Ćwiczenia 4 TWIERDZENIA GRANICZNE Zadanie 1 - E-SGH

Ćwiczenia 4
TWIERDZENIA GRANICZNE
Zadanie 1.
Przeciętnie jedna na 25 osób rezerwująca miesce w samolocie nie zgłasza się przed odlotem. Pewna linia
lotnicza wykonała rezerwację na 100 osób, podczas gdy samolot ma 96 miejsc. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że każdy pasażer, który się zgłosi, będzie miał miejsce w samolocie?
Zadanie 2.
Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania ponad 33 partii z równorzędnym partnerem?
Zadanie 3.
Wiadomo, że co 3 rodzina ma samochód osobowy. Wybrano 300 rodzin do badania. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że liczba rodzin posiadających samochód mieścić się będzie w przedziale 80-110?
Zadanie 4.
Prawdopodobieństwo wystąpienia wyrobu II gatunku wynosi 0,15. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w próbie
losowej 400 wyrobów będzie ponad 20% wyrobów II gatunku?
Zadanie 5.
Prawdopodobieństwo wyklucia się pisklęcia wynosi 0,12. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z 1000 jajek
pozostawionych w inkubatorze straconych będzie mniej niż 4%?
Zadanie 6.
Przeciętnie 2 gospodarstwa domowe na każde 3 posiadają pralkę automatyczną. Wybrano 500 gospodarstw.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba gospodarstw domowych posiadających pralki mieścić się będzie w
przedziale 320-350?
Zadanie 7.
Koszt jednostkowy surowca ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 5 zł i odchyleniem standardowym 20
gr. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średni koszt jednostkowego wyrobu obliczony dla produkcji miesięcznej
wynoszącej 14400 szt. nie przekroczy 4,90zł?
Zadanie 8.
Wiadomo, że w pewnym rodzaju testów uczniowie uzyskują przeciętnie 75 punktów z ochyleniem
standardowym 10 pkt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma punktów uzyskanych przeza 100 uczniów
przekroczy 8000?
Zadanie 9.
Zakład ubezpieczeniowy Pol S.A. zatrudnia 400 agentów ubezpieczeniowych. Liczba klientów zdobywanych
przez każdego z nich miesięcznie ma jednakowy rozkład normalny z wartością oczekiwaną 50 klientów i
wariancją 100 klientów2. Za każdego zdobytego klienta zakład wypłaca premię w wysokości 25 zł. Obliczyć i
zinterpretować jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu wartość wypłaconych premii
przekroczy 525 tys zł?
Zadanie 10.
Dzienne przychody ze sprzedaży pewnego produktu są zmienną losową o wartości oczekiwanej 4000 zł i
odchyleniu standardowym stanowiącym 50% poziomu wartości oczekiwanej. Rozkład tej zmiennej jest
nieznany. Oblicz, jeśli to możliwe, prawdopodobieństwo, że w trakcie 100 losowo wybranych dni przeciętne
przychody ze sprzedaży tego produktu będą zawierać się w przedzaiel 3800-4500 zł. Uzasadnij z jakiego
twierdzenia korzystałeś.
ROZKŁADY STATYSTYK Z PRÓBY
Zadanie 11.
Koszty produkcji wyrobu A mają rozkład normalny z parametrami 600 zł; 250 zł.
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że koszt produkcji losowo wybranego wyrobu A przekroczy 700 zł?
b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średni koszt produkcji wyrobu A w grupie 25 przedsiębiorstw
przekroczy 700 zł?
Zadanie 12.
Czas dojazdu na poranne zajęcia ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 25 min i odchyleniem
standardowym 10 min. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeciętny czas dojazdu w próbie 5 studentów
będzie mieścił się w przedziale 30-35 min?
Zadanie 13.
Koszt produkcji wyrobu A ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 600 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że średni miesięczny koszt produkcji wyrobu A w grupie 25 przedsiębiorstw przekroczy 700 zł, jeśli odchylenie
standardowe w próbie wyniosło 200 zł.
Zadanie 14.
Waga noworodków ma rozkład normalny z parametrami (3,5 kg; 0,5 kg) dla dziewczynek oraz (3 kg; 0,4 kg) dla
chłopców. Wylosowano 5 dziewczynek i 4 chłopców. Na podstawie obu prób obliczyć jakie jest
prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna wagi dziewczynek będzie większa od średniej arytmetycznej
wagi chłopców.
Zadania sprawdzające na podst. M. Wieczorek, Statystyka. Lubię to! Zbiór zadań, Oficyna Wydawnicza SGH,
Warszawa 2013.
Każdą odpowiedź jako: T – prawdziwą lub N – nieprawdziwą.
Zadanie 1.1
Statystyka z próby:
a. Jest zmienną losową,
b. Jest funkcją zmiennych losowych stanowiących próbę losową,
c. Dla dużych prób jest zawsze równa odpowiedniemu parametrowi populacji.
Zadanie 1.2
Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy z wartością oczekiwana np i wariancją npq. Jeżeli chcemy – w
przybliżony sposób – obliczyć dystrybuantę w rozkładzie dwumianowym (próba n=400), najlepiej skorzystać z:
a. rozkładu statystyki z próby,
b. twierdzenia Moivre’a-Laplace’a,
c. twierdzenia Linderberga-Levy’ego.
Zadanie 1.3
Odchylenie standardowe zmiennej losowej, jaką jest średnia z próby:
a. zależy od wartości tej średniej,
b. ulega dwukrotnemu zmniejszeniu, gdy próba zwiększy się czterokrotnie,
c. mierzy stopień rozrzutu średnich z prób wokół ich średniej, a zarazem średniej z populacji.
Zadanie 1.4
Jeżeli podczas obliczania dystrybuanty korzystamy z twierdzenia Linderberga Levy’ego, to w procesie
standaryzacji wykorzystujemy parametry:
a.
b.
c.
,
,
,
√
√
Wzory – rozkłady statystyk z próby
Rozkład średniej z próby
rozkład zmiennej odchylenie
losowej X
standardowe
~
liczebnosć próby
;
~
~
~
n - dowolne
;
n – małe, (n<120
lub n<30)
;
%&'&(
rozkład średniej
n – duże (n>120)
;
√
ma rozkład tStudenta z
wartością
oczekiwaną m i
odchyleniem
standardowym
"
,~
- ; -
,~
-~
gdzie
, ;
- ;
4
,
,
-
liczebność
próby
,, -
, ; ,
-~
∗"
odchylenie
standardowe
,,
,, - –
dowolne
,,
-
$0 6$1 6 <0 6<1
,
-
2 B 120 – liczba stopni swobody
!
̅
-~
/01
- ;.
,
0
2
#$ /√
)+ )
/11
1
)
,
- ma rozkład t-Studenta z
wartością oczekiwaną 5* 5+ i
odchyleniem standardowym:
.
1
=0 >0 ?1
0 @ =1 >0 ?1 9 0 8 0 :
=0 @=1 >1
=0 =1
2
- – małe
,
1
0 6, 70 8
#$ /√
można stosować
w przybliżeniu:
#$
~
;
√
rozkład różnicy średnich ()*
1
1 6, 71
0 8 1 6-
9
,
0
2
,
1
:
/√
̅
√
Rozkład różnicy średnich arytmetycznych z dwóch prób
rozkład
zmiennej
losowej X
postać
wystandaryzowana
zmiennej
̅
postać
wystandaryzowana
zmiennej
3
t=*
,
-
4
,
,
2
,
-
-
Wzory – Rozkłady graniczne wybranych statystyk z próby
1. Częstość
' GHHI
2. Różnica częstości
',
→F
,.
JK
'- GHHHHHI
̅ GHHI 4. Różnica średnich
,
→F
,
-, .
,
0 , 1 →F
3. Średnia
J0 ,6J0
+
0
3
/
√
- GHHHHHI
1 , 2 →∞
L6J
3
- ;.
,
/01
0
+
/11
1
)
MN
.=
J1 ,6J1
1
.
',
,
1
'-
,
,
+
,
-
2. Częstość (Q =
=
U=
GHHI (
→F
,
JK
→F
→F
)
)
Q GHHI ( , . )
S GHHI (
3. Suma (S )
4. Średnia (W =
)
)
W GHHI (
→F
,
,
√
)
√ )
-
3
$= 6<
√
/
3=
$0 6$1 6(<0 6<1 )
1
1
P P
4 08 1
=0 =1
Twierdzenia graniczne Moivre’a-Laplace’a i Lindeberga-Levy’ego
Wnioski z twierdzeń granicznych (informują o rozkładach granicznych)
1. Rozkład dwumianowy (
1
-
3 =
=6 J
√ JK
3 =
R6J
T =
U= 6 V
3 =
MN
.=
√
X= 6V
√
-