1 - Ath

Zmienne losowe
Definicja zmiennej losowej.
Niech E będzie zbiorem zdarzeń
elementarnych.
Zmienną losową nazywamy funkcję X(e)
przyporządkowującą każdemu zdarzeniu
elementarnemu eE jedną i tylko jedną
liczbę X(e) = x
z określonym
prawdopodobieństwem.
Zmienna losowa
Rzucamy monetą. Mamy dwa zdarzenia
elementarne: wypadnie orzeł lub reszka.
Definiujemy zmienną losową:
X(orzeł) = 1 X(reszka) = 0
Prawdopodobieństwo pojawienia się orła lub reszki
wynosi ½
P(X=1)=P(orzeł)=1/2
P(X=0)=P(reszka)=1/2
Prawdopodobieństwo
Dla każdej zmiennej losowej możliwe jest
określenie prawdopodobieństwa, że przyjmuje ona
wartość należącą do dowolnego zbioru jej wartości.
Sposób rozdysponowania prawdopodobieństwa
(równego 1) pomiędzy wartości jakie przyjmuje
dana zmienna losowa określamy rozkładem
prawdopodobieństwa zmiennej losowej lub
rozkładem zmiennej losowej.
Funkcją prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości
xi, i=1,, ..., jest
P (X = xi) = pi
gdzie
n
gdy zmienna losowa X przyjmuje
i
skończoną liczbę n wartości
p
1
i 1

p
i 1
i
1
gdy zmienna losowa X przyjmuje
nieskończoną liczbę wartości
Przykład 1.
1.
Rzucamy kostką do gry. Zbiór zdarzeń
elementarnych { 1, 2, …, 6}.
X(ei) = i
Zbiór zdarzeń elementarnych jest ograniczony i
przeliczalny.
Przykład 2
Doświadczenie polega na rzucaniu kostką do gry,
tak długo aż pojawi się szóstka.
Zdarzenia elementarne związane z tym
doświadczeniem można uporządkować następująco.
wyrzucenie szóstki w pierwszym rzucie,
wyrzucenie szóstki w drugim rzucie,
wyrzucenie szóstki w trzecim rzucie,
itd.
Zbiór zdarzeń elementarnych jest nieskończony lecz
przeliczalny.
Przykład 3
3. Badaną cechą jest waga dziecka zaraz po
urodzeniu. Zdarzeniem elementarnym jest zatem
urodzenie dziecka o określonej wadze. Może to być
dowolna liczba rzeczywista z określonego
przedziału.
Zbiór zdarzeń jest nieskończony i nieprzeliczalny.
losowa X jest typu skokowego jeśli
może przyjmować skończoną lub nieskończoną, ale
przeliczalną liczbę wartości.
 Zmienna losowa X jest typu ciągłego jeśli jej
możliwe wartości należą do przedziału ze zbioru
liczb rzeczywistych.
 Zmienna
Dystrybuantą zmiennej losowej X
nazywamy funkcję F(x) określoną na zbiorze liczb
rzeczywistych:
F(x) = P(X  x)
Dystrybuanta zmiennej losowej X
skokowej
która przyjmuje wartości x1, ..., xn, z
prawdopodobieństwami p1, ..., pn ma postać:
F( x ) 
p
xi x
i
  x  
Własności dystrybuanty zmiennej
losowej skokowej


0  F(x)  1
lim F(x)  0
x  
 F(x)
lim F(x)  1
x  
jest funkcją niemalejącą i
przedziałami stałą
 F(x) jest funkcją prawostronnie ciągłą.
Dystrybuanta zmiennej losowej
dyskretnej
Dystrybuanta
empiryczna
jest
funkcją
niemalejącą, przyjmującą wartości z przedziału
[0, 1].
Przykład
Do tarczy oddaje się 3 strzały – w sposób
niezależny. Prawdopodobieństwo trafienia w tarczę
wynosi 1/2 dla każdego strzału.
Niech zmienna losowa X oznacza liczbę trafień w
tarczę.
Określić przestrzeń zdarzeń elementarnych.
Wyznaczyć dystrybuantę oraz funkcję
prawdopodobieństwa dla badanej zmiennej losowej.
Rozwiązanie
Oznaczmy T – trafienie C – chybienie.
Zbiór zdarzeń elementarnych jest następujący
{CCC, CCT, CTC, TCC, CTT, TCT, TTC, TTT}
czyli 8 elementowy
c.d.
X przyjmuje wartości 0, 1, 2, 3.
(x1 = 0 x2 = 1 x3 = 2, x4 = 3)
 P(X=0) =p1= 1/8
 P(X=1)= p2=
3/8
 P(X=2)= p3= 3/8
 P(X=3)= p4= 1/8
Prawdopodobieństwo
CCC, CCT, CTC, TCC, CTT, TCT, TTC, TTT
xi
0
1
2
3
pi
1/8
3/8
3/8
1/8
Dystrybuanta
 F(x)
= 0 dla x < 0
 F(x)=1/8 dla 0  x <1
 F(x) = 1/8+3/8 = 4/8 dla 1  x <2
 F(x) = 1/8+3/8+3/8 = 7/8 dla 2  x <3
 F(x) = 1/8+3/8+3/8+1/8 = 1 dla x  3
0x
0
1 / 8
0  x 1

F( x )  1 / 2 1  x  2
7 / 8 2  x  3

1
x3
 Jeśli
znana jest dystrybuanta można wyznaczyć
prawdopodobieństwo zdarzenia, że zmienna losowa
X przyjmuje wartości z przedziału (a, b] tzn.
a < X  b.
P(a < X  b ) = P(X  b) – P(X  a) = F(b) –F(a)
Dla naszego przykładu:
P( 1< X  2) = F(2) - F(1) = 7/8 - 1/2 = 3/8
Przykład.
W dużej aglomeracji miejskiej statystyki
odnotowały w ciągu ostatnich 300 dni następujące
dane dotyczące wypadków drogowych:
Liczba wypadków
0
Liczba dni
45
1
75
2
120
3
45
4
15
Określ i przedstaw w formie tabelarycznej i
graficznej rozkład prawdopodobieństwa i
dystrybuantę wypadków drogowych w tym
mieście.
Dystrybuanta
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w dowolnie
wybranym dniu zdarzą się mniej niż 3 wypadki
drogowe.
P(X < 3) = P(X  2) = F(2) = 0,80
 Jakie
jest prawdopodobieństwo tego, że w dowolnie
wybranym dniu zdarzy się co najmniej jeden
wypadek drogowy?
P(X  1) = 1 – P( X  0) = 1-F(0) = 1 – 0,15 = 0,85
Funkcja gęstości rozkładu
prawdopodobieństwa a funkcja
prawdopodobieństwa
 Ze
wzrostem liczby pomiarów częstość dąży do
prawdopodobieństwa. Jeśli równocześnie
zwiększamy liczbę przedziałów, histogram dąży do
wykresu tzw. funkcji gęstości rozkładu
prawdopodobieństwa.
 Funkcja gęstości rozkładu wyznaczana jest tylko dla
zmiennej losowej ciągłej. Dla zmiennej skokowej
wyznaczana jest funkcja prawdopodobieństwa
zmiennej losowej.
Funkcja gęstości – właściwości
 Funkcja gęstości
rozkładu prawdopodobieństwa
pozwala obliczać prawdopodobieństwo znalezienia
zmiennej losowej w dowolnym przedziale.
b
Pa  X  b    f x dx
a
Funkcja gęstości
f(x)
b
 f ( x)dx
a
a
b
x
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
zmiennej losowej ciągłej
funkcja f(x) określona na zbiorze liczb
rzeczywistych, o następujących własnościach:
1. f(x)  0
b
2.
 f (x)dx  P(a  X  b)
a
dla dowolnych a<b
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Własności:

f
(
x
)
dx

P
(


X


)

1


Dystrybuanta zmiennej losowej
ciągłej
Jeśli f(x) jest funkcją gęstości zmiennej losowej X
to dystrybuanta F(x) jest równa
x
F( x ) 

f ( t )dt

Wykres dystrybuanty
Własności
P(a  X  b)  P(a  X  b) 
P(a  X  b)  P(a  X  b)
b
P(a  X  b)  F (b)  F (a)   f ( x)dx
a
Wyznaczanie prawdopodobieństwa z
dystrybuanty
P(a < X  b ) = P(X  b) – P(X  a) =
F(b) – F(a)
Własności
dF ( x)
f ( x) 
 F ' ( x)
dx
Mając dystrybuantę można wyznaczyć
funkcję gęstości, i na odwrót.
Wartość oczekiwana (wartość
przeciętna, nadzieja matematyczna)

 xi pi
 i
E( X )   
 xf ( x)dx

 
Dla zmiennej losowej
skokowej
Dla zmiennej losowej
ciągłej
Przykład
Rzucamy jedną kostką do gry. Liczba wyrzuconych oczek
X jest zmienną losową o wartościach 1,2,3,4,5,6 i ma
rozkład jednostajny P(X=i)=1/6.
Zatem E(X)= (1+2+...6)/6 = 3.5
Przykład.
xi
0
1
2
3
pi
1/8
3/8
3/8
1/8
 E(X)+0*1/8 +
1*3/8 + 2*3/8 + 3*1/8 = 12/8 =1,5
 Oznacza to, że przeciętna liczba trafień do tarczy
wynosi 1,5.
Wariancja
 [ xi  E ( X )] 2 pi
 i

2
2
D ( X )  E[ X  E ( X )]   
 [ x  E ( X )] 2 f ( x)dx

Wyznacz wartość oczekiwana i
wariancję badanej zmiennej losowej
( z przykładu)
(xi-E(X))2 Pi*(xi-E(X))2
xi
pi
xipi
0
0,15
0,15
0
0,43
1
0,25
0,40
0,25
0,12
2
0,40
0,80
0,8
0,04
3
0,15
0,95
0,45
0,25
4
0,05
1
0,2
0,26
Suma
E(X)=1,7
D2(X)=1,11
Kwantyle
Np. kwantyl 0,5 zwany medianą jest wartością zmiennej
losowej, taką, że wartości mniejsze lub większe od niej
występują z prawdopodobieństwem 0,5.
 Kwantyle 0, 1...0, 9 noszą nazwę decyli.

Kwartyle
Kwartyle dzielą zbiór wartości zmiennej losowej
ciągłej na ćwiartki po 25% ogółu elementów.
Przykład.
Dana jest funkcja opisana w następujący sposób
2x  2
f (x)  
 0
dla
1 x  2
dlapozostaychx
Sprawdź, czy funkcja ta jest funkcją gęstości
prawdopodobieństwa. Jeśli tak, wyznacz jej
dystrybuantę.
Rozwiązanie
 Aby
sprawdzić, czy jest to funkcja gęstości
sprawdzamy warunki:
1. f (x)  0
2.

 f (x)dx  P(  X  )  1

Warunek 1 – z wykresu
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Warunek 2
 2  2

 x
2
(2x  2)dx  2   x |1  
2

1



1


2



1
2 2    (2  1)
2


3 
 2  1  1
2 
Dystrybuanta
Dla x<1
x
F( x ) 
Dla 1 x <2
 0dx  0

x
F( x ) 

x
1
f ( t )dt 

2
x
x  2x |1 


2

0dx  (2x  2)dx 
x  2x  1
1
cd.
Dla x  2
1
2
x

1
2
F( x )   0dx   (2x  2x )dx   0dx  1
Wykres dystrybuanty
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Przykład
 Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X dana jest wzorem:
f(x) = 1/3
dla 1 < x <4
 f(x) = 0
dla pozostałych x.
 Oblicz

P(0 < X 3)
Rozwiązanie.
Obliczamy dystrybuantę
1.
2.
Dla x < 1
F(x) = 0
Dla 1  x < 4
x
F( x ) 

1
1
1
f ( t )dt 
dt  x 
3
3
3

3.
Dla x 4
x
F(x) = 1

1
Rozwiązanie.
x 1
0

1 x  4
1
1
F( x )   x 
3
3
x4

1

1
1
2
P(0  X  3)  F(3)  F(0)   3   0 
3
3
3
Przykład.
xi
0
1
2
3
pi
1/8
3/8
3/8
1/8
 E(X)+0*1/8 +
1*3/8 + 2*3/8 + 3*1/8 = 12/8 =1,5
 Oznacza to, że przeciętna liczba trafień do tarczy
wynosi 1,5.
Przykład dla zmiennej
losowej ciągłej

Funkcja gęstości dana jest wzorem
 0

f ( x )  1 / 5
 0


x0
0x5
Wyznacz wartość oczekiwaną
x5
Rozwiązanie

E (X) 

xf ( x )dx 

0



5

0
5

1
x  0  dx  x  dx 
5

x2 5
x  0  dx 
 2,5
10 0
Przykład

Zmienna losowa określona jest za pomocą dystrybuanty:
x0
 0 dla

F( x )  x / 2 dla 0  x  2
 1 dla
x2


Oblicz wariancję.
Obliczamy funkcję gęstości
x0
 0 dla

f ( x )  F' ( x )  1 / 2 dla 0  x  2
 0 dla
x2

Obliczamy wartość oczekiwaną

E( X) 

xf ( x )dx 

2

0
2
1
1x 2
xdx 
| 1
2
2 2 0
Obliczamy wariancję

D 2 (X) 

x  E(X)2 f ( x )dx 


2

0
2

1
1
2
( x  1)  dx  
( x  2x  1)dx 
2
2
2
0
 2 1
1  x 3 2x 2

 x

 0 3
2  3
2
