Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich
problemów w matematyce bądź fizyce mogą być:
1. Pojęcie prędkości chwilowej w mechanice. Jeżeli mamy do czynienia z ruchem jednostajnym, to
określenie prędkości nie sprawia kłopotu: Prędkość jest to iloraz przebytej drogi i czasu:
Jeśli jednak w przeciągu czasu
prędkość się zmienia, to powyższa definicja daje prędkość
średnią na odcinku czasu
. Dopóki mamy do czynienia ze skończonymi odcinkami czasu
,
dopóty — używając powyższej definicji — możemy mówić jedynie o prędkościach średnich. Z
drugiej strony, intuicyjnie czujemy, że istnieje coś takiego jak prędkość chwilowa — prędkość
w danej konkretnej chwili czasu (np. gdy jadąc samochodem rzucamy okiem na
prędkościomierz), a nie jedynie prędkość średnia na jakimś odcinku czasu. Pojawia się więc
potrzeba należytej definicji prędkości chwilowej.
2. Długość krzywej. Nie nastręcza problemów zmierzenie długości odcinka linii prostej. Ale jak
zmierzyć długość krzywej, nie będącej prostą? Receptą na rozwiązanie przybliżone jest
zastąpienie krzywej przez łamaną złożoną z odcinków i zsumowanie ich długości. Postępując w
ten sposób, mierzymy długość krzywej z pewnym błędem, który można uczynić dowolnie
małym, ale który jest skończony, jeśli długości odcinków łamanej są niezerowe. Znów czujemy,
że takie pojęcie, jak długość krzywej, jest dobrze określone (np. długość węża ogrodowego
albo nitki ma określoną wartość). Chcielibyśmy nadać dokładniejsze znaczenie powiedzeniu:
"dążymy z długością odcinka łamanej do zera, a jednocześnie z ilością tych odcinków do
nieskończoności, i to co otrzymamy W GRANICY, to długość krzywej." Ale jak to porządnie
zdefiniować?
Zanim zaczniemy powyższe problemy analizować, zastanówmy się, jakich liczb będziemy używać.
Liczby: naturalne i całkowite są w oczywisty sposób zbyt ubogie, aby przy ich użyciu analizować
pojęcie granicy (np. nie jest w wielu przypadkach wykonalne dzielenie). Następnym nasuwającym się
kandydatem są liczby wymierne . Takie wielkości, jak długość, położenie itd. można z dowolną
dokładnością określić używając liczb wymiernych. Okazuje się jednakże, że w zbiorze liczb
wymiernych są luki. Pozostając przy mierzeniu odległości: istnieją dobrze określone obiekty, np.
długość przekątnej kwadratu o boku 1, które nie są liczbami wymiernymi. Powoduje to, że granica
ciągu liczb wymiernych może nie być liczbą wymierną i do uprawiania analizy trzeba mieć większy
zbiór liczbowy — zbiór liczb rzeczywistych .
Zacznijmy od pokazania, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1, tzn.
, nie jest liczbą
wymierną. Przyjmijmy, że jest przeciwnie; wtedy możemy zapisać ją w postaci ułamka
nieskracalnego:
gdzie
są względnie pierwsze. Mamy w takiej sytuacji trzy możliwości:
1. obie liczby
są nieparzyste,
2. jest parzysta, jest nieparzysta,
3. jest nieparzysta, jest parzysta.
Patrząc na sytuację pierwszą mamy:
, czyli
wbrew założeniu. W sytuacji drugiej skoro
jest równoważna
, czyli
Wreszcie w trzeciej mamy:
jest parzysta, a więc
jest parzysta, to zapiszmy:
, co znaczy, że
znaczy, że
Stwierdziliśmy więc, że nie istnieje ułamek
wymierną — tzn. jest liczbą niewymierną.
też jest parzysta —
i równość
jest parzysta — wbrew założeniu.
jest parzysta — znów w sprzeczności z założeniem.
taki, że
, co znaczy, że
nie jest liczbą
Uzupełniając liczby wymierne o liczby niewymierne, otrzymamy zbiór liczb rzeczywistych .
Działania na nich są takie same, jak na liczbach wymiernych, a różnica pomiędzy zbiorami a
leży w tym, że dla spełniona jest zasada ciągłości Dedekinda.
Zasada ciągłości (Dedekinda)
Zasada ciągłości zbioru
podzbiory oraz :
zwana też zasadą Dedekinda mówi, że: Jeśli podzielimy
w taki sposób, że
na dwa
(stąd od razu wynika, że
), to albo w zbiorze istnieje największa liczba, albo w zbiorze
istnieje najmniejsza liczba. (Zakładamy tu, że żaden ze zbiorów , nie jest pusty).
Sytuację tę można zilustrować geometrycznie: Jeśli podzielimy prostą na dwie części i tak, by
każdy punkt części leżał na lewo od każdego punktu części , to albo istnieje ostatni punkt w
części , albo pierwszy w części . Nie może wystąpić "luka" w "przekroju", który właśnie
zdefiniowaliśmy.
Na tym polega różnica między zbiorami a : w zbiorze nie mogą istnieć luki, a w mogą.
Przykład takiej luki: Podzielmy zbiór na dwie części i : Do zaliczymy liczby mniejsze od
,
a do liczby większe od
. Spełniony jest tu warunek (9) ale w części nie istnieje liczba
największa, a w części nie istnieje liczba najmniejsza. Wynika to z możliwości przybliżania
z
góry i z dołu z dowolną dokładnością przez liczby wymierne; przykład ciągu takich przybliżeń z góry i
z dołu: — rozwinięcie dziesiętne do —tego miejsca;
.
Wartość bezwzględna
Przypomnimy tu własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej
wykorzystywane w różnych miejscach.
Def. Wartością bezwzględną (moduł) liczby
określaną przez warunki:
, które będą
nazywamy liczbę nieujemną
Jeśli
, to
Jeśli
, to
;
.
Od razu z definicji wynika, że
Własności wartości bezwględnej
Mają miejsce następujące wzory:
Własność 1
Dowód
Dla
mamy
. Dla
mamy:
,
.
Własność 2
Dowód
Dla
: Po lewej stronie pierwszej nierówności mamy liczbę
, po prawej zaś liczbę
.W
drugiej nierównosći mamy równość. Dla
: Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej zachodzi
, więc w pierwszej nierówności mamy równość. W drugiej nierówności: Po lewej stronie
mamy liczbę mniejszą od zera, po prawej liczbę większą od zera.
Własność 3
Dowód
Jeśli któraś z liczb
jest równa zeru, to mamy równość. Jeśli obie liczby są większe od zera, to
mamy równość. Jeśli obie liczby są mniejsze od zera, to mamy równość. Jeśli
i
, to
. Jeśli
i
, to
.
Własność 4
Dowód
Drugą z powyższych nierówności otrzymuje się przez wzięcie
zamiast
w (5). Pierwsza zaś jest
równoważna
i znów otrzymuje się ją z (5), jeśli zamienić
.
Własność 5
Dowód
Dla
, mamy
i
. Dla
, skąd
i
jest:
. Dla
i
:
.
Własność 6
Z nierówności
i
wynika, że
Ten wzór można nazwać wzorem na "dodawanie pod znakiem wartości bezwzględnej".
Dowód
Wynika on z (4), ponieważ:
.
Równoważność trzech nierówności
Zbiory ograniczone. Kres górny i dolny zbioru
Niech
. Przypomnijmy definicję zbioru ograniczonego z góry:
Def. Mówimy, że
jest ograniczony z góry, jeśli
Każde
, spełniające (8), nazywamy ograniczeniem górnym. Jeśli
— ograniczenie górne, to
, gdzie
, również jest ograniczeniem górnym. Mamy więc cały zbiór ograniczeń
górnych; oznaczmy go
.
Twierdzenie o kresie górnym
Niech
— zbiór ograniczony z góry. Wtedy w zbiorze
liczba najmniejsza. Nazywamy ją kresem górnym zbioru .
ograniczeń górnych zbioru
istnieje
Dowód
W dowodzie posłużymy się zasadą ciągłości Dedekinda (9).
Podzielmy wszystkie liczby rzeczywiste na dwie klasy (podzbiory
):
Do drugiej klasy
zaliczamy liczby
, spełniające:
. Tak więc
to zbiór
ograniczeń górnych zbioru . Ponieważ zbiór jest ograniczony z dołu, to
jest niepusty i
różny od .
Do pierwszej klasy zaliczmy wszystkie pozostałe liczby, tzn.
. (Zbiór również jest
niepusty.) Zapiszmy równoważną definicję : Do należą elementy
takie, że
, tzn.
.
Z zasady ciągłości wynika, że:
albo w klasie
albo w klasie
istnieje element największy,
istnieje element najmniejszy.
Pokażemy, że możliwość pierwsza nie zachodzi. Przyjmijmy, że jest przeciwnie, tzn. że w klasie
istnieje element największy; nazwijmy go . Ale wtedy, z definicji klasy :
. Weźmy
teraz
. Wtedy
, więc znów
, oraz
, co znaczy, że NIE JEST
elementem największym w klasie — wbrew założeniu. Otrzymaliśmy sprzeczność, co dowodzi, że
zachodzi możliwość (10), tzn. w klasie
istnieje element najmniejszy.
Bliźniacze twierdzenie
Jeśli zbiór
jest ograniczony z dołu, to wśród ograniczeń dolnych zbioru
największa, zwana kresem dolnym zbioru .
istnieje liczba
Dowód
jest również bliźniaczy.
Uwaga
Kresy zbioru nie muszą do niego należeć. Np. kresami przedziału otwartego
liczby
(kres dolny) i
(kres górny), nie należące do
są
.
Aksjomatyka liczb rzeczywistych
Podsumujmy znane własności liczb rzeczywistych. Można je też uznać za aksjomaty, które definiują
liczby rzeczywiste; wszystkie znane nam własności liczb rzeczywistych można z nich wyprowadzić.
1. W
mamy działanie dodawania " ". Jest ono przemienne:
2. Istnieje element neutralny
.
dla dodawania, tzn.
:
oraz łączne:
.
3. Dla każdego elementu istnieje element przeciwny
:
4. W mamy działanie mnożenia " ". Jest ono przemienne:
.
5. Istnieje element neutralny dla mnożenia, tzn.
:
6. Dla każdego elementu
istnieje element przeciwny :
określonymi działaniami nazywa się ciałem. Zatem jest ciałem.
7. Istnieje w relacja mniejszości " ", tzn. każde dwie różne liczby
, albo
. Relacja ta jest przechodnia, tzn. jeżeli
i
.
oraz łączne:
.
. Uwaga. Zbiór z tak
, to
spełniają: albo
.
Zachodzi też:
Jeżeli
to
i, jeżeli też
to
Uwaga
Wszystkie powyższe aksjomaty są też spełnione przez liczby wymierne. Zakładamy więc, prócz
wszystkich powyższych, jeszcze
1. aksjomat ciągłości Dedekinda (9).