Całka Riemanna
Transkrypt
Całka Riemanna
Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Założenie: f : [a, b] → R jest ograniczona, tj. m ≤ f (x) ≤ M dla wszystkich x ∈ [a, b]. π = {x0 , . . . , xk }, a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b - podział odcinka [a, b]; ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , k; k δ(π) := max ∆xi . Dopuszczamy podziały dla których lim δ(π) = 0. i=1 k→∞ P = P[a, b] - rodzina podziałów odcinka [a, b]. mi = mi (f , π) := Mi = Mi (f , π) := inf f (x) x∈[xi −1 ,xi ] sup x∈[xi −1 ,xi ] f (x) Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Założenie: f : [a, b] → R jest ograniczona, tj. m ≤ f (x) ≤ M dla wszystkich x ∈ [a, b]. π = {x0 , . . . , xk }, a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b - podział odcinka [a, b]; ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , k; k δ(π) := max ∆xi . Dopuszczamy podziały dla których lim δ(π) = 0. i=1 k→∞ P = P[a, b] - rodzina podziałów odcinka [a, b]. mi = mi (f , π) := Mi = Mi (f , π) := inf f (x) x∈[xi −1 ,xi ] sup x∈[xi −1 ,xi ] f (x) Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Założenie: f : [a, b] → R jest ograniczona, tj. m ≤ f (x) ≤ M dla wszystkich x ∈ [a, b]. π = {x0 , . . . , xk }, a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b - podział odcinka [a, b]; ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , k; k δ(π) := max ∆xi . Dopuszczamy podziały dla których lim δ(π) = 0. i=1 k→∞ P = P[a, b] - rodzina podziałów odcinka [a, b]. mi = mi (f , π) := Mi = Mi (f , π) := inf f (x) x∈[xi −1 ,xi ] sup x∈[xi −1 ,xi ] f (x) Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Założenie: f : [a, b] → R jest ograniczona, tj. m ≤ f (x) ≤ M dla wszystkich x ∈ [a, b]. π = {x0 , . . . , xk }, a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b - podział odcinka [a, b]; ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , k; k δ(π) := max ∆xi . Dopuszczamy podziały dla których lim δ(π) = 0. i=1 k→∞ P = P[a, b] - rodzina podziałów odcinka [a, b]. mi = mi (f , π) := Mi = Mi (f , π) := inf f (x) x∈[xi −1 ,xi ] sup x∈[xi −1 ,xi ] f (x) Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Założenie: f : [a, b] → R jest ograniczona, tj. m ≤ f (x) ≤ M dla wszystkich x ∈ [a, b]. π = {x0 , . . . , xk }, a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b - podział odcinka [a, b]; ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , k; k δ(π) := max ∆xi . Dopuszczamy podziały dla których lim δ(π) = 0. i=1 k→∞ P = P[a, b] - rodzina podziałów odcinka [a, b]. mi = mi (f , π) := Mi = Mi (f , π) := inf f (x) x∈[xi −1 ,xi ] sup x∈[xi −1 ,xi ] f (x) Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Założenie: f : [a, b] → R jest ograniczona, tj. m ≤ f (x) ≤ M dla wszystkich x ∈ [a, b]. π = {x0 , . . . , xk }, a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b - podział odcinka [a, b]; ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , k; k δ(π) := max ∆xi . Dopuszczamy podziały dla których lim δ(π) = 0. i=1 k→∞ P = P[a, b] - rodzina podziałów odcinka [a, b]. mi = mi (f , π) := Mi = Mi (f , π) := inf f (x) x∈[xi −1 ,xi ] sup x∈[xi −1 ,xi ] f (x) Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Dolna i górna suma całkowa Darboux funkcji f względem π s(f , π) := k X mi ∆xi S(f , π) := i=1 estimated area = 6.2837 actual area = 5.7506 1.5 1.5 1.0 1.0 0.5 0.5 2 3 Mi ∆xi i=1 estimated area = 5.1639 actual area = 5.7506 1 k X 4 5 1 2 3 4 5 Rysunek: Sumy dolna i górna dla funkcji ln(x + 1) i podziału odcinka [0, 5]: 8 π1 = i 85 i =0 Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Dolna i górna suma całkowa Darboux funkcji f względem π s(f , π) := k X mi ∆xi S(f , π) := i=1 estimated area = 5.9702 actual area = 5.7506 1.5 1.5 1.0 1.0 0.5 0.5 2 3 Mi ∆xi i=1 estimated area = 5.5223 actual area = 5.7506 1 k X 4 5 1 2 3 4 5 Rysunek: Sumy dolna i górna dla funkcji ln(x + 1) i podziału odcinka [0, 5]: 5 20 π2 = i 20 i =0 Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Dolna i górna suma całkowa Darboux funkcji f względem π s(f , π) := k X mi ∆xi S(f , π) := i=1 estimated area = 5.8247 actual area = 5.7506 1.5 1.5 1.0 1.0 0.5 0.5 2 3 Mi ∆xi i=1 estimated area = 5.6754 actual area = 5.7506 1 k X 4 5 1 2 3 4 5 Rysunek: Sumy dolna i górna dla funkcji ln(x + 1) i podziału odcinka [0, 5]: 5 60 π3 = i 60 i =0 Całka Riemanna Całka dolna i górna Dla dowolnego podziału π ∈ P zachodzi nierówność: m(b − a) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ M(b − a) Całka Riemanna Całka dolna i górna Dla dowolnego podziału π ∈ P zachodzi nierówność: m(b − a) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ M(b − a) Całka dolna b Z f := sup {s(f , π); π ∈ P} a Całka górna Z b f := inf {S(f , π); π ∈ P} a Całka Riemanna Całkowalność Definicja Funkcja ograniczona f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b], jeżeli Z b Z a b f. f = a Rb Wspólną wartość całki dolnej i górnej oznaczamy przez a f (x) dx lub Rb krótko a f i nazywamy całką Riemanna funkcji f na przedziale [a, b]. Przykład 1. f (x) = x na odcinku [1, 2] π = {x0 , . . . , xn } dowolny podział. mj = f (xj−1 ) = xj−1 , Mj = xj n n P P s(f , π) = xj−1 (xj − xj−1 ), S(f , π) = xj (xj − xj−1 ) j=1 j=1 1 1 (xj + xj−1 ) + (xj − xj−1 ) 2 2 R 2 < S(f , π) ≤ 32 + 21 δ(π) skąd 1 f = 32 R2 − 12 δ(π) ≤ s(f , π) < 32 skąd 1 f = 23 . xj = 3 2 3 2 Przykład 1. f (x) = x na odcinku [1, 2] π = {x0 , . . . , xn } dowolny podział. mj = f (xj−1 ) = xj−1 , Mj = xj n n P P s(f , π) = xj−1 (xj − xj−1 ), S(f , π) = xj (xj − xj−1 ) j=1 j=1 1 1 (xj + xj−1 ) + (xj − xj−1 ) 2 2 R 2 < S(f , π) ≤ 32 + 21 δ(π) skąd 1 f = 32 R2 − 12 δ(π) ≤ s(f , π) < 32 skąd 1 f = 23 . xj = 3 2 3 2 Wniosek: Funkcja f (x) = x jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [1, 2] oraz Z 2 3 f = 2 1 Przykład 2. Funkcja Dirichleta na przedziale [a, b] f (x) = 1, gdy x ∈ Q ∩ [a, b]; 0, gdy x ∈ [a, b] \ Q. π = {x0 , . . . , xn } dowolny podział przedziału [a, b]. mj = 0, Mj = 1 n n P P 0 · (xj − xj−1 ) = 0, S(f , π) = 1 · (xj − xj−1 ) = b − a s(f , π) = j=1 R2 1 R2 1 f =b−a f = 0. j=1 Przykład 2. Funkcja Dirichleta na przedziale [a, b] f (x) = 1, gdy x ∈ Q ∩ [a, b]; 0, gdy x ∈ [a, b] \ Q. π = {x0 , . . . , xn } dowolny podział przedziału [a, b]. mj = 0, Mj = 1 n n P P 0 · (xj − xj−1 ) = 0, S(f , π) = 1 · (xj − xj−1 ) = b − a s(f , π) = j=1 R2 1 R2 1 j=1 f =b−a f = 0. Wniosek: Funkcja Dirichleta nie jest całkowalna w sensie Riemanna na żadnym przedziale. Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne c.d. f : [a, b] → R ograniczona; π = {x0 , . . . , xn } ∈ P; Dla 1 ≤ i ≤ n niech ξi ∈ [xi−1 , xi ] dowolny punkt; ξπ = {ξ1 , . . . ξn } Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne c.d. f : [a, b] → R ograniczona; π = {x0 , . . . , xn } ∈ P; Dla 1 ≤ i ≤ n niech ξi ∈ [xi−1 , xi ] dowolny punkt; ξπ = {ξ1 , . . . ξn } Definicja Sumą całkową Riemanna funkcji f względem podziału π i wyboru punktów ξπ nazywamy wyrażenie σ(f , π, ξπ ) := n X i=1 f (ξi )∆xi . Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne c.d. estimated area = 5.7591 actual area = 5.7506 1.5 1.0 0.5 1 2 3 4 5 Rysunek: Suma całkową Riemanna funkcji ln(x + 1) na przedziale [0, 5]: 10 π1 = i 21 i =1 ξπ 1 = xi−1 + xi 2 10 i=1 Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne c.d. estimated area = 5.7515 actual area = 5.7506 1.5 1.0 0.5 1 2 3 4 5 Rysunek: Suma całkową Riemanna funkcji ln(x + 1) na przedziale [0, 5]: 30 π2 = i 61 i =1 ξπ 2 = xi−1 + xi 2 30 i=1 Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne c.d. Twierdzenie (Darboux–Riemanna) Ograniczona funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica lim σ(f , π, ξπ ). Wówczas również δ(π)→0 Z b f = lim σ(f , π, ξπ ). a δ(π)→0 Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne c.d. Twierdzenie (Darboux–Riemanna) Ograniczona funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica lim σ(f , π, ξπ ). Wówczas również δ(π)→0 Z b f = lim σ(f , π, ξπ ). a δ(π)→0 Uwaga: Powiemy, że L = lim σ(f , π, ξπ ), jeżeli dla dowolnej liczby δ(π)→0 ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że nierówność |σ(f , π, ξπ ) − L| < ε jest spełniona dla każdego układu liczb ξπ , jeśli tylko δ(π) < δ. Przykład f (x) = x 2 na przedziale [a, b], 0 < a < b πn = a, aq, aq 2 , . . . , aq n = b ; ∆xj = a(b/a) j −1 n q= p n b/a → 1, gdy n → ∞; (q − 1) ≤ a ba (q − 1) = b(q − 1) → 0, gdy n → ∞ Wybieramy ξj := aq j , 0 ≤ j ≤ n − 1 (lewe końce przedziałów); Przykład f (x) = x 2 na przedziale [a, b], 0 < a < b πn = a, aq, aq 2 , . . . , aq n = b ; ∆xj = a(b/a) j −1 n q= p n b/a → 1, gdy n → ∞; (q − 1) ≤ a ba (q − 1) = b(q − 1) → 0, gdy n → ∞ Wybieramy ξj := aq j , 0 ≤ j ≤ n − 1 (lewe końce przedziałów); Przykład f (x) = x 2 na przedziale [a, b], 0 < a < b πn = a, aq, aq 2 , . . . , aq n = b ; ∆xj = a(b/a) j −1 n q= p n b/a → 1, gdy n → ∞; (q − 1) ≤ a ba (q − 1) = b(q − 1) → 0, gdy n → ∞ Wybieramy ξj := aq j , 0 ≤ j ≤ n − 1 (lewe końce przedziałów); Przykład f (x) = x 2 na przedziale [a, b], 0 < a < b πn = a, aq, aq 2 , . . . , aq n = b ; ∆xj = a(b/a) j −1 n q= p n b/a → 1, gdy n → ∞; (q − 1) ≤ a ba (q − 1) = b(q − 1) → 0, gdy n → ∞ Wybieramy ξj := aq j , 0 ≤ j ≤ n − 1 (lewe końce przedziałów); σn : = σ(f , π, ξπ ) = n−1 n X X (aq j )2 (aq j+1 − aq j ) = a3 (q − 1) (q 3 )j−1 j=0 3n = a3 (q − 1) j=1 3 q −1 (b/a) − 1 q−1 = a3 (q − 1) = (b 3 − a3 ) 3 q3 − 1 q3 − 1 q −1 Przykład f (x) = x 2 na przedziale [a, b], 0 < a < b πn = a, aq, aq 2 , . . . , aq n = b ; ∆xj = a(b/a) j −1 n q= p n b/a → 1, gdy n → ∞; (q − 1) ≤ a ba (q − 1) = b(q − 1) → 0, gdy n → ∞ Wybieramy ξj := aq j , 0 ≤ j ≤ n − 1 (lewe końce przedziałów); σn : = σ(f , π, ξπ ) = n−1 n X X (aq j )2 (aq j+1 − aq j ) = a3 (q − 1) (q 3 )j−1 j=0 j=1 3n = a3 (q − 1) Z a 3 q −1 (b/a) − 1 q−1 = a3 (q − 1) = (b 3 − a3 ) 3 q3 − 1 q3 − 1 q −1 b x 2 dx = lim σn = (b 3 − a3 ) lim n→∞ q→1 q−1 1 = (b 3 − a3 ) q3 − 1 3 Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne Twierdzenie Funkcja ograniczona f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje podział π ∈ P taki, że S(f , π) − s(f , π) < ε. Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne: dowód (⇒) Założenia: Funkcja f jest całkowalna; ε > 0. Rb Rb 1 s(f , π1 ) ≤ a f ≤ a f ≤ S(f , π2 ) dla dowolnych podziałów π1 , π2 ; Rb Rb 2 f − s(f , π1 ) < 2ε oraz S(f , π2 ) − a f < 2ε dla pewnych a podziałów π1 , π2 ; 3 4 S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε; Niech π = π1 ∪ π2 będzie wspólnym podpodziałem podziałów π1 i π2 . Wówczas s(f , π1 ) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ S(f , π2 ) 5 S(f , π) − s(f , π) ≤ S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne: dowód (⇒) Założenia: Funkcja f jest całkowalna; ε > 0. Rb Rb 1 s(f , π1 ) ≤ a f ≤ a f ≤ S(f , π2 ) dla dowolnych podziałów π1 , π2 ; Rb Rb 2 f − s(f , π1 ) < 2ε oraz S(f , π2 ) − a f < 2ε dla pewnych a podziałów π1 , π2 ; 3 4 S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε; Niech π = π1 ∪ π2 będzie wspólnym podpodziałem podziałów π1 i π2 . Wówczas s(f , π1 ) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ S(f , π2 ) 5 S(f , π) − s(f , π) ≤ S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne: dowód (⇒) Założenia: Funkcja f jest całkowalna; ε > 0. Rb Rb 1 s(f , π1 ) ≤ a f ≤ a f ≤ S(f , π2 ) dla dowolnych podziałów π1 , π2 ; Rb Rb 2 f − s(f , π1 ) < 2ε oraz S(f , π2 ) − a f < 2ε dla pewnych a podziałów π1 , π2 ; 3 4 S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε; Niech π = π1 ∪ π2 będzie wspólnym podpodziałem podziałów π1 i π2 . Wówczas s(f , π1 ) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ S(f , π2 ) 5 S(f , π) − s(f , π) ≤ S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne: dowód (⇒) Założenia: Funkcja f jest całkowalna; ε > 0. Rb Rb 1 s(f , π1 ) ≤ a f ≤ a f ≤ S(f , π2 ) dla dowolnych podziałów π1 , π2 ; Rb Rb 2 f − s(f , π1 ) < 2ε oraz S(f , π2 ) − a f < 2ε dla pewnych a podziałów π1 , π2 ; 3 4 S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε; Niech π = π1 ∪ π2 będzie wspólnym podpodziałem podziałów π1 i π2 . Wówczas s(f , π1 ) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ S(f , π2 ) 5 S(f , π) − s(f , π) ≤ S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne: dowód (⇒) Założenia: Funkcja f jest całkowalna; ε > 0. Rb Rb 1 s(f , π1 ) ≤ a f ≤ a f ≤ S(f , π2 ) dla dowolnych podziałów π1 , π2 ; Rb Rb 2 f − s(f , π1 ) < 2ε oraz S(f , π2 ) − a f < 2ε dla pewnych a podziałów π1 , π2 ; 3 4 S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε; Niech π = π1 ∪ π2 będzie wspólnym podpodziałem podziałów π1 i π2 . Wówczas s(f , π1 ) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ S(f , π2 ) 5 S(f , π) − s(f , π) ≤ S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne: dowód (⇐) Założenia: Niech ε > 0 oraz π niech będzie takim podziałem, że S(f , π) − s(f , π) < ε. 1 Zachodzi nierówność: b Z s(f , π) ≤ f ≤ S(f , π) a 2 b Z f ≤ a Zatem Z b Z f − a b f <ε a Całkowalność w sensie Riemanna Warunki konieczne i dostateczne: dowód (⇐) Założenia: Niech ε > 0 oraz π niech będzie takim podziałem, że S(f , π) − s(f , π) < ε. 1 Zachodzi nierówność: b Z s(f , π) ≤ f ≤ S(f , π) a 2 b Z f ≤ a Zatem Z b Z f − a b f <ε a Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych Twierdzenie Funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna. Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych Twierdzenie Funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna. Dowód. Załóżmy, że f jest niemalejąca; ε > 0; π = {x0 , . . . xn } podział o średnicy δ(π) < δ := mj (f , π) = f (xj−1 ) Mj (f , π) = f (xj ), dla j = 1, 2, . . . , n; ε f (b)−f (a) Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych Twierdzenie Funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna. Dowód. Załóżmy, że f jest niemalejąca; ε > 0; π = {x0 , . . . xn } podział o średnicy δ(π) < δ := mj (f , π) = f (xj−1 ) Mj (f , π) = f (xj ), dla j = 1, 2, . . . , n; ε f (b)−f (a) Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych Twierdzenie Funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna. Dowód. Załóżmy, że f jest niemalejąca; ε > 0; π = {x0 , . . . xn } podział o średnicy δ(π) < δ := mj (f , π) = f (xj−1 ) Mj (f , π) = f (xj ), dla j = 1, 2, . . . , n; ε f (b)−f (a) Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych Twierdzenie Funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna. Dowód. Załóżmy, że f jest niemalejąca; ε > 0; π = {x0 , . . . xn } podział o średnicy δ(π) < δ := mj (f , π) = f (xj−1 ) Mj (f , π) = f (xj ), dla j = 1, 2, . . . , n; ε f (b)−f (a) Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych Twierdzenie Funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna. Dowód. Załóżmy, że f jest niemalejąca; ε > 0; π = {x0 , . . . xn } podział o średnicy δ(π) < δ := ε f (b)−f (a) mj (f , π) = f (xj−1 ) Mj (f , π) = f (xj ), dla j = 1, 2, . . . , n; S(f , π)−s(f , π) = n X j=1 (Mj −mj )∆xj < δ n X j=1 (f (xj )−f (xj−1 )) = δ(f (b)−f (a)) = ε Całkowalność w sensie Riemanna Funkcje monotoniczne są całkowalne w sensie Riemanna Mi =f Hxi L mi =f Hxi-1 L a xi-1 xi b Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych Twierdzenie Jeśli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą, to 1 jest ona całkowalna w sensie Riemanna 2 dla dowolnej liczby ε > 0, istnieje δ > 0 taka, że Z b f<ε σ(f , π, ξπ ) − a dla dowolnego podziału π o średnicy mniejszej niż δ i dowolnego układu ξπ . Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b] ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b] z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) < ε b−a π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny wybór punktów mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są osiągane na mocy tw. Weierstrassa. Mi − mi < ε b−a S(f , π) − s(f , π) = n X (Mi − mi )∆xi < n=1 n ε X ∆xi = ε b − a n=1 b Z s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π) oraz s(f , π) ≤ f ≤ S(f , π) a Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b] ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b] z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) < ε b−a π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny wybór punktów mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są osiągane na mocy tw. Weierstrassa. Mi − mi < ε b−a S(f , π) − s(f , π) = n X (Mi − mi )∆xi < n=1 n ε X ∆xi = ε b − a n=1 b Z s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π) oraz s(f , π) ≤ f ≤ S(f , π) a Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b] ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b] z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) < ε b−a π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny wybór punktów mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są osiągane na mocy tw. Weierstrassa. Mi − mi < ε b−a S(f , π) − s(f , π) = n X (Mi − mi )∆xi < n=1 n ε X ∆xi = ε b − a n=1 b Z s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π) oraz s(f , π) ≤ f ≤ S(f , π) a Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b] ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b] z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) < ε b−a π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny wybór punktów mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są osiągane na mocy tw. Weierstrassa. Mi − mi < ε b−a S(f , π) − s(f , π) = n X (Mi − mi )∆xi < n=1 n ε X ∆xi = ε b − a n=1 b Z s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π) oraz s(f , π) ≤ f ≤ S(f , π) a Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b] ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b] z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) < ε b−a π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny wybór punktów mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są osiągane na mocy tw. Weierstrassa. Mi − mi < ε b−a S(f , π) − s(f , π) = n X (Mi − mi )∆xi < n=1 n ε X ∆xi = ε b − a n=1 b Z s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π) oraz s(f , π) ≤ f ≤ S(f , π) a Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b] ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b] z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) < ε b−a π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny wybór punktów mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są osiągane na mocy tw. Weierstrassa. Mi − mi < ε b−a S(f , π) − s(f , π) = n X (Mi − mi )∆xi < n=1 n ε X ∆xi = ε b − a n=1 b Z s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π) oraz s(f , π) ≤ f ≤ S(f , π) a Całkowalność w sensie Riemanna Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b] ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b] z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) < ε b−a π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny wybór punktów mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są osiągane na mocy tw. Weierstrassa. Mi − mi < ε b−a S(f , π) − s(f , π) = n X (Mi − mi )∆xi < n=1 n ε X ∆xi = ε b − a n=1 b Z s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π) oraz s(f , π) ≤ f ≤ S(f , π) a Całkowalność w sensie Riemanna Funkcje ciągłe są całkowalne w sensie Riemanna 1 Π Rysunek: Funkcja jest znana” sin x x jest całkowalna na [0, π], ale dokładna jej wartość ”nie Całka Riemanna Własności Niech f , g będą całkowalne na przedziale [a, b], λ ∈ R. (1) Funkcje f + g i λf są całkowalna na [a, b] oraz zachodzą wzory Z b b Z (f + g ) = a Z f + a Z b b Z f a a (2) Jeśli f (x) ≤ g (x) dla x ∈ [a, b], to Z b Z f ≤ a g a (λf ) = λ b g a b Całka Riemanna Własności Niech f , g będą całkowalne na przedziale [a, b], λ ∈ R. (1) Funkcje f + g i λf są całkowalna na [a, b] oraz zachodzą wzory Z b b Z (f + g ) = a Z f + a Z b b Z f a a (2) Jeśli f (x) ≤ g (x) dla x ∈ [a, b], to Z b Z f ≤ a g a (λf ) = λ b g a b Całka Riemanna Własności c.d. (3) Niech c ∈ [a, b]. Funkcja f jest całkowalna na [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna na [a, c] i [c, b] oraz Z b Z f = a c Z f + a b f. c (4) Jeśli f jest całkowalna na [a, b], to również |f | i zachodzi wzór Z b Z b |f | . f≤ a a Całka Riemanna Własności c.d. (3) Niech c ∈ [a, b]. Funkcja f jest całkowalna na [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna na [a, c] i [c, b] oraz Z b Z f = a c Z f + a b f. c (4) Jeśli f jest całkowalna na [a, b], to również |f | i zachodzi wzór Z b Z b |f | . f≤ a a Całka Riemanna Twierdzenie o wartości średniej Twierdzenie Jeśli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą, to istnieje punkt ξ ∈ [a, b] taki, że 1 f (ξ) = b−a Z b f a Całka Riemanna Twierdzenie o wartości średniej 1 1 Rysunek: f (x) = x na [0, 1] Całka Riemanna Twierdzenie o wartości średniej 1 1 2 0 Ξ= 1 1 2 Rysunek: f (x) = x na [0, 1]. Wartość średnia 1 2 osiągana w ξ = 1 2 Całka Riemanna Twierdzenie o wartości średniej 1 1 Rysunek: Założenia o ciągłości nie można pominąć w twierdzeniu o wartości średniej Całka Riemanna Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego Notacja Przyjmujemy: Z a Z b f := − b f a jeśli a < b oraz Z a f := 0. a Całka Riemanna Funkcja górnej granicy całkowania Definicja Niech f : [a, b] → R będzie funkcją całkowalną na przedziale [a, b] oraz a ≤ c ≤ b. Funkcję F : [a, b] → R zdefiniowaną wzorem Z x F (x) := f (t) dt c nazywamy funkcją górnej granicy całkowania. Całka Riemanna Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego Twierdzenie Niech f : [a, b] → R będzie funkcją całkowalną i niech RF : [a, b] → R x będzie jej funkcją górnej granicy całkowania: F (x) := c f (a ≤ c ≤ b). Wówczas 1 F jest ciągła jednostajnie (więcej: spełnia warunek Lipschitza); 2 Jeśli f : [a, b] → R jest ciągła w punkcie x0 ∈ (a, b), to F jest w x0 różniczkowalna oraz F 0 (x0 ) = f (x0 ). Całka Riemanna Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego Twierdzenie Niech f : [a, b] → R będzie funkcją całkowalną i niech RF : [a, b] → R x będzie jej funkcją górnej granicy całkowania: F (x) := c f (a ≤ c ≤ b). Wówczas 1 F jest ciągła jednostajnie (więcej: spełnia warunek Lipschitza); 2 Jeśli f : [a, b] → R jest ciągła w punkcie x0 ∈ (a, b), to F jest w x0 różniczkowalna oraz F 0 (x0 ) = f (x0 ). Całka Riemanna Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego: dowód 1 Ciągłość jednostajna: ε > 0 Funkcja f jest ograniczona (jest całkowalna): istnieje M > 0 że |f (x)| ≤ M dla x ∈ [a, b]. Zatem Z x Z y Z x Z x f ≤ |f | ≤ M |x − y | |F (x) − F (y )| = f − f = c c y y dla ciągłości jednostajnej wystarczy przyjąć δ := ε/M. Całka Riemanna Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego: dowód 1 Różniczkowalność: Niech ε > 0. Zakładamy, że f jest ciągła w x0 : ∃ δ 0 > 0 ∀h ∈ R |h| < δ 0 =⇒ |f (x0 + h) − f (x0 )| < ε Mamy wykazać, że ∃δ > 0∀h ∈ R F (x0 + h) − F (x0 ) − f (x0 ) < ε 0 < |h| < δ =⇒ h Przyjmijmy δ := δ 0 . Całka Riemanna Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego: dowód 1 Różniczkowalność: Niech ε > 0. Zakładamy, że f jest ciągła w x0 : ∃ δ 0 > 0 ∀h ∈ R |h| < δ 0 =⇒ |f (x0 + h) − f (x0 )| < ε Mamy wykazać, że ∃δ > 0∀h ∈ R F (x0 + h) − F (x0 ) 0 < |h| < δ =⇒ − f (x0 ) < ε h Przyjmijmy δ := δ 0 . x +h x +h Z0 Z0 Zx0 1 1 1 = f − f − f (x ) f − f (x ) 0 0 h h h c c x0 x +h xZ0 +h Z0 xZ0 +h 1 1 1 = f − f (x0 ) = (f (t) − f (x0 )) dt h h h x0 ≤ 1 |h| x0 xZ0 +h |f (t) − f (x0 )| dt < ε x0 x0 Całka Riemanna Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego Wniosek Jeśli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą, to posiada ona pierwotną Z x F (x) = f (t) dt c Całka Riemanna Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego Wniosek (Wzór Newtona-Leibniza) Niech ϕ : [a, b] → R będzie dowolną funkcją pierwotną ciągłej funkcji f : [a, b] → R. Wówczas Z b f = ϕ(b) − ϕ(a) a istnieje C ∈ R taka, że ϕ(x) = F (x) + C = Rb ϕ(b) = a f (t) dt + C . Ile wynosi C ? Ra ϕ(a) = a f (t) dt + C = C , czyli C = ϕ(a). Rx a f (t) dt + C ; Całka Riemanna Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego Wniosek (Wzór Newtona-Leibniza) Niech ϕ : [a, b] → R będzie dowolną funkcją pierwotną ciągłej funkcji f : [a, b] → R. Wówczas Z b f = ϕ(b) − ϕ(a) a istnieje C ∈ R taka, że ϕ(x) = F (x) + C = Rb ϕ(b) = a f (t) dt + C . Ile wynosi C ? Ra ϕ(a) = a f (t) dt + C = C , czyli C = ϕ(a). Rx a f (t) dt + C ; Całka Riemanna Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego Wniosek (Wzór Newtona-Leibniza) Niech ϕ : [a, b] → R będzie dowolną funkcją pierwotną ciągłej funkcji f : [a, b] → R. Wówczas Z b f = ϕ(b) − ϕ(a) a istnieje C ∈ R taka, że ϕ(x) = F (x) + C = Rb ϕ(b) = a f (t) dt + C . Ile wynosi C ? Ra ϕ(a) = a f (t) dt + C = C , czyli C = ϕ(a). Rx a f (t) dt + C ; Całka Riemanna Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego Przykład 1 Z 0 1 dx +1 x2 Całka Riemanna Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego Przykład 1 Z 0 1 dx +1 x2 = arc tg(1) − arc tg(0) = π 4 Całka Riemanna Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego Przykład 2 Obliczyć lim n→∞ 1 1 1 + + ... + n+1 n+2 n+n Rozwiązanie: ! 1 1 + + ... + 1 1 + nn 1 + n2 n Z 1 n 1X 1 dx = lim = = ln 2 − ln 1 = ln 2 k n→∞ n 1 +x 1 + 0 n k=1 1 lim an = lim n→∞ n→∞ n 1 1+ Całka Riemanna Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego Przykład 2 Obliczyć lim n→∞ 1 1 1 + + ... + n+1 n+2 n+n Rozwiązanie: ! 1 1 + + ... + 1 1 + nn 1 + n2 n Z 1 n 1X 1 dx = lim = = ln 2 − ln 1 = ln 2 k n→∞ n 1 +x 1 + 0 n k=1 1 lim an = lim n→∞ n→∞ n 1 1+ Całka Riemanna Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego Wniosek Jeśli f : [a, b] → R jest ciągła oraz α, β : [A, B] → [a, b] są różniczkowalne na (A, B), to funkcja ϕ : [A, B] → R zadana wzorem Z β(x) f ϕ(x) := α(x) jest różniczkowalna na (A, B) oraz ϕ0 (x) = f (β(x))β 0 (x) − f (α(x))α0 (x) Całka Riemanna Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego Wniosek Jeśli f : [a, b] → R jest ciągła oraz α, β : [A, B] → [a, b] są różniczkowalne na (A, B), to funkcja ϕ : [A, B] → R zadana wzorem Z β(x) f ϕ(x) := α(x) jest różniczkowalna na (A, B) oraz ϕ0 (x) = f (β(x))β 0 (x) − f (α(x))α0 (x) Rx Dowód. Niech F (x) = c f . Wówczas ϕ(x) = F ◦ β(x) − F ◦ α(x) Całka Riemanna Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego Przykład √ Z x t dt ϕ(x) = x2 √ 1 1 ϕ0 (x) = ( x) √ − (x 2 )2x = − 2x 3 2 2 x Całkowanie ciągu funkcyjnego Przykład Niech 2 fn (x) = nxe −nx , x ∈ [0, 1] Dla wszystkich x ∈ [0, 1] lim fn (x) = 0 n→∞ zatem Z 1 lim fn (x) dx = 0 0 n→∞ Ale Z lim n→∞ 1 fn (x) dx = lim 0 n→∞ 1 1 (1 − e −n ) = 2 2 Całkowanie ciągu funkcyjnego Przykład Niech 2 fn (x) = nxe −nx , x ∈ [0, 1] Dla wszystkich x ∈ [0, 1] lim fn (x) = 0 n→∞ zatem Z 1 lim fn (x) dx = 0 0 n→∞ Ale Z lim n→∞ 1 fn (x) dx = lim 0 n→∞ 1 1 (1 − e −n ) = 2 2 Całkowanie ciągu funkcyjnego Przykład Niech 2 fn (x) = nxe −nx , x ∈ [0, 1] Dla wszystkich x ∈ [0, 1] lim fn (x) = 0 n→∞ zatem Z 1 lim fn (x) dx = 0 0 n→∞ Ale Z lim n→∞ 1 fn (x) dx = lim 0 n→∞ 1 1 (1 − e −n ) = 2 2 Całkowanie ciągu funkcyjnego 1 Rysunek: Zbieżność punktowa ciągu fn (x) = nxe −nx 2 Całkowanie ciągu funkcyjnego Twierdzenie ∞ Niech (fn )n=1 będzie ciągiem funkcji całkowalnych na [a, b] zbieżnym jednostajnie na [a, b] do funkcji f . Wówczas funkcja f jest całkowalna na [a, b] oraz zachodzi równość Zb Zb lim fn = lim n→∞ fn n→∞ a a Więcej: Ciąg Z In (x) = x fn c jest zbieżny jednostajnie do I (x) = Rx c f na przedziale [a, b]. Całkowanie ciągu funkcyjnego Wniosek ∞ Niech (fn )n=1 będzie ciągiem funkcji całkowalnych na [a, b]. Jeżeli f (x) = ∞ X fn (x) n=1 przy czym zbieżność jest jednostajna na [a, b], to Zb b f = fn n=1 a a Więcej: Szereg ∞ Z X ∞ Z X n=1 c jest zbieżny jednostajnie do I (x) = Rx c x fn f na przedziale [a, b]. Całkowanie ciągu funkcyjnego Przykład Przykład Obliczyć sumę szeregu ∞ X (−1)n n=1 n2n P∞ Szereg geometryczny n=0 t n jest zbieżny jednostajnie w każdym 1 przedziale domkniętym zawartym w (−1, 1) do sumy 1−t . Z 0 ∞ x X t n dt = n=0 ∞ Z X 0 n=0 Z drugiej strony x Z 0 x t n dt = ∞ ∞ X X x n+1 xn = n + 1 n=1 n n=0 dt = − ln(1 − x) 1−t ∞ X xn n=1 n = − ln(1 − x) Całkowanie ciągu funkcyjnego Przykład Przykład Obliczyć sumę szeregu ∞ X (−1)n n=1 n2n P∞ Szereg geometryczny n=0 t n jest zbieżny jednostajnie w każdym 1 przedziale domkniętym zawartym w (−1, 1) do sumy 1−t . Z 0 ∞ x X t n dt = n=0 ∞ Z X 0 n=0 Z drugiej strony x Z 0 x t n dt = ∞ ∞ X X x n+1 xn = n + 1 n=1 n n=0 dt = − ln(1 − x) 1−t ∞ X xn n=1 n = − ln(1 − x) Całkowanie ciągu funkcyjnego Przykład Przykład Obliczyć sumę szeregu ∞ X (−1)n n=1 n2n P∞ Szereg geometryczny n=0 t n jest zbieżny jednostajnie w każdym 1 przedziale domkniętym zawartym w (−1, 1) do sumy 1−t . Z 0 ∞ x X t n dt = n=0 ∞ Z X 0 n=0 Z drugiej strony x Z 0 x t n dt = ∞ ∞ X X x n+1 xn = n + 1 n=1 n n=0 dt = − ln(1 − x) 1−t ∞ X xn n=1 n = − ln(1 − x) Całkowanie ciągu funkcyjnego Przykład Przykład Obliczyć sumę szeregu ∞ X (−1)n n=1 n2n P∞ Szereg geometryczny n=0 t n jest zbieżny jednostajnie w każdym 1 przedziale domkniętym zawartym w (−1, 1) do sumy 1−t . Z 0 ∞ x X t n dt = n=0 ∞ Z X 0 n=0 Z drugiej strony x Z 0 x t n dt = ∞ ∞ X X x n+1 xn = n + 1 n=1 n n=0 dt = − ln(1 − x) 1−t ∞ X xn n=1 n = − ln(1 − x) Całkowanie ciągu funkcyjnego Przykład Przykład Obliczyć sumę szeregu ∞ X (−1)n n=1 n2n P∞ Szereg geometryczny n=0 t n jest zbieżny jednostajnie w każdym 1 przedziale domkniętym zawartym w (−1, 1) do sumy 1−t . Z 0 ∞ x X t n dt = n=0 ∞ Z X 0 n=0 Z drugiej strony x Z 0 x t n dt = ∞ ∞ X X x n+1 xn = n + 1 n=1 n n=0 dt = − ln(1 − x) 1−t ∞ X xn n=1 n = − ln(1 − x)