poradnik metodyczny nauczyciela matematyka.indd

Transkrypt

Projekt okładki:
Joanna Plakiewicz
Redakcja:
Barbara Gers
Redaktor prowadzący:
Stanisław Grzybek
© Wydawnictwo REA s.j., Warszawa 2007
ISBN 978-83-7141-827-3
Wydawnictwo REA s.j.
01-217 Warszawa, ul. Kolejowa 9/11
tel./fax: (22) 632-21-15, 631-94-23,632-69-03, 632-68-82
http://www.rea-sj.pl
e-mail: [email protected]
Wszystkie prawa zastrzeżone. Zakaz publikowania bez zgody Wydawcy zarówno
całości, jak i fragmentów bez względu na technikę reprodukcji.
2
Spis treści
1. Wstęp
2. Metody nauczania
2.1. Określenie metody
2.2. Podział metod nauczania
2.3. Charakterystyka wybranych metod nauczania
2.4. Zakończenie
3. Ramowy rozkład materiału dla dwuletniego uzupełniającego liceum
ogólnokształcącego po zasadniczej szkole zawodowej (2x3 godziny)
4. Ramowy rozkład materiału dla trzyletniego technikum uzupełniającego
po zasadniczej szkole zawodowej (3x2 godziny)
5. Szczegółowy rozkład materiału
6. Tematyka zajęć oraz przewidywane osiągnięcia uczniów
(propozycja planu wynikowego)
7. Sprawdzian „na wejście”
8. Scenariusze lekcji
Bibliograf ia
5
6
6
7
9
11
12
13
14
20
40
49
59
3
4
1. WSTĘP
Poradnik jest przeznaczony dla nauczycieli uczących matematyki w zakresie podstawowym w dwuletnim uzupełniającym liceum ogólnokształcącym lub trzyletnim technikum uzupełniającym po zasadniczej szkole zawodowej.
Jest on komentarzem metodycznym do podręczników Matematyka 1 i Matematyka 2 dla uzupełniającego liceum ogólnokształcącego i technikum uzupełniającego po zasadniczej szkole zawodowej. Poradnik zawiera rozkłady materiału (ramowy
i szczegółowy), tematy zajęć oraz szczegółowy wykaz osiągnięć ucznia (plan wynikowy), przykładowy sprawdzian wiadomości i umiejętności (w dwóch wersjach), nazwany przez nas sprawdzianem „na wejście” (diagnozującym), oraz szczegółowy schemat
punktowania tego sprawdzianu.
W ostatniej części przedstawiamy kilka scenariuszy lekcji prowadzonych różnymi
metodami. Mimo że w scenariuszach proponujemy alternatywne metody prowadzenia
zajęć, zachęcamy, by dołożyć wszelkich starań, aby lekcje te odbywały się z użyciem
środków multimedialnych. Komputer bowiem jest dla ucznia bardziej ekscytujący niż
zwykła plansza i wówczas łatwiej zainteresować ucznia lekcją.
Mamy nadzieję, że przedstawione w tym poradniku materiały będą pomocne nauczycielom pracującym w szkołach tego typu i zainspirują ich do tworzenia własnych
scenariuszy lekcji oraz projektów autorskich.
5
2. Metody nauczania
2.1. Określenie metody
Metoda (gr. methodos – droga, sposób badania) – systematycznie stosowany
sposób postępowania, prowadzący do założonego wyniku. Na dany sposób postępowania składają się czynności myślowe i praktyczne, odpowiednio dobrane
i realizowane w ustalonej kolejności.
Metoda nauczania – systematycznie stosowany sposób pracy nauczyciela z uczniem, umożliwiający osiągnięcie celów kształcenia; to wypróbowany
układ czynności nauczycieli i uczniów, realizowanych świadomie w celu spowodowania założonych zmian w osobowości uczniów. O wartości metod nauczania
decyduje w szczególności charakter czynności nauczycieli i uczniów oraz środki
poglądowo-techniczne, wspierające lub zastępujące niektóre czynności.
Wartość metody nauczania zależy przede wszystkim od tego, czy i w jakim
stopniu wywołuje aktywność, samodzielność i zaangażowanie samych uczniów.
Ponieważ stale pojawiają się nowe metody nauczania, trudno jest je klasyf ikować w sposób jednoznaczny. Istnieje wiele klasyf ikacji, które nie są jednak
ujednolicone. Dawny podział na metody podające i poszukujące okazał się za
wąski, zaczęto więc poszukiwać nowych klasyf ikacji. Jedną z nich jest podział
na metody oparte przede wszystkim na obserwacji, na słowie (pogadanka, dyskusja, opowiadanie, wykład) i na działaniu praktycznym (metoda laboratoryjna,
metoda zajęć praktycznych). Podział najbardziej pełny obejmuje 4 grupy metod
nauczania, którym odpowiadają 4 rodzaje uczenia się:
1. metody podające (uczenie się przez przyswajanie),
2. metody problemowe (uczenie się przez odkrywanie),
3. metody waloryzacyjne (uczenie się przez przeżywanie),
4. metody praktyczne (uczenie się przez działanie).
6
2.2. Podział metod nauczania
Tradycyjny podział metod nauczania (wg Wandy Nowak)
Metody
Podające
Poszukujące
Wyjaśnienie,
opowiadanie,
wykład.
Ustne „podanie”
materiału przez
nauczyciela.
Wykład problemowy
(dialog „wewnętrzny”
nauczyciela
rozwijającego
problem przed
uczniem).
Wykład
ukazujący
piękno
matematyki,
interesujące
problemy
i zastosowania.
Wykład
w połączeniu
z poleceniem
samodzielnego
zapisu
i rozwiązania
zadania według
instrukcji.
Pogadanka,
dyskusja.
Objaśnienie
nowego materiału
za pomocą
pytań
z wykorzystaniem
doświadczenia
uczniów.
Pogadanka
heurystyczna
poprzedzona
wysunięciem
problemu
do rozwiązania.
Dyskusja
na temat
rozwiązania
problemów
z literatury
uzupełniającej.
Pogadanka
powtórzeniowa
prowadząca
do rozwiązania
zadań.
Praca
z podręcznikiem.
Rozwiązanie
Czytanie
podręcznika
problemu w oparciu
jako
o podręcznik.
źródła wiedzy.
Zadanie nowego
materiału
z podręcznika.
Sprawozdanie z
literatury
uzupełniającej.
Referaty uczniów
uwzględniające
ciekawostki
matematyczne.
Notowanie
treści
podstawowych
albo zapis
symboliczny.
Rozwiązywanie
zadań
z podręcznika.
Pokaz,
obserwacja.
Pokaz przeźroczy,
f ilmu, modeli
itp.
z danym z góry
komentarzem.
Pokaz
ukazujący
piękno
matematyki,
interesujące
problemy
i zastosowania.
Pokaz połączony
z konkretnym
zadaniem
do rozwiązania.
Pokaz połączony
z obserwacją ucznia
dla rozwiązania
danego problemu.
Eksponujące
Praktyczne
7
Prace
laboratoryjne.
Przedstawienie
przez nauczyciela
wyników
doświadczeń
bez ich wykonania
przez uczniów.
Wykonanie
doświadczeń
dla dokonania
uogólnień
(tok indukcyjny).
Konkurs
na wykonanie
ćwiczeń
w grupach.
Ćwiczenia
w terenie
na zastosowanie
teorii. Ćwiczenia
w pracowni
dla sprawdzenia
słuszności
uogólnień.
Ćwiczenia. Objaśnienie
przez
nauczyciela
sposobów
rozwiązywania
zadań,
dowodzenia
twierdzeń.
Rozwiązywanie
zadań problemowych.
Zawody
matematyczne.
Rozwiązywanie
atrakcyjnych
zadań, zadań
historycznych.
Ćwiczenia
na zastosowanie
teorii.
Rozwiązywanie
ćwiczeń
utrwalających.
Zmodyf ikowany podział metod nauczania
PODAJĄCE
wykład informacyjny
pogadanka
opowiadanie
opis
prelekcja
anegdota
odczyt
objaśnienie lub wyjaśnienie
PROBLEMOWE
klasyczna metoda problemowa
wykład konwersatoryjny
wykład problemowy
aktywizujące:
o metoda przypadków
o metoda sytuacyjna
o inscenizacja
o gry dydaktyczne
psychologiczne
symulacyjne
decyzyjne
o seminarium
o dyskusja dydaktyczna
8
związana z wykładem
okrągłego stołu
wielokrotna
metaplan
panelowa
burza mózgów
EKSPONUJĄCE
f ilm
sztuka teatralna
ekspozycja
pokaz połączony z przeżyciem
PROGRAMOWANE
z użyciem komputera
z użyciem maszyny dydaktycznej
z użyciem podręcznika programowego
PRAKTYCZNE
pokaz
ćwiczenia przedmiotowe
ćwiczenia laboratoryjne
metoda przewodniego tekstu
metoda projektów
ćwiczenia produkcyjne
2.3. Charakterystyka wybranych metod nauczania
Referat – powinien w naturalny sposób łączyć się z pokazem, elementami
dyskusji, pracy z tekstem źródłowym itp. Referat służy przekazaniu informacji
na temat wybranego problemu, zjawiska, przedmiotu. Dany temat może być podzielony na kilka podtematów i opracowany zespołowo lub indywidualnie. Referat daje możliwość prezentacji samego siebie, uczy odwagi i walki ze stresem,
pozwala sprawdzić, czy potraf imy dobrze komunikować się ze słuchaczami i być
przez nich akceptowani, jest też okazją do ćwiczenia umiejętności sporządzania
notatek przez pozostałych uczniów.
Pogadanka – nauczyciel stawia pytania, które pobudzają uczniów do analizowania, syntetyzowania i wyciągania wniosków. Ciąg pytań i odpowiedzi zmierza do sformułowania nowej def inicji, twierdzenia, rozwiązania. Podczas pracy
w zespołach tą metodą nauczyciel podchodzi do poszczególnych grup i zadaje
odpowiednie pytania. Tę metodę można zastosować wówczas, gdy uczniowie
mają zasób wiedzy na dany temat, jakieś doświadczenia, obserwacje.
Dyskusja – jest wymianą poglądów między nauczycielem i uczniami, a także
samymi uczniami na temat wybranego problemu. Opiera się na posiadanej wie9
dzy osób uczestniczących w dyskusji. W tej metodzie ważne jest zachowanie
podstawowych zasad:
– jednoznacznie sformułowany temat dyskusji,
– przygotowanie merytoryczne i emocjonalne kierującego dyskusją,
– jasność, rzeczowość i zwięzłość wypowiedzi uczestników dyskusji,
– zapewnienie prawa do repliki,
– sformułowanie wniosków lub rozwiązania problemu na zakończenie dyskusji.
Elementy dyskusji mogą mieć miejsce na przykład przy przeglądzie różnych
propozycji i wyborze poprawnego rozwiązania.
Burza mózgów powinna być organizowana w grupach. Praca zespołów polega
na wytworzeniu, w możliwie krótkim czasie, jak największej liczby różnych pomysłów i propozycji, prowadzących do rozwiązania danego problemu. Zespoły
prezentują je na planszy, aby potem mogło nastąpić ich sprawdzanie, porządkowanie, wartościowanie na sensowne i niesensowne, na poprawne i niepoprawne,
a następnie wybór najlepszych pomysłów i ich opracowanie. Przykładowym
zastosowaniem burzy mózgów może być tworzenie def inicji pojęcia znanego
z realnej rzeczywistości.
Praca z podręcznikiem ma do spełnienia dwa zadania: zapoznać ucznia z nowym materiałem i wyrobić w nim umiejętność czytania tekstu matematycznego
ze zrozumieniem i wykorzystania go. Czytaniu podręcznika powinny towarzyszyć wskazówki techniczne, które pomagają w pełnym zrozumieniu tekstu.
W szczególności uczeń powinien nauczyć się korzystać ze spisu treści, z odnośników i przypisów, właściwie posługiwać się skorowidzem nazw i terminów,
przyjętych skrótów i kodów.
Praca laboratoryjna ma miejsce wówczas, gdy uczniowie (indywidualnie lub
zespołowo) przeprowadzają eksperymenty, wywołując w warunkach sztucznych jakieś zjawisko, aby zbadać przyczyny jego wystąpienia, przebieg i skutki.
W matematyce mogą to być eksperymenty z liczbami, funkcjami czy f igurami geometrycznymi. Metoda ta może występować w momencie pracy ucznia
z komputerem, kiedy np. „krojąc” model prostopadłościanu obserwują, co może
być tym przekrojem.
Drzewo decyzyjne – metoda ta zwraca uwagę na skutki decyzji, na liczenie się
z wartościami, które leżą u podstaw takiego czy innego wyboru. Kolejne decyzje wpływają na wygląd drzewa, na liczbę rozgałęzień, pięter, ilustrując konsekwencje przyjęcia określonego wariantu, jego wady i zalety. Zapisując graf icznie
pewne decyzje, np. przy dokonywaniu podziału czworokątów, izometrii, wielościanów, uczniowie zauważają związki między różnymi klasyf ikacjami, a także
konsekwencje przyjęcia wybranego wariantu def inicji.
10
2.4. Zakończenie
Przygotowując się do lekcji, ustalając jej cele, redagując konspekt – jak pisze Helena Siwek (Dydaktyka matematyki. Teoria i zastosowanie w matematyce
szkolnej, 2005, str. 153-154) – warto zajrzeć do zbiorczej listy metod i zastanowić
się, którą metodę wybrać, czy tę – krótko ujmując – wykorzystującą jako źródło
wiedzę nauczyciela, czy doświadczenia, intuicje i dotychczasowe kompetencje ucznia, a może podręcznik itd. Zaglądanie do tej listy może nauczycielowi
zasugerować zmianę metody, w stosunku do już stosowanych na poprzednich
lekcjach. W dalszej części swojej pracy autorka podaje syntetyczną listę metod,
przyjmując źródło wiedzy jako podstawę wyróżnienia kolejnych grup. A tak
wygląda zbiorcza lista metod, którą – jak zapewnia autorka – można jeszcze
wzbogacić:
wykład, opowiadanie, wyjaśnienie, opis, instrukcja, referat, audycje radiowe, programy telewizyjne;
pogadanka, dyskusja, rozmowa nauczająca, heureza, metaplan, burza mózgów;
praca z podręcznikiem, praca z tekstem źródłowym, drzewo decyzyjne,
debata „za i przeciw”, projekt, projekt badawczy;
pokaz, obserwacja, pomiar, symulacja, praca: z komputerem, z mapą,
planszą;
prace laboratoryjne, modelowanie, prace badawcze, doświadczenia, eksperymenty, studium przypadku;
ćwiczenia, rozwiązywanie zadań, powtarzanie, inscenizacje, dramy, teksty, gry dydaktyczne: np. symulacyjne, komputerowe.
11
3. Ramowy rozkład materiału dla dwuletniego uzupełniającego liceum ogólnokształcącego po zasadniczej szkole zawodowej
(2x3 godziny)
Klasa I
Elementy logiki
Zbiory
Wektory
Przekształcenia na płaszczyźnie
Przekształcanie funkcji
Trygonometria
Funkcja wielomianowa
Funkcja wymierna
Geometria analityczna
Godziny do dyspozycji nauczyciela
7 godz.
10 godz.
6 godz.
4 godz.
9 godz.
19 godz.
18 godz.
14 godz.
10 godz.
11 godz.
Klasa II
Ciągi
Kombinatoryka
Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy statystyki
Geometria płaska
Geometria przestrzenna
16 godz.
8 godz.
16 godz.
7 godz.
15 godz.
11 godz.
5 godz.
12
4. Ramowy rozkład materiału dla trzyletniego technikum uzupełniającego po zasadniczej szkole zawodowej (3x2 godziny)
Klasa I
Elementy logiki
Zbiory
Wektory
Przekształcenia na płaszczyźnie
Przekształcanie funkcji
Trygonometria
7 godz.
10 godz.
6 godz.
4 godz.
9 godz.
19 godz.
12 godz.
5 godz.
Klasa II
Funkcja wymierna
Ciągi
Geometria analityczna
Geometria płaska
6 godz.
14 godz.
16 godz.
10 godz.
15 godz.
11 godz.
Klasa III
Kombinatoryka
Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy statystyki
Geometria przestrzenna
8 godz.
16 godz.
7 godz.
11 godz.
10 godz.
13
5. Szczegółowy rozkład materiału
Uwaga: tłustym drukiem zaznaczone zostały te lekcje, których tematy wykraczają poza podstawę programową, lecz warto je zrealizować, zwłaszcza
w klasach, w których poziom wiedzy uczniów jest nieco wyższy niż przeciętna.
Niezrealizowanie tych tematów nie ma wpływu na realizację dalszych lekcji.
Temat zajęć
Lp.
Liczba
godzin
ELEMENTY LOGIKI
1.
Zdanie logiczne i jego negacja
1
2.
Zdanie złożone. Alternatywa i koniunkcja zdań
1
3.
Implikacja i równoważność zdań
1
4.
Prawo logiczne. Metoda zero-jedynkowa
1
5.
Prawa rachunku zdań. Prawa De Morgana
2
6.
Kartkówka i jej omówienie
1
ZBIORY
1.
Działania na zbiorach. Suma, różnica i iloczyn zbiorów
1
2.
Przypomnienie wiadomości o przedziałach liczbowych i działaniach na przedziałach
1
3.
Forma zdaniowa jednej zmiennej
1
4.
Forma zdaniowa dwóch zmiennych
2
5.
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej
1
6.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną
2
7.
Praca klasowa
1
8.
Omówienie i poprawa pracy klasowej
1
WEKTORY
1.
Wektor w prostokątnym układzie współrzędnych
1
2.
Długość, kierunek i zwrot wektora. Wektory równe i przeciwne
1
3.
Działania na wektorach
1
4.
Wykorzystanie wiadomości o wektorach do rozwiązywania zadań
2
5.
1
14
PRZEKSZTAŁCENIA NA PŁASZCZYŹNIE
1.
Symetria osiowa. Oś symetrii f igury. F igury osiowosymetryczne
1
2.
Symetria środkowa. Środek symetrii f igury. F igury środkowosymetryczne
1
3.
Przesunięcie równoległe o wektor
1
4.
Obrót o dany kąt na płaszczyźnie
1
PRZEKSZTAŁCANIE FUNKCJI
1.
Przypomnienie wiadomości o funkcjach
2
2.
Symetria względem osi układu współrzędnych, punktu (0,0 )
i przesunięcie o wektor w układzie współrzędnych
1
3.
Wyznaczanie wzorów funkcji w przekształceniu przez symetrię
względem osi układu, punktu (0,0 ) oraz w przesunięciu o wektor
2
4.
Odczytywanie własności funkcji z wykresu
2
5.
Praca klasowa
1
6.
1
TRYGONOMETRIA
1.
Def inicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
1
2.
Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°,
45°, 60°
1
3.
Tablice wartości funkcji trygonometrycznych
1
4.
Rozwiązywanie zadań z geometrii płaszczyzny z wykorzystaniem
twierdzenia Pitagorasa i wartości funkcji trygonometrycznych
kąta ostrego
2
5.
Podstawowe związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi
kąta ostrego
2
6.
Miara łukowa kąta. Przeliczanie miary łukowej na stopniową
i odwrotnie
1
7.
Def inicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta
1
8.
Określenie znaku funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych. Wzory redukcyjne
1
9.
Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego
kąta
1
15
10. Obliczanie wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych
dowolnego kąta, gdy znana jest wartość jednej z nich
2
11. Tożsamości trygonometryczne dowolnego kąta
1
12. Wykresy funkcji trygonometrycznych
2
13. Odczytywanie własności funkcji trygonometrycznych z wykresu
1
14. Praca klasowa
1
15. Omówienie i poprawa pracy klasowej
1
FUNKCJA WIELOMIANOWA
FUNKCJA LINIOWA
1.
Przypomnienie wiadomości o funkcji liniowej
1
2.
Przypomnienie metod rozwiązywania układów równań liniowych
2
3.
Układy nierówności liniowych
1
FUNKCJA KWADRATOWA
4.
Przypomnienie wiadomości o funkcji kwadratowej
1
5.
Równania i nierówności kwadratowe
2
6.
Wyznaczanie najmniejszej i największej wartości funkcji w przedziale
2
7.
Wykorzystanie własności funkcji kwadratowej i jej wykresu do
rozwiązywania zadań optymalizacyjnych
3
WIELOMIANY
8.
Przypomnienie wiadomości o wielomianach
1
9.
Równania i nierówności wielomianowe
3
10. Praca klasowa
1
1
FUNKCJA WYMIERNA
1.
Def inicja funkcji wymiernej. Określanie dziedziny funkcji wymiernej
1
2.
Działania na wyrażeniach wymiernych
3
3.
Funkcja homograf iczna. Wykres funkcji homograf icznej
1
4.
Własności funkcji homograf icznej
1
5.
Równania wymierne
3
16
6.
Nierówności wymierne
3
7.
Praca klasowa
1
8.
1
GEOMETRIA ANALITYCZNA
1.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
1
2.
Równanie prostej równoległej do danej i przechodzącej przez
dany punkt
1
3.
Równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez
dany punkt
1
4.
Odległość dwóch punktów, środek odcinka, odległość punktu od
prostej, odległość dwóch prostych równoległych
1
5.
Zadania na równoległość i prostopadłość prostych
4
6.
Praca klasowa
1
7.
1
CIĄGI
CIĄG LICZBOWY
1.
Pojęcie ciągu liczbowego
1
2.
Różne sposoby określania ciągów liczbowych
1
3.
Działania algebraiczne na ciągach
1
4.
Monotoniczność ciągów liczbowych
1
CIĄG ARYTMETYCZNY
5.
Pojęcie ciągu arytmetycznego
1
6.
Wzór na ogólny wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n -początkowych wyrazów ciągu
1
7.
Własności ciągu arytmetycznego
1
CIĄG GEOMETRYCZNY
8.
Pojęcie ciągu geometrycznego
1
9.
Wzór na ogólny wyraz ciągu geometrycznego i sumę n -początkowych wyrazów ciągu
1
10. Własności ciągu geometrycznego
1
11. Rozwiązywanie zadań tekstowych z wykorzystaniem ciągów
4
17
12. Praca klasowa
1
1
KOMBINATORYKA
1.
Pojęcie silni. Symbol Newtona. Skracanie wyrażeń z silnią
1
2.
Permutacja bez powtórzeń
1
3.
Kombinacja bez powtórzeń
1
4.
Wariacje bez powtórzeń i z powtórzeniami
1
5.
Rozwiązywanie zadań tekstowych z zastosowaniem wzorów
kombinatorycznych
3
6.
1
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1.
Doświadczenia losowe, zdarzenia elementarne, przestrzeń zdarzeń elementarnych
1
2.
Zdarzenia elementarne sprzyjające danemu zdarzeniu losowemu
1
3.
Zdarzenie pewne, niemożliwe, zdarzenia wykluczające się
1
4.
Częstość wyniku
1
5.
Klasyczna def inicja prawdopodobieństwa
1
6.
Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem def inicji klasycznej
1
7.
Aksjomatyczna def inicja prawdopodobieństwa. Własności prawdopodobieństwa
1
8.
Obliczanie prawdopodobieństwa z wykorzystaniem def inicji aksjomatycznej i własności prawdopodobieństwa
2
9.
Obliczanie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń i zdarzeń przeciwnych
2
10. Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą drzewa stochastycznego
3
11. Praca klasowa
1
1
ELEMENTY STATYSTYKI
1.
18
Odczytywanie danych statystycznych z tabel, diagramów i wykresów
1
2.
Przedstawianie danych empirycznych w postaci tabel, diagramów
i wykresów
2
3.
Średnia arytmetyczna, geometryczna i harmoniczna
1
4.
Średnia ważona, mediana, wariancja, odchylenie standardowe
2
5.
1
GEOMETRIA PŁASKA
1.
Przypomnienie wiadomości o wielokątach
1
2.
Przypomnienie twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia Talesa
1
3.
Obliczanie pola i obwodu wielokątów z wykorzystaniem funkcji
trygonometrycznych
2
4.
Wielokąt wpisany w okrąg i opisany na okręgu
1
5.
Kąt wpisany i środkowy w okręgu i zależności między nimi
1
6.
Wielokąty foremne
1
7.
Związki miarowe w f igurach płaskich z zastosowaniem trygonometrii
2
8.
Cechy przystawania trójkątów
1
9.
Cechy podobieństwa trójkątów
2
10. Pola f igur podobnych
1
11. Praca klasowa
1
1
GEOMETRIA PRZESTRZENNA
1.
Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni. Kąt
nachylenia prostej do płaszczyzny, kąt dwuścienny
1
2.
Graniastosłupy i ich własności
1
3.
Ostrosłupy i ich własności
1
4.
Bryły obrotowe: walec, stożek i kula
2
5.
Przypomnienie wzorów na objętości brył i pola ich powierzchni
1
6.
Obliczanie objętości i pól z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych
3
7.
Praca klasowa
1
8.
1
19
6. Tematyka zajęć oraz przewidywane
osiągnięcia uczniów (propozycja planu
wynikowego)
Lp.
Temat zajęć
Liczba
godzin
Uczeń potraf i:
ELEMENTY LOGIKI
1.
Zdanie logiczne
i jego negacja
1
– odróżnić zdanie logiczne od innych zdań,
wypowiedzi, sformułowań,
– ocenić wartość logiczną zdania i jego zaprzeczenia,
– utworzyć zaprzeczenie zdania pojedynczego;
2.
Zdanie złożone.
Alternatywa
i koniunkcja zdań
1
– zbudować zdanie złożone w oparciu o funktory ∨,∧ ,
– określić wartość logiczną alternatywy i koniunkcji zdań,
– odczytać proste zapisy matematyczne, w których zostały użyte symbole logiczne;
3.
Implikacja i równoważność zdań
1
– zbudować zdanie złożone w oparciu o funktory ⇒, ⇔ ,
– określić wartość logiczną implikacji i równoważności zdań,
– odczytać proste zapisy matematyczne, w których zostały użyte symbole logiczne;
4.
Prawo logiczne.
Metoda zero-jedynkowa
1
– sprawdzić, czy dane zdanie jest tautologią,
– zbudować poprawną tabelę dla dowodu metodą zero-jedynkową;
5.
Prawa rachunku
zdań. Prawa De
Morgana
2
– udowodnić metodą zero-jedynkową, że dane
zdanie jest tautologią,
– sformułować prawa De Morgana,
– zastosować prawa De Morgana na prostych
przykładach;
6.
Kartkówka i jej
omówienie
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu logiki.
20
ZBIORY
1.
Działania na
zbiorach. Suma,
różnica i iloczyn
zbiorów
1
– posługiwać się symbolami ∪,∩, ⊂ ,∈
– wypisać elementy należące do sumy, różnicy,
iloczynu zbiorów,
– wyznaczyć podzbiory danego zbioru,
– wskazać zbiory równe.
– określić relacje pomiędzy podzbiorami zbioru
liczb rzeczywistych;
2.
Przypomnienie
wiadomości
o przedziałach
liczbowych
i działaniach na
przedziałach
1
– zaznaczyć na osi liczbowej przedział domknięty, otwarty, nieograniczony,
– odczytać i zapisać przedział przedstawiony
na osi liczbowej,
– odczytać sumę, różnicę i iloczyn przedziałów
przedstawionych na osi liczbowej,
– wskazać liczby całkowite należące do sumy,
różnicy i iloczynu przedziałów;
3.
Forma zdaniowa
jednej zmiennej
1
– określić dziedzinę formy zdaniowej,
– podać przykłady form zdaniowych jednej
zmiennej,
– zastosować formę zdaniową do słownego
zapisu zbioru;
4.
Forma zdaniowa
dwóch zmiennych
2
– określić dziedzinę formy zdaniowej dwóch
zmiennych,
– podać przykłady form zdaniowych dwóch
zmiennych,
– zaznaczyć w układzie współrzędnych zbiory
punktów opisanych daną formą zdaniową,
– opisać zbiór punktów płaszczyzny za pomocą
formy zdaniowej dwóch zmiennych;
5.
Wartość bezwzględna liczby
rzeczywistej
1
– obliczyć wartość bezwzględną danych liczb,
– zastosować podstawowe własności wartości
bezwzględnej,
– obliczyć odległość punktów na osi liczbowej,
– przedstawić na osi liczbowej liczby spełniające warunek x = a , x 〈 a , x 〉 a ;
6.
Równania
i nierówności
z wartością bezwzględną
2
– rozwiązać równanie z wartością bezwzględną
typu ax + b = c,
– przedstawić graf icznie na osi liczbowej rozwiązania nierówności typu ax + bác,
ax + bñc,
– zapisać rozwiązanie nierówności za pomocą
przedziałów lub ich sumy;
21
7.
Praca klasowa
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu zbiorów i działań na nich;
8.
Omówienie
i poprawa pracy
klasowej
1
– ocenić stan posiadanych wiadomości i umiejętności z zakresu zbiorów i działań na zbiorach.
WEKTORY
1.
Wektor w prostokątnym układzie
współrzędnych
1
– narysować wektor w układzie współrzędnych,
– obliczyć współrzędne wektora o zadanym
początku i końcu,
– wyznaczyć współrzędne początku (końca)
wektora mając współrzędne wektora i współrzędne jego końca (początku);
2.
Długość, kierunek i zwrot
wektora. Wektory
równe i przeciwne
1
– obliczyć długość wektora o danych współrzędnych,
– obliczyć długość wektora o danym początku
i końcu wektora,
– narysować w układzie współrzędnych wektory równe i przeciwne,
– wśród wektorów opisanych za pomocą
współrzędnych wskazać wektory równe
i przeciwne;
3.
Działania na
wektorach
1
– obliczyć współrzędne sumy i różnicy wektorów,
– wyznaczyć iloczyn wektora przez liczbę;
4.
Wykorzystanie
wiadomości
o wektorach do
rozwiązywania
zadań
2
– obliczyć współrzędne punktu w przesunięciu
o wektor,
– wyznaczyć współrzędne czwartego, brakującego wierzchołka równoległoboku,
– sprawdzić, czy dany czworokąt jest równoległobokiem;
5.
Kartkówka i jej
omówienie
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu wektorów i działań na wektorach.
PRZEKSZTAŁCENIA NA PŁASZCZYŹNIE
1.
22
Symetria osiowa.
Oś symetrii f igury. F igury osiowosymetryczne
1
– przekształcić f igurę w symetrii względem
prostej,
– wyznaczyć oś symetrii f igury,
– rozpoznać f igury osiowosymetryczne wśród
innych f igur;
2.
Symetria środkowa. Środek
symetrii f igury.
F igury środkowosymetryczne
1
– przekształcić f igurę w symetrii względem
punktu,
– wyznaczyć środek symetrii f igury,
– rozpoznać f igury środkowosymetryczne
wśród innych f igur;
3.
Przesunięcie
równoległe
o wektor
1
– znaleźć obraz f igury w przesunięciu o zadany
wektor;
4.
Obrót o dany kąt
na płaszczyźnie
1
– dokonać obrotu f igury o dany kąt dookoła
punktu.
PRZEKSZTAŁCANIE FUNKCJI
1.
Przypomnienie
Wiadomości
o funkcjach
2
– rozpoznać funkcję wśród różnych przyporządkowań (również z życia codziennego),
– podać przykłady funkcji określonej za pomocą grafu, tabeli, wzoru, opisu słownego,
– określić dziedzinę i zbiór wartości funkcji,
– wyznaczyć dziedzinę funkcji określonej wzorem,
– obliczyć wartości funkcji danej wzorem dla
różnych argumentów,
– rysować wykresy funkcji danych wzorem,
grafem, tabelą,
– na podstawie wykresu ocenić, czy jest to wykres funkcji,
– opisywać za pomocą funkcji zależności
w przyrodzie, gospodarce i życiu codziennym,
– interpretować zależności funkcyjne na podstawie danego wzoru;
2.
Symetria względem osi układu
współrzędnych,
punktu (0,0 )
i przesunięcie
o wektor w układzie współrzędnych
1
– wyznaczyć współrzędne punktów w symetrii
względem osi x, osi y i punktu (0,0 ),
– wyznaczyć współrzędne punktu w przesunięciu o wektor;
23
3.
Wyznaczanie
wzorów funkcji
w przekształceniu przez symetrię względem osi
układu, punktu
(0,0) oraz
w przesunięciu
o wektor
2
– napisać wzór funkcji po przekształceniu
przez symetrię względem osi układu współrzędnych,
– napisać wzór funkcji po przekształceniu
przez symetrię względem punktu (0,0 ),
– napisać wzór funkcji po przesunięciu wzdłuż
osi x lub osi y,
– napisać wzór funkcji otrzymanej w wyniku
przesunięcia o dany wektor;
4.
Odczytywanie
własności funkcji
z wykresu
2
–
•
•
•
•
•
•
5.
Praca klasowa
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu przekształceń na płaszczyźnie i przekształcania
funkcji;
6.
Omówienie
i poprawa pracy
klasowej
1
– ocenić stan posiadanych wiadomości i umiejętności z zakresu przekształceń na płaszczyźnie i przekształcania funkcji.
określić z wykresu:
dziedzinę funkcji,
zbiór wartości funkcji,
wartość funkcji, mając dany argument,
argument, mając daną wartość funkcji,
miejsce zerowe funkcji,
zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (ujemne),
• najmniejszą i największą wartość funkcji;
TRYGONOMETRIA
1.
Def inicje funkcji
trygonometrycznych kąta ostrego
1
– podać def inicje funkcji trygonometrycznych
kąta ostrego w trójkącie prostokątnym,
– obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym,
– stosować def inicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym;
2.
Wyznaczanie
wartości funkcji
trygonometrycznych kątów 30°,
45°, 60°
1
– wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°, 45°, 60°,
– rozwiązywać zadania geometryczne z wykorzystaniem wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°, 45°, 60°;
3.
Tablice wartości
funkcji trygonometrycznych
1
– odczytać z tablic wartości funkcji trygonometrycznych dla danego kąta,
– wyznaczyć miarę kąta, gdy dana jest wartość
funkcji trygonometrycznej tego kąta;
24
4.
Rozwiązywanie
zadań z geometrii
płaszczyzny
z wykorzystaniem twierdzenia
Pitagorasa i wartości funkcji trygonometrycznych
kąta ostrego
2
– wykorzystać twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania zadań z geometrii płaszczyzny,
– wykorzystać wartości funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania zadań geometrycznych,
– wykorzystywać twierdzenie Pitagorasa
i wartości funkcji trygonometrycznych kąta
ostrego do rozwiązywania zadań praktycznych;
5.
Podstawowe
związki pomiędzy funkcjami
trygonometrycznymi kąta ostrego
2
– podać podstawowe tożsamości trygonometryczne w trójkącie prostokątnym,
– wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy dana jest jedna z nich;
6.
Miara łukowa
kąta. Przeliczanie
miary łukowej
na stopniową
i odwrotnie
1
– stosować miarę łukową i stopniową kąta,
– zamienić miarę stopniową kąta na łukową
i odwrotnie;
7.
Def inicje funkcji
trygonometrycznych dowolnego
kąta
1
– zaznaczyć w układzie współrzędnych kąt
skierowany o danej mierze,
– podać def inicje funkcji trygonometrycznych
dowolnego kąta,
– stosować def inicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta oraz zmiennej rzeczywistej;
8.
Określenie
znaku funkcji
trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu
współrzędnych.
Wzory redukcyjne
1
– określić znaki funkcji trygonometrycznych
w poszczególnych ćwiartkach,
– stosować wzory redukcyjne dla kątów ,
90° + a; 90° – a; 180° – a;
9.
Obliczanie
wartości funkcji
trygonometrycznych dowolnego
kąta
1
– obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów: 0 o , 90 o , 180 o , 270 o ,
360o , 120o , 135o , 150o , 210o , 225o ,
240o , 300o , 315o , 330o ;
25
10. Obliczanie wartości pozostałych
dowolnego kąta,
gdy znana jest
wartość jednej
z nich
2
– wyznaczyć wartość pozostałych funkcji
trygonometrycznych dowolnego kąta, gdy
znana jest wartość jednej z nich i warunek
określający położenie drugiego ramienia
kąta,
– wyznaczyć wartość pozostałych funkcji
trygonometrycznych dowolnego kąta, gdy
znana jest wartość jednej z nich;
11. Tożsamości trygonometryczne
dowolnego kąta
1
– sprawdzić, czy wyrażenie jest tożsamością
trygonometryczną,
– udowodnić tożsamość trygonometryczną,
– stosować związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta do dowodzenia prostych tożsamości trygonometrycznych;
12. Wykresy funkcji
trygonometrycznych
2
– szkicować wykresy funkcji trygonometrycznych,
– określać, na podstawie wykresu, podstawowe
własności funkcji trygonometrycznych, tj.:
• dziedzinę funkcji
• zbiór wartości funkcji,
• miejsce zerowe funkcji,
• zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (ujemne),
• przedziały monotoniczności,
• najmniejszą i największą wartość funkcji;
13. Odczytywanie
własności funkcji
trygonometrycznych z wykresu
1
– rozwiązywać, wykorzystując wykresy funkcji, proste równania i nierówności trygonometryczne;
14. Praca klasowa
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu trygonometrii;
15. Omówienie
i poprawa pracy
klasowej
1
– ocenić stan posiadanych wiadomości i umiejętności z zakresu trygonometrii.
26
FUNKCJA WIELOMIANOWA
FUNKCJA LINIOWA
1.
Przypomnienie
wiadomości
o funkcji liniowej
1
– narysować wykres funkcji liniowej,
– podać wzór funkcji liniowej o zadanych
własnościach,
– obliczyć współrzędne punktów przecięcia
wykresu z osiami układu współrzędnych,
– powiązać wartość współczynnika kierunkowego z tangensem kąta nachylenia prostej do
osi x,
– wykorzystać współczynnik kierunkowy do
określenia monotoniczności funkcji,
– określić liczbę rozwiązań równania liniowego
z jedną niewiadomą;
2.
Przypomnienie
metod rozwiązywania układów
równań liniowych
2
– rozwiązać dowolną metodą algebraiczną
układ dwóch równań liniowych z dwiema
niewiadomymi,
– rozwiązać graf icznie układ dwóch równań
liniowych z dwiema niewiadomymi,
– sprawdzić, czy podana para liczb jest rozwiązaniem układu,
– narysować prostą o równaniu x = a , y = a ,
– rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące
do układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi;
3.
Układy nierówności liniowych
1
– przedstawić graf icznie zbiór rozwiązań układu nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi,
– wykorzystać układ równań i nierówności
liniowych z dwiema niewiadomymi do opisywania punktów płaszczyzny spełniających
daną formę zdaniową;
FUNKCJA KWADRATOWA
4.
Przypomnienie
wiadomości
o funkcji kwadratowej
1
– wyznaczyć miejsce zerowe funkcji kwadratowej,
– przedstawić funkcję kwadratową w różnych
postaciach (ogólnej, iloczynowej, kanonicznej),
– sporządzać wykresy funkcji kwadratowych,
– odczytywać własności funkcji kwadratowej
z jej wykresu,
– określać przedziały monotoniczności funkcji
kwadratowej;
27
5.
Równania
i nierówności
kwadratowe
2
– rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą,
– graf icznie rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą,
– rozwiązywać niezupełne równania i nierówności kwadratowe;
6.
Wyznaczanie
najmniejszej
i największej
wartości funkcji
w przedziale
2
– wyznaczać wartość najmniejszą i największą
funkcji w przedziale domkniętym;
7.
Wykorzystanie
własności funkcji
kwadratowej
i jej wykresu do
rozwiązywania
zadań optymalizacyjnych
3
– wykorzystywać funkcję kwadratową i jej
wykres do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych,
– stosować funkcję kwadratową oraz jej własności do rozwiązywania zadań praktycznych;
WIELOMIANY
8.
Przypomnienie
wiadomości
o wielomianach
1
– określić stopień wielomianu,
– wykonywać dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów,
– wykonywać dzielenie wielomianu z resztą,
– rozpoznawać wielomiany równe;
9.
Równania
i nierówności
wielomianowe
3
– sprawdzić, czy dana liczba jest pierwiastkiem
wielomianu,
– rozkładać wielomiany na czynniki różnymi
sposobami, m.in. z wykorzystaniem twierdzenia Bézouta,
– rozwiązywać równania wielomianowe,
– rozwiązywać proste nierówności wielomianowe;
10. Praca klasowa
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu funkcji liniowej, kwadratowej i wielomianowej;
11. Omówienie
i poprawa pracy
klasowej
1
– ocenić stan posiadanych wiadomości i umiejętności z zakresu funkcji liniowej, kwadratowej i wielomianowej.
28
FUNKCJA WYMIERNA
1.
Def inicja funkcji
wymiernej. Określanie dziedziny
funkcji wymiernej
1
– podać def inicję funkcji wymiernej,
– wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej;
2.
Działania na
wyrażeniach wymiernych
3
– wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego,
– skrócić i rozszerzyć wyrażenia wymierne,
– dodać, odjąć, pomnożyć i podzielić wyrażenia wymierne;
3.
Funkcja
homograf iczna.
Wykres funkcji
homograf icznej
1
– podać def inicję funkcji homograf icznej,
– sporządzić wykres funkcji homograf icznej,
– przekształcić wykres funkcji y =
do postaci y =
ax + b
cx + d
k
+ q i na jej podstawie
x− p
określić wektor przesunięcia,
– sporządzić wykres funkcji homograf icznej
przesuwając wykres funkcji y =
k
o odpox
wiedni wektor;
4.
Własności funkcji homograf icznej
1
– określić dziedzinę i zbiór wartości funkcji
homograf icznej,
– wyznaczyć miejsca zerowe funkcji homograf icznej,
– wyznaczyć przedziały monotoniczności
funkcji homograf icznej,
– wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji
homograf icznej;
5.
Równania wymierne
3
– rozwiązać równania związane z funkcją
homograf iczną,
– stosować funkcję homograf iczną do rozwiązywania prostych zadań,
– stosować funkcję homograf iczną w zagadnieniach praktycznych;
29
6.
Nierówności wymierne
3
– rozwiązywać nierówności związane z funkcją homograf iczną,
– stosować nierówności związane z funkcją,
homograf iczną do rozwiązywania prostych
zadań;
7.
Praca klasowa
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu funkcji wymiernej;
8.
Omówienie
i poprawa pracy
klasowej
1
– ocenić stan posiadanych wiadomości i umiejętności z zakresu funkcji wymiernej.
GEOMETRIA ANALITYCZNA
1.
Równanie prostej
przechodzącej
przez dwa punkty
1
– rozpoznawać równanie prostej w postaci
ogólnej i kierunkowej,
– wyznaczać równanie prostej określonej przez
dwa punkty o danych współrzędnych,
– sporządzać wykres prostej o danym równaniu,
– interpretować współczynniki w równaniu
kierunkowym prostej,
– wyznaczać równanie prostej spełniającej dane warunki;
2.
Równanie prostej
równoległej do
danej i przechodzącej przez dany
punkt
1
– interpretować współczynnik kierunkowy
prostej (a = tgα ),
– znać warunek równoległości prostych,
– wyznaczać równanie prostej równoległej do
danej,
– stosować warunek równoległości do rozwiązywania prostych zadań,
– przedstawiać zamiennie równanie prostej
w postaci ogólnej i kierunkowej,
– wśród prostych podanych wzorami rozpoznać
proste równoległe;
3.
Równanie prostej
prostopadłej do
danej i przechodzącej przez dany
punkt
1
– podać warunek prostopadłości dwóch prostych,
– wyznaczać równanie prostej prostopadłej do
danej,
– stosować warunek prostopadłości do rozwiązywania prostych zadań,
– wśród prostych podanych wzorami rozpoznawać proste prostopadłe;
30
4.
Odległość dwóch
punktów, środek
odcinka, odległość punktu od
prostej, odległość
dwóch prostych
równoległych
1
– podać wzór na odległość dwóch punktów
na płaszczyźnie i obliczać odległość między
punktami o danych współrzędnych,
– wyznaczyć współrzędne środka odcinka
o danych końcach,
– obliczyć odległość punktu od prostej,
– wyznaczyć odległość pomiędzy dwiema prostymi równoległymi;
5.
Zadania na
równoległość
i prostopadłość
prostych
4
– rozwiązywać zadania związane z odległością
punktów w układzie współrzędnych,
– wykorzystać własności prostopadłości prostych do zadań geometrycznych,
– stosować warunek równoległości i prostopadłości prostych do rozwiązywania zadań;
6.
Praca klasowa
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu geometrii analitycznej;
7.
Omówienie
i poprawa pracy
klasowej
1
– ocenić stan posiadanych wiadomości i umiejętności z zakresu geometrii analitycznej.
CIĄGI
CIĄG LICZBOWY
1.
Pojęcie ciągu
liczbowego
1
– podać def inicję i przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych,
– wybrać spośród podanych ciągów ciągi liczbowe;
2.
Różne sposoby
określania ciągów liczbowych
1
– narysować wykres ciągu,
– obliczyć dowolny wyraz ciągu określonego
wzorem ogólnym,
– podać wzór ogólny ciągu na podstawie kilku
wyrazów początkowych ciągu,
– obliczyć wyraz ciągu określonego wzorem
rekurencyjnym;
3.
Działania algebraiczne na
ciągach
1
– obliczyć indeks podanego wyrazu ciągu,
– sprawdzić, czy dana wartość jest wyrazem
danego ciągu;
4.
Monotoniczność
ciągów liczbowych
1
– podać warunek monotoniczności ciągu,
– sprawdzić na podstawie def inicji monotoniczność ciągu,
– podawać własności ciągu na podstawie jego
wykresu;
31
CIĄG ARYTMETYCZNY
5.
Pojęcie ciągu
arytmetycznego
1
6.
Wzór na ogólny
wyraz ciągu
arytmetycznego
i sumę n-początkowych wyrazów
ciągu
1
7.
Własności ciągu
arytmetycznego
1
– podawać i rozpoznawać przykłady ciągu
arytmetycznego,
– sprawdzać na podstawie def inicji, czy ciąg
jest arytmetyczny,
– rozpoznawać i udowodnić, że dany wzór opisuje ciąg arytmetyczny;
– podawać wzór na an i S n w ciągu arytmetycznym,
– utworzyć kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego znając pierwszy wyraz i różnicę,
– wyznaczać ciąg arytmetyczny na podstawie
wskazanych danych,
– obliczać sumę n-kolejnych wyrazów ciągu
arytmetycznego;
– określić monotoniczność ciągu arytmetycznego,
– określić zależność między trzema kolejnymi
wyrazami ciągu arytmetycznego;
CIĄG GEOMETRYCZNY
8.
Pojęcie ciągu
geometrycznego
1
9.
Wzór na ogólny
wyraz ciągu
geometrycznego
i sumę n-początkowych wyrazów
ciągu
1
10. Własności ciągu
geometrycznego
32
1
– podawać i rozpoznawać przykłady ciągów
geometrycznych,
– sprawdzać na podstawie def inicji, czy ciąg
jest geometryczny,
– rozpoznawać i udowadniać, że dany wzór
opisuje ciąg geometryczny;
– podawać wzór na an i S n w ciągu geometrycznym,
– utworzyć kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, znając pierwszy wyraz i różnicę,
– wyznaczać ciąg geometryczny na podstawie
wskazanych danych,
– obliczać sumę n-kolejnych początkowych
wyrazów ciągu geometrycznego;
– określić monotoniczność ciągu geometrycznego
– określić zależność między trzema kolejnymi
wyrazami ciągu geometrycznego
11. Rozwiązywanie
zadań tekstowych
z wykorzystaniem ciągów
4
– stosować własności ciągu arytmetycznego
i geometrycznego w zadaniach,
– rozwiązywać zadania tekstowe z zastosowaniem wiedzy o ciągach,
– korzystać z własności ciągów do rozwiązywania zadań praktycznych;
12. Praca klasowa
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu ciągów liczbowych;
13. Omówienie
i poprawa pracy
klasowej
1
– ocenić stan posiadanych wiadomości i umiejętności z zakresu ciągów liczbowych.
KOMBINATORYKA
1.
Pojęcie silni.
Symbol Newtona.
Skracanie wyrażeń z silnią
1
– obliczyć wartość n!
n
– obliczyć wartość   ,
k
 
– skracać wyrażenia z użyciem silni,
– wykonywać działania z użyciem silni;
2.
Permutacja bez
powtórzeń
1
– stosować regułę mnożenia do rozwiązywania
zadań,
– obliczać liczbę permutacji danego zbioru,
– wyróżnić sytuację, w której mamy do czynienia z permutacją;
3.
Kombinacja bez
powtórzeń
1
– stosować wzory na liczbę kombinacji,
– rozwiązywać zadania z wykorzystaniem
wzorów na kombinację;
4.
Wariacje bez
powtórzeń i z powtórzeniami
1
– stosować wzory na liczbę wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeń,
– rozróżnić sytuację, w której mamy do czynienia z wariacjami z powtórzeniami lub bez
powtórzeń;
5.
Rozwiązywanie
zadań tekstowych
z zastosowaniem
wzorów kombinatorycznych
3
– stosować poznane wzory do rozwiązywania
zadań tekstowych,
– rozróżniać sytuacje, w których mamy do
czynienia z permutacjami, kombinacjami
i wariacjami,
– stosować poznane pojęcia do rozwiązywania
zadań praktycznych;
6.
Kartkówka i jej
omówienie
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu kombinatoryki.
33
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1.
Doświadczenia
losowe, zdarzenia
elementarne,
przestrzeń zdarzeń elementarnych
1
– podać przykład zdarzenia elementarnego danego doświadczenia losowego,
– opisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego,
– wyznaczyć liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych,
– podać przykład zdarzenia w danym doświadczeniu losowym;
2.
Zdarzenia elementarne sprzyjające danemu
zdarzeniu losowemu
1
– wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
danemu zdarzeniu losowemu i podać ich liczbę;
3.
Zdarzenie pewne,
niemożliwe, zdarzenia wykluczające się
1
– wyróżnić zdarzenia pewne, niemożliwe,
wykluczające się w danym doświadczeniu
losowym,
– opisać zdarzenie przeciwne do danego zdarzenia losowego,
– wykonać działanie na zdarzeniach,
– obliczyć liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających sumie zdarzeń, różnicy i iloczynowi
zdarzeń;
4.
Częstość wyniku
1
– obliczyć częstość zdarzeń na podstawie
własnych doświadczeń, danych uzyskanych
z internetu, rocznika statystycznego itp.
5.
Klasyczna
def inicja prawdopodobieństwa
1
– podać klasyczną def inicję prawdopodobieństwa i związane z nią warunki,
– obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia,
stosując klasyczną def inicję prawdopodobieństwa;
6.
Rozwiązywanie
zadań z wykorzystaniem def inicji
klasycznej
1
– obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia
losowego w oparciu o klasyczną def inicję
prawdopodobieństwa;
7.
Aksjomatyczna
def inicja prawdopodobieństwa.
Własności prawdopodobieństwa
1
– podać aksjomatyczną def inicję prawdopodobieństwa,
– obliczać prawdopodobieństwo zdarzenia
przeciwnego, znając prawdopodobieństwo
zdarzenia;
34
8.
Obliczanie prawdopodobieństwa
z wykorzystaniem def inicji
aksjomatycznej
i własności prawdopodobieństwa
2
– obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia losowego w oparciu o def inicję aksjomatyczną,
– obliczyć prawdopodobieństwo sumy zdarzeń,
zdarzenia przeciwnego,
– rozwiązywać zadania praktyczne z zastosowaniem własności prawdopodobieństwa;
9.
Obliczanie prawdopodobieństwa
sumy zdarzeń
i zdarzeń przeciwnych
2
– obliczyć prawdopodobieństwo sumy zdarzeń,
– obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia
przeciwnego do danego,
– wykorzystać prawdopodobieństwo sumy zdarzeń i zdarzenia przeciwnego w zadaniach
praktycznych;
10. Obliczanie prawdopodobieństwa
za pomocą drzewa stochastycznego
3
– narysować drzewo stochastyczne,
– na podstawie drzewa obliczyć prawdopodobieństwo danego zdarzenia losowego,
– wykorzystać drzewo stochastyczne do rozwiązywania zadań praktycznych;
11. Praca klasowa
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu prawdopodobieństwa;
12. Omówienie
i poprawa pracy
klasowej
1
– ocenić stan posiadanych wiadomości i umiejętności z zakresu prawdopodobieństwa.
ELEMENTY STATYSTYKI
1.
Odczytywanie
danych statystycznych z tabel,
diagramów
i wykresów
1
– operować podstawowymi danymi statystycznymi,
– odczytywać dane statystyczne z tabel, diagramów i wykresów,
– interpretować dane zawarte w tabeli, w diagramie i na wykresie;
2.
Przedstawianie
danych empirycznych w postaci
tabel, diagramów
i wykresów
2
– wyszukiwać dane statystyczne,
– przedstawiać dane empiryczne w postaci
tabel, wykresów i diagramów słupkowych,
kolumnowych i kołowych;
3.
Średnia arytmetyczna,
geometryczna
i harmoniczna
1
– obliczać średnie arytmetyczne, geometryczne
i harmoniczne z danych liczb,
– obliczać średnie z danego eksperymentu losowego,
– dostrzec różnice pomiędzy różnymi rodzajami średnich i ograniczenia w ich stosowaniu;
35
4.
Średnia ważona,
mediana, wariancja, odchylenie
standardowe
2
– obliczyć średnią ważoną, podać medianę
i dominantę zbiorów danych,
– obliczyć wariancję i odchylenie standardowe
danej próby,
– przetwarzać informacje,
– wyjaśnić sens intuicyjny wariancji i odchylenia standardowego;
5.
Kartkówka i jej
omówienie
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu statystyki.
GEOMETRIA PŁASKA
1.
Przypomnienie
wiadomości
o wielokątach
1
– określać wartości podstawowych f igur płaskich (odcinek, półprosta, prosta, kąt, wielokąt) i posługiwać się nimi,
– posługiwać się własnościami symetralnej
odcinka, dwusiecznej kąta i środkowej boku
trójkąta,
– rozróżniać trójkąty ze względu na boki lub
kąty
– klasyf ikować czworokąty,
– ustalać zależności między czworokątami;
2.
Przypomnienie
twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia Talesa
1
– zastosować twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania trójkątów prostokątnych,
– zastosować twierdzenie Talesa do wyznaczania różnych wielkości w wielokątach,
– stosować twierdzenia odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i Talesa w zadaniach,
– stosować twierdzenia Pitagorasa i Talesa do
rozwiązywania zadań praktycznych;
3.
Obliczanie pola
i obwodu wielokątów z wykorzystaniem
2
– stosować wzory na obliczanie pól wielokątów,
– obliczać obwody i pola podstawowych f igur
płaskich,
– wykorzystywać funkcje trygonometryczne
do obliczania pola i obwodu f igur płaskich,
– rozwiązywać zadania praktyczne z wykorzystaniem trygonometrii;
36
4.
Wielokąt wpisany
w okrąg i opisany
na okręgu
1
– określić pojęcie wielokąta wpisanego
w okrąg i opisanego na okręgu,
– wyznaczać długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, równobocznym, równoramiennym (przy odpowiednich
danych),
– obliczać pola f igur z wykorzystaniem promienia okręgu wpisanego w wielokąt i opisanego na wielokącie,
– sprawdzić, czy okrąg można opisać na czworokącie i czy w czworokąt można wpisać
okrąg,
– uzasadnić, że danego czworokąta nie można
wpisać w okrąg oraz że w dany czworokąt
nie można wpisać okręgu;
5.
Kąt wpisany
i środkowy
w okręgu i zależności między
nimi
1
– wyznaczyć miarę kąta wpisanego, znając
miarę kąta środkowego opartego na tym samym łuku,
– wyznaczyć miarę kąta środkowego, znając
miarę kąta wpisanego opartego na tym samym łuku,
– obliczyć miarę kąta środkowego i wpisanego
mając podaną zależność pomiędzy ich miarami,
– wykorzystać w rozwiązywaniu zadań własność kąta wpisanego opartego na półokręgu
i kątów wpisanych opartych na tym samym
łuku;
6.
Wielokąty foremne
1
– podać def inicję i przykłady wielokątów foremnych,
– wyznaczyć promień okręgu opisanego na
wielokącie foremnym,
– wyznaczyć promień okręgu wpisanego
w wielokąt foremny,
– spośród wielokątów foremnych wybrać
f igury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne;
7.
Związki miarowe w f igurach
płaskich z zastosowaniem trygonometrii
2
– rozwiązywać zadania na obliczanie pól i obwodów f igur z zastosowaniem trygonometrii,
– rozwiązywać zadania z wykorzystaniem trygonometrii dotyczące wielokątów wpisanych
w okrąg i opisanych na okręgu;
8.
Cechy przystawania trójkątów
1
– podać cechy przystawania trójkątów,
– sprawdzić, czy dane trójkąty są przystające;
37
9.
Cechy podobieństwa trójkątów
2
– podać cechy podobieństwa trójkątów,
– sprawdzić, czy dane trójkąty są podobne,
– uzasadnić podobieństwo trójkątów na podstawie różnych cech podobieństwa,
– znaleźć skalę podobieństwa dwóch f igur podobnych,
– zbadać, czy dane prostokąty są podobne,
– stosować cechy podobieństwa trójkątów do
rozwiązywania problemów teoretycznych
i praktycznych;
10. Pola f igur podobnych
1
– obliczyć obwody i pola f igur podobnych,
– obliczyć wymiary f igury podobnej do danej
w podanej skali;
11. Praca klasowa
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu geometrii płaszczyzny;
12. Omówienie
i poprawa pracy
klasowej
1
– ocenić stan posiadanych wiadomości i umiejętności z zakresu geometrii płaszczyzny.
GEOMETRIA PRZESTRZENNA
1.
Wzajemne położenie prostych
i płaszczyzn
w przestrzeni.
Kąt nachylenia
prostej do płaszczyzny, kąt dwuścienny
1
– badać wzajemne położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni,
– pokazać na modelu kąt między prostą
a płaszczyzną,
– zaznaczyć na rysunku kąty dwuścienne
w różnych wielościanach;
2.
Graniastosłupy
i ich własności
1
– rozpoznać, nazwać i narysować poznane graniastosłupy,
– rozróżniać graniastosłupy proste i prawidłowe wśród innych graniastosłupów,
– narysować siatki podstawowych graniastosłupów,
– narysować przekątne graniastosłupów,
– zaznaczyć wysokość graniastosłupa,
– wskazać kąt między przekątną graniastosłupa
i ścianą oraz kąt między przekątną graniastosłupa i krawędzią;
38
3.
Ostrosłupy i ich
własności
1
– rozpoznać, nazwać i narysować poznane ostrosłupy,
– rozróżniać ostrosłupy proste i prawidłowe
wśród innych ostrosłupów,
– narysować siatki ostrosłupów,
– zaznaczyć wysokość ostrosłupa na rysunku,
– wskazać kąt między krawędziami, między
płaszczyznami oraz między krawędzią
i płaszczyzną w ostrosłupie;
4.
Bryły obrotowe:
walec, stożek
i kula
2
– narysować przekrój osiowy walca, stożka
i kuli,
– wskazać kąt rozwarcia stożka,
– narysować siatki walca i stożka,
– wyznaczyć objętość i pole powierzchni podstawowych brył obrotowych,
– stosować i przekształcać wzory na pole powierzchni i objętość walca, stożka i kuli;
5.
Przypomnienie
wzorów na objętości brył i pola
ich powierzchni
1
– podać wzory na objętość podstawowych brył
obrotowych,
– podać wzory na pole powierzchni całkowitej
i pole powierzchni bocznej walca, stożka
i kuli,
– obliczać za pomocą poznanych wzorów objętość i pole powierzchni danej bryły;
6.
Obliczanie objętości i pól z wykorzystaniem
3
– stosować twierdzenie Pitagorasa, def inicje
i własności funkcji trygonometrycznych
w trójkącie prostokątnym do wyznaczania
związków miarowych f igur przestrzennych,
– wykorzystywać własności graniastosłupów
i ostrosłupów do rozwiązywania zadań praktycznych,
– stosować pojęcie kąta dwuściennego i kąta
między prostą a płaszczyzną do rozwiązywania zadań teoretycznych i praktycznych;
7.
Praca klasowa
1
– wykazać się wiadomościami z zakresu geometrii przestrzeni;
8.
Omówienie
i poprawa pracy
klasowej
1
– ocenić stan posiadanych wiadomości i umiejętności z zakresu geometrii przestrzeni.
39
7. Sprawdzian „na wejście”
W rozdziale tym przedstawiamy przykładowy zestaw zadań w dwóch wersjach. Na rozwiązanie zestawu przewidujemy 60 minut. Może on posłużyć jako
sprawdzian diagnozujący poziom wiedzy i umiejętności z matematyki uczniów
rozpoczynających naukę w dwuletnim uzupełniającym liceum ogólnokształcącym lub trzyletnim technikum uzupełniającym po zasadniczej szkole zawodowej. Zadania mogą być modyf ikowane przez nauczycieli i dostosowywane do
potrzeb i umiejętności uczniów. W trakcie rozwiązywania zadań uczeń musi
wykazać się wiedzą z zakresu podstawy programowej oraz opanowaniem umiejętności zawartych w standardach wymagań dla zasadniczej szkoły zawodowej.
Wyniki takiego sprawdzianu mogą posłużyć do weryf ikacji wiedzy uczniów.
Nauczyciel, znając poziom wiedzy i umiejętności uczniów oraz ich możliwości,
powinien indywidualnie, dla potrzeb danej klasy, dostosować rozkład materiału
oraz treści programowe realizowane na lekcjach.
Przedstawiona jest również szczegółowa punktacja zadań. Każda poprawnie
wykonana operacja jest punktowana wg schematu, co przyzwyczaja zarówno
nauczyciela jak i ucznia do oceniania zadań wg kryteriów podobnych do tych,
jakie stosowane są przy sprawdzaniu zadań maturalnych z matematyki.
Wersja A
Zadanie 1. (3 pkt) 
1 1
 2 ,5 + 3  ⋅1
3 5
Oblicz 120% liczby 
.
1
2 − 0 ,5
Zadanie 2. (4 pkt)
4
Wykonaj działania
a) 3 2 + 8 − 32 =
(
)
b) 3 2 3 − 27 + 2 =.
40
Zadanie 3. (6 pkt)
Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci:
a) (x + 1) − 3(x − 2 ) + 2(x − 1)(x + 1) =
2
2
b) 4 x − (2 x + 3) + 2(3 x − 1) = .
2
2
Zadanie 4. (3 pkt)
Dana jest funkcja y = −2 x + 3 .
a) Narysuj jej wykres.
b) Wyznacz miejsce zerowe tej funkcji.
c) Podaj dla jakich argumentów x funkcja ta przyjmuje wartości
dodatnie.
Zadanie 5. (3 pkt)
Rozwiąż układ równań dowolną metodą algebraiczną
2 x − 5 y = −3
.

3 x + 2 y = 5
Zadanie 6. (4 pkt)
44 tony towaru przewieziono 9 samochodami o ładowności 4 tony i 6 ton. Ile
było samochodów mniejszych, a ile większych, jeśli każdy został wykorzystany maksymalnie?
Zadanie 7. (2 pkt)
Wyznacz miary kątów α i β mając dane jak na rysunku
30 0
α
β
41
Zadanie 8. (3 pkt)
Drabina o długości 2,5 m jest oparta o pionową ścianę na wysokości 2 m.
Jak daleko od ściany znajduje się drugi koniec drabiny?
Zadanie 9. (4 pkt)
Dana jest funkcja y = x 2 − 3 x + 2 .
a) Oblicz miejsca zerowe tej funkcji.
b) Przedstaw tę funkcję w postaci iloczynowej.
c) Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem
tej funkcji.
Zadanie 10. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność:
(x − 2)(2 x + 3)≤ x 2 − 4 x + 4 .
Zadanie 11. (3 pkt)
Dany jest wielomian W (x ) = 3 x 3 − 2 x 2 + 6 x + 1 .
Wyznacz wartość wielomianu W (x ) dla x = 2 , x = −1 , x = 1 . Która z powyższych liczb jest pierwiastkiem tego wielomianu?
Zadanie 12. (3 pkt)
Dane są wielomiany
P(x ) = 2 x + 2 i Q(x ) = x 2 − 2 x + 4 .
Wykonaj mnożenie wielomianów P(x ) i Q(x ) i podaj stopień otrzymanego
wielomianu.
Zadanie 13. (4 pkt)
Akwarium o podstawie kwadratu o boku długości 35 cm ma 40 cm wysokości. Czy wystarczy 1 m2 szkła na wykonanie tego akwarium, jeśli od góry
akwarium jest otwarte.
Zadanie 14. (4 pkt)
Garnek w kształcie walca o średnicy 20 cm napełniamy po brzegi wodą. Ile
litrów wody można wlać do tego garnka, jeśli jego wysokość wynosi 15 cm.
Uwaga: 1000 cm3 = 1l.
42
Schemat oceniania sprawdzianu „na wejście”
Wersja A
Numer
zadania
1
2a
2b
Etapy rozwiązania
Liczba
punktów
• Obliczenie wartości ułamka
• Obliczenie 120% z ułamka
2
1
• Wyłączenie czynnika spod znaku pierwiastka
• Wyznaczenie poprawnego wyniku
• Wykonanie mnożenia i zastosowanie działań na pierwiastkach
• Podanie poprawnego wyniku
1
1
1
1
• Poprawne zastosowanie wzorów skróconego mnożenia (za
dwa poprawnie zastosowane wzory przyznajemy 1 punkt)
• Doprowadzenie wyrażenia do najprostszej postaci
• Poprawne zastosowanie wzorów skróconego mnożenia
2
1
2
1
4
• Poprawne narysowanie wykresu funkcji
• Poprawne wyznaczenie miejsc zerowych
• Podanie poprawnej odpowiedzi
1
1
1
5
• Poprawne rozwiązanie układu równań dowolną metodą algebraiczną
3
6
• Przyjęcie oznaczeń
• Ułożenie równania lub układu równań
• Rozwiązanie równania lub układu równań i podanie odpowiedzi
1
1
7
• Podanie miary kąta α
• Podanie miary kąta β
1
1
8
• Wykonanie rysunku i przyjęcie oznaczeń
• Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
• Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi
1
1
1
9
• Obliczenie ∆
• Wyznaczenie miejsc zerowych x1 i x2
• Przedstawienie funkcji w postaci iloczynowej
• Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli
1
1
1
1
3a
3b
2
43
10
• Poprawne wykonanie mnożenia dwumianów
• Doprowadzenie nierówności do postaci x 2 + 3 x − 10 ≤ 0
• Wyznaczenie miejsc zerowych i narysowanie wykresu
• Odczytanie rozwiązania
1
1
1
1
11
• Wyznaczenie wartości W (2 ), W (− 1), W (1) (za wyznaczenie poprawnie dwóch wartości przyznajemy 1 punkt)
• Podanie, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu
2
1
12
• Wykonanie mnożenia wielomianów i doprowadzenie do
uporządkowanej postaci
• Podanie stopnia otrzymanego wielomianu
2
1
13
• Wykonanie schematycznego rysunku lub przyjęcie oznaczeń
• Obliczenie pola powierzchni zużytego szkła
• Przeliczenie jednostki i podanie odpowiedzi
1
2
1
14
• Obliczenie i podanie przybliżonej wartości objętości garnka
• Przeliczenie jednostek i podanie odpowiedzi
1
2
1
Wersja B
Zadanie 1. (3 pkt)
 1
 1
 4 + 1,5  ⋅ 7
3
 5.
Oblicz 30% liczby 
7 2
2 −
9 3
Zadanie 2. (4 pkt)
Wykonaj działania
a) 32 − 8 + 5 2 =
b) 5 2 5 − 125 + 4 = .
(
)
Zadanie 3. (6 pkt)
Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci:
2
2
a) (x − 1) − 3(x + 2 ) + 2(x + 2 )(x− 2 ) =
b) 2 x 2 − (3 x + 2 ) + 3(2 x − 1) = .
2
44
2
Zadanie 4. (3 pkt)
Dana jest funkcja y = 3 x − 2 .
d) Narysuj jej wykres.
e) Wyznacz miejsce zerowe tej funkcji.
f) Podaj dla jakich argumentów x funkcja ta przyjmuje wartości
dodatnie.
Zadanie 5. (3 pkt)
Rozwiąż układ równań dowolną metodą algebraiczną
3 x − 7 y = −4
.

2 x + 3 y = 5
Zadanie 6. (4 pkt)
46 kilogramów jabłek zapakowano w 8 skrzynek o ładowności 5 kg i 7 kg.
Ile było skrzynek większych, a ile mniejszych, jeśli każda została wykorzystana maksymalnie?
Zadanie 7. (2 pkt)
Wyznacz miary kątów α i β mając dane jak na rysunku
1050
150 0
α
β
Zadanie 8. (3 pkt)
Drabina o długości 7,5 m jest oparta o pionową ścianę. Na jaką wysokość
sięga drabina, jeśli drugi jej koniec jest oddalony od ściany o 6 m.
Zadanie 9. (4 pkt)
Dana jest funkcja y = x 2 − 4 x + 3 .
d) Oblicz miejsca zerowe tej funkcji.
e) Przedstaw tę funkcję w postaci iloczynowej.
f) Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem
tej funkcji.
45
Zadanie 10. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność:
(x − 3)(2 x + 1)≥ x 2 − 6 x + 9 .
Zadanie 11. (3 pkt)
Dany jest wielomian W (x ) = 2 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 8 .
Wyznacz wartość wielomianu W (x ) dla x = 2 , x = −1 , x = 1 . Która z powyższych liczb jest pierwiastkiem tego wielomianu?
Zadanie 12. (3 pkt)
Dane są wielomiany
P(x ) = 3 x + 2 i Q(x ) = x 2 − 4 x + 2 .
Wykonaj mnożenie wielomianów P(x ) i Q(x ) i podaj stopień otrzymanego
wielomianu.
Zadanie 13. (4 pkt)
Należy zapakować prezent w pudełko w kształcie prostopadłościanu. Czy wystarczy 1 m2 kolorowego papieru, aby okleić to pudełko z zewnątrz, wiedząc, że
podstawą tego prostopadłościanu jest kwadrat o boku długości 25 cm, a wysokość tego pudełka wynosi 45 cm?
Zadanie 14. (4 pkt)
Ile mililitrów soku zmieści się w szklance w kształcie walca, o średnicy 6 cm
i wysokości 12 cm?
Uwaga: 1 dm3 = 1l = 1000 ml.
46
Schemat oceniania sprawdzianu „na wejście”
Wersja B
Numer
zadania
1
2a
2b
Etapy rozwiązania
Liczba
punktów
• Obliczenie wartości ułamka
• Obliczenie 30% z ułamka
2
1
• Wyłączenie czynnika spod znaku pierwiastka
• Wyznaczenie poprawnego wyniku
• Wykonanie mnożenia i zastosowanie działań na pierwiastkach
• Podanie poprawnego wyniku
1
1
1
1
• Poprawne zastosowanie wzorów skróconego mnożenia (za
dwa poprawnie zastosowane wzory przyznajemy 1 punkt)
• Poprawne zastosowanie wzorów skróconego mnożenia
2
1
2
1
4
• Poprawne narysowanie wykresu funkcji
• Poprawne wyznaczenie miejsc zerowych
• Podanie poprawnej odpowiedzi
1
1
1
5
• Poprawne rozwiązanie układu równań dowolną metodą
algebraiczną
3
6
• Przyjęcie oznaczeń
• Ułożenie równania lub układu równań
• Rozwiązanie równania lub układu równań i podanie odpowiedzi
1
1
7
• Podanie miary kąta α
• Podanie miary kąta β
1
1
8
• Wykonanie rysunku i przyjęcie oznaczeń
• Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
• Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi
1
1
1
9
• Obliczenie ∆
• Wyznaczenie miejsc zerowych x1 i x2
• Przedstawienie funkcji w postaci iloczynowej
• Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli
1
1
1
1
3a
3b
2
47
10
• Poprawne wykonanie mnożenia dwumianów
• Doprowadzenie nierówności do postaci x 2 + x − 12 ≥ 0
• Wyznaczenie miejsc zerowych i narysowanie wykresu
• Odczytanie rozwiązania
1
1
1
1
11
• Wyznaczenie wartości W (2 ), W (− 1), W (1) (za wyznaczenie poprawnie dwóch wartości przyznajemy 1 punkt)
• Podanie, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu
2
1
12
• Wykonanie mnożenia wielomianów i doprowadzenie do
uporządkowanej postaci
• Podanie stopnia otrzymanego wielomianu
2
1
13
• Obliczenie pola powierzchni pudełka
• Przeliczenie jednostki i podanie odpowiedzi
1
2
1
14
• Obliczenie i podanie przybliżonej wartości objętości
szklanki
• Przeliczenie jednostek i podanie odpowiedzi
Propozycja punktacji
0 – 14 punktów
15 – 24 punkty
25 – 37 punktów
38 – 44 punkty
45 – 50 punktów
48
– niedostateczny
– dopuszczający
– dostateczny
– dobry
– bardzo dobry
1
2
1
8. Scenariusze lekcji
W tej części poradnika przedstawiamy sześć przykładowych scenariuszy lekcji z różnych działów. Każdy scenariusz przewidziany jest na jedną jednostkę
lekcyjną (45 min.).
Zakładając, że szkoły dysponują różnym wyposażeniem pracowni matematycznych w sprzęt multimedialny, proponujemy alternatywne sposoby prowadzenia zajęć.
W scenariuszu nie proponujemy czasu na sprawdzenie wiedzy uczniów, zakładając, że ten problem każdy z nauczycieli rozwiąże sam w odpowiedni dla
niego sposób. Należy jednak pamiętać, że każda inicjatywa ucznia w czasie nowej lekcji powinna być po danej lekcji oceniona przez nauczyciela (np. ocena za
aktywność).
Scenariusz 1
Temat: Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej.
Cele:
Wiadomości:
– uczeń zna def inicje wartości bezwzględnej,
– uczeń zna podstawowe własności wartości bezwzględnej.
Umiejętności:
– uczeń potraf i obliczyć wartość bezwzględną danych liczb,
– uczeń potraf i obliczyć odległość punktów na osi liczbowej,
– uczeń potraf i przedstawić na osi liczbowej liczby spełniające warunek:
x = a, x < a, x > a.
Metoda: podająca i z elementami poszukującymi.
Forma: praca indywidualna i zespołowa, praca z podręcznikiem.
Środki: podręcznik „Matematyka 1” U. Łączyńska, A. Trzciński.
49
Przebieg lekcji:
1. Czynności organizacyjne:
a. sprawdzenie obecności,
b. sprawdzenie zadania domowego,
c. omówienie trudności i problemów wynikłych przy rozwiązywaniu zadania domowego.
2. Podanie tematu lekcji.
3. Podanie def inicji wartości bezwzględnej.
4. Ćwiczenia w obliczaniu wartości bezwzględnej liczb (z uwzględnieniem
liczb pierwiastkowych).
5. Podanie podstawowych własności wartości bezwzględnej liczb.
6. Wykorzystanie w przykładowych zadaniach podanych własności.
7. Praca z podręcznikiem na temat interpretacji graf icznej wartości bezwzględnej.
Uczniowie samodzielnie czytają fragment podręcznika (str. 37-38, do
przykładu).
8. Jeden z uczniów omawia przy tablicy przeczytany fragment tekstu, dotyczący interpretacji graf icznej wartości bezwzględnej. Pozostali uczniowie korygują ewentualne nieścisłości lub pomyłki.
9. Rozwiązanie graf iczne nierówności z wartością bezwzględną.
10. Podsumowanie lekcji.
11. Zadanie domowe: podręcznik, str. 39, zad. 4.1, 4.2, 4.4 abc.
Scenariusz 2
Temat: Def inicja funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta.
Cele:
Wiadomości:
– uczeń zna def inicje funkcji trygonometrycznych kąta wpisanego w prostokątny układ współrzędnych,
– uczeń zna pojęcie kąta skierowanego.
Umiejętności:
– uczeń potraf i zaznaczać w układzie współrzędnych kąt skierowany o danej mierze,
– uczeń potraf i stosować def inicje funkcji trygonometrycznych dowolnego
kąta oraz zmiennej rzeczywistej.
50
Metoda: podająca i poszukująca
Forma: praca indywidualna, w grupach i zespołowa.
Środki: podręcznik „Matematyka 1” U. Łączyńska, A. Trzciński, komputer,
rzutnik multimedialny (w miarę możliwości)
Przebieg lekcji:
3. Podanie def inicji kąta skierowanego.
Nauczyciel na tablicy pokazuje przykłady kątów skierowanych (dodatnich i ujemnych) wpisanych w układ współrzędnych.
4. Podanie def inicji funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego w układzie współrzędnych.
5. Rozwiązanie i omówienie zadania:
Np. Punkt P = (2 ,−3) należy do drugiego ramienia kąta α wpisanego
w układ współrzędnych. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych
tego kąta na podstawie podanych wzorów.
Przy omawianiu zadania nauczyciel zwraca uwagę na fakt, że wartość
funkcji trygonometrycznej danego kąta jest wielkością stałą i nie zależy
od wyboru punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta.
6. Uczniowie dobierają się parami i rozwiązują zadanie:
Drugie ramię kąta wpisanego w układ współrzędnych zawiera się w III
ćwiartce i w prostej o równaniu y = 2 x . Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta.
7. Rozwiązanie i omówienie zadania na forum klasy.
8. Rozwiązanie kolejnego zadania w grupach dwuosobowych:
Np. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego,
wpisanego w układ współrzędnych oraz podaj jego miarę w stopniach
i w radianach, wiedząc, że drugie ramię kąta przechodzi przez punkt
(
)
Q = Q = − 2, 2 .
9. Rozwiązanie i omówienie zadania na forum klasy.
51
11. Zadanie domowe:
Wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów: 00, 900, 1800,
270 0 , 360 0 .
Uwaga: Do lekcji można przygotować uczniom pokaz multimedialny zawierający:
– kąt skierowany,
– kąty wpisane w układ współrzędnych,
– rysunek uzasadniający fakt, że wartość funkcji trygonometrycznej danego
kąta jest wielkością stałą i nie zależy od wyboru punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta.
Scenariusz 3
Temat: Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.
Cele:
Wiadomości:
– uczeń zna postać kierunkową prostej,
– uczeń zna postać ogólną prostej.
Umiejętności:
– uczeń potraf i wyznaczać równanie prostej określonej przez dwa punkty
o danych współrzędnych,
– uczeń potraf i sporządzać wykres prostej o danym równaniu,
– uczeń potraf i interpretować współczynniki w równaniu kierunkowym
prostej,
– uczeń potraf i wyznaczać równanie prostej spełniającej dane warunki.
Metoda: problemowa z elementami podającymi.
Forma: praca indywidualna, w parach i w zespołach.
Środki: podręcznik „Matematyka 1” U. Łączyńska, A. Trzciński, plansze
(prezentacja multimedialna).
Przebieg lekcji:
52
3. Przypomnienie podstawowych wiadomości o funkcji liniowej:
– nauczyciel podaje współrzędne dwóch różnych punktów i poleca narysowanie prostej przechodzącej przez te punkty,
– nauczyciel podaje wzór funkcji liniowej i poleca wykonanie jej wykresu,
– nauczyciel podaje wzór funkcji liniowej i współrzędne punktu i poleca
uczniom sprawdzić, czy należy on do tej prostej (uczniowie mogą wykonać zadanie geometrycznie jak i algebraicznie).
4. Podanie def inicji równania kierunkowego i ogólnego prostej.
5. Rozwiązanie po jednym przykładzie z zadań 1.3. i 1.4. z podręcznika
str. 251 (zamiana postaci kierunkowej na ogólną i odwrotnie)
6. Podanie wzoru na równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym a przechodzącej przez punkt P = (x0 , y0 ) oraz wzoru na równanie
prostej przechodzącej przez dwa różne punkty A i B o danych współrzędnych.
7. Wspólna analiza przykładu drugiego a) i b) z podręcznika str. 248.
8. W ramach podsumowania uczniowie, pracując w parach, rozwiązują zadanie:
Dane są punkty A = (− 2 ,−1) i B = (0 ,−3).
a) Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez te
punkty.
b) Podaj równanie kierunkowe i ogólne tej prostej.
c) Narysuj wykres tej funkcji.
d) Określ monotoniczność tej funkcji.
9. Nauczyciel za pomocą rzutnika, lub na wcześniej przygotowanej planszy,
pokazuje prawidłowe rozwiązanie zadania, by uczniowie mogli sprawdzić swoje rozwiązania.
10. Zadanie domowe: podręcznik, str. 251, zad. 1.1. a; zad. 1.2. a, b; zad. 1.3.
a, b; zad. 1.4. a, b.
Uwagi:
– Na lekcji poprzedzającej ten temat nauczyciel poleca uczniom powtórzenie
wszystkich wiadomości o funkcji liniowej zdobytych w szkole zawodowej,
ze zwróceniem szczególnej uwagi na rysowanie wykresów funkcji.
– Jeśli istnieją możliwości techniczne, treść i rozwiązanie zadania z punktów 8 i 9 można zaprezentować uczniom, wykorzystując rzutnik multimedialny.
53
Scenariusz 4
Temat: Wzór na ogólny wyraz ciągu geometrycznego i sumę
n-początkowych wyrazów ciągu.
Cele:
Wiadomości:
– uczeń zna wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego,
– uczeń zna wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Umiejętności:
– uczeń potraf i utworzyć kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, znając
pierwszy wyraz i iloraz,
– uczeń potraf i wyznaczyć ciąg geometryczny na podstawie wskazanych
danych,
– uczeń potraf i obliczyć sumę n-kolejnych początkowych wyrazów ciągu
geometrycznego.
Metoda: poszukująca z elementami podającymi.
Forma: praca indywidualna i w parach.
Środki: podręcznik „Matematyka 2” U. Łączyńska, plansza z treścią zadania lub prezentacja multimedialna
Przebieg lekcji:
e) sprawdzenie obecności,
f) sprawdzenie zadania domowego,
g) omówienie trudności i problemów wynikłych przy rozwiązywaniu zadania domowego.
3. Przypomnienie wiadomości dotyczących pojęcia ciągu geometrycznego:
– nauczyciel podaje przykłady ciągów liczbowych, z których uczniowie
powinni wybrać ciąg geometryczny,
– nauczyciel podaje pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego, a uczniowie mają podać kolejne wyrazy tego ciągu, np. do piątego włącznie.
4. Uczniowie dobierają się parami i rozwiązują zadanie:
W pewnej fermie króliki rozmnażają się tak, że z potomstwa jednej pary
są dwie pary królików zdolnych do rozmnażania. Oblicz, ile par królików
zdolnych do rozmnażania było w drugim, trzecim, czwartym i piątym pokoleniu jednej pary królików. Ile tych par było w sumie w pięciu pokoleniach razem?
54
5. Omówienie i rozwiązanie zadania na tablicy. Próba wyciągnięcia wniosków dotyczących wzoru na an i S n .
6. Podanie wzorów na an i S n .
7. Zastosowanie podanych wzorów w zadaniach. Omówienie przykładu
3. z podręcznika str. 33 i przykładu 7. str. 39.
9. Zadanie domowe: podręcznik, str. 47, zad. 3.3. i str. 48, zad. 3.6.
Uwagi:
– W zależności od poziomu klasy można w punkcie 7 omówić jeszcze
inne przykłady z podręcznika, a jako zadanie domowe zadać większą
liczbę zadań.
– Jeśli istnieją możliwości techniczne, treść zadania z punktu 4 oraz
twierdzenia zawierające wzory na an i S n można zaprezentować uczniom za pomocą pokazu multimedialnego.
Scenariusz 5
Temat: Zdarzenie pewne, niemożliwe, zdarzenia wykluczające się.
Cele:
Wiadomości:
– uczeń zna pojęcie zdarzenia losowego,
– uczeń zna pojęcie zdarzenia pewnego, niemożliwego, zdarzeń wykluczających się,
– uczeń zna działania na zdarzeniach.
Umiejętności:
– uczeń potraf i wyróżnić spośród innych zdarzenie pewne, niemożliwe, zdarzenia wykluczające się w danym doświadczeniu losowym,
– uczeń potraf i opisać zdarzenie przeciwne do danego zdarzenia losowego,
– uczeń potraf i wykonać działania na zdarzeniach,
– uczeń potraf i obliczyć liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających sumie,
różnicy i iloczynowi zdarzeń.
Metoda: aktywizująca JIGSAW i ćwiczeniowa.
Forma: praca z podręcznikiem i zespołowa.
Środki: podręcznik „Matematyka 2” U. Łączyńska.
55
Przebieg lekcji:
3. Podanie def inicji zdarzenia losowego.
Uczniowie pod kierunkiem nauczyciela podają kilka przykładów zdarzeń
losowych.
4. Nauczyciel dzieli klasę na czteroosobowe zespoły, w których każdej z osób
przydziela jeden z tematów:
A. zdarzenie pewne i niemożliwe,
B. suma i iloczyn zdarzeń,
C. różnica zdarzeń i zdarzenie przeciwne,
D. zdarzenia wykluczające się.
Uczniowie czytają indywidualnie fragment podręcznika str. 103-106 (do
przykładu 9), zwracając uwagę na te fragmenty tekstu, które dotyczą przydzielonego im tematu (def inicja, przykłady) (ok. 5 minut).
Następnie uczniowie tworzą grupy tematyczne A, B, C, D, w których uzupełniają swoją wiedzę, jednocześnie dzieląc się przeczytanymi informacjami (ok. 3 minuty).
Uczniowie powracają do pierwotnych grup i każdy z nich w swojej grupie
omawia wyznaczony mu temat i podaje krótką notatkę (ok. 12 minut).
W czasie pracy uczniów nauczyciel kontroluje ich dyskusje w grupach,
służy pomocą lub dokonuje pewnych sprostowań.
5. Rozwiązywanie zadań.
Nauczyciel dobiera zadania tak, by wystąpiły w nich wszystkie poznane
na lekcji pojęcia.
7. Zadanie domowe: podręcznik, str. 109, zad. 1.4., 1.6.
Uwaga:
Nauczyciel w punkcie 4 lekcji musi ściśle przestrzegać ram czasowych, by nie
zabrakło czasu na rozwiązanie zadań weryf ikujących przyswojoną wiedzę na
lekcji.
56
Scenariusz 6
Temat: Ostrosłupy i ich własności.
Cele:
Wiadomości:
– uczeń zna pojęcie ostrosłupa, wysokości ostrosłupa,
– uczeń zna pojęcie ostrosłupa prostego i prawidłowego,
– uczeń zna pojęcie czworościanu foremnego.
Umiejętności:
– uczeń potraf i rozpoznać, nazwać i narysować poznane ostrosłupy,
– uczeń potraf i rozróżniać ostrosłupy prawidłowe i proste wśród innych ostrosłupów,
– uczeń potraf i narysować siatki ostrosłupów,
– uczeń potraf i zaznaczać wysokość ostrosłupa,
– uczeń potraf i wskazać kąt między krawędziami oraz między krawędzią
i płaszczyzną w ostrosłupie.
Metoda: poszukująca i problemowa.
Forma: indywidualna i zespołowa, pokaz multimedialny.
Środki: podręcznik „Matematyka 2” U. Łączyńska, modele ostrosłupów,
komputer, rzutnik multimedialny, program komputerowy „Matematyka 1-4”
Przebieg lekcji:
3. Podanie def inicji ostrosłupa i wykonanie rysunku z zaznaczeniem wysokości, krawędzi bocznych i krawędzi podstawy, wierzchołka oraz spodka
wysokości.
4. Spośród kilku modeli ostrosłupów nauczyciel wybiera ostrosłupy, które:
a) mają krawędzie boczne tej samej długości (ostrosłupy proste),
b) mają krawędzie boczne tej samej długości i wielokąt foremny w podstawie (ostrosłupy prawidłowe),
c) mają wszystkie krawędzie jednakowej długości (czworościany foremne).
Zadaniem uczniów jest – za każdym razem – podanie kryterium (kryteriów) wyboru ostrosłupów przez nauczyciela. Po każdym wyborze i ustaleniu własności ostrosłupów uczniowie zapisują odpowiednią def inicję.
57
5. Nauczyciel pokazuje trzy modele ostrosłupów (trójkątny, czworokątny i sześciokątny) i poleca uczniom naszkicowanie ich rzutów oraz
zaznaczenie w jednym wysokości ostrosłupa, w drugim kąta między
podstawą a ścianą boczną i w trzecim kąta pomiędzy krawędzią
boczną a podstawą.
W czasie rysowania rzutów przez uczniów nauczyciel, udzielając
ewentualnych podpowiedzi, kontroluje wykonywaną pracę.
6. Podsumowanie lekcji
Prezentacja multimedialna zawierająca omawiane elementy lekcji, np.
z wykorzystaniem programu: „Matematyka 1-4”
7. Zadanie domowe:
Np. Narysuj siatkę ostrosłupa prawidłowego o krawędzi podstawy
3 cm i krawędzi bocznej 5 cm, wiedząc, że jest to ostrosłup:
a) trójkątny, b) czworokątny, c) sześciokątny.
Uwaga:
Proponowany program komputerowy „Matematyka 1-4” jest jednym z wielu
programów pozwalających pokazać omawiane na lekcji elementy ostrosłupów.
58
Bibliograf ia
Robert F isher: Uczymy jak myśleć. WSiP 1999.
Wanda Nowak: Konwersatorium z dydaktyki matematyki. PWN 1989.
Wincenty Okoń: Słownik pedagogiczny. PWN 1987.
Krystyna Rau, Ewa Ziętkiewicz: Jak aktywizować uczniów. Of icyna Wydawnicza Gościański, Prętnicki. Poznań 2000.
5. Helena Siwek: Dydaktyka matematyki. Teoria i zastosowanie w matematyce szkolnej. WSiP 2005.
6. Bożena Tacher: Praca małych grup. Koszalin 1997.
1.
2.
3.
4.
59

poradnik metodyczny nauczyciela matematyka.indd

Transkrypt

Podobne dokumenty

twierdzenie talesa geometria

Spis tabel zamieszczonych w tekscie

Specyfikacja techniczna gimbal G-2D

Wykład 1 Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów

Elektroniczne składanie podań do szkół ponadgimnazjalnych w