Zmienna losowa, podstawowe parametry, rozkład dwumianowy

Mgr Dorota Węziak
Zmienna losowa, podstawowe parametry,
rozkład dwumianowy, rozkład normalny
1. Dana jest funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X:
xi
pi
-2
0,1
-1
0,3
0
0,25
1
0,2
3
0,15
a)
b)
c)
d)
e)
Narysuj wykres funkcji prawdopodobieństwa
Wyznacz i narysuj dystrybuantę
Wyznacz parametry rozkładu zmiennej losowej X
Określ rozkład zmiennej losowej Y=3X
Wyznacz
parametry
(wartość
oczekiwaną
i
odchylenie
rozkładu zmiennej Y
f) Wyznacz parametry zmiennej losowej W=3X+2
g) Wyznacz rozkład i wartość oczekiwaną zmiennej losowej Z=2X2-2
standardowe)
2. Prawdopodobieństwo zatrzymania dostawy półproduktów na granicy państwa wynosi 0,1.
Dostawy są organizowana oddzielnie do każdego z czterdziestu zakładów przedsiębiorstwa.
- Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa zakłady nie utrzymają ciągłości produkcji z powodu
braku dostaw półproduktu?
- Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najwyżej staną dwa zakłady z powodu braku dostaw
półproduktu?
3. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(5; 1,5). Obliczyć:
- P(m-σ < X < m+σ)
- P(m-2σ < X < m+2σ)
- P(m-3σ < X < m+3σ)
4. Zmienna losowa t ma rozkład t-Studenta o 5 stopniach swobody. Obliczyć:
- P( | t| < 1,48)
- P( t < 2,5 )
- P( t > 4,0 )
5. zmienna losowa χ2 ma rozkład chi-kwadrat o 10 stopniach swobody. Obliczyć:
- P (χ2 >18,3)
- P (3,9 < χ2 < 18,3)
6. Janek biega ze średnią prędkością 6 km. na godz. z odchyleniem standardowym wyników 2
godz., rzuca młotem zaś, średnio na 30 m, z odchyleniem standardowym 15 m. Dziś Janek
przebiegł dystans z prędkością 7 km na godz. i rzucił młotem na 32 m. Jeśli przyjąć, że wyniki
sportowe Janka mają rozkład normalny, to:
a) Jaki procent wyników Janka w bieganiu jest gorszych od dzisiejszego?
b) Jaki procent wyników w rzucie młotem jest lepszych od dzisiejszego?
c) Jakie wyniki Janka należą do 5% najlepszych w bieganiu?
d) Jakie wyniki Janka należą do 10% najgorszych w rzucie młotem?
7. Czas spędzany dziennie przed ekranem TV przez osobę dorosłą jest zmienną losową o
rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 90 minut i odchyleniem standardowym równym 20
min.
a) jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba spędza przed ekranem mniej niż 76
min?
Mgr Dorota Węziak
b) zaznaczyć wynik z punktu a) na wykresie funkcji gęstości przed i po standaryzacji oraz na
wykresach dystrybuanty przed i po standaryzacji.
c) Dla jakiego czasu spędzanego dziennie przed ekranem TV przez osobę dorosłą dystrybuanta w
badanym rozkładzie przyjmuje wartość 0,75? Zinterpretować tę wielkość.
8. Zmienna losowa W ma rozkład normalny o
i wariancji 9.
a) Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Z = 250 – 2W
b) Oblicz, ile wynosi trzeci kwartyl w tym rozkładzie.
wartości
oczekiwanej
105
9. Zmienne X1 i X2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach odpowiednio: N(20;3) i
N(4;2). Należy obliczyć:
a) wartość oczekiwaną, wariancję zmiennej losowej Y= X1-2X2,
b) prawdopodobieństwo P(Y>9,6) i wynik przedstawić graficznie.
10. Jeśli wynik ma rozkład normalny, to które wartości są bardziej prawdopodobne: bliższe środka
rozkładu, czy dalej od środka położone?
11. Zrób rysunek i podaj, posługując się tablicą dystrybuanty rozkładu normalnego, między jakimi
wartościami z mieści się 98% obserwacji, odrzucając wartości skrajne?
12. Średnia waga produktu wynosi 21 kg a odchylenie standardowe 1 kg. Zakładając, że waga ma
rozkład normalny obliczyć prawdopodobieństwo, że:
- losowo wybrany produkt waży nie mniej niż 21,2 kg,
- losowo wybrany produkt waży więcej niż 20 kg.
13. Pewna zmienna losowa z wartością oczekiwaną 5 i wariancją 4 ma rozkład normalny. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że ta zmienna losowa przyjmie wartość ujemną.
14. Określić odchylenie standardowe przyrządu pomiarowego, o którym wiadomo, że z
prawdopodobieństwem 0,95 daje błąd przekraczający 3 jednostki. Zakłada się ,że rozkład błędu
pomiaru jest normalny z wartością oczekiwaną równą zero.
15. Zmienna losowa X ma rozkład N(m, 30). Znaleźć m wiedząc, że P( X < 80 ) = 0,6915.
16. Czas spóźnień studentów na zajęcia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o wariancji
0,25.
- Jakie jest średni czas spóźnienia jeśli co piąte spóźnienie było krótsze od 2 min.?
- Jak często studenci spóźniają się o dłużej niż średni czas spóźnienia?
17. Dane są następujące zmienne losowe: X∼ N(2;1), Y∼ N(5;2), Z∼ N(3;0,5), U∼ N(1;0). Obliczyć
P(X+Y+Z+U > 12).