Orzeł czy reszka

Lucjan Kowalski
ORZEŁ CZY RESZKA – WYCIECZKA W KRAINĘ LOSOWOŚCI
Fałszywa moneta.
Gdy chcemy coś rozstrzygnąć bezstronnie, rzucamy monetą.
Przypuśćmy, że mamy tylko niesymetryczną monetę (przesunięty środek ciężkości). Czy
można taką monetą uzyskać dwa równie prawdopodobne wyniki?
Tak, należy rzucać dwukrotnie i pomijać wyniki identyczne (OO), (RR).
Wtedy wyniki (OR), (RO) są jednakowo prawdopodobne.
Jest to pomysł wielkiego matematyka von Neumanna.
p
1-p
R
O
p
1-p
p
O
R
O
1-p
R
Gruba moneta.
Jaką grubość powinna mieć moneta, aby prawdopodobieństwo upadku na kant było równe
1/3.
Z mechaniki wiadomo, że walec upadnie na pobocznicę, jeśli rzut środka ciężkości znajduje
się wewnątrz odpowiedniej części sfery opisanej na tym walcu.
Przyjmijmy, zatem, że zbiorem zdarzeń elementarnych jest sfera opisana na walcu
g – grubość monety, r – promień monety, R – promień sfery opisanej na walcu
1
Pola trzech części sfery (dwa odcinki i pas boczny) powinny być równe.
Pole odcinka kuli o promieniu R i wysokości h wynosi
S b = 2Π Rh
U nas h = R −
Zatem
g
g

zatem S b = 2Π R R − 
2
2

1
g

4Π R 2 = 2Π R R − 
3
2

czyli
2
2
g
3g
R=R−
i R=
3
2
2
2
g
g
 3g 
2
2
2

Z twierdzenia Pitagorasa   + r = R , stąd   + r = 
2
2
 2 
Ostatecznie g = r
2
2
≈ 0,71r
2
Losowanie liczby naturalnej.
Ω = N = {1, 2, 3, …}.
Losujemy liczbę naturalną.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to liczba parzysta?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to liczba podzielna przez 3?
Paradoks Schrödingera.
Losujemy liczbę naturalną n (każda ma taką samą szansę).
Tworzymy liczbę o 1 większą n+1 i jedną z nich losowo dajemy graczowi A, a drugą
graczowi B. Każdy z graczy zna liczbę przeciwnika i nie zna swojej. Gra polega, na tym, że
osoba z mniejszą liczbą płaci przeciwnikowi, tyle ile wynosi jego liczba. Każdy może
poprosić o kolejne losowanie, lecz nikt tego nie robi bo gdy gracz widzi n to wygra n albo
przegra n-1 (obie sytuacje z takim samym prawdopodobieństwem) czyli
-(n-1)0,5+n0,5 = 0,5
Tak samo myśli przeciwnik.
Fakt.
Nie da się zdefiniować prawdopodobieństwa na N aby P(kN) = 1/k,
(wniosek z lematu Borela-Cantelliego)
2
Błąd d’Alemberta
Rzucamy dwiema identycznymi, symetrycznymi monetami. Są trzy możliwe wyniki
doświadczenia
ω1 – wypadły dwa orły,
ω2 – wypadły dwie reszki,
ω3 – wypadł orzeł i reszka,
Problem: czy P({ω1}) = P({ω2}) = P({ω3}) = 1/3 ?
Matematyk i fizyk francuski d’Alembert (1717-1783), sądził, że tak.
Mylił się, bowiem aby zastosować schemat klasyczny należy wybrać inny model wyników.
Należy przyjąć Ω = {(O,O), (R,R), (O,R), (R,O)},
Wtedy wracając do pierwszego modelu mamy
P({ω1}) = P({ω2}) = ¼; P({ω2}) = ½
Można to sprawdzić eksperymentalnie.
ile razy
częstość
{O,O}
0
24
0,24
{O,R}
1
53
0,53
{R,R}
2
23
0,23
100
1
Zadanie.
Rzucamy 2 razy symetryczną monetą. Wiadomo, że jeden z wyników to orzeł. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że pozostały wynik to reszka?
Odpowiedź bez namysłu, ½ lub ¼ jest błędna.
Należy wykorzystać dodatkową informację podaną w zadaniu.
Wtedy wyniki ograniczymy do zbioru trzyelementowego
{(O,O), (O,R), (R,O)},
i mamy dwa zdarzenia sprzyjające (O,R), (R,O).
Odp. 2/3
3
Wykrywanie braku losowości.
Rzucamy 32 razy symetryczną monetą. Rozpatrzmy dwa ciągi
ROOROROROOROROOORROORORROOORORRR
ORRRROOORORROOOORRRORRRROORRRRRO
Który z nich jest zapisem prawdziwego doświadczenia, a który jest „podróbką”?
Zadanie
Dwie osoby rzucają kolejno monetą. Wygrywa ta osoba, która pierwsza wyrzuci orła.
Obliczyć prawdopodobieństwo wygrania dla każdego z graczy.
(odp. 2/3, 1/3).
Zadanie (komputer)
Z przedziału [0, 1] wybrano losowo liczby x, y.
Niech A – zdarzenie polegające na tym, że x 2 + y 2 ≤ 1 . Oblicz P(A).
Wygeneruj 10000 par liczb z przedziału (0, 1), niech k liczba par sprzyjających zdarzeniu A.
Iloraz k/10000 jest przybliżeniem P(A). Ile wynosi błąd względny tego przybliżenia? Na
podstawie powyższego przybliżenia wyznacz przybliżoną wartość liczby π.
(odp. P(A) = π/4)
10000
7846
0,7846
0,7854
3,1384
0,102%
n
zdarzenia sprzyjające
częstość
wartość dokładna
przybliżenie pi
błąd względny
Przypomnienie.
Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A – zdarzenie (podzbiór Ω).
A - liczba elementów zbioru A
Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie wiele i są one jednakowo prawdopodobne to
możemy skorzystać z tzw. klasycznej definicji prawdopodobieństwa.
P( A) =
A liczba zdarzeń – elementarnych sprzyjających
=
Ω
liczba wszystkich zdarzeń – elementarnych
Stosując definicję klasyczną należy zwracać uwagę na założenia
22.10.2011
4