Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana – teoria

Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana – teoria
Definicja 1: Jeżeli wektor (X, Y ) ma rozkład dyskretny i P(Y = y) > 0, to rozkład warunkowy zmiennej
losowej X pod warunkiem, że Y = y określamy wzorem
P(X ∈ A, Y = y)
.
P(Y = y)
P(X ∈ A|Y = y) =
(1)
Definicja 2: Jeżeli wektor (X, Y ) ma rozkład ciągły z gęstością f (x, y), to P(Y = y) = 0 i wzór (??) nie
jest możliwy do zastosowania. Wówczas gęstością rozkładu warunkowego X pod warunkiem Y = y nazywamy
funkcję określoną dla x ∈ R wzorem
 f (x,y)
 fY (y) , o ile fY (y) > 0,
fX|Y (x|y) =

g(x),
w p.p.
gdzie fY (y) =
R∞
f (x, y)dx jest gęstością rozkładu brzegowego Y , a g dowolną ustaloną gęstością.
−∞
Definicja 3: Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej X pod warunkiem Y = y nazywamy
• w przypadku dyskretnym
E(X|Y = y) =
X
xj · P(X = xj |Y = y),
j
• w przypadku ciągłym
Z∞
x · fX|Y (x|y)dx.
E(X|Y = y) =
−∞
Twierdzenie 1: Jeżeli E|X| < ∞, to E(X|Y = y) istnieje.
Definicja 4: Warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zmiennej losowej Y (ozn.
E(X|Y )) definiujemy wzorem
E(X|Y ) = m(Y ),
gdzie m(y) = E(X|Y = y).
Uwaga 1: Jeżeli oznaczymy P(A|Y = y) = h(y), to
df
P(A|Y ) = h(Y ).
Twierdzenie 2: Niech (X, Y, Z) będzie wektorem losowym. Załóżmy, że wartości oczekiwane EX i EY istnieją.
Wtedy
1. Jeżeli X ≥ 0, to E(X|Z) ≥ 0.
2. |E(X|Z)| ≤ E(|X||Z).
3. Dla a, b ∈ R istnieje warunkowa wartość oczekiwana aX + bY i
E((aX + bY )|Z) = aE(X|Z) + bE(Y |Z).
4. Dla dowolnego zdarzenia A jest E(11A |Z) = P(A|Z).
Twierdzenie 3: Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym i niech EX istnieje. Wtedy
1. E(E(X|Y )) = EX.
2. Gdy X, Y są niezależne, to E(X|Y ) = EX.
3. Gdy h(Y ) jest ograniczoną zmienną losową, to
E(h(Y )X|Y ) = h(Y )E(X|Y ).