2. Próbkowanie równomierne
Transkrypt
2. Próbkowanie równomierne
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -1- 2003 2. Próbkowanie równomierne Wprowadzenie Próbkowanie równomierne, jest procesem konwersji sygnału analogowego (o czasie ciągłym) do postaci próbek pobieranych w równych odstępach czasu. Próbkowanie przeprowadza się poprzez podanie na wejście przetwornika analogowo-cyfrowego (A/C) sygnału ciągłego. Na jego wyjściu otrzymuje się ciąg wartości liczbowych. Sygnał analogowy można próbkować z dowolną szybkością. Należy sobie jednak zadać pytanie, na ile dobrze te wartości reprezentują sygnał oryginalny. Odpowiedź na to pytanie daje teoria próbkowania. przetwornik A/C Proces konwersji analogowo-cyfrowej można podzielić na trzy podstawowe etapy: filtr antyaliasingowy próbkowanie pamiętanie • filtrowanie antyaliasingowe • próbkowanie • pamiętanie wejściowy sygnał analogowy przefiltrowany sygnał analogowy sygnał dyskretny sygnał cyfrowy Rys. 2.1. Proces konwersji analogowo-cyfrowej Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -2- 2003 Filtrowanie antyaliasingowe Widmo rzeczywistych sygnałów jest ze względu na zniekształcenia i szumy bardzo szerokie. Filtrowanie antyalisingowe, dolnoprzepustowym filtrem analogowym stosowane jest w celu ograniczenia szerokości widma rzeczywistego sygnału. Zastosowanie tego typu filtracji ma na celu zapobieżenie zjawisku nakładania się widm powstających w wyniku ich powielania podczas wykonywania próbkowania sygnału. sygnał szum szum f -B B f -2fp -fp 0 fp 2fp Rys. 2.2 Powielenia widmowe (brak filtru antyaliasingowego) Na rys. 2.2 pokazano widmo ciągłe sygnału o szerokości pasma B zawierającego szum oraz efekt nakładania się widm sygnału i szumu w wyniku próbkowania przebiegu. Taki efekt zniekształcenia widma występuje w wyniku braku filtru antyaliasingowego. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -3- 2003 charakterystyka filtru antyaliasingowego szum szum f -B B f -2fp -fp 0 fp 2fp Rys. 2.3 Efekt zastosowania filtru antyaliasingowego Rys. 2.3 przedstawia przypadek zastosowania filtru analogowego dolnoprzepustowego o częstotliwości odcięcia równej B przy tej samej częstotliwości próbkowania fp. Zastosowanie filtru analogowego dolnoprzepustowego pozwala unikać nakładania się widm. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -4- 2003 Próbkowanie sygnałów dolnopasmowych Pytanie: Czy znając jedynie zbiór próbek sygnału f[n] : n=...,-2,-1,0,1,2,3,... oddalonych o przedział próbkowania Tp możemy dokładnie odtworzyć sygnał analogowy ? Inaczej mówiąc czy dysponujemy informacją o zachowaniu się sygnału między danymi próbkami ? Odpowiedź: W ogólnym przepadku NIE ! (jest to oczywiste) Ale: Jeżeli jednak sygnał próbkowany spełniałby pewien dodatkowy warunek odpowiedź może brzmieć TAK. Ten dodatkowy warunek dotyczy szybkości zmian przebiegu, który jeżeli analizujemy sygnał w dziedzinie częstotliwości jest związany z szerokością pasma sygnału. Jeżeli sygnał nie może się szybko zmieniać to znaczy, że nie zawiera składowych o dużych częstotliwościach powyżej częstotliwości B, sygnał ma ograniczone pasmo. W praktyce termin sygnał o ograniczonym paśmie oznacza jedynie to, że energia zawarta w sygnale poza zakresem ±B jest poniżej czułości naszego systemu. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -5- 2003 Twierdzenie o próbkowaniu (Shannona) Niech f(t) będzie sygnałem ciągłym, którego widmo spełnia warunek ograniczonego pasma 1: F ( jω ) = 0 dla ω ≥ 2π B (2.1) Zgodnie z kryterium Nyquista, sygnał f(t) można odtworzyć z pełną dokładnością z jego próbek gdy częstotliwość próbkowania spełnia zależność: f p ≥ 2B ω p ≥ 4π B (2.2) Częstotliwość B wyznaczającą szerokość widma sygnału nazywa się częstotliwością Nyquista. Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek przedstawiono na wykresach (rys.2.4-rys.2.6). Rozpatrzymy trzy różne przypadki wyboru częstotliwości próbkowania: • f p = 2B (2.3) • f p > 2B (2.4) • f p < 2B (2.5) Ostatni przypadek jest niezgodny z twierdzeniem o próbkowaniu. Z tak wybranych próbek nie można odtworzyć oryginalnego sygnału analogowego. Przyczyną jest nakładanie się powielanych widm i ich nieodwracalne zniekształcenie. 1 Widmo nie zawiera dystrybucji w punktach ±B Cyfrowe przetwarzanie sygnałów f p = 2B -6- 2003 Jest to przypadek graniczny. Powielane widma stykają się ze sobą. f(t) ω F 2π f t 0 0 d(t) ω D 2π 2π 1 f t 0 f p = 2B Tp f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t ) 0 2B fp ω F * 2π ω = F 2π ω ∗ D 2π f t 0 0 fp h(t) 1 -2Tp -3Tp 2Tp 0 -Tp Tp ω H 2π f t 3Tp -B f (t ) = h(t ) ∗ f * (t ) 0 ω ω ω F = H ⋅ F * 2π 2π 2π f t 0 B 0 Rys. 2.4. Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla f p = 2 B Cyfrowe przetwarzanie sygnałów f p > 2B -7- 2003 Powielane widma są rozłączne. f(t) ω F 2π f t 0 0 d(t) ω D 2π 2π 1 f t 0 0 f p > 2B Tp 2B fp ω F * 2π f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t ) ω = F 2π ω ∗ D 2π f t 0 0 fp h(t) 1 -2Tp -3Tp 2Tp 0 -Tp Tp ω H 2π f t 3Tp -B f (t ) = h(t ) ∗ f * (t ) 0 ω ω ω F = H ⋅ F * 2π 2π 2π f t 0 B 0 Rys. 2.5. Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla f p > 2 B Cyfrowe przetwarzanie sygnałów f p < 2B -8- 2003 Widma nakładają się. f(t) ω F 2π f t 0 0 d(t) ω D 2π 2π 1 f t 0 f p < 2B Tp f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t ) 0 2B fp ω F * 2π ω = F 2π ω ∗ D 2π f t 0 0 fp h(t) 1 -2Tp -3Tp 2Tp 0 -Tp Tp ω H 2π f t 3Tp -B f (t ) = h(t ) ∗ f * (t ) 0 B ω ω ω F = H ⋅ F * 2π 2π 2π f t 0 aliasing 0 Rys. 2.6. Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla f p < 2 B Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -9- Przykład: 2003 f (t ) Dany jest ciąg próbek, oraz wiadomo, że reprezentują one wartości chwilowe pewnego przebiegu sinusoidalnego. Pobrane są w równych odstępach czasu. Zadanie polega na odtworzeniu przebiegu ( wyznaczeniu jego parametrów – amplitudy i częstotliwości ). 0.866 f p = 6 Hz t Tp -0.866 X[0] 0 X[1] 0.866 X[2] 0.866 X[3] 0 X[4] -0.866 X[5] -0.866 X[6] f (t ) 1Hz 0 f p > 2 f1 t Tp Jeżeli ciąg reprezentuje próbki przebiegu sinusoidalnego to nie można jednoznacznie określić tego przebiegu jedynie z próbek. Wymagana jest dodatkowa informacja. T1 f (t ) 7Hz f p < 2 f1 Jeżeli założymy, że próbkowanie wykonano zgodnie z kryterium Nyquista, to oryginalnym przebiegiem jest sinusoida o częstotliwości 1Hz. t Tp T1 Rys. 2.7. Odtwarzanie sygnału analogowego Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -10- 2003 Zadanie 1: Ile minimalnie próbek należy pobierać w okresie sygnału sinusoidalnego zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu ? Oznaczmy częstotliwość sinusoidy f1. Zgodnie z kryterium Nyquista częstotliwość próbkowania musi być tak wybrana aby spełniony był warunek2: f p > 2 f1 Zatem fp T n= 1 >2 nmin = 3 >2 Tp f1 Odp: Minimalna liczba próbek, pobierana w okresie sinusoidy wynosi 3. Wtedy można w sposób jednoznaczny odtworzyć sinusoidę z próbek. Zadanie 2: Sygnał ma ograniczone pasmo do B=1000Hz. Jaką minimalną liczbę próbek należy pobierać w przedziale czasu T=0.02s, aby można było z tych próbek jednoznacznie odtworzyć przebieg? Zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu f p ≥ 2B n= T1 = T1 f p ≥ T1 2 B Tp n ≥ 0.02 ⋅ 2 ⋅ 1000 n ≥ 40 Odp: Minimalna liczba próbek wynosi 40. 2 W tym przypadku ponieważ na granicy pasma pojawia się dystrybucja, wymagana jest ostra nierówność. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -11- 2003 Próbkowanie sygnałów pasmowych W praktyce często próbkowane są analogowe sygnały pasmowe czyli takie, których ograniczone pasmo jest skupione wokół pewnej częstotliwości różnej od zera. Do tego typu sygnałów można z powodzeniem stosować próbkowanie dolnopasmowe, jednak zastosowanie specjalnej techniki zwanej próbkowaniem pasmowym pozwala znacznie zmniejszyć koszty realizacji sprzętowej, polegającej na zmniejszeniu szybkości przetwornika A/C oraz zmniejszeniu pamięci wymaganej do pamiętania wartości próbek. Jako przykład próbkujmy przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz, skupiony wokół częstotliwości fc=20kHz. ω F 2π Zgodnie z kryterium Nyquista, ponieważ najwyższa składowa częstotliwościowa w sygnale ma wartość 22,5kHz należy próbkować sygnał z częstotliwością nie mniejszą niż 45kHz. B =5kHz f -fc Na rysunku 2.8 pokazano skutki próbkowania tego sygnału z częstotliwością znacznie mniejszą, równą 17,5kHz. 0 fc =20kHz ω F * 2π Można zauważyć, że mimo mniejszej częstotliwości próbkowania powielenia widma nie zniekształcają widma oryginalnego skupionego wokół częstotliwości fc. Unikamy aliasingu. Okazuje się że próbkowanie z częstotliwością 45kHz nie jest konieczne. f p = fc − B 2 f -fc fp 0 fp fc fp =17,5 kHz fp Rys. 2.8. Widmo sygnału pasmowego analogowego i dyskretnego Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -12- 2003 Wyprowadzimy ogólne zależności dotyczące próbkowania pasmowego. Mamy ciągły sygnał pasmowy o szerokości pasma B, o częstotliwości nośnej fc. Próbkujemy ten sygnał z dowolną częstotliwością fp. Przy arbitralnej liczbie powieleń m (na rysunku 2.9. m=8 ) w przedziale 2fc-B sygnał można próbkować z maksymalną częstotliwością fp1 taką że: mf p1 = 2 f c − B f p1 = (2.6) 2 fc − B m (2.7) Jeżeli szybkość próbkowania zmniejsza się to powielenia przesuwają się i osiągamy dolną granicę częstotliwości próbkowania fp2: ( m + 1) f p 2 = 2 f f p2 = +B (2.8) 2 fc + B m +1 (2.9) c W ten sposób otrzymujemy zależność definiującą zakres częstotliwości próbkowania pasmowego zależną od szerokości pasma sygnału, częstotliwości nośnej i liczby powieleń 2 fc + B 2f −B ≤ fp ≤ c m +1 m (2.10) przy czym m jest dowolną liczbą naturalną zapewniającą spełnianie kryterium Nyquista w odniesieniu do szerokości pasma sygnału f p ≥ 2B . (2.11) Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -13- 2003 ω F 2π 2 fc − B 0 -fc fp1 fc f fc f fp1 ω F 2π 2 fc + B -fc 0 fp2 fp2 Rys. 2.9. Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fc-B sygnał można próbkować z maksymalną częstotliwością fp1, , w przedziale 2fc+B sygnał można próbkować z minimalną częstotliwością fp2, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -14- 2003 Przykład: Przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej fc=20kHz. m (2fc-B)/m (2fc+B)/(m+1) Optymalne fp 1 35,0 kHz 22,5 kHz 22,5 kHz 2 17,5 kHz 15,0 kHz 17,5 kHz 3 11,66 kHz 11,25 kHz 11,25 kHz 4 8,75 kHz 9,0 kHz - 5 7,0 kHz 7,5 kHz - Jak wynika z tabeli częstotliwość próbkowania nie może być mniejsza niż 11,25kHz. Za optymalną częstotliwość próbkowania przyjęto taką przy której powielenia widma stykają się ze sobą jedynie w punkcie f = 0Hz. Przy tak przyjętej częstotliwości próbkowania błędy związane dalszym przetwarzaniem cyfrowym (np. filtrowaniem) sygnału są minimalne. Zdefiniujemy nowy parametr R jako stosunek częstotliwości najwyższej w paśmie sygnału do szerokości pasma R= fc + B B 2 (2.11) Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -15- 2003 Wykreślimy zależność minimalnej częstotliwości próbkowania od parametru R dla różnych wartości m ( m + 1) f = 2 fc + B B ( m + 1) f p 2 f c + 2 = 2B B ( m + 1) f p 2 =R 2B p2 ozn: f p min = f p 2 f p min 2 R = B ( m + 1) (2.12) f p min B m =0 4 m =1 3 2,25 2 2 m= 3 m= m=4 m=5 R 1 2 3 4 4,5 5 6 7 8 9 Rys. 2.10. Minimalna częstotliwość próbkowania w zależności od R dla różnych wartości m Z wykresu wynika, że niezależnie od R minimalna częstotliwość próbkowania nie przekracza 4B i zmniejsza się dążąc do 2B przy zwiększaniu częstotliwości nośnej (wzrost R). Taki wniosek może być zaskakujący!. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -16- 2003 Wprowadzając na wykresie warunek ograniczający częstotliwość z góry (maksymalną) otrzymamy obszary częstotliwości zakazanych i dozwolonych związanych z odpowiednią wartością parametru m. mf p1 = 2 f c − B mf p1 +1 = R 2B f p1 = f p max f p max B = pr do óbko lno wa pas nie mo we m B 6 (2.13) =1 fp 2 ( R − 1) m 2 m= m= 4 3 m=4 2 R strefa zakazana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Rys. 2.11. Minimalna i maksymalna częstotliwość próbkowania w zależności od R dla różnych wartości m Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -17- 2003 Wprawdzie z rysunku wynika, że możemy stosować częstotliwości próbkowania, które leżą na granicy strefy zakazanej i dozwolonej, jednak w praktycznych zastosowaniach należy wybierać częstotliwości nieco oddalone od tych granic. Takie postępowanie pozwala uniknąć np. problemów związanych z niedokładnością filtrów pasmowych, niestabilnością zegara układu próbkującego itp. Przykład: Wracając do przebiegu przykładowego o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej fc=20kHz. 5 20 + 2 = 4.5 R= 5 Z wykresu można odczytać dla tej wartości R, minimalną akceptowalną częstotliwość próbkowania. Wynosi ona przy m=3 ( powielenia widma ) 2.25B, czyli 11.25kHz co jest zgodne z wartością wyznaczoną w tabeli. Zadanie: Przebiegu o szerokości pasma B=200Hz i częstotliwości nośnej fc=1000Hz. Jaką minimalną częstotliwość próbkowania można stosować ? Czy można stosować częstotliwość próbkowania pasmowego fp=400Hz, 800Hz, 1600Hz ? Jak uwzględnić błąd częstotliwości próbkowania związany z niedokładnością zegara ? Czy można także uwzględnić niedokładności filtru antyaliasingowego ? R= 200 2 = 5.5 200 1000 + Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -18- =1 fp 2003 m B 2 m= ∆f p = ±100 Hz 6 m= 4 3 m=4 2 ∆B = 900 ÷ 1100 Hz strefa zakazana 1 2 3 4 5 6 7 8 R 9 Jak wynika z wykresu dla R=5.5 minimalna częstotliwość próbkowania przy m=4 wynosi f p min = 2 ⋅ 1000 + 200 = 440 Hz 4 +1 Nie jest możliwe próbkowanie z częstotliwością 400Hz, natomiast możliwe z 800Hz i 1600Hz. Przy fp=1600Hz na wykresie zaznaczono zakres dopuszczalnego błędu próbkowania. Podobnie jak błąd zegara można określić tzw. pasmo ochronne ( w osi parametru ) R przy ustalonej szerokości pasma B 1 1 B Rmin − < ∆f < B Rmax − 2 2 900 Hz < ∆f < 1100 Hz Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -19- Przetworniki analogowo-cyfrowe Przetworniki z równoczesną komparacją („przetworniki fleszowe”): Zasadę działania jednostopniowego przetwornika a/c z równoczesną komparacją przedstawia rysunek 2.12. Przetwornik o długości słowa n (w przykładzie n=2) bitów zawiera 2n − 1 komparatorów, porównujących amplitudę sygnału wejściowego UX z odpowiednimi częściami napięcia odniesienia UN, uzyskiwanymi z kolejnych wyjść dzielnika, złożonego z n jednakowych rezystorów. Kod sygnałów wyjściowych przekształcany na kod dwójkowy. komparatorów jest Zaletą jest duża szybkość działania, wadą znaczny pobór mocy i duże wymiary struktury, szybko rosnące przy powiększaniu rozdzielczości: Liczba bitów przetwornika 2 8 10 Liczba komparatorów 3 255 2047 Zasada równoczesnej komparacji jest wykorzystywana bo budowy najszybszych przetworników 8 – 10 bitowych. 2003 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -20- 2003 Dwustopniowy przetworniki z równoczesną komparacją: Szybkie przetworniki o rozdzielczości większej niż 8 bitów wymagają stosowania komparacji dwustopniowej. Cykl przetwarzania składa się z dwóch faz: • W pierwszej fazie ustalana jest za pomocą równoczesnego przetwornika a/c wartość najbardziej znaczących bitów wyniku (w przykładzie 4 bity). • Wynik pierwszego przetwarzania jest za pomocą pomocniczego przetwornika c/a zamieniany odpowiadającą mu wartość sygnału analogowego i odejmowany od sygnału wejściowego. • Różnica jest przetwarzana za pomocą drugiego równoczesnego przetwornika a/c (w przykładzie również 4 bitowego), tworząc mniej znaczącą część bitów wyniku. Cykl przetwarzania jest 2 razy dłuższy niż w jednostopniowych, jednak wymaga znacznie mniej komparatorów Realizacja przetwornika 8 bitowego wymaga 30 komparatorów, czyli znacznie mniej niż 255, dlatego szybkie przetworniki a/c 8..14 bitowe są budowane jako 2 i 3 stopniowe. Np. 12 bitowy, 3 stopniowy przetwornik równoległy AD9022 (Analog Devices) przetwarza sygnał z szybkością 20Mp/s (milionów próbek na sekundę). Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Przetworniki z wagową komparacją (przetworniki kompensacyjne): W przetwornikach analogowo cyfrowych o średniej szybkości działania 105-107 b/s najczęściej stosuje się zasadę wagowej komparacji sygnału wejściowego z kolejno malejącymi przyrostami napięcia odniesienia. W zależności od wyniku komparacji po wykonaniu tego kroku najbardziej znaczący bit wyniku jest w stanie włączonym lub zerowany. Dla przykładowego przetwornika 5 bitowego • W pierwszym kroku napięcie wejściowe UX jest większe niż napięcie odniesienia. (Podczas pierwszego kroku napięcie wzorcowe odpowiada połowie całego zakresu przetwarzania przetwornika. ) • Najbardziej znaczący bit wyniku przyjmuje wartość „1”, następuje zwiększenie napięcia odniesienia o ¼ zakresu i porównanie w drugim kroku. • Napięcie wejściowe jest poniżej napięcia wzorcowego, wynik komparacji wynosi „0”.Zatem w dwóch cyklach określono wartość napięcia na poziomie „10”. • Itd... Pełny cykl przetwarzania n bitowego przetwornika składa się z n cykli zegarowych. -21- 2003 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -22- 2003 Przetworniki nadpróbkujące (przetworniki sigma-delta) W ostatnich latach szerokie zastosowanie zdobyły przetworniki z modulatorami sigma-delta wykorzystujące napróbkowywanie przetwarzanego sygnału. Nadpróbkowywanie zapewnia możliwość osiągania wysokiej rozdzielczości. Stosowana jednobitowa kwantyzacja sigma-delta stosuje rozwinięcie metody znanej jako modulacja delta. Modulacja ta opiera się o kwantyzację różnicy między wartościami kolejnych próbek a nie wartości absolutnej wartości próbki sygnału. Modulacja sigma-delta osiągnięta jest przez przesunięcie drugiego układu całkującego z demodulatora do stopnia wejściowego modulatora. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -23- 2003 Strukturę prostego przetwornika napróbkującego przedstawia rysunek. Modulator sigma-delta złożony z integratora, komparatora i prostego, zwykle jednobitowego przetwornika c/a, zamienia sygnał wejściowy na ciąg impulsów zero-jedynkowych o częstotliwości generatora zegarowego. Przetwornik sigma-delta wykorzystuje kwantyzator 1-bitowy, przetwarzania odbywa się z szybkością wielokrotnie przekraczającą częstotliwość Nyquista. Po procesie próbkowania następuje decymacja, co prowadzi do obniżenia częstotliwości próbkowania. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów -24- 2003 a) Przetworniki z równoczesną komparacją b) Przetworniki z wagową komparacją c) Przetworniki nadpróbkujące