Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI.
2. CAŁKA OZNACZONA:
a.
Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną.
b.
Definicja całki oznaczonej.
c.
Własności całek oznaczonych.
d.
Zastosowanie całek oznaczonych.
e.
Zamiana zmiennej w całce oznaczonej.
f.
Wyznaczenie objętości bryły na podstawie znajomości pół przekrojów równoległych.
g.
Objętości bryły obrotowej.
h.
Długość łuku krzywej płaskiej.
i.
Pole powierzchni obrotowej.
j.
Współrzędne środka ciężkości.
k.
l.
Całkowanie przybliżone.
Całki niewłaściwe:
− Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju.
− Całka niewłaściwa drugiego rodzaju.
www.wkuwanko.pl
1
Rachunek całkowy - całka oznaczona
CAŁA OZNACZONA.
Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną.
Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale
, tzn.
jeżeli F’(x) = f(x), to ma miejsce wzór
,
przy czym różnica F(b) – F(a) nie zależy od stałej całkowania C.
Prawą stronę równania oznacza się symbolem
lub
.
Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to
.
Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznaczonych.
Jeżeli g’(x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale
w przedziale
, a f(u) funkcją ciągłą
to zachodzi następujący wzór:
.
www.wkuwanko.pl
2
Rachunek całkowy - całka oznaczona
Jest to wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych.
Definicja całki oznaczonej.
Jeżeli:
= F(x) + c,
to
W interpretacji geometrycznej całka oznacza pole obszaru płaskiego zawartego między linią
linią y=f(x)
0 i osią X
W ogólności:
P=
Dla f(x)≥0
P=
Gdy g(x)=0, to z poprzedniego wzoru otrzymujemy:
www.wkuwanko.pl
3
Rachunek całkowy - całka oznaczona
P=
Właściwości całek oznaczonych.
Z definicji całki mamy:
Warunki:
 f(x)≥0 =>
 f(x)<0 =>
 f(x)≤g(x) =>



Z interpretacji geometrycznej całki można zauważyć, iż wzór 40 jest prawdziwy przy
dowolnym układzie liczb a,b,c.
www.wkuwanko.pl
4
Rachunek całkowy - całka oznaczona
Całka sumy równa się sumie całek, co można zapisać:
.
Powyższy wzór jest to tzw. addytywność całki względem funkcji podcałkowej.
Całka oznaczona posiada własność liniowości. Wzór ten należy rozumieć w ten sposób, że z
istnienia całek po prawej stronie wynika istnienie całki po lewej stronie oraz podana
równość.
Również prawdziwy jest wzór:
,
gdzie K jest liczbą spełniającą nierówność m ≤ K ≤ M, przy czym m oznacza kres dolny, a M
kres górny funkcji f(x) w przedziale <a,b>.
Na podstawie własności Darboux, która mówi, że funkcja ciągła przybiera wszystkie
wartości pośrednie pomiędzy swoimi kresami górnym i dolnym, wzór powyższy można
zapisać w postaci:
gdzie c jest liczbą spełniającą nierówność a ≤ c ≤ b, jeżeli funkcja podcałkowa f(x) , jest
ciągła w przedziale <a,b>.
Całka jako funkcja górnej granicy.
Jeżeli funkcja f(t) jest ciągła w przedziale <a,b>, to funkcja
www.wkuwanko.pl
5
Rachunek całkowy - całka oznaczona
jest ciągła i różniczkowalna wzglądem zmiennej x w przedziale <a,b> i w każdym punkcie
tego przedziału zachodzi związek h’(x)=f(x).
Zastosowanie całek oznaczonych.
1. Krzywa określona jest funkcją y=f(x), xє[a,b]
bryła powstała z obrotu krzywej y=f(x) dookoła osi OX.
2. Krzywa określona jest w postaci krzywej parametrycznej [x=x(t), y=y(t)].
www.wkuwanko.pl
6
Rachunek całkowy - całka oznaczona
3. Krzywa określona jest w układzie biegunowym ζ=ζ(φ)
Ponieważ każda krzywa w układzie biegunowym sprowadza się do układu kartezjańskiego za
pomocą związków to jest ona określona za pomocą:
Pole, długość, objętość, pole powierzchni obliczamy tak samo jak krzywą określoną w postaci
parametrycznej.
Zamiana zmiennej w całce oznaczonej.
Przy obliczeniu niektórych całek oznaczonych pożyteczne jest wprowadzenie nowej zmiennej
całkowanie. Przy tym, jeżeli całka oznaczona
podstawienia
(lub
poprzednie granice
i
przekształcana jest za pomocą
) na inną całkę z nową zmienną całkowania
należy zastąpić przez nowe granice całkowania
, które wyznaczamy na podstawie przyjętego podstawienia, czyli z równań
(albo
Jeśli
oraz
,
, to
i
,
).
są ciągle w przedziale
www.wkuwanko.pl
, to zachodzi:
7
Rachunek całkowy - całka oznaczona
Wyznaczanie objętości bryły na podstawie znajomości pól przekrojów równoległych.
Gdy znane jest pole S(x) dowolnego przekroju danej bryły płaszczyzną równoległą do
płaszczyzny P , gdzie x oznacza odległość płaszczyzny tnącej od płaszczyzny P, to przy
zmianie x o wielkość dx różniczką objętości będzie objętość walca prostego o wysokości dx i
o polu podstawy S(x), czyli dV= S(x)dx, a objętość bryły wyrazi się całką:
przy czym a i b stanowią odpowiednio lewą i prawą granicę przedziału zmienności
.
Objętość bryły obrotowej.
Jeśli pewna bryła powstaje przez obrót trapezu krzywoliniowego
każdy z jej płaskich przekrojów, prostopadłych do osi
dookoła osi
, stanowić będzie koło o promieniu
równym odpowiedniej rzędnej krzywej
.
Pole przekroju
, jako pole koła, będzie równe
odpowiadającego odciętej
Różniczką objętości odpowiadającą przyrostowi
, to
będzie
.
, a całkowitą objętość
bryły obrotowej określa wzór:
Gdy natomiast bryła powstaje przez obrót trapezu krzywoliniowego
to
wokół osi
,
oraz
www.wkuwanko.pl
8
Rachunek całkowy - całka oznaczona
Długość łuku krzywej płaskiej.
Jeśli krzywa płaska, rozpatrywana w układzie współrzędnych prostokątnych, jest dana
równaniem
to różniczka
lub
, albo w postaci parametrycznej
,
długości jej łuku wyraża się wzorem:
a długość łuku określona jest wzorem:
Pole powierzchni obrotowej.
Jeśli powierzchnia powstaje na skutek obrotu łuku
krzywej płaskiej wokół osi
różniczka pola tej powierzchni bocznej kołowego stożka ściętego, o tworzącej
promieniach podstawy
, to
i
i
a pole powierzchni, utworzonej przez obrót łuku AB, jest określone wzorem
www.wkuwanko.pl
9
Rachunek całkowy - całka oznaczona
przy czym
a
określają wartość obranej zamiennej całkowania w punktach A i B,
- różniczkę łuku krzywej.
Jeśli obrót łuku odbywa się wokół osi
to,
Współrzędne środka ciężkości.
Środkiem ciężkości zbioru punktów materialnych nazywamy punkt przyłożenia wypadkowej
równoległych sił ciężkości, przyłożonych w tych punktach.
Dla łuku materialnego AB krzywej płaskiej współrzędne prostokątne środka ciężkości C są
określone wzorami:
www.wkuwanko.pl
10
Rachunek całkowy - całka oznaczona
gdzie: m – masa luku ,
i
- momenty styczne łuku względem osi Ox i Oy,
gęstość liniowa rozkładu masy w punkcie
i
łuku,
-
- różniczka długości łuku, a
- wartość obrabianej zmiennej całkowania w punktach końcowych A i B.
W przypadku gdy łuk materialny jest jednorodny, wzory upraszczają się, gdyż stałą
można wtedy wynieść przed znaki całek.
Współrzędne środka ciężkości jednorodnego trapezu krzywoliniowego, przylegającego do osi
Ox , dane są wzorami:
Jeśli jednorodna linia materialna lub figura mają oś symetrii, to środek ciężkości tej linii
(figury) leży na tej osi.
Całkowanie przybliżone.
Istnieje kilka sposobów przybliżonego całkowania. Jeśli funkcja
dana jest albo za
pomocą pewnego wzoru, albo za pomocą tablic jej wartości, to całkę oznaczoną
możemy obliczyć w sposób następujący:
1. dzielimy przedział całkowania
punktów
na
równych części
za pomocą
,
2. obliczamy wartości funkcji podcałkowej
w punktach podziału, czyli
obliczamy:
www.wkuwanko.pl
11
Rachunek całkowy - całka oznaczona
3. posługujemy się którymkolwiek ze wzorów całkowania przybliżonego.
Najczęściej stosowane są następujące przybliżone wzory, oparte na geometrycznym
przedstawieniu całki oznaczonej jako pola trapezu krzywoliniowego.
I.
Wzór prostokątów
Geometrycznie
wzór
odpowiadającego całce
ten
oznacza
zastąpienie
pola
trapezu
krzywoliniowego,
, sumą pól prostokątów. Błąd powstały przy przybliżonym
obliczaniu całki oznaczonej wg wzorów prostokątów ma oszacowanie:
gdzie
II.
- największa z wartości
w przedziale
.
Wzór trapezów.
www.wkuwanko.pl
12
Rachunek całkowy - całka oznaczona
Geometrycznie wzór ten oznacza zastąpienie pola trapezu krzywoliniowego sumą pól
trapezów. Błąd we wzorze trapezów ma oszacowanie:
gdzie
III.
- największa z wartości
w przedziale
.
Wzór trapezów parabolicznych (czyli wzór Simpsona);n jest tu liczbą parzystą.
Geometrycznie na podstawie tego wzoru pole każdej pary pasków jest zastępowane polem
trapezu parabolicznego, powstaje dzięki zastąpieniu łuku krzywej
łukiem paraboli
(o osi pionowej), przechodzącej przez trzy punkty krzywej o odciętych:
Błąd wzoru Simpsona ma oszacowanie
gdzie
- największa z wartości
w przedziale
.
Oczywiście, każdy z podanych tu wzorów będzie dokładniejszy, im więcej będzie punktów
podziału, czyli im większe będzie
. Inaczej mówiąc, przy dostatecznie dużej wartości
za
pomocą każdego z tych wzorów można obliczyć wartość przybliżoną całki oznaczonej z
dowolną dokładnością.
www.wkuwanko.pl
13
Rachunek całkowy - całka oznaczona
Przy jednakowej liczbie podziałów
, drugi wzór jest na ogół dokładniejszy od pierwszego,
pierwszego, pierwszego trzeci bardziej dokładny niż drugi.
Całki niewłaściwe.
Całkami niewłaściwymi nazywamy całki oznaczone, w których albo granice całkowania są
nieskończone, albo funkcja podcałkowa jest nieciągła.
1. Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju.
a. Funkcja podcałkowa f(x) nie jest ograniczona w otoczeniu punktu x = b, wówczas całkę
określamy następująco:
, a < β < b,
jeśli ta granica istnieje.
b.
Funkcja podcałkowa f(x) nie jest ograniczona w otoczeniu punktu x = a, wówczas
całkę określamy następująco:
, a < α < b,
jeśli ta granica istnieje.
c.
Jeżeli natomiast funkcja podcałkowa f(x) nie jest ograniczona w pewnym otoczeniu
punktu x = c, gdzie a < c < b, to całkę określamy następująco:
www.wkuwanko.pl
14
Rachunek całkowy - całka oznaczona
2. Całka niewłaściwa drugiego rodzaju.
a.
Funkcja f(x) jest określona i ciągła w przedziale
przedziale
, wówczas całkę funkcji f(x) w
określamy następująco:
Jeżeli granica po prawej stronie nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa nie istnieje.
b.
Jeżeli niewłaściwość występuje na lewym końcu przedziału całkowania
, to
całkę określamy następująco:
c.
Przyjmijmy także określenie:
,
gdzie A jest dowolną liczbą.
Jeżeli istnieją skończone granice określające całki niewłaściwe pierwszego i drugiego rodzaju,
to całki te nazywamy zbieżnymi. W przeciwnym razie nazywamy je rozbieżnymi.
www.wkuwanko.pl
15