcja Γ(z) (gamma Eulera) jest zdefiniowana jako:
Z
Γ(z) =
∞
e−t tz−1 dt.
0
Prosz˛e pokazać, iż:
Γ(z + 1) = zΓ(z),
oraz znaleźć pierwsze wyrazy rozwiniecia
˛
funkcji zΓ(z) w szereg wokół z = 0.
Zadanie 1.4
Prosz˛e sprawdzić, czy funkcja:
u(x, y) =
sin 2x
,
(cosh 2y + cos 2x)
może być cz˛eścia˛ rzeczywista˛ funkcji analitycznej. Jaka jest jej cz˛eść urojona? Jaka jest
cała funkcja analityczna jako funkcja z = x + iy ?