C:\Users\Seven\Documents\Moje d

Ekonomia matematyczna - 1.2
6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa.
Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X, , gdzie X = R n+ i  jest
relacją preferencji, która jest:
a) rosnąca (tzn. x ≤ y ∧ x ≠ y ⇒ x ≺ y, dla x, y ∈ X),
b) ciągła,
c) ściśle wypukła (tzn. x  y ⇒ x ≺λx +1 − λy, dla x, y ∈ X, x ≠ y, λ ∈ 0, 1).
Jeśli na takim polu preferencji określimy funkcję popytu konsumenta (agenta) ϕ, to z
twierdzenia 5.1 wynika, że przyporządkowuje ona każdej parze p, I, gdzie p >>0, I > 0,
dokładnie jeden najlepszy koszyk ϕp, I spełniający ograniczenia budżetowe.
Pośrednia użyteczność
Oprócz funkcji użyteczności, rozważa się tzw. funkcję pośredniej użyteczności
v : R n+ × R → R zdefiniowaną wzorem
vp, I = maxux : 〈x, p〉 ≤ I, x ∈ R n+ ,
przyporządkowujacą cenom p i dochodowi I maksymalną użyteczność koszyka dostępnego
przy tych cenach i dochodzie. Odpowiada ona wyborowi optymalnego koszyka czyli
popytowi, tzn.
vp, I = uϕp, I.
Twierdzenie 6.1
Jesli funkcja użyteczności u jest ciągła i ściśle rosnąca, to funkcja pośredniej użyteczności
v : R n+ × R → R ma następujące własności:
1) jest ciągła w R n++ × R
2) jest jednorodna stopnia 0, tzn. vtp, tI = vp, I dla t > 0, p, I ∈ R n+ × R
3) jest ściśle rosnąca ze względu na I,
4) jest malejąca ze względu na p,
5) jest quasi-wypukła ze względu na p, I,
6) jeśli v jest różniczkowalna w p, I i ∂v
p, I ≠ 0, to zachodzi tożsamość Roy’a:
∂I
ϕ j p, I = −
∂v
p, I
∂p j
∂v
p, I
∂I
dla j = 1, 2, . . . , n
ϕ j p, I ∂v p, I = − ∂v p, I
∂I
∂p j
1
Funkcja minimalnych wydatków - popyt Hicksa
Rozważmy także tzw. funkcję minimalnych wydatków e : R n+ × R → R zdefiniowaną
wzorem
ep, u = min〈x, p〉 : ux ≥ u, x ∈ R n+ ,
przyporządkowujacą cenom p i poziomowi uzyteczności u minimalną cenę koszyka, którego
użyteczność wynosi co najmniej u.
Gdy u jest funkcją ściśle quasi-wklęsła, rosnącą i ciągłą, to zadanie minimalizacji wydatków
min〈x, p〉 : ux ≥ u, x ∈ R n+ ,
ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdej pary p, u. Oznaczymy je przez ρp, u
Definicja
Odwzorownie ρ : R n+ × R ↦ R n+ , które przyporządkowuje cenom i uzyteczności najtańszy
koszyk p, u ↦ ρp, u, tzn. rozwiązanie zadania
min〈x, p〉 : ux ≥ u, x ∈ R n+ ,
nazwiemy popytem Hicksa.
Mamy więc
ep, u = 〈ρp, u, p〉.
Twierdzenie 6.2
Jesli funkcja użyteczności u jest ciągła i ściśle rosnąca, to funkcja wydatków e : R n+ × R → R
ma następujące własności:
1) przyjmuje wartość 0 gdy u ≤ u0
2) jest ciągła w R n++ × R
3) jest jednorodna stopnia 1 względem p, tzn.etp, u = tep, u dla t > 0, p, u ∈ R n+ × R
3) jest rosnąca ze względu na p,
4) przy każdym p, jest ścisle rosnąca i nieograniczona ze wzgledu na u,
5) jest wklęsła ze względu na p,
6) jeśli u jest ściśle quasi-wklęsła, to e jest rózniczkowalna względem p >> 0, I i zachodzi
tożsamość Shepard’a:
ρ j p, I = ∂e p, I dla j = 1, 2, . . . , n.
∂p j
Pośrednia użyteczność i minimalne wydatki są wzgledem siebie dualne w sensie podanym w
poniższym twierdzeniu.
Twierdzenie 6.3
2
Jesli funkcja użyteczności u jest ciągła i ściśle rosnąca, to dla dowolnych cen p >> 0,
dochodu I > 0 oraz użyteczności u, funkcja pośredniej użyteczności v : R n+ × R → R oraz
funkcja wydatków e : R n+ × R → R spełniają następujące równości:
1) ep, vp, I = I,
2) vp, ep, u = u.
Uwaga
Gdy posługujemy sie jedynie polem preferencji, a nie funkcją użyteczności, to możemy
zdefiniować popyt Hicksa jako odwzorownie σ : R n+ × R n+ ↦ R n+ , p, a ↦ σp, a, które
wyznacza jednoznaczny element ze zbioru x : a  x minimalizujący 〈x, p〉, tzn.
σp, a = y ⇔ 〈y, p〉 = min〈x, p〉 : a  x ∧ a  y,
gdzie a - koszyk towarów z X.
Gdy u jest funkcją użyteczności zgodną z relacją , to
σp, a = ρp, ua
Zbiór
x ∈ X : a  x, 〈x, p〉 ≤ Ip = 〈a, p〉.
jest niepusty i zwarty, a więc ciągła funkcja x ↦ 〈x, p〉 jest minimalizowana w którymś punkcie


tego zbioru, powiedzmy x. Zauważmy, że x jest wyznaczone jednoznacznie. Istotnie: weźmy

 
x, y ∈ X, x ≠ y i przypuśćmy, że obydwa minimalizują 〈x, p〉 na X, przy warunku x  a. Bez
 
 
   
straty ogólności możemy przyjąć x  y. Wtedy x  y, x ≠ y pociąga za sobą 12  x + y ≻ a,






ze ścisłej wypukłości . Ale 12  x + y ≠ 0, bo x ≥ 0, y ≥ 0, x ≠ y. Stąd, jeśli wybierzemy
 
x ∈ X tak, by spełniona była nierówność 12  x + y ≥ x oraz x leży wystarczająco blisko

1 
 x + y, to spełniony będzie warunek x ≻ a, z ciągłości . Dla tak wybranego x, mamy
2


 
〈x, p〉 < 〈 x, p〉 = 〈 y, p〉, przy p >> 0, więc x, y nie mają własności minimalności, sprzeczność.
W rezultacie otrzymujemy, że wyżej zdefiniowane odwzorowanie σp, a jest odwzorowaniem
jednowartościowym.
W tym przypadku twierdzenie 6.2 ma nastepujący odpowiednik.
Twierdzenie 6.2’
Odwzorowanie σ, dla p >> 0, a ≥ 0 ma następujące własności:
1) σp, a ≃ a,
2) σp, a jest ciągłe ze względu na p, a,
3) dla każdego ustalonego a ≥ 0 funkcja zmiennej p
p ↦ fp, a = 〈σp, a, p〉 = inf〈x, p〉 : a  x,
3
która wyraża minimalną wartość koszyków nie mniej preferowanych od a, posiada pochodne
cząstkowe spełniające równosci
∂f
3
p, a = σ j p, a, j ∈ 1, . . n,
∂p j
gdzie σ j p, a jest j-tą współrzędną σp, a,
4) fp, a > 0, o ile a ≠ 0,
5) σp, ϕp, I = ϕp, I,
fp, ϕp, I = I, dla p >> 0, I > 0,
6) ϕp, fp, a = σp, a, dla fp, a > 0,
7) 〈Δσ, Δp〉 ≤ 0, gdzie p >> 0, p +Δp >> 0, Δσ = σp +Δp, a − σp, a.
Także popyt Marshalla i popyt Hicksa są dualne względem siebie w następującym sensie.
Twierdzenie 6.4
Jesli funkcja użyteczności u jest ciągła i ściśle rosnąca, to dla dowolnych cen p >> 0,
dochodu I > 0 oraz użyteczności u, funkcja popytu Marshalla ϕ : R n+ × R → R oraz funkcja
popytu Hicksa ρ : R n+ × R → R spełniają następujące równości:
1) ϕp, I = ρp, vp, I,
σp, ϕp, I = ϕp, I
2) ρp, ua = ϕp, ep, ua,
ϕp, fp, a = σp, a.
7. Równanie Słuckiego
Dla dowolnego ustalonego a, liczba fp, a = min jest minimalnym poziomem dochodu, który
przy wektorze cen p zapewnia ten sam poziom preferencji (zadowolenia konsumenta) co
koszyk a. Najtańszym zaś koszykiem zapewniającym ten sam poziom użyteczności co
koszyk a, przy wektorze cen p, jest koszyk σp, a.
Używając wielkości σp, a i fp, a możemy rozłożyć zmianę popytu
Δϕ = ϕp +Δp, I − ϕp, I,
odpowiadającą zmianie cen Δp, na dwie składowe:
Δϕ = ϕp +Δp, I − ϕp, I
= ϕp +Δp, I − σp +Δp, ϕp, I
+ σp +Δp, ϕp, I − ϕp, I.
Korzystając z własności (patrz 5) w twierdzeniu 6.2’):
fp, ϕp, I = I
mamy:
4
ϕp +Δp, I = ϕp +Δp, fp, ϕp, I,
korzystając z własności (patrz 6) w twierdzeniu 6.2’)
ϕp, fp, a = σp, a,
mamy:
σp +Δp, ϕp, I = ϕp +Δp, fp + Δp, ϕp, I,
a korzystając z obu tych własności mamy
ϕp, I = ϕp, fp, ϕp, I = σp, ϕp, I.
.
Wykonując podstawienia, otrzymujemy
Δϕ = ϕp +Δp, I − ϕp, I
R-S-sp
= ϕp +Δp, fp, ϕp, I − ϕp +Δp, fp +Δp, ϕp, I
+ σp +Δp, ϕp, I − σp, ϕp, I
Pierwszą składową
ϕp +Δp, fp, ϕp, I − ϕp +Δp, fp +Δp, ϕp, I
tej sumy nazywa się efektem dochodowym, a drugą składową
σp +Δp, ϕp, I − σp, ϕp, I
nazywa się efektem substytucji. Zatem całowity efekt wpływu zmiany cen na zmianę popytu
jest sumą efektu dochodowego i efektu substytucji.
Równanie (R-S-sp) nazywamy równaniem Słuckiego w wersji różnicowej (lub ze
skończonymi przyrostami).
Z równania tego można wnioskować, że zmiana cen Δp wywiera wpływ na zachowanie
konsumenta na dwa sposoby:
- po pierwsze - przyczynia się do zmiany w realnym dochodzie konsumenta lub jego
zdolności nabywczej, mimo, że nominalny poziom dochodu wydaje się nie zmieniony;
- po drugie - pociąga za sobą zmianę w stosunkach cenowych, z której wynika
substytucja pomiędzy towarami w optymalnym koszyku towarów.
Efekt substytucji reprezentuje przesunięcie (zmianę) optymalnego koszyka towarów w
obszarze obojętności (w tej samej klasie preferencji), do którego należał wyjściowy popyt
ϕp, I.
Liczba fp + Δp, ϕp, I jest poziomem pozornego nominalnego dochodu, którym musiałby
dysponować konsument, aby pozostać na tym samym poziomie preferencji (w tym samym
obszarze obojętności), nawet w nowej sytuacji cenowej p + Δp. Zatem efekt dochodowy
reprezentuje przesunięcie optymalnego koszyka towarów w sytuacji cenowej p + Δp, które
powstaje przy zmianie dochodu z pozornego fp + Δp, ϕp, I na rzeczywisty fp, ϕp, I.
5
Równanie Słuckiego w wersji różniczkowej
Twierdzenie 7.1
Załóżmy, że dla funkcji uzytecznosci u, funkcja popytu Marshalla ϕ posiada pochodne
∂ϕ
∂ϕ
cząstkowe ∂p ji p, I i ciągłe pochodne cząstkowe ∂Ii p, I, a funkcja popytu Hicksa ρ posiada
pochodne cząstkowe
∂ρ i
∂p j
p, I dla i ∈ 1, . . . , n i dla wszystkich p >> 0, I > 0.
Wówczas
∂ϕ i
∂ϕ
p, I = −ϕ j p, I i p, I + σ ij p, I,
∂p j
∂I
R-S-r
dla i, j ∈ 1, . . . , n, gdzie:
∂ρ
σ ij p, I = ∂p ji p, u ∗ ,
ρ jest popytem Hicksa,
u ∗ = vp, I = uϕp, I,
ρp, u ∗  = σp, ϕp, I.
W równaniu Słuckiego w wersji różniczkowej:
∂ϕ
- składnik −ϕ j p, I ∂Ii p, I reprezentuje efekt dochodowy,
- składnik σ ij p, I =
∂ρ i
∂p j
p, u ∗  nazywany indeksem Słuckiego reprezentuje efekt substytucji.
Macierzowa postać równania Słuckiego:
∂ϕ i
p, I
∂p j
n×n
∂ϕ i
=−
p, I
ϕ j p, I 1×n + σ ij p, I n×n
∂I
n×1
Twierdzenie
Jeśli funkcja minimalnych wydatków e ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu, to
macierz indeksów Słuckiego σ ij p, I n×n jest symetryczna, tzn σ ij p, I = σ ij p, I dla
i, j ∈ 1, 2, . . . n.
Definicja
Macierzą elastyczności cenowych popytu nazywamy macierz
pj
∂ϕ i
.
 ij p, I n×n =
p, I
∂p j
ϕ i p, I n×n
Elementy głównej przekątnej, tzn.
 ii p, I =
∂ϕ i
pi
p, I
∂p i
ϕ i p, I
6
nazywamy elastycznościami cenowymi popytu, a elementy
pj
∂ϕ i
 ij p, I =
dla i ≠ j
p, I
∂p j
ϕ i p, I
nazywamy elastycznościami krzyżowymi popytu.
Definicja
Macierzą elastyczności dochodowych popytu nazywamy jednokolumnową macierz
∂ϕ i
I
.
 di p, I n×1 =
p, I
∂I
ϕ j p, I n×1
Założymy dalej, że konsumenci mają podobne preferencje, tzn. ich popyt na towary może
być podstawą do określenia własności tych towarów.
Definicja
Towar nr i nazywamy:
a) towarem normalnym, gdy  ii p, I < 0,
b) towarem Giffena gdy  ii p, I > 0,
c) towarem wyższego rzędu gdy  di p, I > 0,
d) towarem niższego rzędu gdy  di p, I < 0
Twierdzenie (prawa popytu)
Jeśli wzrost dochodu konsumentów powoduje wzrost popytu na towar, tzn. towar jest
wyższego rzędu, to spadek jego ceny powoduje wzrost popytu.
Jeśli spadek ceny towaru powoduje spadek popytu na ten towar, to wzrost dochodu
konsumentów powoduje spadek popytu na ten towar, tzn. jest to towar niższego rzędu.
7