rozwiązane kolokwium tu

Imię i nazwisko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27. 5. 2014
Email . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kolokwium II
Analiza dla informatyków
Żeby zaliczyć kolokwium, trzeba zgromadzić przynajmniej 13 punktów, w tym 8 z dwóch pierwszych zadań. Pisz
czytelnie i każde rozwiązanie zaczynaj na nowej stronie. Nie można ściągać, ani korzystać z notatek. Przed oddaniem rozwiązań sprawdź, czy nie ma błędów w przepisywaniu i czy wszystkie kartki są podpisane. Powodzenia!
Zadanie 1.
(4 pkt)
Określ przedziały monotoniczności i znajdź ewentualne ekstrema funkcji
f (x) = 2x2 − ln x.
Zadanie 2. (6 pkt)
Oblicz całki
Z 1
1
dx,
1.
2x − √ +
x 1 + x2
Zadanie 3.
wzorem:
(4 pkt)
Z
2.
2x sin x2 − 3 dx,
3.
R
3x2 − 1 ln x dx.
Zbadaj wypukłość/wklęsłość i znajdź ewentualne punkty przegięcia funkcji f danej
f (x) = xe−x .
Zadanie 4.
(4 pkt)
Oblicz granice
1. lim x ln2 x,
2. limx→0
x→0
Zadanie 5.
(2 pkt)
1−cos x
.
x2
Zbadaj zbieżność szeregu
∞
X
n!
.
n
n
n=1
Zadanie 6.
[0, 4].
(5 pkt)
Znajdź najmniejszą, największą oraz średnią wartość funkcji x 7→ 2x −
√
x w przedziale
Analiza dla informatyków
27. 5. 2014
ROZWIĄZANIA
Kolokwium II
Żeby zaliczyć kolokwium, trzeba zgromadzić przynajmniej 13 punktów, w tym 8 z dwóch pierwszych zadań.
Zadanie 1.
(4 pkt)
Określ przedziały monotoniczności i znajdź ewentualne ekstrema funkcji
f (x) = 2x2 − ln x.
Rozwiązanie: Dziedziną funkcji jest zbiór (0, ∞). Mamy
4x2 − 1
=
x f 0 (x) < 0, gdy x ∈ 0, 21 ,
f 0 (x) = 4x −
1
x
=
0
f (x) = 0, gdy x =
0
f (x) > 0, gdy x >
4
x
x2 −
1
4
= x4 (x − 21 )(x + 21 ),
x+
1
2
> 0,
4
x
> 0,
funkcja malejąca,
1
2,
1
2,
punkt krytyczny,
funkcja rosnąca.
Na lewo od punktu krytycznego pochodna jest ujemna, a na prawo dodatnia, zatem jest to minimum. Funkcja jest
rosnąca w ( 21 , ∞) oraz malejąca w (0, 12 ).
Zadanie 2. (6 pkt)
Oblicz całki
Z 1
1
1.
2x − √ +
dx,
x 1 + x2
Z
2.
2x sin x2 − 3 dx,
3.
R
3x2 − 1 ln x dx.
Rozwiązanie:
R
√
1. RCałkę tę najpierw rozdzielamy na trzy. Do środkowej i prawej stosujemy wprost wzory x−1/2 dx = 2 x + C oraz
dx
1+x2 = arctan x + C, zaś do lewej odpowiednio przekształcony wzór na pochodną funkcji wykładniczej:
x 0
x
(a ) = ln a a ,
czyli
Dla całek będzie to
Z
ax dx =
ax
ln a
0
= ax .
ax
+ C.
ln a
W naszym przypadku mamy więc
Z √
1
1
2x
2x − √ +
dx =
− x + arctan x + C.
2
ln 2
x 1+x
2. Tę całkę możemy obliczyć przez podstawienie t(x) = x2 − 3:


t(x) = x2 − 3
Z
Z


2x sin x2 − 3 dx =  t0 (x) = 2x
=
sin t dt = − cos t + C = − cos x2 − 3 + C.

f (t) = sin t
3. Nie widać tu pary: funkcja, pochodna, czyli szans na całkowanie przez podstawienie nie ma. Spróbujmy przez
części:
" 0
#
Z
Z
f (x) = 3x2 − 1 g(x) = ln x
2
3
3x − 1 ln x dx =
=
x
−
x
ln
x
−
x2 − 1 dx =
3
0
1
f (x) = x − x g (x) = x
Z
Z
3
2
= x − x ln x − x dx + 1dx = x3 − x ln x − 31 x3 + x + C.
1
Zadanie 3.
wzorem:
(4 pkt)
Zbadaj wypukłość/wklęsłość i znajdź ewentualne punkty przegięcia funkcji f danej
f (x) = xe−x .
Rozwiązanie: Dziedziną funkcji jest R.
f 0 (x) = e−x − xe−x ,
f 00 (x) = −e−x − e−x + xe−x = e−x (x − 2) .
Druga pochodna:
• jest ujemna w (−∞, 2), czyli f jest tam wklęsła,
• zeruje się dla x = 2 i zmienia tam znak, więc jest to punkt przegięcia,
• jest dodatnia dla x > 2, zatem funkcja jest wypukła w (2, ∞).
Zadanie 4.
(4 pkt)
Oblicz granice
1. lim x ln2 x,
2. limx→0
x→0
1−cos x
.
x2
Rozwiązanie:
1. Mamy sytuację 0 · ∞. Żeby zastosować regułę de l’Hospitala musimy dane wyrażenie przekształcić w iloraz.
lim x ln2 x = lim
x→0
x→0
ln2 x
1
x
=
2 · x1 ln x
2· 1
2 ln x H
2
∞ H
= lim
= lim
= lim 1 x = lim 1 = 0.
1
1
x→0 −
x→0
x→0
∞ x→0 − x2
x
x2
x
2. Tutaj od razu możemy przejść do pochodnych, gdyż mamy sytuację 00 :
cos x
sin x
0 H
1
= = lim
= .
x→0 2x
0 x→0 2
2
lim
Zadanie 5.
(2 pkt)
Zbadaj zbieżność szeregu
∞
X
n!
.
n
n
n=1
Rozwiązanie: Zastosujmy kryterium d’Alemberta:
n!(n + 1)
n!
(n + 1)!
=
=
.
an+1 =
(n + 1)n+1
(n + 1)n (n + 1)
(n + 1)n
Stąd
n
n −(n+1)·(− n+1
n!
)
an+1
nn
n+1−1
1
(n+1)n
= n! =
=
=
1
−
−→ e−1 < 1,
n
an
(n
+
1)
n
+
1
n
+
1
n
n
an
n
gdyż 1 + a1n
−→ e oraz − n+1
−→ −1. Zatem szereg jest rozbieżny.
Zadanie 6.
[0, 4].
(5 pkt)
Znajdź najmniejszą, największą oraz średnią wartość funkcji x 7→ 2x −
√
x w przedziale
Rozwiązanie: Wartość średnia to całka
1
4−0
Z
4
2x −
0
√ 1
x dx =
4
Z
2
0
4
Z
x dx −
4
x1/2 dx =
0
1
4
4
4 2 · 12 x2 0 − 23 x3/2 0 =
1
4
2·8−
2
3
·8 =
1
4
·
32
3
= 83 .
Do wartości najmniejszej i największej potrzebujemy porównać wartość funkcji w punktach krytycznych i na końcach
danego przedziału:
√ 0
1
2x − x = 2 − √ .
2 x
1 1
√
1
1
1
Widać, że jedyny punkt krytyczny jest tam, gdzie 2 x = 2 , czyli x = 16
. Mamy f (0) = 0, f 16
= 8 − 4 = − 18 oraz
1
f (4) = 8 − 2 = 6. Zatem największa wartość tej funkcji to 6, zaś najmniejsza to − 8 .
2