RUCH FALOWY

RUCH FALOWY
1
Fale sejsmiczne
Fale morskie
Kamerton
Interferencja
2
RÓWNANIE FALI
Fala = rozchodzenie się „zaburzeń” w ośrodku materialnym lub próżni:
zaburzenie
w
funkcji
położenia
w
ƒ fale podłużne i poprzeczne w ciałach stałych,
określonej chwili czasu (lub zaburzenie w
ƒ fale podłużne w gazach,
funkcji czasu w określonym punkcie
ƒ fale elektromagnetyczne w próżni,
przestrzeni):
„zaburzenie”, np. drgania układu cząstek (np. fala w gumowej lince)
Ψ
(x , t ) =
f
(x
− vt
)
zmienna x, przestrzenny rozkład zaburzeń
Ψ(x, t)
punkt zamocowania
liny
Ψ
(x , t ) =
x 

gt −

v 

zmienna t, rozkład zaburzeń w czasie
x (lub t)
x = vt lub (t = x/v)
fala w naciągniętej linie wywołana szarpnięciem w chwili t = 0
F.R.S. Baden Powell
(1796-1860)
Maszyna Powell'a do demonstracji ruchu falowego
skonstruowana przez Elliott Bros w XIX w.
3
FALE HARMONICZNE
Równanie fali harmonicznej
fala płaska ma równanie
 2π
(x − vt ) = A sin (kx − ω t )
Ψ = A sin 
 λ

składowa wektora falowego k w kierunku x
ω = 2πν =
ω = νk
k =
Ψ
λ(lub T)
2π
λ
x (lub t)
2π
υ
= 2π
T
λ
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE RUCHU FALOWEGO
Funkcja
Ψ = f ( x − vt )
∂ 2Ψ
1 ∂ 2Ψ
=
∂x 2 υ 2 ∂t 2
spełnia równanie:
równanie różniczkowe drugiego rzędu
ta sama (matematycznie) postać równania dla wszystkich rodzajów fal:
ƒ fal sprężystych
ƒ fal elektromagnetycznych
ƒ fal materii
4
Przybliżone wartości modułu Younga
dla różnych materiałów
FALA SPRĘŻYSTA W PRĘCIE
∂ 2Ψ ρ ∂ 2Ψ
Równanie różniczkowe fali sprężystej: 2 =
E ∂t 2
∂x
Materiał
Moduł Younga, GPa
gdzie:
Guma
0,01-0,10
ρ – gęstość, E – moduł Younga
Poli(tereftalan etylenu)
2,0-2,5
(PET), np.: butelki plastikowe
1
υ k2
=
ρ
E
Drewno dębowe
11
Stop aluminium
69
Szkło
72
k
Żelazo i stal
190-210
ρ
Diament
1 050-1 200
,
prędkość fali podłużnej: υ II
=
ρ
E
prędkość fali poprzecznej: υ ⊥ =
(k – moduł sztywności na skręcenie)
FALA PODŁUŻNA W GAZIE
χp
υ=
,
ρ
χ=
Cp
CV
Dlaczego Indianie
przykładali uszy
do szyn kolejowych?
Ośrodek
Prędkość fal podłużnych
powietrze
~ 340 m/s
woda
~ 1500 m/s
żelazo
cynk
~ 5100 m/s (υ II > υ ⊥ )
~ 3000 m/s (≈ υ ⊥ )
3810 m/s
mosiądz
3710 m/s
cyna
2730 m/s
ołów
1200 m/s
5
TRANSPORT ENERGII W RUCHU FALOWYM
∆x = v∆t
Natężenie fali, gęstość energii
transport energii drgań
cząsteczek ośrodka
w kierunku x
x
∆s
x, t
x+∆x; t+∆t
I=
∆ E = E p ⋅ ∆V
Eρ – energia przypadająca na jednostkę
objętości ośrodka ∆V = ∆s∆x = ∆sv∆t
I=
∆s – element powierzchni czoła fali
∆E
∆s∆t
∆s ⋅ υ ⋅ ∆t ⋅ E ρ
∆s ⋅ ∆t
= υ ⋅ Eρ
I – natężenie fali
Eρ – gęstość strumienia energii
np. gęstość strumienia energii fali harmonicznej
∑ mi
1
 1

E ρ = (∑ E i ) ∆V =  ∑ miω 2 A 2  ∆V = ω 2 A 2
2
∆V
 2

I = υ ⋅ E ρ [I ] = W m 2
∑ mi
=ρ
∆V
suma energii drgań wszystkich oscylatorów harmonicznych
zawartych w jednostce objętości :
Eρ =
1
ρω 2 A 2
2
1
1

I = E ρ ⋅ υ =  ρυ ω 2 A 2 = Zω 2 A 2
2
2

Z = ρ ⋅υ
oporność falowa ośrodka
6
Moc źródła fali
Absorpcja energii fal
(szybkość emisji energii w czasie)
zmiana natężenia fali – w ośrodku następuje
pochłanianie energii fali i zamiana energii na ciepło
r
Z
źródło fal
o mocy M
∆Ω
I0
∆s
I - dI
(α)
I
r
dI = −αIdx
dI
= −αdx
I
I = I 0 e −αx
dx
M = Ir ∆Ω
2
współczynnik pochłaniania dla fal sprężystych w
moc źródła:
ośrodku ciągłym: α ~ ω
∆E
M =
∆t
∆s = r 2 ∆Ω
∆E
∆E
1
M
I=
=
⋅ 2
= 2
∆s ⋅ ∆t ∆t r ∆Ω r ∆Ω
dla źródła kulistego lub punktowego:
2
ρ
I/I0
1
I=
M
4πr 2
0
x
7
SUPERPOZYCJA FAL
Zasada superpozycji
Jeżeli w ośrodku rozchodzą się dwie lub więcej różnych fal, to wypadkowe drganie cząstek ośrodka,
a zatem i wypadkowa fala jest sumą geometryczną fal składowych.
np. dwie fale harmoniczne o nieznacznie różniących się długościach
ψ1, ψ2
ψ1 = Asin(kx – ωt)
ψ2 = Asin[(k + ∆k)x – (ω + ∆ω)t]
(k = 2π/λ) ∆λ << λ , ∆ω << ω
1
(∆k ⋅ x − ∆ω ⋅ t ) sin (kx − ωt )
2

ψ = ψ 1 + ψ 2 = 2 A cos 
Fala wypadkowa ma zmienną w czasie amplitudę ψ ψ
1 
∆ω  
= 2 A cos  ∆k  x −
t
∆k  
2 
- prędkość fazowa υ = ω
∆ω
∆k
k
ψ
- prędkość grupowa υ g
=
ψ – fala o tej samej długości i częstotliwości
υg =∆ω∆k
co fale składowe, lecz zmiennej amplitudzie;
obwiednia amplitudy ma sama charakter fali
x
poruszającej się z prędkością
typu
zmiana
dudnienia.
amplitudy
υ g = ∆ω ∆k ,
nosi
tego
nazwę
8
FALE RZECZYWISTE ↔ PACZKI FALOWE
Fale rzeczywiste – fale skończone w czasie i przestrzeni, nie są falami harmonicznymi i stanowią paczki
falowe.
a(ω)
Własności:
• rozciągłość w przestrzeni (∆x) i w czasie (∆t)
∆ω
• porusza się z prędkością grupową vg
• jest superpozycja fal harmonicznych o różnych częstościach
ω
ω0
Gęstość widmowa amplitud a(ω) paczki falowej
ψ
Zasady nieoznaczoności:
∆k ⋅ ∆x ≥ 2π 
∆ω ⋅ ∆t ≥ 2π 


x(lub t)
∆E ⋅ ∆t ≥ h
E = hω
h
p
h = h 2π
λ=
λ0(lub T0)
∆p ⋅ ∆x ≥ h
h – stała Plancka
∆x = vg∆t(lub ∆t = ∆x/vg)
9
INERFERENCJA FAL
Dla uproszczenia: dwa punktowe źródła fal Z1 i Z2 o tej samej częstości i tej samej amplitudzie
ψ (P ) = A sin(ω − kr1 + α1 ) + A sin (ω − kr2 + α 2 ) ,
 r2 − r1 α 1 − α 2
+
2
2

ψ (P ) = 2 A cos k
r + r α +α2 
 
 sin  ωt − k 1 2 + 1

2
2 
 
r1
Z1
α1, α2 – początkowe fazy(drgań) źródeł
P
φ
φ
d
r2
jeżeli α1 – α2 = const(=0) – źródła spójne:
• częstość fali wypadkowej w dowolnym punkcie =
częstości fal składowych
• amplituda ψ (P ) = 2 A cos k r2 − r1 + α 1 − α 2  jest stała w

2
2

czasie, lecz zależy od P (od r2 – r1)
• amplituda zmienia się od 2A do 0
Z2
źródła spójne <=> interferencja fal
r2 − r1
Kierunki wzmacniania i wygaszania się fal
zał.: α1 − α 2 = const = 0
r2 − r1 = nλ ,
n = 0, 1, 2, ... maksymalna amplituda fali wypadkowej – wzmocnienie fali
1

r2 − r1 =  n + λ
2

wygaszanie się fali
Jeżeli (r2 >> d, r1 >> d) we wszystkich punktach kierunku określonego przez kąt φ jednakowy wynik
interferencji, w szczególności:
r2 − r1 = d sin ϕ n = nλ ,
n = 0, 1, 2, ... wzmocnienie fal
1

r2 − r1 = d sin ϕ wn =  n + λ
2

wygaszenie się fal
10
Zależność natężenia fali od kierunku rozchodzenia się fali (charakterystyka kierunkowa źródeł)
• amplituda (B) fali powstałej na skutek interferencji w punkcie P (α1 = α2 = 0)
 k (r − r ) 
 πd sin ϕ 
B(ϕ ) = 2 A cos  2 2  = 2 A cos

2
 λ 


I(φ)/Imax
• natężenie fali
I ~ B 2 (ϕ ) ,
1
Bmax = 2 A
φw1
φw2
fale spójne (koherentne)
α1 – α2 = const;
np. α1 = α2 = 0
ω1 = ω2 = ω
φ2
φ1
0
φ1
φ2
11
FALA STOJĄCA
(np. fala powstała w rurce gumowej, rurze Quincke’go)
Równanie fali: ψ
sin
2πx
2πx
λ
λ
=0
= 2 A sin 2π
x
λ
cos ωt
węzły fali stojącej:
x=n
= nπ
strzałki fali stojącej:
Bmax = 2 A
λ
x
2
x = (2k + 1)
λ
4
x=0
Rurka zamocowana z jednego końca (x = 0)
x
x=0
x=L
Rurka zamocowana z dwóch końców (np. struna)
x = L węzeł (B = 0)
sin
2πL
λ
=0
,
2πL
λ
= mπ
,
L=m
λ
2
m – liczba całkowita
Fala stojąca w instrumentach muzycznych.
12