Wojewódzki Konkurs Matematyczny ZADANIA ZAMKNIĘTE

Wojewódzki Konkurs Matematyczny
dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki
Rozwiązania i punktacja
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W zadaniach od 1. do 10. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną poprawną
odpowiedź. W przypadku pomyłki na karcie odpowiedzi należy wypełnić następny diagram z odpowiedziami. Diagramy z niepoprawnymi odpowiedziami powinny
zostać przekreślone wzdłuż przekątnych. Zaznaczenie więcej niż jednej odpowiedzi
w jednym zadaniu jest równoznaczne z niepoprawną odpowiedzią.
Zadanie 1. (1 punkt) Ułamek 0, 0(2) jest równy:
A
2
99
B
2
990
C
2
9
D
2
90
E
2
999
Zadanie 2. (1 punkt) Funkcja f jest określona następująco:
Każdej liczbie naturalnej większej od 1, przyporządkowujemy jej największy dzielnik będący liczbą
pierwszą. Która spośród liczb f (125), f (135), f (165), f (130, ) jest największa:
A f (125)
B f (135)
C f (165)
D f (130)
E brak największej
Zadanie 3. (2 punkty) Bieżnia na stadionie lekkoatletycznym
składa się z dwóch odcinków prostych o długości 100 m każdy
połączonych dwoma półkolistymi łukami. Na bieżni jest 6 torów o
szerokości 1 m każdy. Najbardziej wewnętrzny tor na obu łukach
ma długość 100 m. Bloki startowe zawodnika na najbardziej
wewnętrznym torze umieszczone są na początku odcinka prostoliniowego. O jaką odległość powinny być przesunięte bloki startowe
zawodnika na najbardziej zewnętrznym torze względem bloków
na torze najbardziej wewnętrznym w biegu na 400 m, jeżeli meta
dla wszystkich zawodników znajduje się na początku odcinka
prostoliniowego?
A 12 m
B 6m
C 15 m 70 cm
D 31m 40cm
E 37 m 68 cm
Zadanie 4. (1 punkt) Ile wynosi pole kwadratu, którego przekątną wyznaczają punkty A =
(−2, −7) i C = (1, 3) ?
1
A 109
B 54,5
C 102
D 51,5
E 110
Zadanie 5. (1 punkt) Jaka jest długość trzeciego boku trójkąta prostokątnego, któego dwa
pozostałe boki mają długości 3 i 4?
A nie mniejsza niż 5
C nie większa niż 5
B równa 5
E mniejsza od 5
D większa od 5
Zadanie 6. (1 punkt) Powierzchnia działki na mapie wynosi 6 cm2 . W rzeczywistości działka
ta ma 21600 hektarów. Jaka jest skala tej mapy?
A 1:3600000
B 1:60000
C 1:360000
D 1:6000000
E 1:600000
Zadanie 7. (1 punkt) W pewnej kawiarni podaje się klientom średnio 80 filiżanek kawy dziennie.
Ze 100 g kawy ziarnistej można przygotować 22 filiżanki kawy. Ile półkilogramowych paczek
kawy musi kupić właściciel, aby wystarczyło jej na 5 dni?
A 1
B 2
D4
C 3
E 5
Zadanie 8. (1 punkt) Którą liczbę usunięto z listy danych: 3,2,4,1,5,1,4,1,5,2 jeśli wiadomo, że
średnia arytmetyczna zwiększyła się o 15 ?
A1
B 2
C 3
D 4
E 5
Zadanie 9. (1 punkt) W trójkącie prostokątnym punkt styczności okręgu wpisanego dzieli
jedną z przyprostokątnych na odcinki długości 5 cm i 7 cm. Ile wynosi obwód tego trójkąta?
D 84 cm
B 32 cm
C 74 cm
D 78 cm
E 82 cm
Zadanie 10. (1 punkt) Klasa IIc, w której jest 20 uczniów poszła wraz z wychowawcą do kina.
Łączny koszt wszystkich biletów wyniósł 210 zł. Uczniowie mieli bilety ze zniżką 60%, natomiast
wychowawca miał zniżkę 25%. Ile wynosi cena biletu normalnego w tym kinie?
A 30 zł
D 24 zł
C 25 zł
D 28 zł
2
E 20 zł
ZADANIA OTWARTE
Zadanie 11. (4 punkty) Na ogrodzonej łące w kształcie
√ koła o promieniu 60 m pasie się koza
przywiązana do granicy łąki łańcuchem o długości 60 3 m. Jaki procent łąki ma w zasięgu
koza? (Oblicz z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku). Wykonaj rysunek.
Oznaczenia
√ na rysunku:
R = 60 · 3 - długość łańcucha kozy
r = 60 - promień koła
O - punkt zaczepienia łańcucha
S - środek koła
Fragment łąki dostępny dla kozy składa się z wycinka koła o promieniu R oraz dwóch
odcinków kołowych, z których jeden na rysunku jest zanaczony jako O√
k . Trójkąt OSA jest
trójkątem równoaramiennym o bokach |OS| = |SA| = 60m i |OA| = 60 · 3m. Wynika z tego
że kąty przy wierzchołkach A i O równe są 30o a wysokość trójkąta równa jest h = 30m.
Pole wycinka koła o promieniu R i kącie 60o jest równe
√
2
60o
Pwk =
·
π(60
3 m) = 1800π m2
o
360
Pole odcinka koła Ok można obliczyć jako różnicę pól wycinka koła ośrodku S i kącie środkowym
√
√ 2
120o
1
2
2
Ok =
·
π
·
(60
m)
−
·
60
3
m
·
30
m
=
π
·
1200
m
−
900
3m
360o
2
Pole łąki dostępne dla kozy Pk = Pw k − 2 · Ok czyli
√
√
Pk = 1800π m2 + π · 2400 m2 − 1800 3 m2 = π · 4200 m2 − 1800 3 m2
Pole całej łąki jest równe
P = π · (60 m)2 = π · 3600 m2
Procent łąki dostępny dla kozy
√
π · 4200 m2 − 1800 3 m2
· 100% =
π · 3600 m2
√ !
7
3
−
· 100% = (1, 1667 − 0, 2757)) · 100% = 89, 81%
6
2π
Punktacja:
3
1. Poprawny rysunek - 1 punkt
rysunek z zaznaczonymi błędnie kątami jest uważany za błędny.
2. zaznaczony poprawny kąt 30o - 1 punkt
3. obliczenie jednego z pól (wycinka koła, odcinka koła) - 1 punkt
4. obliczenie stosunku pól - 1 punkt
Uwaga: nieistotne błędy rachunkowe nie powodują obniżenia punktacji
4
Zadanie 12. (4 punkty) Do prostopadłościennego zbiornika o wymiarach 20dm, 100cm, 10m
wlano 5000 litrów mleka o zawartości tłuszczu równej 3,4%. Resztę dopełniono mlekiem o
zawartości tłuszczu równej 4,2 %. Ile procent tłuszczu zawiera obecnie mleko w zbiorniku?
Pojemność zbiornika po zamianie na litry jest równa:
V = 20 dm · 10 dm · 100 dm = 20000 dm3 = 20000 l
Dolano
20000 l − 5000 l = 15000 l
mleka o zawartości tłuszczu 4,2%
Ilość tłuszczu w mleku zmieszanym wynosi
5000 l ·
4, 2
3, 4
+ 15000 l ·
= 170 l + 630 l = 800 l
100
100
Zawartość tłuszczu w mleku zmieszanym wyrażona w procentach
800 l
· 100% = 4%
20000 l
Punktacja
1. poprawne wyznaczenie objętości zbiornika - 1 punkt
2. obliczenie ilości tłuszczu w mieszaninie lub napisanie poprawnego równania - 1 punkt
3. poprawne obliczenie zawartości tłuszczu w mieszaninie - 2 punkt
za błedy rachunkowe odejmuje się 1 punkt
5
Zadanie 13. (3 punkty) Liczby naturalne ustawiamy kolejno tworząc liczbę 12345678910111213141516 . .
Jaka cyfra będzie znajdować się na miejscu 2016-tym?
Pierwsze dziewięć cyfr w tworzonej liczbie zajmują liczby jednocyfrowe. Liczby dwucfrowe, których jest 90 zajmują następnych 180 miejsc. łącznie liczby jednocyfrowe i dwucyfrowe
zajmują 189 miejsc. Dalsze miejsca zajmują liczby trzycyfrowe. Liczby trzycyfrowe zajmują
90 · 3 = 2700. Cyfra na 2016 miejscu należy więc do liczby trzycyfrowej. Liczba cyfr do 2016tego miejsca wynosi:
2016 − 189 = 1827
Ostatnią liczbą trzycyfrową w ciągu do 2016 cyfry będzie
1827
+ 99 = 708
3
Cyfra na 2016-tym miejscu to 8.
Punktacja
1. uczeń policzył ile jest cyfr w liczbach jedno i dwucyfrowych i stwierdził, że 2016 miejsce
musi być liczbą trzycyfrową - 1 punkt
2. uczeń obliczył, że znajduje się ona 609 miejscu w liczbach trzycyfrowych - 1 punkt
3. uczeń doliczył 99 liczb jedno i dwucyfrowe i znalazł cyfrę, jako ostatnią cyfrę liczby 708
- 1 punkt
6
Zadanie 14. (3 punkty) Mucha przeszła po powierzchni sześcianu najkrótszą drogą z wierzchołka A do wierzchołka, który był drugim końcem przekątnej sześcianu√wychodzącej z punktu
A. Oblicz drogę, którą przeszła mucha, jeśli krawędź sześcianu wynosi 5.
Najkrótszą drogę między punktami wyznacza odcinek prostej. (na rysunku
√
√między punktami
A i H). Boki prostokąta (na rysunku z prawej strony) mają długości 5 i 2 5. Z twierdzenia
Pitagorasa najkrótsza droga wynosi
q
√
√
√
( 5)2 + (2 5)2 = 25 = 5
Punktacja:
1. uczeń wykonał jakikolwiek rysunek na sześcianie czy na jego siatce, prowadząc drogę po
jego powierzchni, nawet jeśli nie była ona najkrótszą z dróg - 1 punkt
2. uczeń rozpatruje prawidłowy trójkąt prostokątny, tzn. narysował go lub podpisał długości
boków - 1 punkt
3. uczeń oblicza z twierdzenia Pitagoras długość przekątnej trójkąta prostokątnego, która
jest szukaną długością - 1 punkt
7
Zadanie 15. (3 punkty) W grze w koszykówkę można uzyskać za trafienie do kosza następujące
ilości punktów:
- 3 punkty za trafienie z odległości większej niż 7m 15cm
- 2 punkty za trafienie z mniejszej odległości w czasie gry
- 1 punkt za rzut osobisty wynikający z faulu.
Drużyna w czasie meczu zdobyła 85 punktów w 40 rzutach. Jaka była najmniejsza możliwa i
największa możliwa liczba rzutów za 3 punkty? Rozwiązanie: Oznaczenia:
x - liczba rzutów za jeden punkt
y - liczba rzutów za dwa punkty
z - liczba rzutów za trzy punkty
Z warunków zadania wynika następujący układ równań:
x + y + z = 40
x + 2y + 3z = 85
Najmniejsza liczba zdobytych punktów za trzy punkty wystąpi wtedy gdy nie będzie rzutów
za jeden punkt czyli x = 0. Układ równań dla x = 0 przyjmuje postać:
y + z = 40
2y + 3z = 85
Rozwiązaniem tego układu są liczby y = 35 i z = 5.
Największa liczba zdobytych punktów za trzy punkty wystąpi wtedy gdy nie będzie rzutów
za dwa punkty czyli y = 0. Układ równań dla y = 0 przyjmuje postać:
x + z = 40
x + 3z = 85
Rozwiązaniem tego układu są liczby x = 17, 5 i z = 22, 5. Rozwiązania układu powiinny
być liczbami całkowitymi w związku z tym rozwiązaniem w liczbach całkowitych jest
x = 17, z = 22, y = 1.
Punktacja:
1. napisanie układu równań - 1 punkt
2. układ równań i poprawne wyznaczenie jednego z rozwiązań - 2 punkty
3. układ równań i poprawne wyznaczenie obu rozwiązań - 3 punkty
Rozwiązanie alternatywne
1. poprawne wyznaczenie jednego z rozwiązań metodą sprawdzania kolejnych możliwych
wariantów - 1 punkt
2. poprawne wyznaczenie obu rozwiązań metodą sprawdzania kolejnych możliwych wariantów - 3 punkty
Poprawne wyznaczenie rozwiązań innymi metodami, w zależności od liczby poprawnych
rozwiązań od 1 do 3 punktów.
8