Wstęp do matematyki finansowej Lista 4

Wstęp do matematyki finansowej
Lista 4 - Plan spłaty długu
Podstawowe zagadnienia związane ze spłatą długu
• Oznaczenia:
P = [S, −P1 , −P2 , . . . , −Pn ] - strumień przepływów pieniężnych w momentach
n = 0, 1, 2, . . . , N ;
S - zaciągnięty dług (kredyt) w momencie n = 0;
P1 , P2 , . . . , Pn - raty (spłaty) w momentach n = 1, 2, . . . , N ;
Sn - zadłużenie bezpośrednio po spłacie raty Pn ;
Kn - część kapitałowa n-tej raty;
In - część odsetkowa n-tej raty;
i[n−1,n] = i 6= 0 - stopa procentowa (w ogólniejszym przypadku stopy procentowe mogą
być różne w różnych okresach).
• Zależności:
(1)
Spełniony musi być następujący warunek:
S=
N
P
Pk (1 + i)−k ;
k=1
a) zależność retrospektywna:
Sn = S (1 + i)n −
n
P
Pk (1 + i)n−k ;
k=1
b) zależność prospektywna:
N
P
Sn =
Pk (1 + i)n−k ;
k=n+1
c) zależność rekurencyjna:
S0 = S, Sn = Sn−1 (1 + i) − Pn , n = 1, 2, . . . , N ;
iSn−1 - odsetki od bieżącego zadłużenia (spłata odsetek w racie Pn );
(Sn−1 − Sn ) - redukcja zadłużenia (spłata kapitał w racie Pn ).
• Schematy spłaty długu:
a) raty stałe:
P1 = P2 = . . . = PN = P ,
a zatem z warunku (1):
S=P
N
P
(1 + i)−k ,
k=1
P =
a stąd
S
.
a N ei
b) raty tworzące ciąg geometryczny:
Pn = P α n ,
dla
n = 1, 2, . . . , N
W szczególności, gdy α = 1 + i, to P =
oraz
0 < α < 1.
S
.
N
c) raty stałe z równymi częściami kapitałowymi i odsetkami uśrednionymi:
Kn =
S
,
N
+1
In = Si N2N
,
Pn = Kn + In
dla
n = 1, 2, . . . , N .
d) raty z równymi częściami kapitałowymi i odsetkami od bieżacego zadłużenia spłacanymi na bieżąco:
Kn =
S
,
N
In = Si N −(n−1)
,
N
Pn = Kn + In
dla
n = 1, 2, . . . , N .
e) spłata odsetek w ratach oraz pożyczonej kwoty w ostatniej racie:
P1 = P2 = . . . = PN −1 = Si
oraz
PN = S + Si.
Zadania
1. Inwestor ma zamiar zaciągnąć kredyt w banku na kwotę S = 100000 zł na okres
N = 12 miesięcy. Bank oferuje kredyt z efektywną roczną stopą procentową ief = 9%, przy
czym wszystkie raty są jednakowe.
(a) Wyznacz plan spłaty długu przy pomocy następującej tabeli:
numer raty niespłacony kapitał
n
Sn
0
100 000,00 zł
1
2
itd.
część odsetkowa raty część kapitałowa raty
In
Kn
wysokość raty
Pn
(b) Sprawdź, czy SN = 0 oraz czy suma spłat kapitału jest równa S.
(c) Sprawdź, czy spłaty kapitału tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 1 + i.
(d) Wykonaj wykres przedstawiający jaką część poszczególnych rat stanowi spłata
kapitału, a jaką spłata odsetek.
2. Dług o wartości S = 60000 zł spłacany jest w sześciu kwartalnych ratach. Kwartalna
efektywna stopa procentowa w poszczególnych kwartałach wynosi i[0,1] = i[1,2] = i[4,5] =
i[5,6] = 2% oraz i[2,3] = i[3,4] = 3%. Kapitalizacja odsetek następuje co kwartał. Na podstawie
planu spłaty długu określ ostatnią szóstą ratę, jeżeli pięć pierwszych rat miało wartość:
P1 = 20000 zł,
P2 = 5000 zł,
P3 = 10000 zł,
P4 = 3000 zł,
P5 = 15000 zł.
3. Pożyczony kapitał S = 4000 zł ma być spłacony w N = 4 ratach miesięcznych
według jednej z poniższych zasad, przy efektywnej rocznej stopie procentowej i = 0, 24.
Podać wielkość n-tej raty (n ∈ {1, 2, 3, 4}), w przypadku gdy:
(a) raty są równe, a w każdej spłacane jest NS kapitału i uśrednione odsetki,
(b) raty są równe, a w każdej racie spłacane są całe odsetki od niespłaconego kapitału,
(c) w każdej racie spłacane jest NS kapitału i całe odsetki od niespłaconego kapitału.