9. Numeryczny model powierzchni terenowej

Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
9.
85
Numeryczny model powierzchni terenowej
Jednym z zagadnień SIP jest przedstawienie zjawisk o charakterze ciągłym jak np.
powierzchnia terenu. W ogólnym przypadku kiedy zjawisko możemy przedstawić funkcją
analityczną postaci:
z = f ( x, y)
zagadnienie nie stanowi żadnych trudności, ponieważ dzięki znanej funkcji w każdym
potrzebnym punkcie P(x,y) możemy określić wartość zjawiska. W sytuacji kiedy
modelowanych zjawisk (w szczególności powierzchni terenu) nie można określić funkcją
analityczną stosujemy inne rozwiązania, oparte na wartościach zjawiska zarejestrowanych w
wybranych punktach pomiarowych. Najczęściej stosowanymi metodami przestrzennej
reprezentacji powierzchni (zjawisk) są:
• reprezentacja elementami punktowymi, dla których określono wartość zjawiska
określono w regularnej siatce kwadratów (ang grid),
• reprezentacja elementami liniowymi, dla których wartość zjawiska jest określona i
niezmienna (izolinie),
• reprezentacja
w
postaci
elementów
powierzchniowych
będąca
siecią
nieregularnych trójkątów TIN (ang. triangular irregular network) opartych na
punktach pomiarowych.
Schematycznie wymienione metody reprezentacji powierzchni przedstawiono na rysunku 9.1.
237
237
238
239
243
242
241
240
236
236
235
234
232
233
235
233
232
236
231
231
230
229
228
227
226
226
Rys. 9.1. Metody reprezentacji zjawisk o charakterze ciągłym
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
86
W związku z dyskretną reprezentacją powierzchni, z każdą z wymienionych wyżej
metod muszą być związane odpowiednie algorytmy interpolacyjne umożliwiające określenie
wartości zjawiska w dowolnie wybranym punkcie.
W systemach informacji przestrzennej podstawowe znaczenia ma reprezentacja
powierzchni terenu i temu zagadnieniu poświęcimy dalsze rozważania.
Numeryczny Model Terenu definiuje się jako „numeryczną reprezentację powierzchni
terenowej, utworzonej poprzez zbiór odpowiednio wybranych punktów leżących na tej
powierzchni oraz algorytmów interpolacyjnych umożliwiających jej odtworzenie w
określonym obszarze” [Gaździcki 1990].
Idealne odtworzenie powierzchni terenu przez model nie jest możliwe, ponieważ ze
względów ekonomicznych, czasowych i wielkości zbiorów danych, nie da się pomierzyć ani
wyrazić całej złożoności powierzchni terenu. Podstawowymi problemami związanymi z
numerycznym modelem terenu są:
•
problem odpowiedniego doboru charakterystycznych punktów powierzchni (ang.
sampling problem) w celu uzyskania jak najlepszego efektu przy minimalizacji ilości
danych,
•
problem odtworzenia (przedstawienia) powierzchni na podstawie istniejących danych
(ang. representation problem).
9.1.
Rodzaje modeli DTM
W praktyce podstawowe znaczenie mają dwa modele: regularny w postaci siatki
kwadratów uzupełnione charakterystycznymi punktami i liniami szkieletowymi oraz w
postaci nieregularnej siatki trójkątów (TIN). Każdy z wymienionych modeli posiada swoje
zalety i wady, które przesądzają o ich zastosowaniach. Istotą TIN jest np. przechowywanie
oryginalnych danych pomiarowych podczas gdy w modelu grid wysokości w punktach
węzłowych przeważnie są już interpolowane.
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
87
9.1.1. Model w postaci siatki kwadratów
Model oparty jest na siatce kwadratów, której punkty węzłowe posiadają określone
wysokości powierzchni terenowej
zij .
z
Pij
zij
i
x
j
P’ij
y
Rys. 9.2. Ilustracja modelu w postaci siatki kwadratów
Wysokości z ij węzłów przechowywane w strukturze macierzy gdzie i j określają wiersz i
kolumnę macierzy. Znając interwał siatki ds , położenie jej punktu początkowego X o Yo
możemy zawsze dla każdego węzła i j określić współrzędne terenowe X Y .
X = X o + i * ds
Y = Yo + j * ds
Struktura taka jest wyjątkowo łatwa do przetwarzania, zabiera bardzo mało pamięci, a
algorytmy używane do modelowania terenu są stosunkowo proste. Im gęstsza siatka zostanie
zastosowana tym otrzymany model będzie dokładniejszy. Zwiększając gęstość siatki
prowadzi jednak do sytuacji, że jest ona również zwiększana w miejscach o małym
urozmaiceniu terenu, powodując tym samym znaczny wzrost nic nie wnoszących danych.
Rozwiązaniem jest uzupełnienie struktury o punkty charakterystyczne i linie szkieletowe lub
zastosowanie siatki o strukturze hierarchicznej dostosowującej gęstość do stopnia
skomplikowania rzeźby.
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
88
Wysokości w punktach węzłowych mogą pochodzić bezpośrednio z pomiaru (bezpośredniego
lub fotogrametrycznego) lub być wyznaczane z innych modeli powierzchni terenowych.
Mając model w postaci regularnej siatki kwadratów możemy interpolować wysokości w
punktach pośrednich. Wykorzystuje się do tego celu aproksymację powierzchni terenowej w
obrębie każdego kwadratu paraboloidą hiperboliczną
z = auv uv + au + av v + a
gdzie u i v są współrzędnymi układu powstałego przez równoległe przesuniecie układu x,y do
węzła i, j siatki. Wyznaczenie wysokości punktu P paraboloidy hiperbolicznej w obszarze
kwadratu może być wykonane wzorem interpolacyjnym, mającym postać ogólnej średniej
arytmetycznej:
zp =
gdzie
z i , j wi , j + z i +1, j wi +1, j + z i , j +1 wi , j +1 + zi +1, j +1 wi +1, j +1
wi , j + wi +1, j + wi , j +1 + wi +1, j +1
zi , j , z i +1, j , z i , j +1 , z i +1, j +1 są
wysokościami
w
punktach
węzłowych
a
wagi
wi , j , wi +1, j , wi , j +1 , wi +1, j +1 są polami przeciwległych prostokątów, powstających przez
podział kwadratu liniami równoległymi do boków kwadratu i przechodzących przez rzut P’
punktu P na płaszczyźnie x,y.
u
x
ds
i+1,j+1
i+1,j
wi,j+1
up
wi,j
P’
ds
wi+1,j
wi+1,j+1
v
i,j
vp
i,j+1
y
Rys. 9.3. Ilustracja interpolacji wysokości w siatce kwadratów
Cechą charakterystyczną paraboloidy hiperbolicznej jest to, że przecinając ją płaszczyznami
pionowymi u=const, lub v=const otrzymuje się linie proste.
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
89
9.1.2. Model w postaci nieregularnej sieci trójkątów
Nieregularna sieć trójkątów powstaje głownie jako efekt bezpośrednich pomiarów
terenowych, gdzie cały zakres opracowania zapełnia się trójkątami opartymi o punkty
pomiarowe.
Ponieważ
w
tych
modelach
wykorzystywane
są
wszystkie
punkty
charakterystyczne model jest stosunkowo dokładny.
Do tworzenia siatki trójkątów najczęściej wykorzystywana jest triangulacja Delaunay’a.
Trójkąty tworzone są w ten sposób aby żaden z punktów nie należących do niego nie był
położony wewnątrz okręgu opisanego na trójkącie. Ilustrację zasady przedstawiono na
poniższym rysunku.
Rys. 9.4. Ilustracja triangulacji Delaunay’a
Na kolejnym rysunku przedstawiono konstrukcję diagramu (poligonu, obszaru) Voronoi,
bezpośrednio związaną z triangulacją Delaunay’a. Obszar Voronoi stanowi zbiór wszystkich
punktów płaszczyzny, dla których odległość do punktu centralnego jest mniejsza od
odległości do pozostałych punktów. Jak widać ograniczenia tego obszaru stanowią odcinki
symetralnych do boków triangulacji Delaunay’a.
Rys. 9.5. Ilustracja diagramu Voroni
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
90
Nazwa diagramu pochodzi od nazwiska matematyka M. G. Voronoi, który opublikował pracę
w 1908 roku. Czasami używa się również innych terminów:
¾ Tesselacja Dirichleta od nazwiska matematyka G. L. Dirichleta (1850)
¾ Obszar Thiessena : od klimatologa Thiessena (A. J. Thiessen, J. C. Alter – 1911)
¾ Celki Wignera-Seitza (E. Wigner, F. Seitz – 1933)
¾ Transformacja Bluma (H. Blum –1967).
Zagadnienie tworzenia nieregularnej siatki trójkątów było przedmiotem licznych badań, w
wyniku których opublikowano szereg algorytmów konstrukcji triangulacji Delaunay’a:
¾ Radial sweep – A. Mirante, N. Weingarten 1982
¾ Recursive split – B. A. Lewis, J. S. Robinson 1978
¾ Divide and conquer – D. T. Lee, B. J. Schachter 1980
¾ Step by step – opublikowany m.in. przez M. J. McCullagh, C. G. Ross 1980
¾ Hierarchical – L. De Floriani, B. Falcidieno, C. Pienovi, 1985
¾ Incremental – opublikowany m.in. przez D. T. Lee, B. J. Schachter 1980
¾ Incremental delete and build – D. F. Watson 1980
Poniżej omówiono algorytm krok po kroku -„step by step”. Polega on na konstrukcji
triangulacji od jednego z narożników obszaru, utworzenia początkowego boku i
poszukiwaniu trzeciego punktu trójkąta. Następnie nowe dwa boki traktowane są jako boki
„początkowe”. W ten sposób dodaje się kolejne punkty, aż do włączenia do triangulacji
wszystkich punktów. Oto kolejne etapy:
1. Wybiera się pierwszy bok, w ten sposób, aby żaden punkt nie znalazł się we wnętrzu
okręgu, którego średnicą jest dany bok. Można to osiągnąć wybierając dwa najbliższe
punkty w danym miejscu. Jeśli to możliwe początkowy bok powinien znajdować się
najbliżej jednej z granic obszaru.
2. Poszukuje się następnego punktu. W kole, które przechodzi przez końce odcinka
początkowego i trzeci punkt nie powinien się znaleźć żaden inny punkt. Cel ten osiąga
się poprzez obliczanie odpowiednich kątów α. Jako punkt tworzący trójkąt wybiera
się ten dla którego kąt α jest największy.
3. Odcinki łączące wybrany punkt i końce odcinka początkowego stanowią drugi i trzeci
bok trójkąta.
4. Nowe boki zostają bokami początkowymi do poszukiwania następnych punktów.
Powtarzanie operacji spowoduje zabudowę trójkątami całego obszaru opracowania.
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
91
α
α
α
α
Rys. 9.6. Zasada algorytmu step by step
Niekiedy przy konstruowaniu triangulacji można znaleźć dwa lub więcej punktów, dla
których kąty są jednakowe. Wówczas przez cztery punkty przechodzi jeden okrąg (np. cztery
punkty tworzące prostokąt). Należy wybrać jeden z wariantów analizując dodatkowe
informacje.
Algorytm tworzenia nieregularnej siatki trójkątów musi mieć możliwość zmiany boków
trójkątów na podstawie znajomości spadków ze szkiców polowych oraz musi z założenia
prowadzić boki wzdłuż linii szkieletowych grzbietowych i ściekowych. Dane wygenerowane
w procesie triangulacji należy przechowywać w strukturach zapewniających szybki i
wygodny dostęp. Jednym z wariantów jest zapis danych w postaci trzech tablic:
¾ punktów ze współrzędnymi X,Y,H,
¾ boków ze wskaźnikami do punktów i przyległych trójkątów,
¾ trójkątów ze wskaźnikami do boków.
F
8
T4
4
B
9
E
T2
7
5
T3
3
2
T1
6
C
1
D
A
PUNKT
X
Y
H
BOK
∆1
∆2
Pkt1
Pkt2
∆
Bok1
Bok2
Bok3
A
.
.
.
1
T1
0
A
C
T1
1
2
3
B
.
.
.
2
T1
0
A
B
T2
3
4
5
C
.
.
.
3
T1
T2
B
C
T3
5
6
7
D
.
.
.
4
T2
T4
B
E
T4
4
8
9
E
.
.
.
5
T2
T3
C
E
F
.
.
.
6
T3
0
C
D
7
T3
0
D
E
8
T4
0
B
F
9
T4
0
E
F
Rys. 9.7. Przykład zapisu danych
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
92
Mając model w postaci nieregularnej siatki trójkątów możemy interpolować wysokość punktu
P powierzchni terenowej, którego rzut P’ na płaszczyznę poziomą leży w trójkącie A’B’C’.
x
B’
wC
P’
wB
A’
wA
C’
y
Rys. 9.8. Ilustracja wyznaczania wysokości punktu w nieregularnej siatce trojkątów
Aproksymując powierzchnię terenową płaszczyzną przechodzącą przez punkty ABC
otrzymujemy wzór interpolacyjny w postaci:
zp =
z A wA + z B wB + z C wC
wA + wB + wC
gdzie z A , z B , z C , są wysokościami w punktach A B C a wagi wA , wB , wC są polami
przeciwległych trójkątów, powstających przez podział trójkąta A’B’C’ odcinkami łączącymi
wierzchołki tego trójkąta z punktem P’.
9.2.
Tworzenie numerycznego modelu terenu
Dane do stworzenia numerycznego modelu terenu uzyskiwane są przede wszystkim z
trzech źródeł:
¾ pomiarów bezpośrednich,
¾ pomiary fotogrametryczne,
¾ digitalizacji istniejących map.
Niekiedy wykorzystuje się również altimetrię radarową lub laserową, dla modeli
geologicznych wiercenia lub pomiary sejsmiczne.
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
93
9.2.1. Bezpośrednie pomiary terenowe
Pomiary bezpośrednie charakteryzują się wysoką dokładnością, a punkty wysokościowe
(pikiety) w łatwy sposób są wprowadzane do systemów informatycznych. Pomiary te są
jednak pracochłonne i kosztowne. Na ich podstawie otrzymuje się model nieregularny. Przy
pozyskiwaniu punktów należy zwracać uwagę na to, by dobrze charakteryzowały
powierzchnię terenu. Ilustrację przedstawiono na poniższym rysunku.
Rys. 9.9. Ilustracja wyboru punktów charakterystycznych
Punkty z lewej strony rysunku leżą na środku pochyłości lub na płaszczyzny, mogą
zostać zatem pominięte bez straty informacji o powierzchni terenu. Punkty położone po
stronie prawej leżą na szczycie wzniesienia, na punkcie przegięcia (zmiana spadku) i w
najniższym punkcie terenu. Punktów tych nie można pominąć bez utraty dokładności.
Na szkicach pomiarowych terenowych należy koniecznie zaznaczać również wszystkie
linie
nieciągłości
(brzegi
skarp,
urwiska),
jak
i
przebieg
linii
szkieletowych.
Nieuwzględnienie przebiegu tych linii może prowadzić do powstania dużych błędów.
Rys. 9.10. Ilustracja istotności linii strukturalnych
Na rysunku lewym brak jest informacji o przebiegu linii szkieletowych. Obliczenie
wysokości jako średniej arytmetycznej daje wysokość równą 10.5m. Na rysunku środkowym
znane jest położenie linii ściekowej (wysokość w zaznaczonym punkcie wynosi 10m), na
rysunku prawym znane jest położenie linii grzbietowej (wysokość 11m).
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
94
9.2.2. Pomiary fotogrametryczne
Za pomocą instrumentów fotogrametrycznych lub zaawansowanych programów
komputerowych możliwe jest automatyczne pozyskiwanie wysokości na zbudowanym
modelu. Najczęściej wysokości są pozyskiwane na siatce prostokątów lub kwadratów.
Ponieważ w ten sposób pozyskiwane wysokości nie oddają w pełni złożoności form
terenowych można zastosować automatyczne zagęszczanie siatki przy dużych zmianach
wysokości. Przy interwencji operatora możliwe jest pozyskiwanie linii strukturalnych.
Rysunki poniższe pokazują techniki zbierania wysokości.
Rys. 9.11. Przykłady rejestracji danych na instrumentach fotogrametrycznych
Próbkowanie regularne: Może być wykonywane jako profile lub w siatce kwadratów (grid).
Zaletą jest możliwość całkowitego zautomatyzowania pozyskiwania wysokości. Wadami jest
ograniczenie do terenów o małych zmianach wysokości. Liczba pozyskanych punktów jest
nieadekwatna do terenu: na terenach płaskich zbyt duża i za mała na terenach pofałdowanych.
Metoda generuje zbyt dużą liczbę punktów, ponieważ gęstość siatki musi być mała, by
uniknąć dużych błędów.
Próbkowanie progresywne: Przy pozyskiwaniu wysokości dokonywana jest analiza i w
zależności od zmian wysokości gęstość próbkowania ulega zmianie. Zaletą jest operowanie
na mniejszej liczbie punktów przy wyższej dokładności.
Próbkowanie selektywne. Pozyskuje się dodatkowo linie strukturalne. W połączeniu z
próbkowaniem progresywnym nosi nazwę próbkowania kompozytowego. Zaletą jest wyraźne
poprawienie modelu terenu. Niedogodność stanowi konieczność interwencji operatora, tak
więc metoda jest jedynie częściowo automatyczna.
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
9.3.
95
Typowe zadania NMT
W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być
wykorzystany numerycznego modelu terenu.
9.3.1. Wyznaczanie wysokości
Wyznaczanie wysokości jest elementarnym zadaniem numerycznego modelu terenu.
Sposób wyznaczania zależy od zastosowanego modelu i wykonywane jest najczęściej
metodami interpolacyjnymi. Podstawowe algorytmy wyznaczania wysokości przedstawiono
przy omawianiu poszczególnych modeli.
9.3.2. Obliczanie objętości i bilansowanie robót ziemnych
Istotą zadania jest obliczenie objętości bryły o określonym kształcie w płaszczyźnie
XY i ograniczonej powierzchnią terenu z jednej strony oraz:
¾ płaszczyzną poziomą,
¾ płaszczyzną dowolnie zdefiniowaną,
¾ inną powierzchnią terenu (innym modelem terenu),
z drugiej strony.
Rys. 9.12. Ilustracja różnych wariantów obliczania objętości
Na kolejnym rysunku zaznaczono dwoma kolorami przebieg terenu w stosunku do
płaszczyzny odniesienia (kolor żółty – teren pod płaszczyzną), a także podano jaki musi być
poziom płaszczyzny, by suma mas ziemnych bilansowała się w obszarze obliczeń).
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
96
Rys. 9.13. Ilustracja różnych wariantów obliczania objętości
9.3.3. Przekroje terenowe
Przekrój terenowy stanowi linię przecięcia terenu z płaszczyzną pionową. W terminologii
geodezyjnej używa się również pojęcia profili podłużnych i poprzecznych. W odróżnieniu od
profili, na przekroju powinny znaleźć się również przecięcia z innymi obiektami terenowymi;
w szczególności z uzbrojeniem terenowym. Przekrój może być dowolnie łamany i składać się
z wielu punktów. Na rysunku kolorami wyróżniono różne przewody podziemne.
Rys. 9.14. Przekrój pionowy
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
97
9.3.4. Sprawdzanie widoczności
Zadanie polega na udzieleniu odpowiedzi czy miedzy dwoma punktami istnieje
widoczność. W stosunku do przekroju różnica polega na tym, że odległość pomiędzy
punktami końcowymi może być bardzo duża i należy uwzględniać zakrzywienie powierzchni
Ziemi i refrakcję. Sprawdzanie widoczności może obejmować również sprawdzanie zasięgu
fal elektromagnetycznych np. w telefonii komórkowej wykorzystując wzory Freneta.
9.3.5. Wyznaczanie maksymalnych spadków i ich azymutów
Spadek (nachylenie) jest wektorem, tak więc posiada kierunek i długość. Obliczenie
maksymalnego spadku można obliczać na podstawie pochodnych cząstkowych lub na
podstawie znanego wektora normalnego. Wielkość spadku wyrazić można w procentach lub
w mierze kątowej.
N[x,y,h]
N
E
A
Rys. 9.15. Obliczanie spadków
Spadek na podstawie pochodnych cząstkowych w procentach wyraża się wzorem:
2
gdzie ∆H X
2
 ∆H Y 
 ∆H X 
+
s = 100 


 ∆Y 
 ∆X 
i ∆H Y oznaczają różnicę wysokości na odległościach ∆X i ∆Y odpowiednio. W
przypadku znajomości wektora normalnego N[x,y,h] wzór jest następujący:
tg( s ) =
h
x2 + y2
Obliczone maksymalne spadki można również przedstawić graficznie w postaci map
izolinii jednakowego spadku.
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
98
Azymut maksymalnego spadku w układzie współrzędnych geodezyjnych oblicza się z
wzoru:
 ∆H Y

tg( A) =  ∆Y
 ∆H X

 ∆X






lub z wektora normalnego N[x,y,h]:
tg( A) =
y
x
W przypadku pionowego wektora normalnego azymut jest nieokreślony.
9.3.6. Wizualizacja 3D
Przedstawienie terenu może być różne w zależności od potrzeb użytkownika. Poniżej
przedstawiono widok z góry na ten same obszary w zależności od położenia źródła światła.
Na rysunkach kolorowych dodano zmianę koloru terenu w zależności od wysokości.
Rys. 9.16. Przykłady wizualizacji
Rysunki trójwymiarowe mogą być przedstawiane w rzutach aksonometrycznym lub
perspektywicznym.
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
99
Rys. 9.17. Przykłady wizualizacji w rzucie aksonometrycznym w postaci linii równoległych
Rys. 9.18. Przykłady wizualizacji w rzucie aksonometrycznym z uwzględnieniem sytuacji powierzchniowej
9.3.7. Wyznaczanie obszarów zalewowych
Wyznaczenie obszaru zalewowego w najprostszym rozumieniu polega na znalezieniu
obszaru wewnątrz którego wysokość jest mniejsza od zadanej. Na rysunku przedstawiono
efekt wystąpienia wody z rzeki.
Rys. 9.19. Ilustracja obszaru zalewowego
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza
100
9.3.8. Tworzenie warstwic
Warstwice są najczęściej spotykanym modelem terenu na mapach. Obecnie przy
stosowaniu numerycznego modelu terenu ich znaczenie maleje. Warstwica stanowi linię
charakteryzującą się stałą wysokością. Warstwice można tworzyć zarówno na podstawie
modelu siatki kwadratów jak i nieregularnej siatki trójkątów. W pierwszym przypadku mogą
wystąpić pewne niejednoznaczności w ich przebiegu jak przedstawiono to na rysunku.
10
11
11
10
10
11
11
10
11
10
11
10
Rys. 9.20. Ilustracja możliwych niejednoznaczności przebiegu warstwic w siatce regularnej
W nieregularnym modelu powierzchniowym opartym o triangulację Delaunay’a taki
przypadek nie powinien zaistnieć (istnieją wątpliwości tylko wtedy, gdy teren jest idealnie
płaski o wysokości równej rzędnej warstwicy). W pozostałych przypadkach punkty warstwic
wyznacza się na bokach trójkątów stosując interpolację liniową, zakładając poprawnie
wykonane pomiary terenowe. Wyznaczone warstwice powstałe przez połączenie tych
punktów nie przecinają się ze sobą.
12,4
10,2
13,8
Rys. 9.21. Ilustracja interpolacji warstwic w siatce trójkątnej
Pomiędzy punktami pochodzącymi z interpolacji dokonuje się wygładzania przebiegu
warstwic nadając im płynny przebieg bez gwałtownych zmian ich kształtu. Przy wygładzaniu
używa się następujących metod: sześciennych funkcji sklejanych, sześciennych krzywych
Beziera lub sześciennych krzywych Hermite’a.