Wiadomości wstępne

WIADOMOŚCI WSTĘPNE
Odsetki powstają w wyniku odjęcia od kwoty teraźniejszej K1 kwoty początkowej K0, zatem
Z = K1 – K0. Z ekonomicznego punktu widzenia właściciel kapitału K0 otrzymuje odsetki
jako zapłatę od banku za udzielenie mu prawa do dysponowania kwotą K0 w określonym
czasie. Wysokość odsetek zależy od kwoty jaką wpłacamy do banku oraz od okresu na jaki
wpłacamy wspomnianą kwotę, dlatego też posługujemy się wskaźnikiem nazywanym stopą
procentową – r. Stopą procentową nazywamy stosunek odsetek Z do wartości początkowej
kwoty czyli (1) r KZ0 K1K0K0 . Z (1) wynika, że (2) Z K 0 r , (tzn. odsetki Z dają się wyrazić
przez stopę procentową r oraz wartość początkową K0), a także (3) K1 K 0 (1 r ) , (tzn.
przyszłą wartość kapitału daje się wyrazić przez stopę proc. r i wart. początkową K0).
Oprocentowaniem nazywamy wyznaczanie odsetek. Wyznaczone odsetki będące zapłatą za
wypożyczenie kapitału mogą być wypłacone na końcu okresu wypożyczenia i mówimy wtedy
o oprocentowaniu z dołu lub też na początku tego okresu – oprocentowanie z góry.
Kapitalizacją odsetek nazywamy ich dopisywanie do kapitału. Czas, w którym odsetki są
dopisywane nazywamy okresem kapitału bądź okresem konwersji. Jeśli odsetki
dopisywane są na końcu kapitalizacji, mówimy o kapitalizacji z dołu – w przeciwnym razie
– kapitalizacji z góry. Kapitalizacja zgodna ma miejsce gdy okres stopy procentowej
pokrywa się z okresem kapitalizacji – gdy jest inaczej mamy do czynienia z kapitalizacją
niezgodną. W zależności od sposobu ustalania odsetek wyróżniamy kapitalizację prostą
(gdy oprocentowaniu podlega wyłącznie kwota początkowa) oraz złożoną (oprocentowaniu
podlega zarówno kapitał początkowy i nagromadzone odsetki). Dyskontowanie to operacja
odwrotna do kapitalizacji i jest to wyznaczanie wcześniejszych wartości kapitału na
podstawie znajomości wartości późniejszych. Stopa procentowa wykorzystywana przy
dyskontowaniu nazywana jest stopą dyskontową, przy czym, w przeciwieństwie do st. proc.,
mierzy ona tempo pomniejszania kapitału w czasie.
Kapitalizacja zgodna prosta. Oznaczmy przez Pn przyszłą wartość kapitału K0 po n
okresach kapitalizacji, gdzie n – liczba naturalna, przy czym odsetki są dopisywane z dołu.
Obliczanie przyszłej wartości Pn+1 na koniec (n+1) – go okresu kapitalizacji przebiega
następująco: do wartości Pn z końca n – tego okresu kap. dopisujemy odsetki Zn+1
przypadające z (n+1) – szy okres. Taki więc ciąg (Pn) przyszłych wartości kapitału K0 spełnia
równanie rekurencyjne: (4) Pn 1 Pn Z n 1 , n 0,1,..., P0 K 0 . Ponieważ mamy do czynienia
z kap. prostą to oprocentowaniu podlega jedynie kapitał początkowy. Ciąg odsetek (Zn) jest
zatem ciągiem stałym i na mocy wzoru (2) mamy: (5) Z n 1 K 0 r , n 1,2,... . Podstawiając
(5) do (4) otrzymujemy: (6) Pn 1 Pn K 0 r , n 0,1,... co wskazuje, że ciąg (Pn) jest ciągiem
arytmetycznym o różnicy K0∙r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P1 z uwagi na wzór (3) ma
postać P1 K1 K 0 (1 r ) . Zatem n-ty wyraz tego ciągu ma postać (z def. ciągu
arytmetycznego) Pn P1 (n 1) K 0 r K 0 (1 r ) (n 1) K 0 r , skąd otrzymujemy (7)
Pn K 0 (1 n r ) . Liczbę (1+n∙r) nazywamy współczynnikiem akumulacji lub czynnikiem
wartości przyszłej w kapitalizacji prostej. Traktując (7) jako tożsamość widzimy, że
znajomość trzech spośród czterech wielkości Pn, K0, n, r pozwala wyznaczyć czwartą. W
szczególności mamy (7’) K0 (1 Pnn r ) . Oczywiście suma odsetek wytworzonych przez kapitał
K0 w ciągu n okresów kap. jest równa różnicy wartości przyszłej Pn i wartości teraźniejszej
n
K0, a więc: (8)
Zi
Pn
K 0 K 0 (1 n r ) K 0
K 0 n r . Znając wartość Pn można ją
i 1
aktualizować/dyskontować na k okresów otrzymując Pn+k /Pn-k dodając/odejmując odsetki
proste za K0∙k∙r okresów. Tak więc aktualizacja (9)
Pn
Pn
P
k
k
Pn K0 k r Pn 1 nn r k r Pn (1 1 k nr r ), n, k 0,1,... oraz dyskontowanie (10)
Pn K 0 k r Pn (1 1 k nr r ), n 0,1,... , k 0,1,..., n .
KAPITALIZACJA ZŁOŻONA Z DOŁU ZGODNA
Przypominamy, ze w kapitalizacji złożonej oprocentowaniu podlega zarówno kapitał
początkowy Ko jak i zgromadzone do tej pory odsetki. Ponadto odsetki dopisywane są do
kapitału na koniec okresu kapitalizacji i okres stopy procentowej pokrywa się z okresem
kapitalizacji. Przyszła wartość kapitału Ko po n okresach kapitalizacji oznaczamy symbolem
Kn.
Ciąg przyszłych wartości, tj ciąg {kn} kapitału Ko spełnia równanie rekurencyjne:
(11) Kn+1 =Kn+Zn+1, n=0,1,,,,
gdzie Zn+1 są odsetkami przypadającymi za n+1 –szy okres przy czym odsetki Zn+1 wyznacza
się w oparciu o cały nagromadzony przez n okresów kapitał czyli
(12) Zn+1=Knr , n =0,1,2….
Po podstawieniu (12) w (11) otrzymujemy, że
(13) Kn+1=Kn+Knr=Kn(1+r) n=1,2,…
Z (13) wynika, że ciąg {Kn} jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie k1=k0(1+r) i
ilorazie (1+r). Zatem n-ty wyraz ciągu {Kn} wyraża się wzorem.
(14) Kn=K1(1+r)n-1 = Ko(1+r)n, n=0,1,..
Liczbę (1+r)n nazywamy Współczynnikiem akumulacji lub czynnikiem wartości
przyszłej w modelu kapitalizacji złożonej z dołu. Zależność (14) ustala zależność pomiędzy 4
wielokrotności Kn,ko, r,n znajomość trzech pozwala wyznaczyć czwartą. W szczególności
wart. teraźniejszą kapitału Kn jest :
(15) Ko= Kn / ( (1+r)n) n=0,1,
Zauważmy, że w ciągu n okresów kapitalizacji wart. nagromadzonych odsetek jest równa
różnicy między wart. koń. Kn o wart. pocz Ko, a więc wobec wzoru 14 mamy
(16) Σ (i=1 do n) Zi=Kn-Ko=Ko[(1+r)n -1] n=1,2
KAPITALIZACJA ZŁOŻONA Z GÓRY ZGODNA
W modelu kapitalizacji złożonej, w którym odsetki również podlegają oprocentowaniu .
Odsetki mogą być dopisywane do kapitału n początku okresu kapitalizacji będzie to więc
model kapitalizacji złożonej z góry. Dodatkowo zakładamy, że okres stopy procentowej
pokrywa się z okresem kapitalizacji. A więc kapitalizacja jest zgodna.
Przyszłą wartość kapitału ko na początku n-tego okresu kapitalizacji będziemy oznaczać Wn.
Głównym celem dalszych rozważań będzie wyznaczenie ciągu {Wn} Wpłacamy kwotę Ko.
Kwota Ko podlega oprocentowaniu z góry, a więc do Ko dopisana jest kwota Kor jako
oprocentowanie. Lecz ta kwota znajdująca się n akoncie również podlega oprocentowaniu z
góry i to oprocentowanie wynosi Kor r itd. Zatem W1=Ko+Kor+Kor2+ .. = Ko(1+r+…)=
Ko(1/(1-r))=Ko(1-r)-1 o ile 0<r<1. Analogicznie postępując otrzymujemy, że
W2=W1+W1r+W1r2+..=W1(1-r)-1 i ogólnie
(19) Wn+1=Wn+Wnr+Wnr2+..=W1(1-r)-1
Wzór 19 wskazuje, że ciąg {Wn} jest geom. o ilorazie (1-r)-1 zatem
(20) Wn=W1[(1-r)-1]n-1=Ko(1-r)-n, n=1,2…
Liczbę (1-r)-n nz. Współczynnikiem akumulacji lub czynnikiem wart. przyszłej w modelu.
Zależność (20) traktujemy jako tożsamość wiążącą ze sobą 4 wielkości Wn,Ko,r i n. Znając
3 z nich. Pozwala wyznaczyć 4-tą, a w szczególności (21) Ko=Wn(1-r)n
Wartość kapitalizowanych odsetek przez n okresów jest równa
(22) Σ (i=1 do n) Zi=Wn-Ko=Ko[(1-r)-n +1] n=1,2
KAPITALIZACJA NIEZGODNA
Jeśli okres stopy procentowej nie pokrywa się z okresem kapitalizacji to kapitalizacje
nazywamy niezgodną. Jeśli okres stopy procent jest całkowitą wielokrotnością okr.
Kapitalizacji to mówimy o kapitalizacji w podokresach. Jeśli ok. kapitalizacji jest całkowitą
wielokrotnością ok. stopy procentowej to mówimy o kapitalizacji w nadokresach. Jeśli m
oznacza stosunek okr. Stopy % (rocznej lub innej) do okresu. Kapit a więc m=okres stopy
procentowej/okresu stopy kapitalizacji. To z powyższego wynika, że w przyp. Kapiatl w
podokresach m należy do N. natomiast natomiast przypadku kapitalizacji w nadokresach m
jest ułamkiem o mianowniku będącym wielokrotnością licznika.
Jeśli r jest roczną stopą procentową wówczas w zależności od wartości parametru m
kapitalizacja nazywa się: roczna m=1, miesięczna m=12, czteroletnia m=0,25.
Jeśli r jest roczną lub inną stopą procentową, to w przypadku kapitalizacji niezgodnej odsetki
przypadające na 1 okres kapitalizacji wyznacza się na podstawie względnej stopy
procentowej(dostosowanej) r--, którą okresla się r--=r/m. I w tym przypadku r jest stopa
nominalna.
Stopa nominalna jest zasadniczym nośnikiem inf. O ofercie bankowej przy czym osetki w
danym banku mogą być wyznaczone wg innej stopy np. względnej.
Należy zauważyć, ze rachunek procentowy rachunek przyp. Kapitalizacji niezgodnej
jest analog. Procentowego dla kapitalizacji zgodnej opisanej wcześniej z ta różnicą, ze
zamiast nom. Stopy % r należy zastosować r—oraz zamiast l okresów stopy procentowej r
należy uwzględnić l okresów kapitalizacji. 2 lata r--=2r k=6.
Tak więc przyszła wartość kapitału Ko w kapitalizacji niezgodnej po k okresach kapitalizacji
wynosi: dla kapitalizacji prostej: (25) P k/m=Ko(1+k(r/m)),
dla złożonej z dołu: (26) K k/m=Ko(1+r/m))k
dla złożonej z góry: (27) W k/m= Ko(1-r/m))-k
Model kapitalizacji prostej stosuje się najczęściej przy oprocentowaniu kont z często
zmieniającym się saldem np. kwot na rachunkach bankowych. Jedną z możliwych do
zastosowania technik wyznaczania stanu konta jest metoda liczb procentowych:
Metoda liczb procentowych. Niech r ozn. Roczną stopę % zgodnie ze wzorem 25, przyszla
wartość ko po t dniach w oprocentowaniu prostym jest równa kt=ko(1+t(r/360)) natomiast
odsetki proste za ten okres wynoszą Zt=kt-k0=Kot(r/360).
Czynnik Kot nazywa się liczbą procentową natomiast 360/r dzielnikiem procentowym
Zauważmy, że liczba procentowa jest f-cja czasu natomiast dzielnik procentowy jest
wielkością stałą niezależna od czasu.
Przyjmijmy teraz, żę na rachunku bankowym dokonano N operacji bankowych –wpł at i
wypłat przy czym wysokość kwoty w i-tej operacji ozn. Przez Si wpłaty poprzedzone są
znakiem + a wypłaty -, Niech ti oznacza liczbę dni, które upłynęły między dniem dokonania
i-tej operacji a dniem rozrachunku t. Przy powyższych ozn. Wart. konta bankowego w dniu t
jest równa.
Kt=S1(1+t1(r/360))+ S2(1+t2(r/360))+…+ Sn(1+n(r/360))= Σ (i=1 do n)Si+(r/360) Σ (i=1 do
n)Si ti
Sumę L= Σ (i=1 do n)Si Ti nazywamy sumaryczną liczbą procentową. Stan konta w dniu t
można zapisać w postaci
(28)Kt= Σ (i=1 do n)Si +(r/360)L
W powyższych rozważaniach zostały zastosowane standardowe liczby dni. Stosując podobnie
wyliczenia można uwzględnić rzeczywiste liczby dni.
Należy zwrócić uwagę na fakt, ze banki liczą czas oprocentowania wpłaty od dnia
następującego po jej dokonaniu, natomiast oprocentowanie wypłaty (kredytu) liczy się od
dnia jej dokonania.
Jak zauważyliśmy wcześniej rachunek procentowy w przypadku kapitalizacji niezgodnej
opisują wzory (25),(26),(27). Naszym najbliższym celem jest zbadanie zachowania się funkcji
Pk/m i Kk/m i Wk/m ,będących przyszłą wartością kapitału Ko w zależności od okresu
kapitalizacji , czyli od częstości dopisywania odsetek. Dokładnie czy przyszła wartośc
kapitału Ko przy jednokrotnym dopisywaniu odsetek w ciagu wg stopy procentowej r jest
taka sama jak przyszła wartość tego kapitału przy dwukrotnym dopisywaniu odsetek wg stopy
procentowej r/2 i taka sama jak prz 3-krotnym dopisywaniu odsetek wg stopy procentowej r/3
itd.
Na początek zbadamy zachowanie się Pk/m określonej wzorem (25).Wykażemy następujące
tw.1.Twierdzenie 1 Po n okresach stopy procentowej r przyszła wartość kapitału Ko w
modelu kapitalizacji prostej zgodnej PN (wzór(7)), jest taka sama jak w modelu kapitalizacji
prostej niezgodnej (wzór(25)) , tj nie zależy od okresu kapitalizacji .Dowód Istotnie,
przypuśćmy że mamy do czynienia z wyznaczeniem przyszłej wartości Ko po n okresach
stopy procentowej n przy m-krotnym dopisywaniu odsetek w ciągu 1-go okresu stopy
procentowej. Zatem k=n*m i wzór(25) przyjmie postać
Pnm/m=Ko(1+nm*r/m)=Ko(1+nr)=Pn/1. Wzór powyższy wskazuje, że wartość ta jest taka
sama jak przy jednokrotnym dopisywaniu odsetek w ciagu okresu stopy procentowej (tj
m=1). Co wiecej jeżeli porównamy wzór (7) to widzimy, ze jest ona taka sama jak w modelu
kapitalizacji prostej zgodnej.
Przechodzimy teraz do analizy wzorów (26), (27) wyrażających wartość przyszłą kapitału
odpowiednio przy kapitalizacji złożonej z dołu i złożonej z góry pod kątem ich zachowania
względem częstości kapitalizacji zachodzi: Twierdzenie 2 Dla każdej ustalonej
wielokrotności (n) okresu stopy procentowej przyszła wartość kapitału w modelu kapitalizacji
złożonej z dołu jest rosnącą f-cją częstości kapitalizacji odsetek (m) Dowód: Wykażemy, że
dla każdej ustalonej l naturalnej n f-cja: Knm/m=Ko(1+r/m)=Ko(1+nr/nm)nm jest rosnaca
względem m. Zauważmy na początek, że dla kapitalizacji w podokresach jak i w nadokresach
wyrażenie p = mn jest l naturalna. Gdy m (częstość kapitalizacji) rośnie
(m->nieskończoność) wtedy również p rósnie .wystarczy wykazac ze ciag{ap} ap=(1+nr/p)p
p=1,2,… jest ciagiem rosnącym. Udowodnimy korzystając z nierówności ,ze ciag {ap} jest
rosnący ap>ap-1 p>=2
Istotnie mamy (ap+1)/(ap)=p(1+nr/p)[1-nr/(p+1)(p+nr)]p+1 Jeśli zastosujemy nierówność
Bernoulliego (30) dla x = -nr/(p+1)(p+nr) wtedy otrzymamy : (ap+1)=(1+nr/p)*p/(p+nr)=1.
Wykazaliśmy, że p jest liczba naturalna to ap+1>ap, a więc ciąg {ap} jest rosnący.
Zauważmy teraz, że Knm/m=Ko*anm. Zatem Knm/m jest f-cja rosnącą zmiennej m co
kończy dowód Uwaga Jeśli n,m są liczbami naturalnymi wtedy (31) Knm/m=Ko(1+r/m)nm
>=Ko(1+r/1)n*1=Kn/1=Ko(1+r)n=Kn gdzie Kn określone jest wzorem (14). Na koniec
omówimy wzór (27) pod względem częstości kapitalizacji zachodzi: Twierdzenie 3 Dla
każdej ustalonej wielokrotności (n) okresu stopy procentowej przyszła wartość kapitału w
modelu kapitalizacji złozonej z góry jest f-cja malejąca częstości kapitalizacji (m).Dowód
Ponieważ k=nm, więc wzór (27) przyjmie postać Wnm/m=Ko(1-r/m)-nm=Ko(1-nr/nm)-nm.
Wyrażenie p=nm jest liczbą naturalną , zatem wystarczy wykazać ze {bp} określamy
wzorrem bn=(1-nr/p)p jest ciagiem rosnącym. Istotnie, stosując podobne rozumowanie jak w
dow.tw2 otrzymujemy,ze (bp+1)/(bp)=(1-nr/p)*(1/(1-nr/p)). Tak więc bp+1>bp , p należy do
N jest to równoważne temu, że f-cja określone wzorem (32) przy ustalonym n jako f-cja
zmiennej m jest malejąca.
Uwaga Jeżeli n,m są dowolnymi liczbami naturalnymi, to: (33) Wnm/m=Ko(1-nr/nm)nm
<=Ko(1-nr/n)-n=Wn/1=Ko(1-r)-n=Wn, gdzie Wn określone jest wzorem (20)Uwaga Jeśli
n,m są dowlnym liczbami naturalnymi, to : (34) Kn<=knm/m<=Wnm/m<=Wn lub
równowaznie
(35) Ko(1+r)<=Ko(1+r/m)nm<=Ko(1-r/m)-nm<=Ko(1-r)-n Dowód Wystraczy wykazac ze
Knm/m<=Wnm/m ,n,m naleza do N i zasotsowac (31) i (33) ,w tym celu zauważmy, że 1(r/m)2<1 , a wiec (1-r/m)-1=1/(1-r/m)>1+r/m i w konsekwencji (1-r/m)-nm>(1+r/m)nm, a więc
Knm/m=Ko(1+r/m)nm<=Ko(1-r/m)-nm=Wnm/m , Zatem nierówności (34) zostały wykazane
Nierówności (34), a wiec (35) oraz (31),(33) oznaczaja, że przy ustalonej oraz od częstości
dopisywanie odsetek . nierówności (34), (35) porządkują w pewnym sensie modelu
kapitalizacja złożonej.
EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA
PROCENTOWA
Niekiedy zachodzi konieczność zmiany okresu kapit. z równoczesnym zachowaniem efektów
oprocentowanie. Dzieje się tak w niektórych zagadnieniach matematyki finansowej np.
wkłady oszczędnościowe, spłata długów.
Pojawia się tez potrzeba zastąpienia kapit. niezgodnej kapit. zgodną i odwrotnie. Zachodzi
zatem konieczność zrównoważenia efektu kapit. w podokresach lub w nadokresach.
Zrównoważenie to w przypadku kapit. złoż. z dołu jest związana z możliwością zastąpienia
nierówności (por 35)
(38 ) Ko(1+r)n <=Ko(1+r/m)m n
poprzez równoważność można to uczynić na dwa sposoby
I sposób
W odpowiedni sposób podwyższamy stopę procentowa występującą po lewej stronie tej
nierówności. Zatem w lewej stronie tej nierówności w miejsce r kładziemy ref, na efektywna
stopę procentową , i dla kapit. złożonej z dołu stopę efektywną, ref określa się równaniem
Ko(1+ ref)n= Ko(1+r/m)m n
A stą otrzymujemy
(39) ref=(1+r/m)n m
II sposób
Polega na obniżeniu stopy względnej r/m występujące w nierówności (38) tak aby otrzymać
równość. Tak obniżoną stopę procentową n równoważną stopę procentową i ozn. Rr. Zatem
dla kapitalizacji złożonej z dołu stopę określa równanie
Ko(1+ r)n= Ko(1+ rr)nm
Stąd otrzymujemy , że
(40) Rr=(1+r)1/m -1
Zrównoważenie o którym wspomnieliśmy powyżej w przypadku kapit. złożonej z góry jets
związane możliwości zastąpienia nierówności(por 35)
Wm= Ko(1+r/m)- m n<=Ko(1-r)- n = Wn
Poprzez nierówność również w tym przypadku można to zrobić na 2 sposoby
(41) ref-= 1-(1-r/m)m
II Sposób
Podwyższamy stopę względem r/mdo poziomu stopy równoważnej r -r , a więc r -r spełnia
równanie
Ko(1+ rr-) – nm= Ko(1+ r)- n tzn.
rr-=1-(1-r)1/m
Uwaga
(a)Stopy ref-, ref mają ten sam okres co stopa nominowana r, z tym że równoważą (niwelują)
skutki kapit. niezgodnej
(b)Stopy ref-, ref mają ten sam okres co stopa względna r/m z tym że równoważą (niwelują)
efekt kapit. niezgodnej.
Stopy efektywne ref-, ref i stopy rr-, rr pozwalają na równoważne zastępowanie bez zmian
efektu oprocentowania kapit. zgodnych kapitalizacjami niezgodnymi. Otrzymaliśmy bowiem
następujące zależności
(43) Kn=Ko(1+r)n = Ko[(1+r)1/m]n m =Ko[1+(1+r)1/m-1]nm = Ko(1+rr)n m
(44) Kk/m=Ko(1+r/m)k = Ko[(1+r/m)m]k / m =Ko[1+(1+r/m)m-1] k / m = Ko(1+ref)k / m
(45) Wn=Ko(1-r)-n = Ko[(1-r)1/m]- n m =Ko[1+(1-r)1/m-1] – k / m = Ko(1- rr-) - n m
(46) Wk/m=Ko(1-r/m)- k = Ko[(1r/m)m]- k / m =Ko[1+(1-r/m)m-1] – k/m = Ko(1+ref)- k / m
Analizując wzory (43) i (45) zauważamy, że dają one podstawę do określenia w umowny
sposób przyszłej wartości kapitału po niepełnej ilości okresów kapit. w ramach modelu kapit.
złożonej.
Istotnie, rozwiązanie jest następujące. Jeśli r oznacza stopę procentową której okres pokrywa
się z okresem kapit. to rzeczywisty czas oprocentowanie t dzielimy na k równych części
(jednostek podstawowych), tak aby okres kapit. był całkowitą wielokrotnością m takich części
i wówczas przyszła wartość kapit. Ko po czasie t otrzymujemy przyjmując we wzorze (43)
lub (45) wartość k zamiast wartość nom oraz rr dla częstości m wzory te (pisane od strony
lewej do prawej ) przyjmują wtedy postaci (43’) i (45’)
(43) Kt=Ko(1+rr)k =Ko[1+(1+r)1/m-1]k = Ko(1+r)k / m
(45) Wt=Ko(1-r-r)-k = Ko[1+(1-r)1/m-1] – k = Ko(1- r) – k / m
UWAGA
Stopy efektywne i stopy równoważne spełniają nierówności
Dla kapit. złożonej z dołu
(47) m * rr<=r<= ref
dla kapitalizacji złożonej z góry
(48) m * rr->=r>= ref- , m e N
DOWÓD
Najpierw wykażemy nierówność (47) . Zgodnie z def. Równoważnej stopy procentowej
Rr(por(40)) mamy
(1+rr)m = 1+r
Stosując teraz nierówność Bernouliego (30) otrzymamy
1+r = (1+rr)m>1+m rr gdy m>1
Stąd m rr<r gdy m>1
Stosując ponownie nierówność Bernouliego (30) otrzymujemy też, że :
Ref=(1+r/m)m – 1>1+m r/m – 1 = r gdy m>1
Tym samym dowód (47) został zakończony w przypadku gdy m>1
Stosując wzór (42) mamy 1-r -r= (1-m)1/m zatem (1-r-r)m= 1-r
I stosując nierówność Bernouliego (30) dostajemy 1-r =(1-r –r)m > 1- r –r gdy m>1 a zatem m
* r –r dgy m >1
Zgodnie ze wzorem (41) mamy ponadto , że
1- r –ref = (1 – r/m)m > 1-m r/m = 1-r gdy m>1
a więc
r> r –ref = gdy m>1
Dowód (48) gdy m>1 został zakończony
Gdy m=1 mamy równości w (47) i (48) . Gdy m>1 mamy tam nierówności ostre
Wykorzystując podane do tej pory wzory zauważyliśmy że przyszła wart. Kapit.
KAPITALIZACJA CIAGLA
Wiadomo że
(49) limm->oo (1+1/m)m= limm->oo (1+1/am) 1 / am=e
oraz
(49) limm->oo (1-1/m) - m= limm->oo (1-1/am)1 / am =e
jesli limm->oo = 0 am=/0 m e N
Wiadomo też, że dla wszystkich ko, r , n ciąg przyszłych wart
(51) Wnm/m = Ko(1 + r/m)n m
dla kapit. złożonej z dołu jets rosnącym względem m , natomiast ciąg przyszłych wartości
(52) Wnm/m = Ko(1-r/m)-n m
dla kapit. założonej z góry jest malejący względem m . Ponadto
(53) Knm/m <=Wnm/m dla n, m e N oraz 0<r<m
zauważmy że (wobec (49))
(54) limm->oo Knm/m= limm->oo Ko(1+r/m) nm =limm->oo [(1+r/m) m r]n r =Ko e nr
oraz (wobec (50))
(55) limm->oo Wnm/m= limm->oo Ko(1-r/m)- nm =limm->oo [(1-r/m) - m / r]n r =Ko e nr
zatem ciągi (51) i (52) spełniają (53) i mają wspólną granicę równą Ko e nr
Kapit. ciągła def. Jako graniczny przypadek kapit. złożonej w podokresach , gdy
liczba podokesów m (częstość dopisywania odsetek) zmierza do nieskończoności
Jeśli przez K(n) ozn. Przyszła wartość kapitału Ko po n okresach stopy procentowej r w
modelu kapit. ciągłej , to uwzględniając wzory (54) i (55) mamy
(56) K(n) = Ko e nr
Dla kapit, ciągłej której odsetki sa dopisywane do kapitału w każdym momencie
czasu ustala sie wart. Kapitału po dowolnym czasie t. Uogólniając wzór (56).
Do postaci (57) K(t) = Koetr , t>0
Gdzie t oznacza czas oprocentowania mierzony okresem stopy procentowej r.
Z modelem kapit. ciągłej spotykamy się dość często, np. przy wzroście masy drzewa
(zakładamy że nie dokonuje się wyrębu), odbywa nie wg modelu kapit ciągłej. Wzrost
ludności świata również odbywa się według kap c. , wartość składowanego wina w zależności
od czasu również opisuje kap. c.
RÓWNOWAŻNOŚC WARUNKÓW OPROCENTOWANIA
Powiemy że warunki oprocentowania określone w banku I są równoważne
warunkom(preferowane przez warunki ) określone przez w banku II w odmianie do
przedziału czasu <0;t> jeśli przyszła watr. Kapit. po czasie t w banku I jest równa (większa
ok. ) przyszłej wart. Tego kapit. w banku II
Jeśli warunki oprocentowania określone w banku I ś równoważne warunkom (preferowane
przez war.) określone w banku II w odniesieniu do każdego przedziału czasu , to moim ze
warunki oprocentowania określone w banku I są równoważne warunkom (są preferowane
przez wartość określone w banku II)
Zał. Ze w banku I obowiązuje roczna st procentowa ra oraz odsetki dopisywane są do kap. m1
azy w ciągu roku, natomiast w banku II obowiązuje roczna stopa procentowa r2oraz odsetki sa
przepisywane do kapitału m2 razy w ciągu roku.
Przyp. Że w b I i w b II obowiązuje model kapit. prostej. Równoważność (preferencja) war.
Oprocent. W b I w stosunku do wart. Oprocent. W b II w odniesieniu do n lat oznacza
zachodzenie równości (nierówności )
Ko(1+n*m1*r1/m1)= Ko(1+n*m2*r2/m2)
Stąd otrzymujemy że (59) r1=r2
Ponieważ zależność 59 nie jest zależna od m więc wynika stąd, że w modelu kapit, prostej
warunki równoważne(preferowane) w odróżnieniu od pewnego określonego przedziału czasu
są równoważne (preferowane) w o odniesieniu do każdego przedziału czasu są
równoważne(preferowane)
Niech teraz w bankach I i II obowiązuje model kapit. złożonej. Wówczas równoważność
(preferencja) wart. Oprocentowania w banku I w stosunku do wart oprocentowanie w banku
II określona jest równościa (nierównością)
Ko(+-r1/m1)+-nm1= Ko(+-r2/m2)+-nm2
Tutaj znak + dotyczy kapit. zdołu, - kapit z góry . Dla + mamy
Ko[(1+r1/m1)m1-1]n= Ko[(1+r2/m2)m2-1]n a więc Ko(1+ ref(I))n= Ko(1+ ref(II))n
(60’)Ref(I)= Ref(II)
Ref(I)= (1+r1/m1)m1-1
Ref(II) = (1+r2/m2)m2-1
W przypadku – mamy zaś
Ko{1-[(1-r1/m1)m1]}- n = Ko{1-[(1-r2/m2)m2] - n
(60”)Ref- (I)= Ref- (II)
Ref- (I)= 1- (1-r1/m1)m1
Ref(II) = 1- (1+r2/m2)m2
Widzimy że również wzory (60’) i (60”) nie zależą od czasu odniesienia n stąd wnosimy , że
dla modelu kapit. złożonej , o ile warunki oprocentowania sa równoważne (preferowane) dla
pewnego czasu , to sa równoważne (preferowane) dla każdego przedziału czasu , a więc sa
równoważne (preferowane)
Zał teraz że bank I stosuje model kapit, prostej z dolu , bank II – model kapit. złożonej z dołu
W tym przypadku równoważność (preferencja) wart. Oprocentowania w b I w porównaniu z
wart. Oprocentowania w banku II dla n lot oznacza , że
Ko(1+n*m1 r1/m1)= Ko(1+r2/m2)nm2
Ponieważ wzór (61) zależy od n , bo w szczególności jeśli war, oprocentowania w banku I sa
równoważne warunkom (preferowane w stosunku do wartości oprocentowania w banku II dla
jakiegoś przedziału czasu to nie musza być równoważne (preferowane) dla innego przedziału
czasu
KAPITALIZACJI PRZY ZIMENNEJ STOPIE PROCENTOWEJ
Zał że przez n1 okresów obowiązywała st. Procentowa r1, przez następnych n2 okresów
obowiązywała stopa procent r222. Zajmiemy się problemem ustalenia przyszłej wart. Kap.
Ko po n okresach gdzie n = n1+n2 +..+n zakładamy mimo zniewalającego się st procent jej
okres nie zmienia się oraz jest równy okresowi apit. A więc rozważamy kapit, zgodną . CO
więcej zakładamy że na przestrzeni wszystkich n okresów obowiązuje ten sam model kapit.
Zał na początek że obowiązuje model kapit. prostej . Oczywiście odsetki proste od kapit. Ko
po n okresach wynoszą
(62) Z= Ko n1rn+..+konprp= Kp(n1r1+..+nprp)),
i przyszla wart. Kapitału po okresie n jets równa
(63) = Pn= Ko+ Z=Ko(1+n1r1+...+np. rp)
Jeśli obowiązuje model kapit. złożonej z dołu lub z góry lub model kapit. ciągłej wtedy , wart.
Kapitału po danym okresie staje się wart początkową dla okresu następującego, Zatem
przyszłą wart okresu Ko dla tych modeli również liczy się łatwo
- dla kapit. złożonej z dołu
(64) Kn= Ko(1+r1)n1*...*(1+r1)np.
- dla kapit. złożonej z góry
(65) Wn= Ko(1-r1) - n1*...*(1-r1)- np.
dla modelu kapit. ciągłej
(66) K(n)= Ko en1r1 *...* en p r p= Ko e n1 r1 + n p r p
Dla rozważonej powyżej kapital. P[rzy zmiennej st. Procent sensowne jest wprowadzenie
przeciętnej stropy procent w okresie trwania lokaty.
Przeciętna stopa procentowa nazywać będziemy taką st. Procentową rprz dla której przyszła
wart kapit. jest taka suma jak przyszła wart. Kapit. przy zmieniającej się st. Proc.
Jeśli uwzględnimy powyższa def oraz wzory (63)-(66) zatem możemy wyprowadzić wzory na
przeciętne stopy procentowe rprz dla odpowiednich modeli kapit.
W przypadku modelu kapit prostej rrz wyraża się wzorem
Ko(1+nrpro)= Ko(1+n1r1+...+nprp)
Stąd otrzymujemy
(67)rprz= 1/n(n1r1+..+nprp)
W przypadku modeli kapit. złożonej z dołu wart. rprz wyraza się
n1
n
np
(68) rprz= (1 r1) * ...* (1 rp) . - 1
W przypadku modelu kapit. złożonej z góry wart. r prz wyrażą się
Ko(1- r prz)= Ko(1- r 1)-n1*...*(1- r p)-np. stąd otrzymujemy
n
n1
-np
(1 r1) * ...* (1 rp)
(69) rprz= 1
W przypadku modelu kapit. ciągłej wart rprz wyrażą się wzorem
Ko en r prz = Ko e n1 r1 +...+ n p r p stąd mamy
Rprz = 1/n(n1r1+...+nprp)
KAPITALIZACJA MIESZANA
Kapitalizację mieszaną nazywamy taką kapital. Dla której w czasie oprocentowania lokaty
zmienia się model kapit. Ponadto wraz ze zmianą modelu kapit. może zmienić się takie st
procent.
Załóżmy że do banku została wpłacona pewna kwota jako lokat ai zał. Że został
zadeklarowany czas trwania lokaty . Czas ten jets z reguły całkowitą wielokrotnością okresu
kapit. W przypadku gdy właściciel lokaty nie wycofał kapitału po okresie deklarowanym i
przekroczył go o niepełny okres kapit. wtedy odsetki za przekroczony czas będą naliczane na
różne sposoby.
1’Bank nie dolicza odsetek za przekroczony czas ;
2’ Bank dolicza odsetki proste od kapitału początkowego wg niższej st. Procentowej
3’ Bank dolicza odsetki proste od końcowej wart kapitału wg niższej st. Procentowej
4’ 3’ Bank dolicza odsetki proste od końcowej wart kapitału , ale wg innej stopy procentowej
, jest oprocentowany kapital początkowy, a wg innej – zgromadzone odsetki
5’ Bank dolicza cz. Odsetek przypadający na pierwszy okres kapit. proporcjonalną do liczby
przekroczonych dni
6’ Bank dolicza odsetki złożone za cały czas trwania lokaty z wykorzystaniem wzoru(43’)
Przypominamy że jeśli czas oprocentowania <0,t> nie jest całkowitą wielokrotnością okresu
kapit wtedy przedstawiamy go jako suma dwóch przedziałów całkowite wielokrotności okr.
Kapit. i reszty będącej nadokresem ork. Kapit. Oczywiście w poszczególnych przedziałach
mogą obowiązywać inne modele kapit. i inne stopy proc.
Załóżmy że w przedziale czasu n1 (obejmującym n1 lat) obowiązuje kapit. złożona z dołu
przy rocznej stopie proc r1, a w pozostałym przedziale obejmującym r2 dnie (n2<360)
obowiązuje kapit. prosta z dołu przy rocznej st. Procent r2.
W przyp. 1’ wart kapit. Ko przyjmie wart(71) Kt=Ko(1+r1)n1
W przyp. 2’ przyszła wart. kapit. Ko po czasie t przyjmie wart
(72) Kt=Ko(1+r1)n1+Ko *n2[(1+r1)n1+n2*r2/360]= [Ko(1+r1)n1+ n2*r2/360]
W przy. 3’ przyszłą wart Ko wynosi
(73) Kt=Ko(1+r1)n1+Ko (1+r1)n1*n2 r2/360=Ko(1+r1)n1(1+n2*r2/360)
W przypadku wariantu 4’ przyszła wart kapitału wynosi
(74) Kt=Ko(1+r1)n1+Ko n2 r2/360+[ Ko(1+r1)n1- Ko]n2 r3/360= Ko(1+r1)n1(1+ n2
r2/360)+Kon2(r2- r3)
W przypadku wariantu 5’ mogą być dopisywane odsetki od kapituł początkowego w
wysokości Ko n2r1/360 lub odsetki od kapitału końcowego w wysokości Ko(1+r1)n1
n2*r1/360). W konsekwencji wart. przyszła kapitału początkom. Ko będzie równa
odpowiednio
(75) Kt=Ko(1+r1)n1+Ko *n2*r2/360]= [Ko(1+r1)n1+ n2*r1/360] lub
(76) ) Kt=Ko(1+r1)n1+Ko (1+n1)n1*n2 r1/360=Ko(1+r1)n1(1+n2*r1/360)
W przypadku wariantu 6’ przyszła wart. kapit. Ko po czasie t=360n1+n2 będącym czasem
trwania lokaty wyrażonym przez liczbę dni zgodnie ze wzorem (43’) przyjmie postać
Kt=Ko(1+r1)t/360
Jeżeli kapit. nie jest zgodna wtedy przyszła wart opisująca analityczne wzory (71)-(76) Przy
czym r1 oznacza wtedy stopę procentową względnie dostosowana do okresu kapitalizacji .
Natomiast n1 wyraża ilośc pełnych okr. Kapit. zawartych w przedziale<0,t>
OPROCENTOWANIE LOKATY Z UWZGLĘDNIENIEM INFLACJI
Symbolem i ozn. Stopę inflacji , symbolem Knom1ozn. Przyszłą wart kapitału Ko w starych
cenach (np. z ubiegłego roku ) , Kre1oznaczamy rzeczywisty wzrost wart. kapitału Ko
wyrazony w cenach bieżących , jest on mniejszy od Knom1 . Zachodzi wzór
(*) 1+i = Knom1/ Kre1
, zakładamy , ze okres st. Procentowej r jest równy okresowi stopy inflacji przy czym z reguły
okresem tym jest 1 rok.
Wiadomo , że nominalny wzrost wart. kapitału Ko p 1 okresie wyraża wzór
Knom1 = Ko(1+r)
Jest to przyszła wart. kapit. w starych cenach(z ubiegłego roku), rzeczywisty wzrost kapit. Ko
uwzględniający wzrost cen , a więc wyrażony w cenach bieżących , jest mniejszy , określony
jest wzorami
(77) Kre1= Ko *(1+r)/(1+i)
Tak więc w związku ze wzrostem cen towarów i usług realny (rzeczywisty wzrost wart.
pieniądza jest mniejszy i realne tempo pomnażania wart pieniądza w czasie nr realną
(rzeczywistą) stopa procentową i ozn symbolem rre). Realna stope procentowa określa więc
równanie
Ko(1+ rre)= Ko(1+r)/(1+i)
A więc
(78) rre)= (1+r)/(1+i)
z (78) wynika że realna stopa procentowa jest dodatnia (a więc realna wart pieniądza rośnie )
 stopa procentowa r jest większa od stopy inflacji
Jeśli wzór (77) zapiszemy w postaci Kre1= Ko /(1+r)*(1+i) wtedy jego interpretacja jest
następująca i r będzie oznaczać rzeczywiste pomnożenie kapitału jaki dokonamy indeksacji
(waloryzacji ) kwoty Ko o wskaźnik inflacji a więc jeśli zamiast Ko przyjmiemy Ko(1+i).
Wartość Ko (1+i) oznacza że wartość Ko wzrosła o czynnik (1+i) w jednym okresie stopy
procentowej
W innnym przypadku kapit. niezgodnej przy m=krotnym dopisywaniu odsetek i okresie
storpy procentowej r, realna (rzezywistą ) stopą efektywną określa równanie
m
r
1
1
m
Ko(1+rre, ef)= Ko
r i
m
m
r
r
1
1 1
1 i
ref i
m
m
A więc (79) rre, ef =
r i
r i
1 i
Gdzie ref=(1+r/m)m-1
W powyższych rozważaniach uwzględniono wpływ inflacji przypadającej na 1 okres stopy
procentowej
Załóżmy teraz że kapitał początkowy Ko(pieniężny) pomnażał się
wartość przez n okresów st. proc. r zgodnie z modelem kap. złożonej z dołu zgodnej. Zał. że
stopa inflacji na przestrzeni tych n okresów zmienia swoją wartość i niech przez n1
pierwszych okresów wynosi i1 , przez następnych n2 okresów wynosi i2 itd. Niech
n=n1+n2+...+nP Wzór (*) oznacza że na przestrzeni 1-go okresu st. proc. K0 wzrosła o czynnik
(1+i). Przy powyższych uwarunkowaniach jest oczywiste że na przestrzeni n okresów poziom
cen wzrasta o czynnik: (1+i1)n1 (1+i2)n2...(1+iP)np a zatem stopa inflacji wynosi w tym okresie
(80) i=(1+i1)n1 (1+i2)n2...(1+iP)np-1 ; i w konsekwencji
(1 r ) n
(81) K nre K 0
(1 i1 ) n1 (1 i 2 ) n2 ...(1 i P ) np
W powyższym przypadku możemy określić przeciętną stopę inflacji iprz będącą taką stałą
stopą inflacji, przy której realna wartość przyszła jest taka sama jak realna wartość przyszła
przy zmieniającej się st. inflacji. Tę przeciętną st. inflacji przypadającą na 1 okres st. proc.
określa równanie:
K 0 (1 r ) n
(1 r ) n
stąd (82) i prz n (1 i1 ) n1 ...(1 i p ) np 1
K0
n
n1
np
(1 i prz )
(1 i1 ) ...(1 i p )
DYSKONTO
Dyskontem naz. potrącenie z góry odsetek od zaciągniętego kredytu lub potrącenie odsetek
od weksli i innych papierów wartościowych oznaczających zobowiązanie sprzedaży przed
terminem płatności. Zaciągając w banku kredyt, kredytobiorca zobowiązuje się zwrócić
pożyczoną kwotę w określony sposób i w określonym terminie oraz spłacić stosowne odsetki
jako zapłatę za wypożyczoną kwotę. Odsetki te mogą być pobierane z dołu albo z góry,
wówczas kredytobiorca otrzymuje obniżoną wartość kredytu o odsetki. To obniżenie kredytu
o odsetki jest dyskontem. W przypadku obrotu wekslami (weksel oznacza zoboziązanie do
zapłacenia określonej kwoty, tzw. wart. nominalnej, w określonym terminie tzw. terminie
wykupu lub terminie płatności) - lub innymi papierami wart. sprzedawanymi z dyskontem może się zdarzyć, że posiadacz weksla nie chce lub nie może czekać na swój kapitał
pieniężny, aż do terminu wykupu weksla. Jeśli jednak chce otrzymać swoje pieniądze
wcześniej, to musi się liczyć z tym, że nie otrzyma pełnej kwoty, ale kwotę mniejszą. To
obniżenie wartości weksla jest dyskontem. Dyskonto możemy interpretować jako zapłatę za
udzielenie kredytu lub wcześniejszy wykup weksla. Pomniejszenie wartości o odpowiednie
dyskonto naz. dyskontowaniem. Rozróżnia się dwa rodzaje dyskonta: - dyskonto
matematyczne (rzeczywiste, dokładne); - dyskonto handlowe (bankowe, przybliżone).
DYSKONTO MATEMATYCZNE jest równe odsetkom wytworzonym przez dany kapitał
w rozważanym przedziale czasu i wystawiane najczęściej przy udzielaniu kredytu bankowego
z dyskontem. Wyznaczone jest od aktualnej wart. kapitału od obowiązującej st. proc. (st.
kredytowej) i obowiązującego modelu kap. Zatem: (83) Dm=Kn-K0 ; Jeśli odsetki są
wyznaczone (a) wg. modelu kap. prostej, to odpowiadające im dyskonto naz. dyskontem
prostym (b) wg. kap. złożonej - dyskontem złożonym (c) wg. kap. ciągłej - dyskontem
ciągłym.
Uwzględniając wcześniej otrzymane wzory otrzymamy wzory na dyskonto matematyczne.
Dyskonto matemat. proste za n okresów st. procent r (84) DM = K0 (1+nr) – K0 = K0nr
Dyskonto matematy. Złożone za n okresów stopy procentowej r dla:
Kap. złożonej z dołu zgodnej wynosi: (85) DM = K0 (1+r)n – K0 [(1+r)n – 1]
Kap. złożonej z góry zgodnej wynosi: (86) DM = K0 (1-r) –n – K0 = K0 [(1-r)-n-1]
Kap. złożonej z dołu niezgodnej wynosi: (87) DM = K0 (1+r/m)nm – K0 = K0 [(1+ref)n – 1]
Kap. złożonej z góry niezgodnej wynosi: (88) DM = K0 (1-r/m)-nm – K0 = K0 [(1- ref)-n-1]
Dyskonto matematyczne ciągłe za n okresów st. procent r wynosi:
(89) DM = K0enr – K0 = K0 (enr – 1)
Oczywiście dyskont. Matematyczne (pomniejszanie wart. o dyskonto matematyczne) i
oprocentowanie przy tej samej st. procentowej są działaniami wzajemnie odwrotnymi.
DYSKONTO HANDLOWE stosowane jest w przypadku korzystania z weksli, czeków,
obligacji sprzedawanych z dyskontem i innych papierów wartościowych oznaczających
zobowiązanie. W każdym z tych przyp. znana jest wart. nominalna papieru wartościowego
jako wart. końcowa, a dyskonto handlowe powoduje obniżenie wart. nominalnej do tzw.
wartości aktualnej.
Dyskonto handlowe jest proporcjonalne do wart. nominalnej danego papieru wartościowego,
a współczynnik proporcjonalności nz. się stopą dyskontową. Ponadto dyskonto handlowe jest
proporcjonalne do czasu (...)
Wzór określający dyskonto handlowe jest następujący (90) DH = Wnom d n, gdzie Wnom ozn.
wartość nominalną papieru wartościowego, d- stopę dyskontową, n - liczbę okresów st.
dyskontowej, której dyskonto dotyczy. Jeśli d ozn. roczną st. dyskontową, natomiast n ozn.
ilość dni zawartych między datą spłaty weksla a datą jego zakupu to wzór (90) można
przedstawić w postaci
(91) DH=Wnom (d/360) n, wówczas odstępujący weksel otrzyma jako zapłatę kwotę: Wakt=
Wnom - DH , która jest wartością aktualną weksla. Stąd otrzymujemy, że wartość aktualna
weksla określona jest wzorem: (92) Wakt = Wnom(1 - (d/360) n)
Dwa wksle naz. równoważnymi w danym dniu jeśli ich wartości aktualne w danym dniu są
równe. Zauważmy, że dyskontowanie handlowe (odejmowanie od wartości dyskonta
handlowego) nie jest działaniem odwrotnym do oprocentowania przy tej samej st. proc.
Istotnie, np. dla oprocentowania prostego przy st. proc. i dyskontowej r mamy: Kn-DH=Kn-
Knnr=Kn(1-nr)=K0(1+nr)(1-nr)=K0(1-n2r2)<K0 ; ozn. to, że dodanie odsetek prostych do K0
daje wartość Kn lecz odjęcie dyskonta handlowego od Kn nie daje wartości K0. Jest to
konsekwencja tego, że odsetki proste (dyskonto mat. proste) są mniejsze od dyskonta
handlowego obliczonego przy tej samej stopie. Istotnie dla n okresów st. proc. i dyskontowej r
mamy: DM=K0nr ; DH=Knnr, a ponieważ K0 < Kn , n N to DM< DH
St. proc. r i st. dyskontową d, dla której dyskonto matematyczne proste jest równe dyskontowi
handlowemu nz. stopami równoważnymi. Ustalimy zależności dla stóp równoważnych.
Zatem DH = DM, tj. K0 nr = Kn nd lub równoważnie K0r = K0(1 + nr)d , stąd d = 1/(1+nr) i r =
d/(1-nd). Zależności te wskazują, że równoważność st. procentowej i dyskontowej zależy od
ilości okresów n. Oczywiście st. równoważne dla pewnej ilości okresów nie są równoważne
dla ich innych okresów. Jak zauważyliśmy wcześniej dyskonto handlowe, które wyznacza się
na podstawie wart. przyszłej jest większe od dyskonta matemat. prostego przy tej samej
stopie. Zatem dyskonto handlowe jest niekorzystne dla dłużnika. Dyskonto matemat. jest
neutralne dla dłużnika i wierzyciela. Ponadto bank, który zakupuje weksel przed terminem
płodności, pobiera oprócz dyskonta również inne opłaty takie jak opłatę ryczałtową i
proporcjonalną. Powoduje to pomniejszanie aktualnej wart. weksla o te opłaty.
OPROCENTOWANIE PROSTE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH
Kapitał pomnaża swoją wartość w wyniku dopisywania odsetek (kapitalizacja odsetek). W
przypadku gromadzenia funduszy celowych przeznaczonych na realizację konkretnych
przedsięwzięć odpowiednio szybkie tempo przyrostu kapitału zapewniają wkłady okresowe
zwane również wkładami oszczędnościowymi. Zakładać będziemy, że kolejnych wpłat
dokonuje się w tych samych odstępach czasu zwanych okresem wpłaty. W trakcie
analizowania problemu oprocentowania wkładów oszczędnościowych należy brać pod
uwagę: okres st. procent., okres wkładów i ponadto – w przypadku modelu kapit. złożonej –
również okres kapitalizacji. Jeśli wymienione okresy są równe to tego typu wkłady nz.
wkładami zgodnymi, w przeciwnym przypadku wkłady nz. będziemy wkładami niezgodnymi.
Załóżmy że wkłady E1,E2,..,En dokonywane są z dołu z okresem st. procentowej r. Wówczas
wart. końcowa sumy tych wkładów określona jest wzorem Kn=E1+...+En+Z, gdzie Z jest
sumą wart. odsetek prostych od wszystkich wkładów, zatem Z=E1r(n-1)+ E2r (n-2) +...+En-1r
= [E1 (n-1)+ E2(n-2)+...+En-1]r stąd otrzymujemy: (93) Kn=E1+E2+...+En+[E1(n-1)+E2(n2)+...+En-1]r; Jeśli wkłady oszczędnościowe dokonywane są z góry to suma odsetek jest
równa: = E1rn + E2r (n-1)+...+Enr = [E1n+E2(n-1) +...+ En]r i przyszła (końcowa) wart.
sumy wkładów określana jest wzorem: (94) Kn = E1+E2+...+En+[E1n+E2(n-1)+...+En]r
Jeśli wkłady oszczędnościowe dokonywane są w jednakowej wysokości tj. E1=E2=...=E,
wówczas wzory (93) i (94) przyjmują odpowiednio postać (93’) Kn=nE+Er[(n-1)+(n2)+...+1]= En(1+r(n-1)/2) ; (94’) Kn=nE+Er[n+(n-1)+...+1]= En(1+r(n+1)/2) tak więc przyszła
(końcowa) wartość wkładów oszczędnościowych o jednakowej wys. E jest równa: (95) Kn =
Er(1+r(n(+lub-)1)/2), przy czym „+” dotyczy wkładów oszczędnościowych z góry, a „-”
wkł.oszcz. z dołu. Jeśli zastosujemy analogicznie rozumowanie jak w dowodzie wzoru (7)
wtedy otrzymujemy, że aktualna w momencie t wart. sumy n wkładów oszczędnościowych E
w modelu oprocentowania prostego jest równa: Kt = Kn (1+tr)/(1+nr) , a więc (96) Kt= Kn [1(n-t)r/(1+nr)] uwzględniając wzory (95) i (96) otrzymujemy: (97) Kt=En(1+r(n(+lub-)1)/2) *
(1+tr)/(1+nr) ; Aktualną w momencie t=n sumą n wkładów oszczędnościowych nazywać
będziemy wartością przyszłą lub końcową. Aktualną w momencie t=0 wartość sumy n
wkładów oszczędnościowych będziemy naz. wartością teraźniejszą lub początkową.
Uwzględniając (97) zauważamy, że aktualizacja na moment t=0 daje wartość teraźniejszą
wkładów (98) K0=En(1+r(n(+lub-)1)/2)*1/(1+nr)
OPROCENTOWANIE PROSTE WKŁADÓW NIEZGODNYCH
Niezgodność wkładów oszczędnościowych w modelu oprocentowania prostego polega na tym
że okres st. proc. jest różny od okresu wkładu. Dla przykładu można rozważać wkłady
miesięczne przy oprocentowaniu rocznym. Celem uwzględnienia okresów wkładów i
oprocentowania wprowadza się współczynnik m=okres st. proc./okres wkładów. Zakładamy,
że m N lub odwrotnością l. naturalnej, tj. okres st. proc. jest wielokrotnością okresu
wkładów lub okres wkładów jest wielokrotnością okresu st. proc. Wzory (95),(97) i (98)
przyjmują wtedy odpowiednio postać (95') Kn=En(1+(n(+lub-)1)/2 * r/m) - wartość przyszła,
końcowa; (97') Kt= En(1+(n(+lub-)1)/2 * r/m)*(1+t r/m)/(1+n r/m) - wartość aktualna w
momencie t; (98') K0= En(1+(n(+lub-)1)/2 * r/m)*1/(1+n r/m) - war. teraźniejsza, początkowa.
Uwaga - powyższe wzory możemy zmodyfikować w inny sposób jeśli istnieje jednostka
podstawowa dla okresów wkładów i st. proc.
OPROCENTOWANIE ZŁOŻONE WKŁADÓW ZGODNYCH
Stosujemy model kap. złożonej z dołu a więc podczas analizy oprocentowania złożonego
wkładu oszczędnościowego będą porównywane 3 okresy: okres st. proc., okres wkładów i
okres kap. Jeśli wszystkie te okresy są równe, to wkłady naz. będziemy wkładami zgodnymi.
Jeśli przynajmniej 2 z nich będą różne, to naz. je wkładami niezgodnymi.
Zał. że analizowane wkłady są zgodne. Dla wkładów oszczęd. z dołu o wielkościach
E1,E2,...,En przyszła (końcowa) ich wartość Kn w momencie n jest równa sumie przyszłych
wartości wpłat w momencie n. Wykorzystując model kap. złożonej z dołu otrzymujemy (99)
Kn=E1(1+r)n-1+E2(1+r)n-2+...+En= E1qn-1+E2qn-2+...+En-1q+En , gdzie q=1+r ; r - okres st.proc.
przy czym okresy st.proc., wpłat i kap. są równe. (jakiś wykres czasu)
W przypadku wkładów oszczędnościowych z góry, otrzymujemy (100) K n =
E1(1+r)n+E2(1+r)n-1+...+En(1+r)= E1qn+E2qn-1+...+En , gdzie q=1+r
Jeśli wkłady oszczęd. są równe i ich wysokość wynosi E to wzory (99) i (100) przyjmują
odpowiednio postać (99') Kn=E(qn-1+qn-2+...+1)=E(qn-1)/(q-1) dla wkładów z dołu ; (100')
K n = E(qn+qn-1+...+q) = Eq(qn-1)/(q-1) dla wkładów z góry. Stosując podobne rozumowanie
jak w dowodzie (14) otrzymujemy (101) Kt=Kn/(qn-t) - wartość kwoty Kn zaktualizowana na
dowolny moment t N {0}
Zatem wykorzystując podany wyżej wzór na aktualną w momencie t wart. sumy wkładów
oszczęd. możemy w szczególności otrzymać uwzględniając (100') i (101) nast. wzór: (102)
Kt= E 1/(qn-t) (qn-1)/(q-1) -z dołu; Kt= E 1/(qn-t-1) (qn-1)/(q-1) -z góry, gdzie t=0,1,..,n
Wzory (102) wyrażają aktualizację na moment t sumy wkładów oszczędnościowych. W
szczególności dla t=0 aktualizacja prowadzi do wart. teraźniejszej (początkowej) sumy
wkładów oszczędnościowych określanej wzorem: (103) K0= E 1/qn (qn-1)/(q-1) -dla wkładów
z dołu; K0= E 1/(qn-1) (qn-1)/(q-1) -dla wkładów z góry; Oczywiście wzór (102) ustala
zależności między wielkościami Kt,E,q,t i n.
OPROCENTOWANIE ZŁOŻONE WKŁADÓW NIEZGODNYCH
Niezgodność wkładów oszczędnościowych oznacza, że przynajmniej spośród 3 okresów –
okresu st. procentowej, wkładów, kapitalizacji – są różne. Ustalanie aktualnej wart. wkładów
oszczędność. niezgodnych w szczególności wart. końcow. Lub wart. początkowej polega na
ich równoważnym zastąpieniu układami zgodnymi i wykorzystywaniu wzorów dotyczących
wkładów zgodnych. Mimo, że o zgodności lub niezgodności wkładów oszczędnościowych
decydują 3 okresy, to jednak istotne znaczenie ma porównanie okresu wkładów z okresem
kapitalizacji. Ponieważ okres st.procent. możemy ustalić w zależności od sytuacji poprzez
wykorzystanie względnej st. procentowej, to istotne znaczenie mają 3 przypadki wkładów
niezgodnych, które będziemy analizować poniżej :
(a) okres wkładów równy okresowi kapitalizacji natomiast okr.st. procent. ma inną
wart.
Zakładamy ponadto, że m określony wzorem m=okres stopy procentowej, okres kapitalizacji,
jest liczbą naturalną lub odwrotnością l.naturalnej. uzgodnienie wkładów otrzymuje się przez
przejście na względną st. procentową r =r/m wówczas okres st. procent. r jest równy
okresowi kapitalizacji i okr. wkładów. Jeśli przyjmiemy, że q = r + n to wobec wzoru (99’),
(100’) i (103) otrzymujemy, że – wartość przyszła sumy wkładów oszczędnościowych wynosi
(104) Kn = E ( q n-1)/(q-1) ; Kn=E q ( q n-1)/(q-1) dla wykładów z góry.
wartość teraźniejsza sumy wkładów oszczędnościowych wynosi:
(105)
n
K0
E
1 q 1
n
q q 1
dla wkładów z dołu ;
n
K0
E
1 q 1
n 1
q 1
q
dla wkładów z góry
(b) okres wkładów większy od okresu kapitalizacji
Przypuśćmy, że okres wkładów jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji(np.
wkłady są półroczne, kapitalizacja kwartalna, oczywiście stopa procentowa może być
dowolna np. roczna)
Niech r oznacza dostosowaną do okresu wkładów stopę procentową, tzn. taką stope
procentową, której okres jest równy okresowi wkładów (wystarczy względną stopę
procentową lub jednostkę podstawową po odpowiedniej modyfikacji). Wykorzystamy
efektywną st. proc. ref (1 mr ) m 1 , gdzie m – liczba określająca ile razy okres wkładów
(oraz okres st. proc. r) jest większy od okresu kapitalizacji, czyli: m=(okres st. proc. (r)/okres
kapitalizacji) ; wtedy okres st. proc. ref jest równy okresowi st. proc. r i okresowi wkładów, a
stopa ref rekompensuje efekt kapitalizacji w podokresach. Otrzymaliśmy wkłady zgodne, dla
których możemy stosować (99),(100),(99’),(100’),(102),(103). W konsekwencji dla n
wkładów oszczędnościowych o jednakowej wysokości E przy oznaczeniu qef = 1+ref
otrzymujemy następujące wzory:
wartość przyszła sumy wkładów oszczędnościowych
qefn 1
qefn 1
(106) K n E
dla wkładów z dołu ; K n Eqef
dla wkładów z góry
qef 1
qef 1
wartość teraźniejsza sumy wkładów oszczędnościowych wynosi:
n
n
1 q ef
1 qef 1
(107) K 0 E n
dla wkładów z dołu ; K 0 E n 1
dla wkładów z
q ef q ef 1
qef qef 1
dołu
(c) okres wkładów mniejszy od okresu kapitalizacji
Załóżmy, że okres kapitalizacji jest wielokrotnością okresu wkładów (np. wkłady miesięczne
przy kapitalizacji kwartalnej i rocznej st. procentowej) Na początek wyznaczamy taka st.
procentową, której okres jest równy okresowi kapitalizacji. Stopę tą otrzymujemy
wykorzystując względną st. procentową.
Niech r ozn. st. procent. dostosowaną do okresu kapitalizacji. Przyjmijmy następnie, że
wkładów dokonywano przez n okr. kapit. przy czym w każdym okr. kapit. dokonywano m
wkładów o tej samej wysokości E. Łączna ilość wkładów wynosi więc n*m. Schemat
wkładów:
m 1
1
2
czas
....
n-1
n
m m
m 1
wkłady z dołu
E E ........
E E ........
....
E E
z góry E E E ........
E E ........
....
E
Opiszemy dwie metody przyszłej wartości wkładów oszczędnościowych częstszych niż
kapitalizacja.
(c1) Model kapitalizacji złożonej z dołu
W tej metodzie uzgodnienia wkładów dokonuje się przez zastąpienie w kapitalizacji
okresowej o zadanym okresie kapitalizacji przy stopie procent. r równoważną kapitalizacją w
podokresach zgodnie z okr. wkładów z wykorzystaniem st. równoważnej. rr = (1+r)1/m – 1
gdzie m N określającą ile razy okres kapitalizacji jest większy od okresu wkładów. Stosując
wzory (106) i (107) dla wkładów oszczędnościowych zgodnych przy oznaczeniach qr = 1+ rr
otrzymujemy podstawowe wzory dla analizowanych wkładów oszczędnościowych:
- wartość przyszłą (końcową) sumy wkładów oszczędnościowych wyrażają wzory:
q nm 1
q nm 1
(108) K nm E r
dla wkładów z dołu; K nm Eqr r
dla wkładów z góry
qr 1
qr 1
- wartość teraźniejszą (początkową) sumy wkładów oszczędnościowych określają wzory:
1 q nm 1
1 q nm 1
(109) K 0 E nm r
dla wkładów z dołu; K 0 E nm 1 r
dla wkładów z góry
qr 1
qr qr 1
qr
(C2) Model kapitalizacji mieszanej
Zastosowanie modelu kapitalizacji mieszanej w analizie wkładów oszczędnościowych
częstszych niż kapitalizacja polega na tym, że w podokresach okresu kapitalizacji (czyli w
okresach wkładów) stosuje się oprocentowanie proste, a w pełnych okresach kapitalizacji
oprocentowanie złożone z dołu zatem zastępujemy m wkładów o wartości E każdy,
dokonywanych w podokresach okresu kapitalizacji jednym równoważnym w sensie
kapitalizacji prostej, wkładem umownym z dołu. Okres wkładu umownego jest równy
okresowi kapitalizacji i okr. st. procent. r. Model kapitalizacji mieszanej stosują m. in. polskie
banki. 1 – okres kapitalizacji, okres stopy procentowej
r
m
m=5
W celu wyznaczenia odsetek prostych od wpłacanych kwot za 1 okres kapitalizacji
zauważamy, że względna st. procentowa dla podokresów wpłat wynosi mr , wg tej stopy
wyznaczmy okresy w podokresach wpłat. Zatem dla wpłat z dołu mamy:
Z1 E mr (m 1) E mr (m 2) ... E mr [( m 1) (m 2) ... 1] m2 1 rE
natomiast dla wpłat z góry:
Z1 E mr m E mr (m 1) ... E mr E mr [m (m 1) ... 1] m2 1 rE
Zatem ogólnie: Z1 = Er (m(+lub-)1)/2
st. procent.
r
r
r
r
.....................
m
m
m
m
z dołu
z góry E
E
E
E
E
E
E
.....................
.....................
1 okres kapitalizacji
okres st. procent r = okres kapitalizacji
Przy czym znak "-" dotyczy wpłat z dołu a "+" dotyczy wpłat z góry
Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi
E
E
E
k1
m* E
Z1
E (m
m 1
r)
2
Wielkość K 1 interpretujemy jako umowna wpłatę, zastępującą w równoważny sposób, w
sensie kapitalizacji prostej , m wpłat w wysokości E każda, dokonywanych w podokresach.
Zastosowanie umownej wpłaty K 1 ma tę zaletę że powoduje uzgodnienie wkładów. Są to
wkłady oszczędnościowe zgodne z dołu, o jednakowej wysokości k1 w liczbie n. Przyszła
(końcowa) wartość sumy takich wkładów, zgodnie ze wzorem (106) przyjmie postać:
Kn=E(m+((m+-1)/2)r)*(q^n -1)/q-1.
Przy czym „-” dotyczy wkładów z dołu, natomiast „+” wkładów z góry. Wartość teraźniejszą
(początkową) sumy wkładów, zgodnie ze wzorem (107) przyjmie postać: K0=E(m+((m1)/2)r)* 1/q^n * (q^n-1)/(q-1).
Zauważy, że wzór (111) możemy zapisać w postaci:
Kn = Em(1+((m+-1)/2m)r) )*(q^n -1)/q-1.
Czynnik (m+-1)/2m występujący w tym wzorze jest większy od 1. Obrazuje on korzyści jakie
dają mniejsze, ale częstsze wpłaty. Dokonywanie jednorazowych wpłat w wysokości Me
zgodnie z okresem kapitalizacji zamiast m wpłat w wysokości E w podokresach kapitalizacji,
daje bowiem końcową wartość równą Em= (q^n -1)/q-1.
Zauważmy jeszcze, że m we wzorach (111) i (112) oznacza liczbę wkładów. Liczba
rzeczywistych wkładów jest równa nm. Oczywiście wzór (111) ma pewną wadę. Pozwala
bowiem wyznaczyć przyszłą wartość wkładów oszczędnościowych w ilości będącej całkowita
wielokrotnością liczby m, a więc dla ilości wkładów 1m, 2m .. itd. Zatem nie jest to rachunek
szczegółowy.
OPROCENTOWANIE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH Z
UWZGLĘDNIENIEM INFLACJI.
Na zakończenie rozważań o wkładach oszczędnościowych rozpatrzymy co oprocentowanie
uwzględnia. Ceny towarów i usług rosną. Ponieważ nie następuje równocześnie odpowiedni
wzrost ich jakości, więc rodzi to inflacje. Inflacja, czyli wzrost cen powoduje, że wartość
realna pieniądza rośnie wolniej niż wynikało by to z przyjętego modelu kapitalizacji. Możemy
zatem mówić o wartości nominalnej (bez uwzględnienia inflacji) jak i o wartości realnej (z
uwzględnieniem inflacji, w odniesieniu do stałych cen ustalonego okresu) gromadzonych
wkładów oszczędnościowych. W dalszym ciągu zakładamy, że w ciągu gromadzenia
wkładów oszczędnościowych stopa procentowa r oraz stopa inflacji i są stałe oraz, że okres
stopy procentowej r pokrywa się z okresem stopy inflacji i.
Oznaczamy q=1+r oraz p=1+i.
Jak wykazaliśmy wcześniej dla wkładów oszczędnościowych zgodnych o stałej wartości
nominalnej E przyszła wartość nominalna sumy n wkładów wynosi:
qn
q
{
qn
Eq(
q
E
K nnom
1
dla _ wkłkład _ z _ dolu
1
1
)dla _ wkladow_ z _ gory
1
Wiadomo, że realna wartość sumy tych wkładów wyrażona w cenach z 1-szego okresu
wkładów jest mniejsza. Strumień realnej wartości wkładów można przedstawić jak poniżej
(no i tutaj mamy taka os czaso-przestrzenna  na górze czas na dole wkład z dołu/góry i
analogicznie dla 1 mamy e/(e)/p dla 2 mamy e/p / e/p^2 itd.)
Dla wkładów z góry sumowania realnych wartości wkładów prowadza do następującej
wartości końcowej: Kn(re) = E((q^n – 1/p^n)/q-1/p).
A dla wkładów z góry mamy: Kn(re) = Eq(((q^n)-(1/p^n))/q-1/p).
Kt(re) = Kn(re)/q^(n-t)
Więc wartość teraźniejszą wkładów oszczędnościowych wyrażonych w cenach dzisiejszych
jest równa:
1
1
pn
E n
dla _ wkladow_ z _ dolu
1
q
q
p
{
1
qn
1
pn
E n1
dla _ wkladow_ z _ gory
1
q
q
p
qn
K 0re
SPŁATA DŁUGÓW
Z Długiem ściśle związany jest okres spłaty długu lub krótko okres zwrotu. Ze względu na
okres zwrotu długów, długi dzieli się na: Krótkoterminowe (gdy okres zwrotu określony jest
poniżej jednego roku), średnio terminowe(gdy okres długu określony jest od 1 roku do 5 lat)
oraz długoterminowe gdy okres zwrotu jest większy niż 5 lat. W przypadku rozliczania
długów krótkoterminowych stosuje się model kapitalizacji z dołu prostej, a w przypadku
rozliczania długów średnioterminowych i długoterminowych stosuje się model kapitalizacji
złożonej z dołu. Podstawowymi formami długów są pożyczki i kredyty. Umowa o długo
dotyczy pożyczkobiorcy oraz wierzyciela- w przypadku pożyczki, w przypadku kredytu
dotyczy kredytobiorcy oraz wierzyciela. Między pojęciami pożyczki i kredytu istnieje szereg
różnic natury prawnej i ekonomicznej. Wymienimy pewne z nich.
Stosunki prawne pomiędzy pożyczkobiorca oraz wierzycielem są regulowane przez przepisy
prawa cywilnego, natomiast stosunki prawne między kredytobiorcą, a wierzycielem regulują
przepisy prawa bankowego.
Przedmiotem pożyczki mogą być środki pieniężne lub innej przedmioty materialne, natomiast
przedmiotem kredytu są tylko środki pieniężne w postaci bezgotówkowego kredytu
bankowego.
Przy zaciąganiu pożyczki cel nie musi być określony, natomiast cel kredytu musi być ściśle
określony i może być kontrolowany w czasie trwania kredytu.
Pożyczka nie musi mieć formy pisemnej, natomiast kredyt musi posiadać taka formę pisemną.
Oczywiście różnice te nie są brane pod uwagę z punktu widzenia matematyki finansowej i nie
mają wpływu na obliczenia związane ze spłatą długu.
Umowa o długo powinna określać jego wysokość, formę spłaty, termin spłaty, wysokość
stopy procentowej z okresem kapitalizacji, formę i wysokość spłaconych odsetek
(uwzględniających wysokość marży ) oraz szereg innych. Zaciągnięty dług należy spłacić z
należnymi odsetkami. Spłata długo nazywa się także umarzaniem długu. Jedną z form spłaty
długu jest forma ratalna, której podstawę tworzą raty zwane płatnościami, spłatami lub ratami
łącznymi. Zakłada się, że spłatę długu dokonuje się ratami w takich samych odstępach czasu
zwanych okresami spłaty. Raty wnoszone mogą być na początku lub na końcu okresu spłaty.
W pierwszym przypadku mówimy o spłacie długu z góry, natomiast z drugim z dołu.
Zauważmy, że spłatę długu góry możemy traktować jako spłatę z dołu tyle że długu
pomniejszonego o pierwszą ratę, w konsekwencji ograniczymy rozważania do spłaty długu z
dołu.
Przy rozliczeniach związanych z długiem należy uwzględnić 3 okresy stopy procentowej,
kapitalizacji i spłat. Jeżeli wszystkie te okresy są równe, to mamy do czynienia ze spłatami
zgodnymi, jednak gdy te okresy są nierówne to mówimy o niezgodności. Podstawę spłaty
długo stanowi następująca zasada. Dług został spłacony wtedy i tylko wtedy gdy w ustalonym
momencie czasu aktualna wartość długu jest równa sumie aktualnych wartości wszystkich
spłat umarzających ten dług. Zasada ta wymaga wprowadzenia aktualizacji kwot na wybrany
moment czasowy. Aktualizacji należy dokonywać w oparciu o różne modele. Jako regułę
przyjmuje się, że do rozliczenia długów krótkoterminowych stosuje się model kapitalizacji
prostej przy czym do aktualizacji wstecz stosuje się dyskonto matematyczne proste lub
dyskonto handlowe, a do rozliczenia średnio i długoterminowych długów stosuje się model
kapitalizacji złożonej z dołu.
Przyjmuje się następujące oznaczenia z zapisem działań związanych w rozliczeniem długu:
S wartość początkowa długu
N ilość rat umarzających dług
n wskaźnik bieżący
Tn n-ta rata długu, n-ta rata kapitałowa, część długu spłacona w n-tej racie.
Zn- n-ta rata odsetek, wartość odsetek spłaconych w n-tej racie
An – n-ta rata łączna, n-ta spłata, n-ta płatność
Sn – pozostała część długu po spłaceniu n rat, dług bieżący
Z – suma wartości nominalnych (bez uwzględniania wpływu wartości pieniądza w danym
czasie) wszystkich odsetek.
Ciągi {Tn}, {Zn}, {An}, {Sn} liczba Z wchodzą w skład tzw. Planu spłaty długu. W
przypadku planu spłaty długo krótkoterminowego uwzględnia się tez inne elementy.
Wielkości wchodzące w skład planu spłaty nie są niezależne. Np. An noszące nazwę raty
łącznej jest suma raty kapitałowej i raty odsetek, a więc
(115) An = Tn+Zn
Ponadto wzór (115) jest niekiedy uzupełniony trzecim składnikiem który jest opłatą
dodatkową, np. prowizja, lub marża bankowa.
Z def. Wynika, że:
(116) Z = Z1+…+Zn
Rozważmy na początek spłatę długu zgodną. Niech r będzie stopą procentową w okresie
stopy procentowej i nich l oznacza wybrany moment aktualizacji. Schemat spłaty długu
możemy przedstawić następująco:
Os liczbowa, 0 1 2 … k ……… n
S pokrywa się z zero, A1 z 1 A2 z 2 An z n w k zbieg strzelek od an i a1 a2
Aktualizacja spłat długu na moment k
Oczywiście aktualizacja kwoty na dany moment czasu wymusza dyskontowanie. Do
dyskontowania można używać dyskonto matematyczne lub handlowe.
Fakt spłacenia długu za pomocą spłat A1…An oznacza zachowanie następujących równości:
Dla modelu kapitalizacji prostej i dyskonta matematycznego mamy:
(117) S(1+kr) = A1[1+(k-1)r]+…+Ak-1(1+r)+AK+(AK+1)/1+r+…+An/1+(N-k)
Dla modelu kapitalizacji prostej i dyskonta handlowego mamy:
(118) S(1+kr)=A1[1+(k-1)r]+…+Ak-1(1+r)+Ak +AK+1(1-r)+…+An[1-(N-k)r]
Dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu mamy
(119) S(1+r)^k = A1(1+r)^(k-1)+…+AK-1(1+r)+Ak+(AK+1)/(1+r)+…+An/(1+r)^(n-k)
Dla momentu kapitalizacji prostej zarówno wybór momentu k jak i wybór rodzaju dyskonta
jest istotny. Jeżeli równania (117) lub (118) zachodza dla pewnego to może nie zachodzić dla
innego k. Oznacza to również, że ten sam dług S przy tej samej stopie procentowej r i tych
samych płatnościach A1, An może być spłacony lub nie w zależności wyboru momentu
aktualizacji k. Fakt ten rodzi określenie: konsekwencje związane z rozliczaniami związanymi
z długami krótkoterminowymi.
Równość (117), w której wykorzystywane jest dyskonto matematyczne proste dla k=0
przyjmuje postać:
(120) S = A1/(1+r)+A2/(1+2r)+…+An/(1+Nr)
Równość (118), w której zastosowano dyskonto handlowe dla k=0 przyjmuje postać:
(121) S = A1(1-r)+A2(1-2r)+…+An(1-Nr)
Równość (117) i (118) dla k=N przyjmuje jednakowa formę:
(122) S(1+Nr) = A1[1+(n-1)r]+A2[1+(N-2)r]+An
W przypadku modelu kapitalizacji złożonej z dołu wybór momentu aktualizacji k nie jest
istotny. Jeśli równość (119) zachodzi dla pewnego K, to zachodzi dla każdego K co upraszcza
analizę długów średnio i długoterminowych.
Równość (119) dla k=0 przyjmuje postać:
(123)
S = A1/(1+R)+A2/(1+R)^2+…+An/(1+r)^N
Natomiast dla K=N
(124)
S(1+r) = A1(1+r)^(N-1)+A2(1+r)^(N-2)+…+An
Przedstawiamy teraz problem spłaty długów krótkoterminowych z wykorzystaniem modelu
kapitalizacji prostej oraz problem spłaty długów średnio i długoterminowych z
wykorzystaniem modelu kapitalizacji złożonej z dołu.
PLAN SPŁATY DŁUGÓW KRÓTKOTERMINOWYCH
Załóżmy, że raty łączne spłaty A1 An umarzają dług krótkoterminowy S. Przyjmijmy
ponadto, że są to spłaty zgodne tzn. okres stopy procentowej r jest równy okresowi spłaty.
Wiadomo, że w modelu kapitalizacji prostej znaczenie ma przyjęty moment aktualizacji
kwoty. Istotne znaczenie ma także przyjęty rodzaj stosowanego dyskonta, a więc czy jest to
dyskonto matematyczne czy dyskonto handlowe. Warunek spłaty długu S w ratach łącznych
A1 An opisany został równaniami (117) i (118), które można zapisać w równoważny sposób
jako tożsamość dla dyskonta matematycznego prostego.
(125)
S=A1((1+(K-1)r)/1+kr)+…+AK1((1+r)/(1+kr))+AK(1/(1+kr))+AK+1(1/((1_r)(1+rk)))+…+An1/(1+(n-1)r)(1+kr)
Dla dyskonta handlowego mamy:
(126)
S = A1((1(k-1)r)/(1+kr))+…+AK-1((1+r)/(1+rk))+AK(1/(1+rk))+…+An((1-(N1)/(1+kr)))
Po spłaceniu n rat wartości zadłużenia można mierzyć za pomocą, różnic między
zaktualizowana na moment k wartością początkową długu, a suma zaktualizowanych na
moment k spłaconych rat łącznych czyli różnic.
Sn = (1+kr)-A1[1+(k-1)r]-…-An[1+(k-n)r], gdy n<=k, oraz
Sn = S(1+kr) – A1[1+(k-1)r]-…-Ak-(AK+1)/1+R-…-An/(1+(N-k)r), n>k
Dla dyskonta Matematycznego prostego i
Sn = S(1+kr) – A1[1+(k-1)r]-…-Ak[1+(k+n)r] dla dyskonta handlowego
W przypadku dyskonta handlowego
(127)
Sn = S-A1((1+(K=1)r)/(1+kr))-…-An((1+(k-n)r)/(1+kr))
Dług Sn jest równy między lewą a prawa strona równości (125) lub odpowiednio (126), w
której uwzględniono n składowych z równań (125 126 127 128) wynika ze Sn=0
Dług bieżący Sn po spłaceniu n rat definiujemy jako zaktualizowana na moment n długu
Sn, Zatem:
Sn=Sn(1+nr), z tego wynika , że Sn=0 (130 i 131)
Warto zauważyć, że równości ( 127 i 118) są prawdziwe tylko dla ustalonej wartości k,
czyli dla ustalonego momentu aktualizacji.
Dla długów krótkoterminowych, czyli w przypadku modelu kapitalizacji prostej istotne
znaczenie ma rozkład raty łącznej An na część kapitału BN i część odsetek Cn, czyli
rozkład:
An=BN+Cn
Może się zdarzyć ze któraś z uzgodnionych spłat A1…An jest zbyt mala aby pokryć
odestki. Wówczas taka spłata nie zmniejsza długu, a jedynie pozwala na pokrycie części
należnych odsetek.