Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi
k1
m* E
Z1
E (m
m 1
r)
2
Wielkość K 1 interpretujemy jako umowna wpłatę, zastępującą w
równoważny sposób, w sensie kapitalizacji prostej , m wpłat w wysokości
E każda, dokonywanych w podokresach. Zastosowanie umownej wpłaty
K 1 ma tę zaletę że powoduje uzgodnienie wkładów. Są to wkłady
oszczędnościowe zgodne z dołu, o jednakowej wysokości k1 w liczbie n.
Przyszła (końcowa) wartość sumy takich wkładów, zgodnie ze wzorem
(106) przyjmie postać: Kn=E(m+((m+-1)/2)r)*(q^n -1)/q-1.
Przy czym „-” dotyczy wkładów z dołu, natomiast „+” wkładów z góry.
Wartość teraźniejszą (początkową) sumy wkładów, zgodnie ze wzorem
(107) przyjmie postać: K0=E(m+((m-1)/2)r)* 1/q^n * (q^n-1)/(q-1).
Zauważy, że wzór (111) możemy zapisać w postaci:
Kn = Em(1+((m+-1)/2m)r) )*(q^n -1)/q-1.
Czynnik (m+-1)/2m występujący w tym wzorze jest większy od 1.
Obrazuje on korzyści jakie dają mniejsze, ale częstsze wpłaty.
Dokonywanie jednorazowych wpłat w wysokości Me zgodnie z okresem
kapitalizacji zamiast m wpłat w wysokości E w podokresach kapitalizacji,
daje bowiem końcową wartość równą Em= (q^n -1)/q-1.
Zauważmy jeszcze, że m we wzorach (111) i (112) oznacza liczbę
wkładów. Liczba rzeczywistych wkładów jest równa nm. Oczywiście wzór
(111) ma pewną wadę. Pozwala bowiem wyznaczyć przyszłą wartość
wkładów oszczędnościowych w ilości będącej całkowita wielokrotnością
liczby m, a więc dla ilości wkładów 1m, 2m .. itd. Zatem nie jest to
rachunek szczegółowy.
Oprocentowanie wkładów oszczędnościowych z uwzględnieniem
inflacji.
Na zakończenie rozważań o wkładach oszczędnościowych rozpatrzymy co
oprocentowanie uwzględnia. Ceny towarów i usług rosną. Ponieważ nie
następuje równocześnie odpowiedni wzrost ich jakości, więc rodzi to
inflacje. Inflacja, czyli wzrost cen powoduje, że wartość realna pieniądza
rośnie wolniej niż wynikało by to z przyjętego modelu kapitalizacji.
Możemy zatem mówić o wartości nominalnej (bez uwzględnienia inflacji)
jak i o wartości realnej (z uwzględnieniem inflacji, w odniesieniu do
stałych cen ustalonego okresu) gromadzonych wkładów
oszczędnościowych. W dalszym ciągu zakładamy, że w ciągu gromadzenia
wkładów oszczędnościowych stopa procentowa r oraz stopa inflacji i są
stałe oraz, że okres stopy procentowej r pokrywa się z okresem stopy
inflacji i.
Oznaczamy q=1+r oraz p=1+i.
Jak wykazaliśmy wcześniej dla wkładów oszczędnościowych zgodnych o
stałej wartości nominalnej E przyszła wartość nominalna sumy n wkładów
wynosi:
qn
q
{
qn
Eq(
q
E
K nnom
1
dla _ wkłkład _ z _ dolu
1
1
)dla _ wkladow_ z _ gory
1
Wiadomo, że realna wartość sumy tych wkładów wyrażona w cenach z 1szego okresu wkładów jest mniejsza. Strumień realnej wartości wkładów
można przedstawić jak poniżej (no i tutaj mamy taka os czasoprzestrzenna  na górze czas na dole wkład z dołu/góry i analogicznie dla
1 mamy e/(e)/p dla 2 mamy e/p / e/p^2 itd.)
Dla wkładów z góry sumowania realnych wartości wkładów prowadza do
następującej wartości końcowej: Kn(re) = E((q^n – 1/p^n)/q-1/p).
A dla wkładów z góry mamy: Kn(re) = Eq(((q^n)-(1/p^n))/q-1/p).
Kt(re) = Kn(re)/q^(n-t)
Więc wartość teraźniejszą wkładów oszczędnościowych wyrażonych w
cenach dzisiejszych jest równa:
1
1
pn
E n
dla _ wkladow_ z _ dolu
1
q
q
p
{
1
qn
1
pn
E n1
dla _ wkladow_ z _ gory
1
q
q
p
qn
K 0re
Spłata Długów
Z Długiem ściśle związany jest okres spłaty długu lub krótko okres zwrotu.
Ze względu na okres zwrotu długów, długi dzieli się na: Krótkoterminowe
(gdy okres zwrotu określony jest poniżej jednego roku), średnio
terminowe(gdy okres długu określony jest od 1 roku do 5 lat) oraz
długoterminowe gdy okres zwrotu jest większy niż 5 lat. W przypadku
rozliczania długów krótkoterminowych stosuje się model kapitalizacji z
dołu prostej, a w przypadku rozliczania długów średnioterminowych i
długoterminowych stosuje się model kapitalizacji złożonej z dołu.
Podstawowymi formami długów są pożyczki i kredyty. Umowa o długo
dotyczy pożyczkobiorcy oraz wierzyciela- w przypadku pożyczki, w
przypadku kredytu dotyczy kredytobiorcy oraz wierzyciela. Między
pojęciami pożyczki i kredytu istnieje szereg różnic natury prawnej i
ekonomicznej. Wymienimy pewne z nich.
Stosunki prawne pomiędzy pożyczkobiorca oraz wierzycielem są
regulowane przez przepisy prawa cywilnego, natomiast stosunki prawne
między kredytobiorcą, a wierzycielem regulują przepisy prawa
bankowego.
Przedmiotem pożyczki mogą być środki pieniężne lub innej przedmioty
materialne, natomiast przedmiotem kredytu są tylko środki pieniężne w
postaci bezgotówkowego kredytu bankowego.
Przy zaciąganiu pożyczki cel nie musi być określony, natomiast cel kredytu
musi być ściśle określony i może być kontrolowany w czasie trwania
kredytu.
Pożyczka nie musi mieć formy pisemnej, natomiast kredyt musi posiadać
taka formę pisemną. Oczywiście różnice te nie są brane pod uwagę z
punktu widzenia matematyki finansowej i nie mają wpływu na obliczenia
związane ze spłatą długu.
Umowa o długo powinna określać jego wysokość, formę spłaty, termin
spłaty, wysokość stopy procentowej z okresem kapitalizacji, formę i
wysokość spłaconych odsetek (uwzględniających wysokość marży ) oraz
szereg innych. Zaciągnięty dług należy spłacić z należnymi odsetkami.
Spłata długo nazywa się także umarzaniem długu. Jedną z form spłaty
długu jest forma ratalna, której podstawę tworzą raty zwane płatnościami,
spłatami lub ratami łącznymi. Zakłada się, że spłatę długu dokonuje się
ratami w takich samych odstępach czasu zwanych okresami spłaty. Raty
wnoszone mogą być na początku lub na końcu okresu spłaty. W
pierwszym przypadku mówimy o spłacie długu z góry, natomiast z drugim
z dołu. Zauważmy, że spłatę długu góry możemy traktować jako spłatę z
dołu tyle że długu pomniejszonego o pierwszą ratę, w konsekwencji
ograniczymy rozważania do spłaty długu z dołu.
Przy rozliczeniach związanych z długiem należy uwzględnić 3 okresy stopy
procentowej, kapitalizacji i spłat. Jeżeli wszystkie te okresy są równe, to
mamy do czynienia ze spłatami zgodnymi, jednak gdy te okresy są
nierówne to mówimy o niezgodności. Podstawę spłaty długo stanowi
następująca zasada. Dług został spłacony wtedy i tylko wtedy gdy w
ustalonym momencie czasu aktualna wartość długu jest równa sumie
aktualnych wartości wszystkich spłat umarzających ten dług. Zasada ta
wymaga wprowadzenia aktualizacji kwot na wybrany moment czasowy.
Aktualizacji należy dokonywać w oparciu o różne modele. Jako regułę
przyjmuje się, że do rozliczenia długów krótkoterminowych stosuje się
model kapitalizacji prostej przy czym do aktualizacji wstecz stosuje się
dyskonto matematyczne proste lub dyskonto handlowe, a do rozliczenia
średnio i długoterminowych długów stosuje się model kapitalizacji złożonej
z dołu.
Przyjmuje się następujące oznaczenia z zapisem działań związanych w
rozliczeniem długu:
S wartość początkowa długu
N ilość rat umarzających dług
n wskaźnik bieżący
Tn n-ta rata długu, n-ta rata kapitałowa, część długu spłacona w n-tej
racie.
Zn- n-ta rata odsetek, wartość odsetek spłaconych w n-tej racie
An – n-ta rata łączna, n-ta spłata, n-ta płatność
Sn – pozostała część długu po spłaceniu n rat, dług bieżący
Z – suma wartości nominalnych (bez uwzględniania wpływu wartości
pieniądza w danym czasie) wszystkich odsetek.
Ciągi {Tn}, {Zn}, {An}, {Sn} liczba Z wchodzą w skład tzw. Planu spłaty
długu. W przypadku planu spłaty długo krótkoterminowego uwzględnia się
tez inne elementy. Wielkości wchodzące w skład planu spłaty nie są
niezależne. Np. An noszące nazwę raty łącznej jest suma raty kapitałowej
i raty odsetek, a więc
(115) An = Tn+Zn
Ponadto wzór (115) jest niekiedy uzupełniony trzecim składnikiem który
jest opłatą dodatkową, np. prowizja, lub marża bankowa.
Z def. Wynika, że:
(116) Z = Z1+…+Zn
Rozważmy na początek spłatę długu zgodną. Niech r będzie stopą
procentową w okresie stopy procentowej i nich l oznacza wybrany moment
aktualizacji. Schemat spłaty długu możemy przedstawić następująco:
Os liczbowa, 0 1 2 … k ……… n
S pokrywa się z zero, A1 z 1 A2 z 2 An z n w k zbieg strzelek od an i a1 a2
Aktualizacja spłat długu na moment k
Oczywiście aktualizacja kwoty na dany moment czasu wymusza
dyskontowanie. Do dyskontowania można używać dyskonto
matematyczne lub handlowe.
Fakt spłacenia długu za pomocą spłat A1…An oznacza zachowanie
następujących równości:
Dla modelu kapitalizacji prostej i dyskonta matematycznego mamy:
(117) S(1+kr) = A1[1+(k-1)r]+…+Ak1(1+r)+AK+(AK+1)/1+r+…+An/1+(N-k)
Dla modelu kapitalizacji prostej i dyskonta handlowego mamy:
(118) S(1+kr)=A1[1+(k-1)r]+…+Ak-1(1+r)+Ak +AK+1(1-r)+…+An[1(N-k)r]
Dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu mamy
(119) S(1+r)^k = A1(1+r)^(k-1)+…+AK1(1+r)+Ak+(AK+1)/(1+r)+…+An/(1+r)^(n-k)
Dla momentu kapitalizacji prostej zarówno wybór momentu k jak i wybór
rodzaju dyskonta jest istotny. Jeżeli równania (117) lub (118) zachodza
dla pewnego to może nie zachodzić dla innego k. Oznacza to również, że
ten sam dług S przy tej samej stopie procentowej r i tych samych
płatnościach A1, An może być spłacony lub nie w zależności wyboru
momentu aktualizacji k. Fakt ten rodzi określenie: konsekwencje związane
z rozliczaniami związanymi z długami krótkoterminowymi.
Równość (117), w której wykorzystywane jest dyskonto matematyczne
proste dla k=0 przyjmuje postać:
(120) S = A1/(1+r)+A2/(1+2r)+…+An/(1+Nr)
Równość (118), w której zastosowano dyskonto handlowe dla k=0
przyjmuje postać:
(121) S = A1(1-r)+A2(1-2r)+…+An(1-Nr)
Równość (117) i (118) dla k=N przyjmuje jednakowa formę:
(122) S(1+Nr) = A1[1+(n-1)r]+A2[1+(N-2)r]+An
W przypadku modelu kapitalizacji złożonej z dołu wybór momentu
aktualizacji k nie jest istotny. Jeśli równość (119) zachodzi dla pewnego K,
to zachodzi dla każdego K co upraszcza analizę długów średnio i
długoterminowych.
Równość (119) dla k=0 przyjmuje postać:
(123) S = A1/(1+R)+A2/(1+R)^2+…+An/(1+r)^N
Natomiast dla K=N
(124) S(1+r) = A1(1+r)^(N-1)+A2(1+r)^(N-2)+…+An
Przedstawiamy teraz problem spłaty długów krótkoterminowych z
wykorzystaniem modelu kapitalizacji prostej oraz problem spłaty długów
średnio i długoterminowych z wykorzystaniem modelu kapitalizacji
złożonej z dołu.
Plan Spłaty długów Krótkoterminowych
Załóżmy, że raty łączne spłaty A1 An umarzają dług krótkoterminowy S.
Przyjmijmy ponadto, że są to spłaty zgodne tzn. okres stopy procentowej
r jest równy okresowi spłaty. Wiadomo, że w modelu kapitalizacji prostej
znaczenie ma przyjęty moment aktualizacji kwoty. Istotne znaczenie ma
także przyjęty rodzaj stosowanego dyskonta, a więc czy jest to dyskonto
matematyczne czy dyskonto handlowe. Warunek spłaty długu S w ratach
łącznych A1 An opisany został równaniami (117) i (118), które można
zapisać w równoważny sposób jako tożsamość dla dyskonta
matematycznego prostego.
(125) S=A1((1+(K-1)r)/1+kr)+…+AK1((1+r)/(1+kr))+AK(1/(1+kr))+AK+1(1/((1_r)(1+rk)))+…+An1
/(1+(n-1)r)(1+kr)
Dla dyskonta handlowego mamy:
(126) S = A1((1(k-1)r)/(1+kr))+…+AK1((1+r)/(1+rk))+AK(1/(1+rk))+…+An((1-(N-1)/(1+kr)))
Po spłaceniu n rat wartości zadłużenia można mierzyć za pomocą,
różnic między zaktualizowana na moment k wartością początkową
długu, a suma zaktualizowanych na moment k spłaconych rat łącznych
czyli różnic.
Sn = (1+kr)-A1[1+(k-1)r]-…-An[1+(k-n)r], gdy n<=k, oraz
Sn = S(1+kr) – A1[1+(k-1)r]-…-Ak-(AK+1)/1+R-…-An/(1+(N-k)r),
n>k
Dla dyskonta Matematycznego prostego i
Sn = S(1+kr) – A1[1+(k-1)r]-…-Ak[1+(k+n)r] dla dyskonta
handlowego
W przypadku dyskonta handlowego
(127) Sn = S-A1((1+(K=1)r)/(1+kr))-…-An((1+(k-n)r)/(1+kr))
Dług Sn jest równy między lewą a prawa strona równości (125) lub
odpowiednio (126), w której uwzględniono n składowych z równań
(125 126 127 128) wynika ze Sn=0
Dług bieżący Sn po spłaceniu n rat definiujemy jako zaktualizowana na
moment n długu Sn, Zatem:
Sn=Sn(1+nr), z tego wynika , że Sn=0 (130 i 131)
Warto zauważyć, że równości ( 127 i 118) są prawdziwe tylko dla
ustalonej wartości k, czyli dla ustalonego momentu aktualizacji.
Dla długów krótkoterminowych, czyli w przypadku modelu kapitalizacji
prostej istotne znaczenie ma rozkład raty łącznej An na część kapitału
BN i część odsetek Cn, czyli rozkład:
An=BN+Cn
Może się zdarzyć ze któraś z uzgodnionych spłat A1…An jest zbyt mala
aby pokryć odestki. Wówczas taka spłata nie zmniejsza długu, a
jedynie pozwala na pokrycie części należnych odsetek.