Zestaw dodatkowy 2

Zestaw 2: Prawdopodobieństwo całkowite i warunkowe. Niezależność zdarzeń
1. W urnie znajdują się 3 kule białe i 4 kule czerwone. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania 2 kul
białych przy dwukrotnym losowaniu bez zwracania?
2. Mamy trzy urny. W i-tej urnie znajduje się bi kul białych i ci kul czarnych. Zakładamy, że urny są
jednakowe i losujący nie wie do której urny sięga. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli białej?
3. Losujemy jedną kulę z jednej z 4 urn typu A i 16 urn typu B (urnę wybieramy losowo). W każdej urnie
typu A jest 7 kul białych i 3 kule czarne, natomiast w każdej urnie typu B są 4 kule białe i 6 czarnych.
Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?
4. Aparatura nadająca sygnały składa się podzespołów A, B1 , B2 . Jeśli podzespoły działają sprawnie, to
prawdopodobieństwo przesłania niezniekształconego sygnału wynosi 0.99. Jeśli zepsuty jest podzespół B1
lub B2 to prawdopodobieństwo to zmniejsza się o 20%. W pozostałych przypadkach aparatura przestaje
działać. Prawdopodobieństwa, że dany podzespół ulegnie awarii wynoszą: P(A) = 0.1, P(B1 ) = P(B2 ) =
0.3. Oblicz prawdopodobieństwo, że sygnał przesłany w losowo wybranym momencie przez aparaturę nie
będzie zniekształcony.
5. Rzucamy dwiema kostkami. Niech A1 oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu nieparzystej liczby
oczek na pierwszej kostce, A2 – parzystej liczby oczek na drugiej kostce, A3 – nieparzystej bądź parzystej
liczby oczek na obu kostkach. Zbadaj niezależność zdarzeń A1 , A2 , A3 .
6. Ściany czworościanu pomalowane są: jedna na biało, druga na czerwono, trzecia na zielono, a czwarta
w pasy białe, czerwone i zielone. Rzucamy tym czworościanem i patrzymy na jaką ścianę upadł. Zbadaj
czy zdarzenia polegające na pojawieniu się każdej z barw są niezależne parami i zespołowo.
7. Dwie korektorki, Anna i Beata, czytają niezależnie od siebie ten sam tekst. Anna znalazła w nim 64
błędy, Beata – 82, przy czym błędów znalezionych przez obie było 42. Jak wytłumaczyć fakt, że zostały
zwolnione z pracy?
8. Z urny, w której początkowo bylo b kul białych i c kul czarnych usunięto jedną kulę. Jakie jest teraz
prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, jeśli nie znamy koloru kuli usuniętej?
9. Z urny, w której jest b1 kul białych i c1 kul czarnych wylosowano jedną kulę i nie oglądając jej
wrzucono do drugiej urny w której początkowo było b2 kul białych i c2 kul czarnych. Jakie będzie teraz
prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny?
10. Z talii 52 kart usunięto 2 karty (nie wiemy jakie). Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa z
pozostałych 50 kart.
11. Ile powinniśmy zasiać nasion, aby prawdopodobieństwo wykiełkowania przynajmniej jednego z nich
było nie mniejsze niż 0.95, jeżeli w danych warunkach kiełkuje jedno ziarno na dziesięć?
12. Dane są: urna A zawierająca 6 kul białych i 9 czarnych oraz urna B zawierająca 5 kul białych i 15
czarnych. Wylosowano białą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowano z urny A?
13. W urnie znajduje się 5 kul w kolorach czarnym lub białym. Po 4-krotnym losowaniu 1 kuli ze
zwracaniem wylosowaliśmy 1 kulę białą i 3 czarne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w urnie znajduje
się jedna kula biała i cztery czarne?
14. Przy danych P(A|B) =
15. Wiadomo, że: P(A) =
P(A|B ∩ C).
1
3
oblicz
2
5,
P(A\B)
P(B) .
P(A ∪ B) =
3
5,
P(B|A) =
1
4,
P(C|B) =
1
3,
P(C|A ∩ B) =
1
2.
Oblicz
16. Przy danych P(A) = 13 , P(A|B) = 15 , P(B|A) = 12 , oblicz P(B).
17. Podczas kontroli technicznej w pewnej fabryce wyroby wadliwe są odrzucane z prawdopodobieństwem
0.95, a wyroby dobre z prawdopodobieństwem 0.05. Stwierdzono, że na rynku jest 1% wadliwych wyrobów
tej fabryki. Jaki procent wadliwych wyrobów produkuje fabryka?
18. W komodach A, B, C są po dwie szuflady. W każdej szufladzie jest jedna moneta, przy czym w
komodzie A są monety złote, w B srebrne, a w C jest jedna moneta złota i jedna srebrna. Wylosowano
komodę, następnie szufladę i znaleziono tam monetę złotą, jaka jest szansa, że w drugiej szufladzie też
jest moneta złota?
19. W magazynie znajdują się dwie partie elementów produkowanych w fabrykach I i II. Z fabryki I
pochodzi 40% elementów, z fabryki II – 60%. Niezawodność (w czasie T ) elementów z fabryki I jest
równa 0.95, z fabryki II - 0.7. W sposób przypadkowy wzięto z magazynu element. Obliczyć:
a) prawdopodobieństwo tego, że jest on z fabryki II.
b) prawdopodobieństwo tego, że element będzie poprawnie pracował w czasie T ,
c) prawdopodobieństwo warunkowe tego, że element pochodzi z fabryki I, jeśli wiadomo, że pracował
poprawnie przez czas T ,
d) prawdopodobieństwo warunkowe tego, że element pochodzi z fabryki II, jeśli wiadomo, że pracował
poprawnie przez czas T ,
20. W pewnej populacji genotypy DD, Dd, dd (gdzie D jest genem dominującym, a d jego allelem
recesywnym) występują z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio p2 , 2pq, q 2 (przyjmuje się, że
Dd i dD nie są rozróżnialne), gdzie p + q = 1.
1. Wiadomo, że pewien osobnik należy do genotypu DD. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obaj jego
rodzice należą do genotypu Dd.
2. Oblicz prawdopodobieństwo, że brat mężczyzny o genotypie Dd należy również do tego samego
genotypu.
21. W urnie znajdują się 2 typy losów. Na losie typu A w co drugim wypadku jest główna nagroda, a w
pozostałych przypadkach dodatkowy los. Los typu B natomiast jest wygrywający w 1 na 100 przypadków,
w pozostałych nie wygrywa nic. W urnie jest 25 losów A, 75 losów B. Jaka jest szansa wygranej przy
kupnie jednego losu?
22. Losową rodzinę o dwójce dzieci zapytano czy ma syna. Jaka jest szansa, że w rodzinie jest córka jeśli
odpowiedź na pytanie była pozytywna?
23. Losową rodzinę o trójce dzieci zapytano czy ma syna. Jaka jest szansa, że w rodzinie jest córka, jeśli
odpowiedź na pytanie była pozytywna?
24. Dwa szpitale (S1, S2) leczą taką samą liczbę pacjentów w ciągu roku. Pacjenci cierpią na dwie choroby
(C1, C2). Prawdopodobieństwo wyleczenia się z choroby C1 jest większe w szpitalu S1 niż w szpitalu S2.
Podobnie jest z chorobą C2. Jednakże szpital S2 leczy pacjentów z wyższym prawdopodobieństwem niż
szpital S1. Czy taka sytuacja jest możliwa? Jeśli nie – wykaż, jeśli tak – skonstruuj odpowiedni przykład
liczbowy.
25. Na pewną rzadką chorobę choruje 0.001% społeczeństwa (1 osoba na 100 000). Test podaje wynik pozytywny u 99.9% osób chorych, a wynik negatywny u 99% osób zdrowych. Czy można taki test
uznać za dobry (rozważ prawdopodobieństwo, że pacjent jest zdrowy/chory, jeśli test dał wynik pozytywny/negatywny)?