r - Piotr Kania

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
1. PODSTAWOWE POJĘCIA
Pieniądz, podobnie jak inne dobra (towary i usługi))
zmienia
swoją
wartość
w
czasie,
co
jest
następstwem
zachodzących w sposób ciągły procesów gospodarczych. Zmianie
może ulegać wartość nominalna pieniądza (np. denominacja)
albo jego wartość realna (np. deprecjacja, aprecjacja).
Deprecjacja – spadek siły nabywczej pieniądza
inflacji.
Aprecjacja – wzrost siły nabywczej pieniądza
deflacji.
na
skutek
na
skutek
Ponieważ
w
gospodarce
zazwyczaj
występuje
zjawisko
deprecjacji
pieniądza nie powinien on być bezczynny, gdyż
będzie to zmniejszało jego siłę nabywczą. Każdy posiadacz
pieniądza powinien więc dążyć do jego zaangażowania w procesy
gospodarcze, co powinno przyczynić się do wzrostu jego
wartości w czasie, a przynajmniej do zachowania jego siły
nabywczej na dotychczasowym poziomie.
Obliczanie wartości pieniądza w czasie jest ważne z tego
powodu, że pieniądz jako miernik wartości wszelkich działań
gospodarczych,
pozwala
jednoznacznie
ocenić
efekty
tej
działalności.
Podstawowym pojęciem jest w tym przypadku stopa zwrotu,
której najlepiej znanym przypadkiem jest stopa procentowa. W
dalszych rozważaniach będziemy posługiwać się tym drugim
określeniem.
Podstawowe określenia:
K0 – wartość początkowa (wartość bieżąca),
Kn – wartość końcowa (wartość przyszła).
Różnica Z = Kn – K0 nazywana jest odsetkami.
1
Stopa
procentowa
– stosunek odsetek do
początkowej wyrażony w odpowiedniej jednostce czasu.
r=
wartości
Z 1 K1 − K 0 1
× =
×
K0 n
K0
n
Gdzie:
n – okres inwestycji w latach.
Uwaga!
Powyższy wzór jest prawdziwy dla procentu prostego.
Okres stopy procentowej - czyli okres, za który podano
stopę
procentową,
np.
roczna,
półroczna,
kwartalna,
miesięczna.
W praktyce najczęściej stopę procentową podaje się za
okresy roczne. Dalej r będzie oznaczać roczną nominalną
stopę procentową.
Obliczanie
wartości
pieniądza
w
czasie
wiąże
się
najczęściej z wykonywaniem następujących działań:
•
obliczanie odsetek (oprocentowania lub procentu),
•
obliczanie wartości przyszłej,
•
obliczanie
wartości
bieżącej
(zwane
też
dyskontowaniem), które jest matematycznie operacją
odwrotną do obliczania wartości przyszłej.
Kapitalizacja odsetek – dopisywanie odsetek do kapitału
za określony czas zwany okresem kapitalizacji.
Ze względu na moment dokonywania kapitalizacji wyróżnia
się kapitalizację:
•
z
dołu
– odsetki są dopisywane na koniec okresu
kapitalizacji,
•
z góry – odsetki są dopisywane na początek okresu
kapitalizacji.
2
W praktyce częściej jest stosowana kapitalizacja z dołu.
Przypadkiem kapitalizacji z góry występującym w praktyce jest
dyskonto lub redyskonto weksli.
Dalej będzie rozpatrywana wyłącznie kapitalizacja
z dołu.
W zależności od sposobu ustalania odsetek, czyli ich
wpływania
na
wartość
odsetek
w
kolejnych
okresach
kapitalizacji wyróżnia się kapitalizację:
•
prostą, w której odsetki naliczone za dany okres
kapitalizacji
nie
są
obliczaniu
odsetek
kapitalizacji,
•
złożoną,
w
której
brane
pod
uwagę
przy
w
kolejnym
okresie
odsetki
okresie
kapitalizacji
obliczaniu
odsetek
kapitalizacji.
naliczone
uwzględniane
w
kolejnym
w
danym
są
przy
okresie
Ostatni podział kapitalizacji ma charakter techniczny i
wiąże się z prawidłowym obliczeniem wartości przyszłej czy
bieżącej. Jeżeli okres stopy procentowej pokrywa się z okresem
kapitalizacji, to występuje wówczas kapitalizacja zgodna, a
jeżeli te okresy się nie pokrywają, to występuje kapitalizacja
niezgodna (np. stopa procentowa w skali roku - okres
kapitalizacji
w
miesiącach).
Przed
obliczeniem
wartości
pieniądza
należy
najpierw
ustalić,
z
którym
rodzajem
kapitalizacji mamy do czynienia, a następnie zastosować
odpowiedni wzór.
3
2. PROCENT PROSTY
Stosowany jest zazwyczaj do obliczania wartości pieniądza
w czasie za krótkie okresy, najczęściej do jednego roku.
Przykładem zastosowania może być odsetki od sumy wekslowej,
dyskonto weksli, oprocentowanie od środków na rachunkach
bieżących itp.
Podstawowe wzory:
Pn = K 0 × (1 + r × n)
Z n = Pn − K 0 = K 0 × r × n
K0 =
Pn
1+ r × n
Jeżeli okres stopy procentowej nie pokrywa się z okresem
kapitalizacji
wzory
należy
odpowiednio
zmodyfikować
podstawiając za n np.:
•
n = t/12, jeżeli czas podany jest w miesiącach,
•
n = t/365, jeżeli czas podany jest w dniach.
W przypadku czasu podanego w dniach najczęściej stosuje
się rzeczywistą lub dokładną liczbę dni, chociaż można spotkać
się z uproszczonym sposobem obliczania n zwanym zasadą
równych miesięcy, w której każdy miesiąc ma 30 dni a rok
360.
W przypadku okresu podanego za pomocą dwóch dat –
początkową i końcową, przy obliczaniu liczby dni stosuje się
najczęściej zasadę, że jeden z dwóch dni granicznych wlicza
się do t , a drugą pomija.
4
PRZYKŁAD:
Obliczyć wartość przyszłą oraz odsetki od kwoty 2 500 zł
przy stopie procentowej 6,0% w skali roku i okresie
wynoszącym:
a) 5 lat,
b) 18 miesięcy,
c) od
15
stycznia
do
20
września
(uwzględniając
rzeczywistą liczbę dni w roku 365 dni)
d) od 15 stycznia do 20 września (uwzględniając zasadę
równych miesięcy).
Rozwiązanie:
a)
P5 = 2 500 × (1 + 6,0% × 5) = 3 250
Z 5 = 2 500 × 6.0% × 5 = 750
b)
P18/12 = 2 500 × (1 + 6,0% ×
Z18 / 12 = 2500 × 6,0% ×
18
) = 2 725
12
18
= 225
12
c)
t=16+28+31+30+31+30+31+31+20=248 dni
248 ⎞
⎛
P248 / 365 = 2 500 × ⎜1 + 6,0% ×
⎟ = 2 601,92
365
⎝
⎠
248
Z 248 / 365 = 2 500 × 6,0% ×
= 101,92
365
d)
t=15+7x30+20=245
245 ⎞
⎛
P245 / 360 = 2 500 × ⎜1 + 6,0% ×
⎟ = 2 602,08
360 ⎠
⎝
245
Z 245 / 360 = 2 500 × 6,0% ×
= 102,08
360
5
3. PROCENT ZŁOŻONY
Obliczenie wartości przyszłej w przypadku kapitalizacji
złożonej
wymaga
uwzględnienia
odsetek
obliczonych
w
poprzednich okresach kapitalizacji przy obliczaniu wartości
odsetek w kolejnych okresach kapitalizacji. Można do tego celu
wykorzystać
wzór
poznany
przy
procencie
prostym,
ale
obliczenia należy przeprowadzać dla pojedynczych okresów
kapitalizacji, a w kolejnych brać pod uwagę wartość końcową
kapitału z okresu poprzedniego.
Przykład:
Obliczyć wartość przyszłą kwoty 10 000 zł za 5 lat,
jeżeli
stopa
procentowa
wynosi
6,0%
w
skali
roku
a
kapitalizacja jest złożona z dołu.
Rozwiązanie:
K 1 = 10 000 × (1 + 0,06) = 10 600,00
K 2 = 10 600 × (1 + 0,06) = 11 236,00
K 3 = 11 236 × (1 + 0,06) = 11 910,16
K 4 = 11 910,16 × (1 + 0,06) = 12 624,77
K 5 = 12 624,77 × (1 + 0,06) = 13 382,26
Gdyby występowała kapitalizacja prosta wartość przyszła
kapitału wyniosłaby P5=10000x(1+5X0,06)=13000. Różnica między
wartością przyszłą przy kapitalizacji złożonej a wartością
przyszłą przy kapitalizacji prostej jest wynikiem naliczania w
okresach 2, 3, 4 i 5 odsetek nie tylko od kapitału
początkowego, ale także od narosłych odsetek.
6
Wartość przyszłą przy kapitalizacji złożonej z dołu można
obliczyć za pomocą wzoru:
K n = K 0 × (1 + r ) n
Rozwiązanie przykładu:
K 5 = 10 000 × (1 + 0,06) 5 = 13 382,26
Wzór na wartość
złożonej zgodnej:
bieżącą
kapitału
przy
kapitalizacji
Kn
1
K0 =
= Kn ×
n
(1 + r )
(1 + r ) n
Wzór na obliczenie stopy procentowej:
r=n
Kn
−1
K0
Przykład:
Przy jakiej stopie procentowej kapitał początkowy po 5
latach
potroi
swoją
wartość,
jeżeli
zastosowano
model
kapitalizacji złożonej.
r=5
3K 0
− 1 = 5 3 − 1 = 0,2457 = 24,57%
K0
7
Jeżeli kapitalizacja jest niezgodna, to odpowiednie wzory
będą miały następującą postać:
r ⎞
⎛
K nm = K 0 × ⎜1 + ⎟
⎝ m ⎠
K nm
K0 =
n× m
r ⎞
⎛
⎜1 + ⎟
⎝ m ⎠
n× m
m
⎛
⎞
K
n
⎜
r = n× m
− 1⎟ × m
⎜
⎟
K0
⎝
⎠
W kapitalizacji niezgodnej złożonej ważnym parametrem
jest m , który oznacza częstotliwość kapitalizacji dokonywanej
w ciągu roku (zakłada się, że rok jest dzielony na równe
okresy). Jeżeli:
•
m=2, to kapitalizacja jest półroczna,
•
m=4, to kapitalizacja jest kwartalna,
•
m=12, to kapitalizacja jest miesięczna,
•
m=365, to kapitalizacja jest dzienna itd.
8
Przykład:
Obliczyć wartość przyszłą kwoty 25000zł po 3 latach przy
stopie procentowej 4,5% w skali roku i kapitalizacji złożonej:
a) rocznej,
b) półrocznej,
c) kwartalnej,
d) miesięcznej.
Rozwiązanie:
a)
3
K 3= 25 000 × (1 + 0,045) = 28 529,15
b)
⎛ 0,045 ⎞
K 32 = 25 000 × ⎜1 +
⎟
2 ⎠
⎝
3×2
= 28 570,63
c)
⎛ 0,045 ⎞
K 34 = 25 000 × ⎜1 +
⎟
4 ⎠
⎝
3×4
= 28 591,86
d)
K 312
⎛ 0,045 ⎞
= 25 000 × ⎜1 +
⎟
12 ⎠
⎝
3×12
= 28 606,20
Im
większa
częstotliwość
kapitalizacji
złożonej
niezgodnej (z dołu), tym wartość końcowa kapitało (czy
odsetek) będzie wyższa przy pozostałych parametrach bez zmian.
9
4. EFEKTYWNA I REALNA STOPA PROCENTOWA
Efektywna stopa procentowa pozwala na porównywanie ze
sobą różnych inwestycji o odmiennych parametrach kapitalizacji
złożonej, tzn. o różnym r i m.
Efektywna stopa procentowa – roczna nominalna stopa
procentowa uwzględniająca kapitalizacje dokonywane w ciągu
roku. Odpowiada następującej zależności:
r ⎞
⎛
n
K 0 × (1 + ref ) = K 0 × ⎜1 + ⎟
⎝ m ⎠
n× m
m
r ⎞
⎛
ref = ⎜1 + ⎟ − 1
⎝ m ⎠
Przykład:
Która
z
poniższych
najkorzystniejsza:
a) r=8,10% przy m=2,
b) r=8,00% przy m=6,
c) r=7,90% przy m=12.
Rozwiązanie:
a)
lokat
bankowych
jest
2
⎛ 0,081 ⎞
ref = ⎜1 +
⎟ − 1 = 0,0826 = 8,26%
2 ⎠
⎝
b)
6
⎛ 0,08 ⎞
ref = ⎜1 +
⎟ − 1 = 0,0827 = 8,27%
6 ⎠
⎝
c)
12
⎛ 0,079 ⎞
ref = ⎜1 +
⎟ − 1 = 0,0819 = 8,19%
12
⎝
⎠
Najkorzystniejsza jest lokata b), gdyż uzyskała najwyższą
wartość efektywnej stopy procentowej.
10
Przy
porównywaniu
różnych
wariantów
lokat
przy
kapitalizacji złożonej nie ma znaczenia parametr n. Jeżeli
lokata (inwestycja) jest najbardziej opłacalna dla pierwszego
roku lub dowolnego innego, będzie zawsze najkorzystniejsza.
Natomiast przy porównywaniu inwestycji z kapitalizacją
prostą i złożoną należy obliczyć wartość przyszłą dla
określonego n. Dla innego n odpowiedź może być odmienna.
Wynika to z przyrostu odsetek, które w procencie prostym
przyrastają liniowo, a w procencie złożonym w postępie
geometrycznym.
Realna stopa procentowa – jest to stopa efektywna (lub
nominalna) skorygowana o inflację.
Podstawowy wzór na realną stopę procentową przedstawia
się następująco:
rre =
ref − i
1+ i
Gdzie:
i – roczna stopa inflacji,
ref – efektywna stopa procentowa (roczna).
Licznik wzoru koryguje dochód o inflację, natomiast
mianownik jest indeksem korygującym o inflację kapitał
początkowy, gdyż także on podlega deprecjacji.
11
Przykład:
Obliczyć roczną, realną stopę procentową, jeżeli okres
inwestycji wynosił 5 lat, a kapitał początkowy w tym okresie
zwiększył
się
czterokrotnie
przy
rocznej
kapitalizacji
złożonej. Inflacja w tym okresie wyniosła w kolejnych latach:
3,2%, 3,9%, 3,5%, 3,8% i 4,2%.
Rozwiązanie:
•
obliczamy roczną, przeciętną stopę procentową:
r = 5 4 − 1 = 0,3195 = 31,95%
•
obliczamy
roczną
przeciętną
stopę
inflacji
korzystając ze wzoru na średnią geometryczną:
i = 5 (1,032)(1,039)(1,035)(1,038)(1,042) − 1 = 0,0372 = 3,72%
•
roczna, realna stopa zwrotu wynosi:
rre =
0,3195 − 0,0372
= 0,2722 = 27,22%
1 + 0,0372
12
5.
Płatności
Przez płatności należy rozumieć określoną liczbę wpłat
(wypłat) dokonywanych w jednakowym odstępie czasu (okresy
płatności) w stałej lub różnej wysokości.
Płatności mogą być dokonywane:
− z góry, czyli na początek okresu płatności lub
− z dołu, czyli na koniec okresu płatności.
Wartość przyszłą płatności zgodnych, czyli takich, w których
okres stopy procentowej pokrywa się z okresem kapitalizacji
oraz okresem płatności, oblicza się według następujących
wzorów:
(1 + r ) n − 1
FVAG = A × (1 + r )×
r
(1 + r ) n − 1
FVAD = A ×
r
Wartość bieżącą płatności
następującego wzoru:
zgodnych
oblicza
się
według
(1 + r ) n − 1
PVAG = A × (1 + r )×
r × (1 + r ) n
(1 + r ) n − 1
PVAD = A ×
r × (1 + r ) n
13
ZADANIA:
1) Ustalić stan książeczki oszczędnościowej po 10 latach,
jeżeli dokonano w niej następujących operacji finansowych:
na początku wpłacono 2500 zł, po czterech latach wpłacono
1000 zł, po następnym roku wypłacono 3000 zł. Roczna stopa
procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest złożona roczna z
dołu.
2) Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty 100 zł po upływie 5 lat, jeżeli
podlega ona oprocentowaniu wg rocznej stopy procentowej 9% przy
kapitalizacji złożonej z dołu: a) rocznej, b) półrocznej, c) miesięcznej.
3) W banku, w którym obowiązuje roczna kapitalizacja złożona z dołu,
kapitał 50 zł utworzył po 1 roku wartość 60 zł. Ile zyskałby właściciel
kapitału w ciągu kolejnych 2 lat, gdyby przy nie zmienionej rocznej
stopie wprowadzono kapitalizację kwartalną?
4) Jaka jest roczna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji
złożonej z dołu kapitał podwoił swoją wartość po 5 latach?
5) Bank stosuje
złotówkowych:
następujące
roczne
stopy
procentowe
dla
Czas lokaty w miesiącach
r
3
5,5%
6
6,9%
12
5,2%
lokat
Odsetki są dopisywane do kapitału po deklarowanym okresie
trwania lokaty. Niepodjęcie kapitału po okresie deklarowanym jest
równoważne jego wpłacie na następny taki sam okres. Wybrać
najkorzystniejszy wariant ulokowania 1000 zł na 2 lata.
6) Jaka jest roczna stopa procentowa, jeżeli przy kapitalizacji złożonej
miesięcznej z dołu z kapitału 30 zł po 15 miesiącach uzyskano wartość
50 zł?
7) Po 2 latach i 3 miesiącach kwartalnej kapitalizacji złożonej z dołu kwota
50 zł wzrosła dwukrotnie. Jaką wartość osiągnie ta kwota po kolejnym
roku?
8) W banku, w którym kapitalizacja jest złożona z dołu dwumiesięczna, po
14 miesiącach z kwoty 500 zł uzyskano 700 zł. Jaką wartość osiągnie ta
kwota po dalszych 2 latach?
9) Do banku wpłacono 200 zł. Przez pierwsze 3 lata obowiązywała roczna
kapitalizacja złożona z dołu z roczną stopą procentową 12%, a przez
następne 2 lata kwartalna kapitalizacja złożona z dołu z roczną stopą
procentową 9%. Wyznaczyć wartość tego kapitału po 5 latach.
10) Przez kolejne 3 lata roczna stopa procentowa przyjmowała wartości
odpowiednio: 5,0%, 5,2%, 4,5%. Wyznaczyć wartość odsetek za okres
3 lat od kwoty 1 zł oraz przeciętną stopę procentową, jeżeli bank
stosował roczną kapitalizację złożoną z dołu.
14