REGRESJA WIELORAKA Szukamy parametrów prostej regresji + ++
Transkrypt
REGRESJA WIELORAKA Szukamy parametrów prostej regresji + ++
REGRESJA WIELORAKA Szukamy parametrów prostej regresji Y = a1 X 1 + K + ak X k + ak +1 Y – zmienna objaśniana X1, …, Xk – k zmiennych objaśniających na podstawie n pomiarów. Oznaczmy w notacji macierzowej: y1 x11 y x 2 Y= , X = 12 M M yn x1n x21 L xk1 1 x22 L xk 2 1 M L M M x2 n L xkn 1 Estymatorem macierzy współczynników regresji wielorakiej jest macierz: A1 A = M = (XTX)-1XTY Ak +1 Macierz kowariancji estymatora A wyraŜa się wzorem: cov(A) = σ2(XTX)-1 Estymatorem σ2 jest statystyka S2 Y T Y − A T XT Y S2 = n − k −1 2 Oszacowanie wariancji S ai estymatora współczynnika ai dostajemy ze wzoru: S a2i = S 2cii , gdzie cii jest i-tym diagonalnym elementem macierzy (XTX)-1. Współczynnik korelacji wielorakiej moŜna otrzymać ze wzoru: R = 1− Y T Y − A T XT Y . Y T Y − 1n (1T Y) 2 UŜywając w EXCELu funkcji operujących na macierzach naleŜy zaznaczyć obszar arkusza o wymiarach macierzy wynikowej i wprowadzić funkcję kończąc wpisywanie naciśnięciem Ctrl_Shift_Enter. XY XT X-1 macierz.iloczyn(x;y) transponuj(x) macierz.odw(x) zauwaŜmy teŜ, Ŝe (1TY) to po prostu suma(y) x i y oznaczają odpowiednie zakresy (bloki) komórek UŜycie funkcji reglinp: po zaznaczeniu zakresu k+1 × 3 komórek wstawić funkcję reglinp(y;x;;prawda) kończąc jej wprowadzanie przez naciśnięcie Ctrl_Shift_Enter Wyniki pojawiają się w tabeli: Ak-1 S ak −1 Ak S ak … … A2 S a2 A1 S a1 Ak+1 S ak +1 R2 Uwaga: naleŜy zwrócić uwagę na kolejność indeksów! Przedziały ufności dla współczynników regresji wielorakiej Granice przedziałów ufności: A1 − S ai t (1 − α / 2, n − k − 1) < a i < Ai + S ai t (1 − α / 2, n − k − 1) Test istotności dla współczynników regresji wielorakiej H0: ai = ai* statystyka testowa: H1: ai < ai* H1: ai > a H1: ai ≠ a * i * i t (1 − α , n − k − 1) t (1 − α / 2, n − k − 1) t= Ai − ai* S ai W = (− ∞,−t (1 − α , n − k − 1) W = t (1 − α , n − k − 1),+∞ ) W = (− ∞, t (1 − α / 2, n − k − 1) ∪ t (1 − α / 2, n − k − 1),+∞ ) rozkład.t.odw(2*alfa;n-k-1) rozkład.t.odw(alfa;n-k-1)