Asymptotyczna normalnośc i asymptotyczna efektywność

Asymptotyczna normalnośc i asymptotyczna efektywność estymatorów
Definicja 1. Estymator ĝ(X1 , . . . , Xn ) wielkości g(θ) jest asymptotycznie normalny, jeżeli
√
∀θ∈Θ ∃σ2 (θ)
n(ĝ(X1 , . . . , Xn ) − g(θ)) −→d N (0, σ 2 (θ)), n −→ ∞,
2
tzn. rozkład statystyki ĝ(X1 , . . . , Xn ) jest (dla dużych n) zbliżony do rozkładu N (g(θ), σ n(θ) ).
2
2
Ozn. ĝ(X) ∼ AN (g(θ), σ n(θ) ). Wielkość σ n(θ) nazywamy asymptotyczną wariancją estymatora ĝ(X1 , . . . , Xn ).
√
Twierdzenie (Metoda delta) Jeżeli dla ciągu zmiennych Tn mamy n(Tn − µ) −→d
N (0, σ 2 ) przy n −→ ∞ i h : R −→ R jest funkcją różniczkowalną w punkcie µ, to
√
n (h(Tn ) − h(µ)) −→d N (0, σ 2 · (h0 (µ)2 ).
Definicja 2. Jeżeli ĝ jest asymptotycznie normalnym estymatorem g(θ). Wówczas
asymptotyczną efektywność estymatora określamy jako
as.ef(ĝ) =
(g 0 (θ))2 n
(g 0 (θ))2
=
.
σ 2 (θ)In (θ)
σ 2 (θ)I1 (θ)
Jest to modyfikacja ’zwykłej’ efektywności: rolę wariancji estymatora nieobciążonego
przejęła asymptotyczna wariancja estymatora normalnego.
Definicja 3. Estymator ĝ nazywamy asymptotycznie efektywnym, jeżeli
∀θ∈Θ
as.ef(ĝ) = 1.
1