P O B I E R Z

Przykładowe zadania-pytania na Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki
Na egzaminie będzie 10 takich zadań -pytań.
W kaŜdym przypadku odpowiedź naleŜy krótko uzasadnić (np. podać wykorzystane wzory
lub twierdzenia). Jeśli uzyskanie odpowiedzi wymaga obliczeń, to zapisujemy formułę z której
korzystamy, podstawienie do niej danych i wynik ostateczny (bez szczegółów i obliczeń pośrednich
typu: sprowadzanie do wspólnego mianownika czy skracanie ułamka)
1. Dane są dwa wykluczające się zdarzenia B i C=Ω-B. Jeśli P(A|B)=0.5 i P(A|C)=0.25 oraz P(B)=0.4, to
ile jest równe P(A)? Czy B i C są wykluczając się?
2. Wiemy, Ŝe P(A|B) = 0.28 i P(B) = 0.14 oraz P(A)=0.1. Czy zdarzenia A i B są niezaleŜne?
3. Wiemy, Ŝe P(A|B) = 0.28 i P(B) = 0.14. Jeśli zdarzenia A i B są niezaleŜne, to ile wynosi P(A)?
4. Wiemy, Ŝe P(A|B) = 0.5 i P(B) = 0.4. Ile wynosi prawdopodobieństwo, Ŝe zdarzenia A i B zrealizują
się jednocześnie?
5. Napisz, które z podanych równości
mogą być
prawdziwe:
P(A)+P(B)=1/4,P(A)-P(B)= -1/4, P(A|B)>P(A), P(A|B)=P(A), (itp.)
P(A)=2/3,
P(A)=3/2,
6. Przy jakich załoŜeniach podany niŜej wzór jest prawdziwy ? Podaj jego nazwę.
P(A) = P(A|B1) · P(B1) + P(A|B2) · P(B2) + ... + P(A|Bn) · P(Bn)
7. RozwaŜmy standardową talię 52 kart do gry. Które ze zdarzeń "wylosowano pika" "wylosowano kartę
koloru czarnego" oraz "wylosowano króla" są niezaleŜne?
8. Funkcja F jest dystrybuantą zmiennej losowej X. Wymień warunki które musi spełniać funkcja F.
Wyraź za pomocą dystrybuanty F prawdopodobieństwo: P(X e (a, d)) = ….
9. Funkcja F(x) = x 1[0,1](x)+A1[1,∞)(x) jest dystrybuantą. Jaką wartość ma parametr A?
10. Funkcja f jest gęstością zmiennej losowej X. Podaj P(Xe[0,2]) jeśli f (x) = B x 1[0,10](x). (uznaj Ŝe stała
B jest znana)
11. Funkcja f jest gęstością zmiennej losowej X. Podaj wartość stałej A jeśli f (x) = A ex 1[0,2](x).
12. Funkcja f jest gęstością zmiennej losowej X. Podaj wartości dystrybuanty tej zmiennej losowej w
punkach -3,0, 3 jeśli f (x) = A x2 1[-1,1](x)
13. Funkcja f jest gęstością zmiennej losowej X. Podaj wartości prawdopodobieństwa P(X<0) oraz
P(X<-2) jeśli f (x) = A x2 1[-1,1](x) (A uznaj za znana liczbę)
14. Funkcja f jest gęstością zmiennej losowej X. Sprawdź, czy punkt 1 jest medianą tego rozkładu jeśli
ଵ
f (x) = ଷ x2 1[-1,2](x)
15. Zmienna losowa Y ma rozkład, w którym wartości P(Y= -1)=P(Y=2)=0.25, P(Y=-3)=0.2, P(Y=4)=0.3.
Wylicz jej odchylenie standardowe.
16. Zmienna losowa Y ma rozkład, w którym wartości P(Y= -1)=P(Y=2)=0.25, P(Y=-3)=0.2, P(Y=4)=0.3.
Naszkicuj wykres dystrybuanty zmiennej Y oraz oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe przyjmie ona wartość
z przedziału [0,7].
17. Wektor (X,Y) ma rozkład w którym wartości (2,3), (3,2), (1,1), (2,1), (3,1) oraz (1,2) przyjmowane są z
jednakowym prawdopodobieństwem. Oblicz E(X).
18. Wektor (X,Y) ma rozkład w którym wartości (2,3), (3,2), (1,1), (2,1), (3,1) oraz (1,2) przyjmowane są z
jednakowym prawdopodobieństwem. Zapisz tabelkę przedstawiającą rozkład łączny tego wektora.
Czy zmienne losowe X iY są niezaleŜne ? Uzasadnij.
19. Scharakteryzuj zjawiska rzeczywiste, które mają rozkład podobny do rozkładu wykładniczego. Podaj
przykłady takich zjawisk. (zamiast rozkładu wykładniczego na egzaminie moŜe być inny spośród
omawianych na wykładzie rozkładów)
20. Liczba punktów zdobytych z egzaminu (LP) jest zmienną losową z wartością oczekiwaną 55 i
odchyleniem standardowym 10. Korzystając z twierdzenia Czebyszewa, podaj górne ograniczenie na
prawdopodobieństwo P(|LP-55|≥30).
21. Liczba kolizji (LK) rejestrowanych w ciągu tygodnia w pewnym mieście ma rozkład Poissona z
parametrem 25. Opierając się na twierdzeniu Czebyszewa znajdź górne ograniczenie na
prawdopodobieństwo P(|LK - E(LK)|≥20) (zamiast rozkładu Poissona na egzaminie moŜe być inny
spośród omawianych na wykładzie rozkładów)
22. Wielkość zuŜycia benzyny przez pewien typ silnika w ciągu godziny pracy jest zmienną losową o
wartości oczekiwanej 15 i wariancji 16. Jakie jest odchylenie standardowe średniego zuŜycia paliwa
obliczonego dla dziesięciu takich silników?
23. Czas obsługi petenta przez urzędnika ma rozkład wykładniczy z parametrem 1/10. Niech T oznacza
średnią arytmetyczną z czasów obsługi 25 petentów. Jakie jest odchylenie standardowe zmiennej T?
24. Wielkość dziennego zuŜycia węgla (ZW) w osiedlowej ciepłowni jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym z wartością oczekiwaną
4.5 i odchyleniem standardowym 1.3. Jakie jest
prawdopodobieństwo, Ŝe w kolejnym dniu ZW przekroczy 6? Wyraź to prawdopodobieństwo za
pomocą dystrybuanty Φ rozkładu N(0,1)
25. Podczas badania jakości procesorów okazało się, Ŝe na 1000 sprawdzonych 30 miało usterki. Na tej
podstawie oceniono, Ŝe 3% wszystkich procesorów ma wady. Jaki jest błąd standardowy tej oceny?
26. Za pomocą testu statystycznego opartego na obserwacji wytrzymałości elementów
naleŜy
rozstrzygnąć czy moŜna je wykorzystać na budowie mostu. Czy zdanie "elementy konstrukcyjne
nadają się do budowy mostu" powinno być hipotezą zerową czy alternatywną? Uzasadnij.
27. Przeprowadzono test dla sprawdzenia poprawności hipotezy zerowej mówiącej, Ŝe EY=11.
Alternatywą było zdanie EY > 11. Obliczona wartość statystyki testowej wyniosła t=2,167. Jaką
decyzję naleŜy podjąć jeŜeli W=[3, ∞) jest zbiorem krytycznym w tym teście a 0.05 jest jego
poziomem istotności? Co wiesz o szansach popełnienia błędu przy tej decyzji.
28. Na podstawie 15 obserwacji przeprowadzono test dla sprawdzenia poprawności hipotezy zerowej
mówiącej, Ŝe EY=11. Alternatywą było zdanie EY > 11. Obliczona wartość statystyki testowej
Studenta wyniosła t=2,167. Jaką decyzje naleŜy podjąć na poziomie istotności 0.05, jeŜeli zbiór
krytyczny jest postaci podanej na wykładzie?
29. Na podstawie 45 obserwacji przeprowadzamy test dla sprawdzenia poprawności hipotezy zerowej
mówiącej, Ŝe EY=11. Alternatywą było zdanie EY > 11. Jaka jest statystyka testowa w tym problemie?
Jaki ma ona rozkład?
30. Jeśli
Xx
Y jest średnią z 12 obserwacji o rozkładzie normalnym, to jaki rozkład ma poniŜsza statystyka.
W jakich problemach statystycznych jest ona wykorzystywana? t =
Y − E (Y )
n −1
S
31. Wymień własności średniej arytmetycznej jako estymatora wartości oczekiwanej badanej cechy.
32. Wyjaśnij co oznacza nieobciąŜoność estymatora? (na egzaminie moŜe być inna własność spośród
omawianych na wykładzie np. zgodność, efektywność etc.)
33. W jakich problemach omawianych na wykładzie spotykamy się z terminem "współczynnik ufności".
Co on oznacza i jakie zwykle wartości przyjmuje? (na egzaminie moŜe być inny termin np." zbiór
krytyczny" lub "poziom istotności")
34. Dla próby (1,-1,-2,3,4,2,-3,0) oblicz wartość wariancji próbkowej? (na egzaminie zamiast "wariancji
próbkowej" moŜe być inna statystyka spośród tych które były omawiane na wykładzie)
Regulamin egzaminu
1. Na egzaminie obowiązuje znajomość oznaczeń i symboli z wykładu nie są one wyjaśniane na egzaminie.
2. Na
egzaminie
obowiązuje
parametryzacja
rozkładów
prawdopodobieństwa podana na wykładzie (i podana w udostępnionym
pliku rozkłady.pdf).
3. MoŜna korzystać z
a. kalkulatora
b. kartki formatu A4 wypełnionej wzorami bez opisów (jakiekolwiek
wyrazy dyskwalifikują taką pomoc i skutkują oceną ndst.)
c. tablic statystycznych (mogą być ich ksera)
d. wydrukowanych
wykładowcę
wzorów
z
plików
udostępnionych
przez
e. swoich notatek lub ksiąŜek (tylko przez pięć minut w momencie
wskazanym przez egzaminatora będzie moŜna je czytać - w tym
czasie wszyscy muszą odłoŜyć wszelkie narzędzia do pisania)
4. Nie moŜna korzystać z notatek skserowanych.
5. Nie moŜna korzystać z tych urządzeń, które umoŜliwiają czytanie plików
PDF (tablety, smartfony etc)
6. Egzamin naleŜy pisać na kartkach formatu A3, które składamy na pół.
7. Praca ma być napisana czysto i czytelnie. Na kartce z rozwiązaniami nie
kreślimy. Praca napisana nieczytelnie skutkuje oceną ndst.
8. W kaŜdym przypadku odpowiedź ma być zwięzła i na temat.
9. Wzory i podstawienia do wzoru zapisujemy w pracy egzaminacyjnej.
DłuŜsze obliczenia, próby odpowiedzi i własne rozmyślania zapisujemy w
brudnopisie, którego nie oddajemy.