Algebraiczna geometria rzutowa

Transkrypt

Andrzej Nowicki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki,
ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń, (e-mail: [email protected])
Czerwiec 2003
Spis treści
1 Domknięte zbiory rzutowe
1.1 Przestrzeń rzutowa . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ideały jednorodne . . . . . . . . . . . . .
1.3 Zbiory domknięte w przestrzeni rzutowej .
1.4 Ideały jednorodne postaci Ip (X) . . . . . .
1.5 Operacje podnoszenia i opuszczania . . .
1.6 Stożek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Rzutowe twierdzenie Hilberta o zerach . .
1.8 Topologia podzbioru przestrzeni rzutowej
1.9 Nieprzywiedlne zbiory rzutowe . . . . . .
1.10 Romaitości quasi-rzutowe . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
3
5
6
9
10
11
12
13
2 Płaszczyzna afiniczna i płaszczyzna rzutowa
2.1 Płaszczyzna afiniczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Płaszczyzna afiniczna k2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Skończone płaszczyzny afiniczne . . . . . . . . . . . . .
2.4 Płaszczyzna rzutowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Płaszczyzna rzutowa powstała z płaszczyzny afinicznej
2.6 Płaszczyzna afiniczna powstała z płaszczyzny rzutowej
2.7 Płaszczyzna rzutowa P2 (k) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Płaszczyzna rzutowa i dualność . . . . . . . . . . . . .
2.9 Aksjomat Desarques’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Aksjomat Pappa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Skończone płaszczyzny rzutowe . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Trójwymiarowa przestrzeń rzutowa . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
16
17
18
19
19
19
20
21
22
22
23
3 Odwzorowania regularne podzbiorów rzutowych
3.1 Jednorodne funkcje wymierne . . . . . . . . . . . .
3.2 Funkcje regularne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Definicje odwzorowania regularnego . . . . . . . .
3.4 Początkowe przykłady odwzorowań regularnych . .
3.5 Afiniczne odwzorowania regularne . . . . . . . . .
3.6 Izomorfizm rozmaitości quasi-rzutowych . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
27
31
32
34
35
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ii
Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003
3.7
3.8
3.9
Otoczenia afiniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Własności lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dalsze własności odwzorowań regularnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Odwzorowania wymierne
4.1 Funkcje wymierne rozmaitości quasi-rzutowej .
4.2 Odwzorowania wymierne z X do Pm . . . . . .
4.3 Odwzorowania wymierne jako funkcje częściowe
4.4 Związek z odwzorowaniami regularnymi . . . .
4.5 Odwzorowania wymierne z X do Y . . . . . . .
4.6 Odwzorowanie Veronese . . . . . . . . . . . . .
36
38
39
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
42
43
44
45
46
5 Produkty rozmaitości
5.1 Produkt podrozmaitości przestrzeni afinicznych . . . . . . . . .
5.2 Zanurzenie Segrego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Produkt rozmaitości quasi-rzutowych . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Wielomiany jednorodne względem podzbioru zbioru zmiennych
5.5 Zbiory domknięte w Pn ×Pm i Pn ×Am
0 . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Wykres odwzorowania regularnego . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Rzutowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Zastosowanie produktów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
49
49
50
51
52
53
54
55
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 Odwzorowania skończone
6.1 Odwzorowania skończone rozmaitości afinicznych . . . . .
6.2 Pierścień niezmienników skończonej grupy automorfizmów
6.3 Ilorazowa rozmaitość afiniczna . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Odwzorowania skończone rozmaitości quasi-rzutowych . .
6.5 Pewna ogólna własność odwzorowań regularnych . . . . .
6.6 Rzutowania o danym środku . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
56
56
57
58
60
60
60
7 Wymiar
7.1 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Wymiar przekroju z hiperpowierzchnią
7.3 Twierdzenia o wymiarze włókien . . .
7.4 Twierdzenie Tsena . . . . . . . . . . .
7.5 Krzywe algebraiczne . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
62
62
63
64
65
66
.
.
.
.
.
68
68
69
70
70
71
.
.
.
.
73
73
74
76
78
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8 Lokalny pierścień punktu
8.1 Pierścień kiełków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Lokalny pierścień punktu rozmaitości afinicznej . . . .
8.3 Skończona generowalność i noetherowskość . . . . . . .
8.4 Lokalny pierścień punktu rozmaitości nieprzywiedlnej
8.5 Przestrzenie liniowe postaci Ms /Ms+1 . . . . . . . . .
9 Przestrzeń styczna
9.1 Prosta styczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Przestrzeń styczna jako zbiór prostych stycznych
9.3 Różniczka funkcji regularnej . . . . . . . . . . . .
9.4 Przestrzeń styczna i lokalne derywacje . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
Derywacje lokalne pierścienia wielomianów . . . .
Morfizmy przestrzeni stycznych . . . . . . . . . .
Przestrzeń styczna dla rozmaitości quasi-rzutowej
Wymiar przestrzeni stycznej i punkty proste . . .
Lokalny pierścień punktu prostego . . . . . . . .
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81
82
83
84
85
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
87
89
90
91
95
11 Rozmaitości normalne
11.1 Normalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Normalizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
97
98
10 Wiązka styczna
10.1 Rodziny wektorowe i przekroje . . . . . .
10.2 Definicja wiązki stycznej . . . . . . . . . .
10.3 Derywacje pierścienia funkcji regularnych
10.4 Pola wektorowe i derywacje . . . . . . . .
10.5 Nawias Liego pól wektorowych . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12 Dywizory
12.1 Podrozmaitości kowymiaru 1 . . . . . . . . . .
12.2 Grupa dywizorów . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Dywizory główne . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Przestrzeń liniowa stowarzyszona z dywizorem
Spis cytowanej literatury
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
99
. 99
. 99
. 100
. 102
105
iv
1
Domknięte zbiory rzutowe
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
1.1
Przestrzeń rzutowa
Niech k będzie ciałem i n liczbą naturalną. W zbiorze k n+1 r {0} definiujemy następującą
relację ∼ typu równoważności
(x0 , . . . , xn ) ∼ (y0 , . . . , yn ) ⇐⇒
∃
∀
06=a∈k i∈{0,...,n}
yi = axi .
Klasę abstrakcji każdego elementu (x0 , . . . , xn ) ∈ k n+1 r{0} (względem tej relacji) oznaczamy
przez (x0 : · · · : xn ). Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez Pn (k) i nazywamy nwymiarową przestrzenią rzutową nad ciałem k. Jeżeli x ∈ Pn (k), to każdy ciąg (x0 , . . . , xn ) ∈
k n+1 r {0} taki, że x = (x0 : · · · : xn ) nazywamy ciągiem współrzędnych jednorodnych
punktu x.
Niech i ∈ {0, . . . , n}. Jeśli punkt x ∈ Pn (k) posiada ciąg jednorodnych współrzędnych z
niezerowym elementem na i-tym miejscu, to każdy ciąg jednorodnych współrzędnych punktu x ma niezerowe i-te miejsce. Zbiór wszystkich punktów x ∈ Pn (k) z niezerowym i-tym
miejscem oznaczać będziemy przez Ani lub Ani (k). Jest oczywiste, że Pn (k) = An0 ∪ · · · ∪ Ann .
Niech µi : Ani −→ k n , νi : k n −→ Ani będą funkcjami zdefiniowanymi następująco:
µ
i
xi
xn
(x0 : · · · : xi : · · · : xn ) 7−→
( xx0i , . . . , c
xi , . . . , xi ),
ν
i
(x0 : · · · : xi−1 : 1 : xi+1 : · · · : xn ).
(x0 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ) 7−→
Zwróćmy uwagę, że µi jest dobrze określone. Funkcje te są wzajemnie odwrotne. Każde więc
Ani możemy interpretować jako afiniczną przestrzeń k n .
Niech Hi = {(x0 : · · · : xn ) ∈ Pn (k); xi = 0}. Zbiór Hi nazywamy hiperpłaszczyzną w
nieskończoności. Bijekcja
(x0 : · · · : xi−1 : 0 : xi+1 : · · · : xn ) 7−→ (x0 : · · · : xi−1 : xi+1 : · · · : xn )
pozwala interpretować Hi jako przestrzeń rzutową Pn−1 (k), którą w tym przypadku będziemy
oznaczać przez Pn−1
. Zauważmy, że
i
Pn (k) = Ani ∪ Pn−1
.
i
Przestrzeń Pn (k) możemy interpretować jako zbiór wszystkich prostych w k n+1 przechodzących przez punkt (0, . . . , 0) lub równoważnie jako zbiór wszystkich jednowymiarowych
podprzestrzeni przestrzeni liniowej k n+1 .
Z równości Pn (k) = Ani ∪ Pn−1
wynika, że n-wymiarowa przestrzeń rzutowa Pn (k) jest
i
sumą n-wymiarowej przestrzeni afinicznej k n i zbioru wszystkich kierunków w k n . Mamy np.
P2 (k) = A20 ∪P10 . Przestrzń P2 (k) jest zbiorem wszystkich prostych w k 3 przechodzących przez
0. Te wszystkie proste, które leżą na płaszczyźnie 0XY tworzą jednowymiarową przestrzeń
rzutową. Pozostałe proste przecinają ustaloną płaszczyznę (np. Z = 1), równoległą do płaszczyzny 0XY. Każdy punkt tej równoległej płaszczyzny wyznacza dokładnie jedną prostą w k 3
1
2
1. Domknięte zbiory rzutowe
przechodzącą przez 0. Zatem P2 (k), to P1 (k) plus płaszczyzna afiniczna. W podobny sposób
widzimy, że P1 (k), to punkt (czyli P0 (k)) plus prosta afiniczna.
1.2
Ideały jednorodne
Niech k[S] = k[S0 , . . . , Sn ] będzie pierścieniem wielomianów nad ciałem k. Mówimy że
wielomian f ∈ k[S] jest jednorodny stopnia m (lub, że jest formą stopnia m), jeśli f jest
sumą jednomianów stopnia m. Zanotujmy dobrze znane fakty (patrz np. [Now94a] 19).
Stwierdzenie 1.2.1. Niech f ∈ k[S]. Jeżeli ciało k jest nieskończone, to następujące warunki są równoważne.
(1) f jest wielomianem jednorodnym stopnia m.
(2) f (au0 , . . . , aun ) = am f (u0 , . . . , un ), dla wszystkich u0 , . . . , un ∈ k oraz a ∈ k r {0}.
(3) W pierścieniu wielomianów k[t][S0 , . . . , Sn ] zachodzi równość
f (tS0 , . . . , tSn ) = tm f (S0 , . . . , Sn ). Stwierdzenie 1.2.2. Niech f ∈ k[S]. Jeżeli k jest ciałem charakterystki zero, to następujące
warunki są równoważne.
(1) f jest wielomianem jednorodnym stopnia m.
∂f
∂f
(4) (Tożsamość Eulera) S0 ∂S
+ · · · + Sn ∂S
= mf . n
0
Stwierdzenie 1.2.3. Jeśli iloczyn niezerowych wielomianów f, g ∈ k[S] jest wielomianem
jednorodnym, to wielomiany f, g są jednorodne. Każdy wielomian f ∈ k[S] ma dokładnie jedno przedstawienie w postaci i fi , gdzie każde
fi jest wielomianem jednorodnym stopnia i. W tym przypadku wielomiany fi nazywamy
składowymi jednorodnymi wielomianu f .
P
Mówimy, że ideał A ⊆ k[S] jest jednorodny, jeśli z tego, że f ∈ A wynika, że każda
składowa jednorodna wielomianu f należy do A. Ideały 0 i k[S] są oczywiście jednorodne.
Łatwo wykazać następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 1.2.4. Niech A ⊆ k[S] będzie ideałem w k[S]. Wtedy A jest ideałem jednorodnym ⇐⇒ ideał A jest generowany przez zbiór wielomianów jednorodnych. Dowód następnego stwierdzenia można znaleźć np. w [ZarSam] t2 str. 152.
Stwierdzenie 1.2.5.
(1) Sumy, przekroje i iloczyny ideałów jednorodnych są ideałami jednorodnymi.
(2) Jeżeli A, B są ideałami jednorodnymi, to ideał A : B też jest jednorodny.
√
(3) Jeżeli A jest ideałem jednorodnym, to radykał A jest też ideałem jednorodnym.
(4) Każdy jednorodny ideał A posiada nieskracalny rozkład prymarny A = Q1 ∩ · · · ∩ Qr ,
w którym ideały prymarne Q1 , . . . , Qr są jednorodne.
(5) Ideały pierwsze, stowarzyszone z ideałem jednorodnym, są ideałami jednorodnymi. Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003
3
Stwierdzenie 1.2.6. Niech A będzie jednorodnym ideałem w k[S] różnym od k[S]. Następujące warunki są równoważne.
(1) A jest ideałem pierwszym.
(2) Jeśli f, g ∈ k[S] są jednorodnymi wielomianami takimi, że f g ∈ A, to f ∈ A lub g ∈ A.
Dowód. Implikacja (1) ⇒ (2) jest oczywista. Dla dowodu implikacji (2) ⇒ (1) załóżmy, że f, g
są dowolnymi wielomianami z k[S] takimi, że f g ∈ A. Niech f = fr + · · · + f0 , g = gs + · · · + g0
będą rozkładami na składowe jednorodne. Przypuśćmy, że f 6∈ A oraz g 6∈ A. Istnieją wtedy liczby
p i q takie, że fp 6∈ A, gq 6∈ A. Załóżmy, że liczby p, q są największe z możliwych. Oznaczmy:
F = fp + · · · + f0 , G = gq + · · · + g0 , a = fr + · · · + fp+1 , b = gs + · · · + gq+1 . Wtedy f = a + F ,
g = b + G oraz a, b ∈ A. Z tego, że f g ∈ A wynika, że F G ∈ A. Ponieważ ideał A jest jednorodny,
więc każda składowa jednorodna wielomianu F G należy do A. W szczególności do tego ideału należy
wielomian fp gq (gdyż jest to składowa jednorodna wielomianu F G najwyższego stopnia). Teraz z (2)
wynika, że fp ∈ A lub gq ∈ A, ale to jest sprzecznością. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
1.3
Zbiory domknięte w przestrzeni rzutowej
Niech k[S] = k[S0 , . . . , Sn ] będzie pierścieniem wielomianów nad nieskończonym ciałem k.
Definicja 1.3.1. Mówimy, że punkt x ∈ Pn (k) jest zerem wielomianu f ∈ k[S], jeśli
f (x0 , . . . , xn ) = 0,
dla każdego ciągu (x0 , . . . , xn ) jednorodnych współrzędnych punktu x.
Przykład 1.3.2. Niech n = 2, k[S] = k[S0 , S1 , S2 ]. Punkt (1 : 0 : 0) ∈ P2 (k) jest zerem
wielomianu f = 2S1 − 3S2 ∈ k[S]. Punkt (0 : 3 : 2) ∈ P2 (k) jest zerem wielomianu g =
S02 + 2S1 − 3S2 ∈ k[S]. Natomiast punkt (0 : 3 : 6) ∈ P2 (k) nie jest zerem wielomianu
h = S02 + 2S12 − 3S2 ∈ k[S]. Mamy tu h(0, 3, 6) = 0 jednakże (0 : 3 : 6) = (0 : 1 : 2) i
h(0, 1, 2) = −4 6= 0 (przy założeniu, że char(k) 6= 2). Lemat 1.3.3. Punkt x ∈ Pn (k) jest zerem wielomianu f ∈ k[S] wtedy i tylko wtedy, gdy x
jest zerem każdej składowej jednorodnej wielomianu f .
Dowód. Niech x = (x0 : · · · : xn ) i niech f = fm + · · · + fr będzie rozkładem wielomianu f na
jednorodne składowe. Wtedy
0 = f (ax0 , . . . , axn ) = am fm (x0 , . . . , xn ) + · · · + ar fr (x0 , . . . , xn ),
dla każdego a ∈ k r {0}. Stąd wynika, że fi (x0 , . . . , xn ) = 0, dla wszystkich i = m, . . . , r (gdyż ciało
k jest nieskończone), a zatem x jest zerem każdej formy fm , . . . , fr . Definicja 1.3.4. Jeżeli F ⊆ k[S] jest podzbiorem, to oznaczmy:
Vp (F ) = {x ∈ Pn (k); x jest zerem każdego wielomianu f ∈ F }.
Każdy podzbiór w Pn (k) postaci Vp (F ) nazywamy rzutowym zbiorem algebraicznym lub rzutowym zbiorem domkniętym.
4
Stwierdzenie 1.3.5. Jeśli F ⊆ k[S] jest podzbiorem, to
√
Vp (F ) = Vp ((F )) = Vp (A) = Vp ( A),
gdzie A jest najmniejszym ideałem jednorodnym w k[S] zawierającym zbiór F . Jest oczywiste, że dla każdego zbioru F ⊆ k[S] istnieje najmniejszy ideał jednorodny zawierający F . Zbiór jednorodnych ideałów zawierających F jest bowiem niepusty (cały pierścień k[S]
jest takim ideałem jednorodnym). Przekrój ideałów jednorodnych jest ideałem jednorodnym. Zatem
przekrój wszystkich jednorodnych ideałów zawierających F jest najmniejszym ideałem jednorodnym
zawierającym F .
Najmniejszy ideał jednorodny zawierający zbiór F jest zwykłym ideałem generowanym przez
wszystkie składowe jednorodne wszystkich wielomianów ze zbioru F .
Z twierdzenia Hilberta o bazie wynika:
Stwierdzenie 1.3.6. Każdy rzutowy zbiór algebraiczny w Pn (k) jest postaci Vp (F ), gdzie F
jest skończonym zbiorem jednorodnych wielomianów w k[S]. Operacja Vp ma podobne własności co operacja V w sytuacji afinicznej.
Stwierdzenie 1.3.7.
(1) ∅ = Vp ({1}) = Vp (k[S]),
(2)
T
α Vp (Fα )
S
= Vp (
α Fα )
Pn (k) = Vp (0),
P
= Vp (
α (Fα )),
(3) Jeśli A i B są jednorodnymi ideałami w k[S], to
Vp (A) ∪ Vp (B) = Vp (A ∩ B) = Vp (AB).
Zbiory postaci Vp (F ) zadają więc na przestrzeni rzutowej Pn (k) pewną topologię. Nazywamy ją topologią Zariskiego na Pn (k).
Stwierdzenie 1.3.8. Każdy zbiór jednoelementowy {x} ⊂ Pn (k) jest rzutowym zbiorem algebraicznym.
Dowód. Niech (x0 , . . . , xn ) ∈ kn+1 r {0} będzie ciągiem jednorodnych współrzędnych punktu x.
Istnieje wtedy i ∈ {0, . . . , n} takie, że xi 6= 0. Załóżmy, że x0 6= 0 i rozpatrzmy jednorodny ideał A w
k[S] generowany przez wszystkie wielomiany postaci xi S0 − x0 Si , dla i = 0, . . . , n. Jest oczywiste, że
{x} = Vp (A). Oznacza to, że topologia Zariskiego na Pn (k) jest T1 -topologią.
Stwierdzenie 1.3.9. Każdy domknięty zbiór rzutowy w P1 (k) jest albo całą przestrzenią
P1 (k) albo zbiorem skończonym.
Dowód. Niech X ⊆ P1 (k) będzie domkniętym zbiorem rzutowym różnym od P1 (k). Wtedy
X = Vp (f1 , . . . , fr ), gdzie f1 , . . . , fr są pewnymi niezerowymi wielomianami jednorodnymi należącymi
do k[S] = k[S0 , S1 ]. Oczywiście X ⊂ Vp (f1 ). Wystarczy zatem pokazać, że Vp (f1 ) jest zbiorem
skończonym.
Ponieważ f1 jest niezerowym wielomianem jednorodnym, więc
f1 = a0 S0m + a1 S0m−1 S1 + · · · + am−1 S01 S1m−1 + am S1m ,
gdzie a0 , . . . , am są elementami ciała k, z których co najmniej jeden jest niezerowy.
5
Niech x = (x0 : x1 ) będzie zerem wielomianu f1 . Jeśli x0 = 0, to x1 6= 0 i wtedy x = (0 : x1 ) =
(0 : 1). Wielomian f1 zeruje się więc w conajwyżej jednym takim punkcie z x0 = 0. Dalej załóżmy, że
x0 6= 0. Wtedy x = (x0 : x1 ) = (1 : xx01 ). Z tego, że f1 (x0 , x1 ) = 0 wynika, że
0 = a0 + a1
x1
x0
1
+ a2
x1
x0
2
+ · · · + am
x1
x0
m
,
to znaczy, że xx10 jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu a0 + a1 t + · · · + am tm ∈ k[t]. Pierwiastków
takich jest oczywiście co najwyżej m, a więc skończenie wiele. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
1.4
Ideały jednorodne postaci Ip (X)
Wszystkie fakty podane w tym podrozdziale są podobne do odpowiednich faktów z geometrii afinicznej. Zakładamy, tak jak poprzednio, że k jest ciałem nieskończonym.
Definicja 1.4.1. Jeżeli X ⊆ Pn (k) jest podzbiorem, to oznaczmy:
Ip (X) = {f ∈ k[S]; każdy punkt x ∈ X jest zerem wielomianu f }.
W szczególności Ip (∅) = k[S].
Stwierdzenie 1.4.2.
(1) Ip (X) jest radykalnym ideałem jednorodnym w k[S].
(2) Jeżeli X ⊆ Y , to Ip (Y ) ⊆ Ip (X).
(3) Jeżeli X ⊆ Pn (k), to X ⊆ Vp Ip (X).
(4) Jeżeli F ⊆ k[S], to F ⊆ Ip Vp (F ).
(5) Vp Ip Vp = Vp .
(6) Ip Vp Ip = Ip . Jeżeli X ⊆ Pn (k) jest podzbiorem, to przez X oznaczamy domknięcie zbioru X w topologii
Zariskiego na Pn (k).
Stwierdzenie 1.4.3. X = Vp Ip (X).
Dowód. Z 1.4.2(3) widzimy, że Vp Ip (X) jest zbiorem domkniętym zawierającym X. Niech W =
Vp (F ), gdzie F ⊆ k[S], będzie dowolnym zbiorem domkniętym zawierającym X. Wtedy X ⊆ W więc
Ip (W ) ⊆ Ip (X), więc X ⊆ Vp Ip (X) ⊆ Vp Ip (W ) = Vp Ip Vp (F ) = Vp (F ) = W. Zatem każdy zbiór
domknięty zawierający X zawiera zbiór Vp Ip (X). Stwierdzenie 1.4.4. Jeżeli X ⊆ Pn (k) jest podzbiorem, to Ip (X) = Ip (X).
Dowód. Wiemy, że X = Vp Ip (X). Zatem Ip (X) = Ip Vp Ip (X) = Ip (X). Stwierdzenie 1.4.5. Niech X ⊆ Pn (k) będzie podzbiorem. Wtedy Ip (X) = 0 ⇐⇒ X =
Pn (k).
6
Dowód. Jeśli Ip (X) = 0, to z 1.4.3 mamy: Pn (k) = Vp (0) = Vp Ip (X) = X. Niech Pn (k) = X.
Wtedy (na mocy Stwierdzenia 1.4.4 oraz założenia o nieskończoności ciała k) Ip (X) = Ip (X) =
Ip (Pn (k)) = 0. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
1.5
Operacje podnoszenia i opuszczania
Wprowadziliśmy (dla każdego i ∈ {0, . . . , n}) dwa, wzajemnie odwrotne, odwzorowania
µi : Ani −→ k n , νi : k n −→ Ani ,
µ
i
xi
xn
(x0 : · · · : xi : · · · : xn ) 7−→
( xx0i , . . . , c
xi , . . . , xi ),
ν
i
(x0 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ) 7−→
(x0 : · · · : xi−1 : 1 : xi+1 : · · · : xn ).
Jeśli i = 0, to odwzorowania te będziemy oznaczać przy pomocy symbolu , pisanego odpowiednio u dołu i u góry. Jeśli x = (x0 : · · · : xn ) ∈ Pn (k) jest punktem należącym do An0 ,
to x jest punktem afinicznej przestrzeni k n równym punktowi ( xx01 , . . . , xxn0 ). Jeśli natomiast
y = (y1 , . . . , yn ) ∈ k n , to y = (1 : y1 : · · · : yn ) ∈ An0 . Zachodzą następujące równości:
(x ) = x, dla x ∈ An0
oraz
(y ) = y, dla y ∈ k n .
Podobne oznaczenia stosować będziemy dla podzbiorów.
X = {x ; x ∈ X}, gdy X ⊆ An0
oraz
Y = {y ; y ∈ Y }, gdy Y ⊆ k n .
Wtedy (X ) = X i (Y ) = Y . W szczególności (An0 ) = k n oraz (k n ) = An0 .
Wprowadzimy teraz podobne oznaczenia dla wielomianów. Niech k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ],
k[S] = k[S0 , . . . , Sn ] będą pierścieniami wielomianów. Przez Formk [S] = Formk [S0 , . . . , Sn ]
oznaczmy zbiór wszystkich jednorodnych wielomianów należących do k[S].
Definicja 1.5.1. Jeżeli F ∈ Form k [S] i G ∈ k[T ], to przez F i G oznaczmy wielomiany,
należące odpowiednio do k[T ] i Formk [S], określone następująco:
F (T1 , . . . , Tn )
= F (1, T1 , . . . , Tn ),
G (S0 , . . . , Sn ) = S0deg G G( SS01 , . . . , SSn0 ),
gdy G 6= 0
i G = 0 dla G = 0.
Przykład 1.5.2.
(1) Dla F (S0 , S1 , S2 ) = S12 S2 + S02 S1 + S0 S1 S2 + S03 ∈ k[S0 , S1 , S2 ], mamy:
F (T1 , T2 ) = T12 T2 + T1 T2 + T1 + 1.
(2) Jeśli G = 2T1 T2 + T2 + 3 ∈ k[T1 , T2 ], to G (S0 , S1 , S2 ) = 2S1 S2 + S0 S2 + 3S02 . Podamy teraz podstawowe własności wielomianów postaci F i G .
Stwierdzenie 1.5.3. Niech F ∈ Formk [S]. Wtedy:
(1) deg F 6 deg F ;
(2) jeśli S0 - F , to deg F = deg F ;
(3) jeśli S0 - F , to (F ) = F . Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003
7
Stwierdzenie 1.5.4. Niech G ∈ k[T ]. Wtedy:
(1) deg G = deg G;
(2) (G ) = G;
(3) jeśli G 6= 0, to S0 - G . Stwierdzenie 1.5.5. Jeśli F1 , F2 ∈ Formk [S], to F1 F2 ∈ Formk [S] i (F1 F2 ) = F1 F2 .
Jeśli G1 , G2 ∈ k[T ], to (G1 G2 ) = G
1 G2 . Stwierdzenie 1.5.6. Niech F1 , F2 ∈ Formk [S] oraz G1 , G2 ∈ k[T ]. Jeśli formy F1 i F2 są
tego samego stopnia, to F1 + F2 ∈ Formk [S] i (F1 + F2 ) = F1 + F2 . Jeśli wielomiany
G1 , G2 oraz G1 + G2 są tego samego stopnia, to (G1 + G2 ) = G
1 + G2 . Stwierdzenie 1.5.7. Niech F ∈ Formk [S], G ∈ k[T ], F 6∈ k, G 6∈ k oraz S0 - F .
(1) F jest formą nierozkładalną ⇐⇒ F jest wielomianem nierozkładalnym.
(2) G jest wielomianem nierozkładalnym ⇐⇒ G jest formą nierozkładalną.
Dowód. Załóżmy, że G jest wielomianem nierozkładalnym i przypuśćmy, że G = F1 F2 , gdzie
F1 , F2 ∈ k[S] r k. Wtedy F1 , F2 ∈ Formk [S]. Ponieważ S0 - G (Stwierdzenie 1.5.4), formy F1 i F2
nie są podzielne przez S0 . Zatem G = (G ) = (F1 F2 ) = (F1 ) (F2 ) oraz (F1 ) 6∈ k i (F2 ) 6∈ k.
Otrzymaliśmy sprzeczność z nierozkładalnością wielomianu G. Podobnie wykazujemy pozostałe części
tego stwierdzenia. Z powyższych stwierdzeń wynika:
Stwierdzenie 1.5.8. Niech F ∈ Formk [S], F 6∈ k, S0 - F , G ∈ k[T ], G 6∈ k.
(1) Jeśli F = F1 · · · Fr jest rozkładem formy F na czynniki nierozkładalne, to F =
F1 · · · Fr jest rozkładem wielomianu F na czynniki nierozkładalne.
(2) Jeśli G = G1 · · · Gr jest rozkładem wielomianu G na czynniki nierozkładalne, to G =
G 1 · · · G
r jest rozkładem formy G na czynniki nierozkładalne. Jeśli A ⊆ k[T ] jest podzbiorem, to afiniczny zbiór domknięty V(A) będziemy teraz oznaczać przez Va (A). Ideały pierścienia k[T ] postaci I(X) oznaczać będziemy przez Ia (X).
Stwierdzenie 1.5.9.
(1) Jeśli F1 , . . . , Fr ∈ Formk [S], to Vp (F1 , . . . , Fr ) ∩ An0 = Va (F1 , . . . , Fr ) .
n
(2) Jeśli G1 , . . . , Gr ∈ k[T ], to Va (G1 , . . . , Gr ) = Vp (G
1 , . . . , G r ) ∩ A0 . Stwierdzenie 1.5.10. Niech X ⊆ An0 , F ∈ Formk [S] oraz G ∈ k[T ]. Wtedy:
(1) F ∈ Ia (X ) ⇐⇒ F ∈ Ip (X);
(2) G ∈ Ia (X ) ⇐⇒ G ∈ Ip (X).
Dowód. Dla wielomianów zerowych jest to oczywiste. Załóżmy, że F 6= 0 i G 6= 0.
Niech x = (x0 : · · · : xn ) ∈ X. Wtedy x0 6= 0 oraz
F
F
F
F ( xx10 , . . . , xxn0 ) = xdeg
F (x ).
F (x) = F (x0 , . . . , xn ) = xdeg
F (1, xx01 , . . . , xxn0 ) = xdeg
0
0
0
Stąd wynika, że F (x) = 0 ⇐⇒ F (x ) = 0. Mamy więc własność (1). Własność (2) wynika z
G
G
równości G (x) = G (x0 , . . . , xn ) = xdeg
G( xx01 , . . . , xxn0 ) = xdeg
G(x ). 0
0
8
Stwierdzenie 1.5.11. Jeśli X jest niepustym zbiorem zawartym w An0 , następujące warunki
są równoważne.
(1) Ia (X ) jest ideałem pierwszym w k[T ].
(2) Ip (X) jest ideałem pierwszym w k[S].
Dowód. Ponieważ X 6= ∅, więc Ia (X ) 6= k[T ] i Ip (X) 6= k[S].
(1) ⇒ (2). Niech P, Q ∈ Formk [S]. Załóżmy, że P Q ∈ Ip (X). Wtedy (Stwierdzenie 1.5.10) P Q ∈
Ia (X ), a zatem P ∈ Ia (X ) lub Q ∈ Ia (X ). To implikuje (na mocy Stwierdzenia 1.5.10), że
P ∈ Ip (X) lub Q ∈ Ip (X). Ze Stwierdzenia 1.2.6 wynika więc, że Ip (X) jest ideałem pierwszym.
Implikacja (2) ⇒ (1) jest prostą konsekwencją Stwierdzenia 1.5.10. Stwierdzenie 1.5.12. Załóżmy, że ciało k jest algebraicznie domknięte. Niech F ∈ Formk [S],
S0 - F i niech
X = Vp (F ) ∩ An0 .
Jeśli X 6= ∅, to X = Vp (F ), gdzie X jest domknięciem zbioru X w Pn (k).
Dowód. Ponieważ Vp (F ) jest zbiorem domkniętym zawierającym X, więc X ⊆ Vp (F ). Udowodnimy inkluzję w przeciwnym kierunku. W tym celu załóżmy, że X = Vp (G1 , . . . , Gr ), gdzie G1 , . . . , Gr
są pewnymi jednorodnymi wielomianami z k[S]rk. Rozpatrzmy wielomian G1 . Ponieważ każdy punkt
x ∈ X jest zerem wielomianu G1 , więc wielomian ten nie jest postaci aS0p , gdzie a ∈ k r {0}, p > 0.
Załóżmy, że G1 = S0p H, gdzie p > 0, H ∈ Formk [S], S0 - H, deg H > 1.
Niech y = (y1 , . . . , yn ) ∈ k n będzie takim punktem, że F (y) = 0. Pokażemy, że H (y) = 0.
Zauważmy najpierw, że F (y ) = 0. Istotnie, ponieważ y = (1 : y1 : · · · : yn ) więc
F (1, y1 , . . . , yn ) = F (y1 , . . . , yn ) = F (y) = 0.
Zatem y ∈ X. To implikuje, że G1 (y ) = 0, czyli H(y ) = 0 (bo G1 = S0p H). Ale H = (H ) , więc
0 = (H ) (y ) = 1deg H H (y) = H (y).
Wykazaliśmy zatem, że wielomian H zeruje się we wszystkich takich punktach y ∈ k n , w których
zeruje się wielomian F . Z afinicznego twierdzenia Hilberta o zerach wynika więc, że wielomian H
należy do radykału ideału (F ). Zatem
(H )q = P F ,
gdzie q > 0, P ∈ k[T ].
Stąd wynika, że
H q = ((H ) )q = ((H )q ) = (P F ) = P (F ) = P F,
a zatem H należy do radykału ideału (F ) pierścienia k[S]. Stąd dalej wynika, że G1 = S0p H należy
też do tego radykału. W ten sam sposób pokazujemy, że wszystkie wielomiany G1 , . . . , Gr należą do
radykału ideału (F ). Mamy więc:
p
(G1 , . . . , Gr ) ⊆ (F ),
a zatem X = Vp (G1 , . . . , Gr ) ⊇ Vp (F ). Poniższy przykład pokazuje, że założenie ”S0 - F ”, występujące w Stwierdzeniu 1.5.12,
jest istotne.
Przykład 1.5.13. Niech F = S0 S1 i niech X = Vp (F ) ∩ A10 . Wtedy Vp (F ) = {(1 : 0), (0 :
1)} oraz X = {(1 : 0)}. Zatem X = X 6= Vp (F ). Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003
9
1.6
Stożek
Z każdym podzbiorem X ⊆ Pn (k) możemy stowarzyszyć podzbiór cone(X) ⊆ k n+1 , zwany
stożkiem nad X, zdefiniowany następująco:
cone(X) = {(x0 , . . . , xn ) ∈ k n+1 ; (x0 , . . . , xn ) = (0, . . . , 0) lub (x0 : · · · : xn ) ∈ X}.
Przykład 1.6.1. Niech X = {(2 : 5)} ⊂ P1 (k). Wówczas
cone(X) = {(0, 0)} ∪ {(2r, 5r); 0 6= r ∈ k} = {(2r, 5r); r ∈ k},
czyli cone(X) jest zbiorem wszystkich punktów (x, y) ∈ k 2 takich, że
(
x = 2r,
y = 5r,
gdzie r ∈ k. Jest to więc prosta w k 2 przechodząca przez punkty (0, 0) i (2, 5). Przykład 1.6.2. Niech X = Vp (S12 + S22 − S02 ). Wtedy cone(X) jest zbiorem wszystkich
punktów w k 3 leżących na prostych postaci l(x,y) , gdzie l(x,y) oznacza prostą w k 3 przechodzącą
przez punkty (0, 0, 0) i (1, x, y), przy czym x2 + y 2 = 1. W tym przypadku cone(X) jest więc
zwykłym stożkiem w k 3 . Stwierdzenie 1.6.3 ([Fult78] 90).
(1) Jeśli X jest niepustym podzbiorem w Pn (k), to
Ia (cone(X)) = Ip (X).
(2) Jeśli A jest jednorodnym ideałem w k[S] takim, że Vp (A) 6= ∅, to
cone(Vp (A)) = Va (A).
Dowód. (1). Niech f ∈ Ia (cone(X)). Pokażemy, że f ∈ Ip (X). Niech x będzie dowolnym punktem
należącym do X i niech (x0 , . . . , xn ) będzie dowolnym ciągiem jednorodnych współrzędnych punktu
x. Wtedy (x0 , . . . , xn ) ∈ cone(X), a więc f (x0 , . . . , xn ) = 0. Oznacza to, że punkt x jest zerem
wielomianu f . Każdy więc punkt x ∈ X jest zerem wielomianu f . Zatem f ∈ Ip (X).
Załóżmy teraz, że f ∈ Ip (X). Ponieważ X 6= ∅, więc wielomian f nie ma wyrazu stałego. Zatem
f ((0, . . . , 0)) = 0. Niech (x0 , . . . , xn ) będzie punktem w k n+1 , różnym od punktu zerowego, takim, że
(x0 : · · · : xn ) ∈ X. Wtedy f (x0 , . . . , xn ) = 0 (bo f ∈ Ip (X)). Wielomian f zeruje się więc w każdym
punkcie (x0 , . . . , xn ) należącym do cone(X). Zatem f ∈ Ia (cone(X)).
(2). Niech (x0 , . . . , xn ) ∈ k n+1 będzie punktem należącym do Va (A). Jeśli (x0 , . . . , xn ) = (0, . . . , 0),
to oczywiście (x0 , . . . , xn ) ∈ cone(Vp (A)). Niech więc (x0 , . . . , xn ) 6= (0, . . . , 0). Pokażemy, że wtedy
(x0 : · · · : xn ) ∈ Vp (A). W tym celu rozpatrzmy dowolny wielomian f ∈ A. Ponieważ (x0 , . . . , xn ) ∈
Va (A), więc f (x0 , . . . , xn ) = 0. Z jednorodności ideału A wynika zatem, że f (ax0 , . . . , axn ) = 0, dla
wszystkich a ∈ k r {0}. To oznacza, że punkt (x0 : · · · : xn ) jest zerem wielomianu f i tak jest dla
każdego f ∈ A. Zatem (x0 : · · · : xn ) ∈ Vp (A), czyli (x0 , . . . , xn ) ∈ cone(Vp (A)). W ten sposób
pokazaliśmy, że Va (A) ⊆ cone(Vp (A)).
Niech teraz, że (x0 , . . . , xn ) ∈ cone(Vp (A)). Z tego, że Vp (A) 6= ∅ wynika, że A 6= k[S] i stąd
wynika, że A ⊂ (S0 , . . . , Sn ) (bo ideał A jest jednorodny). Zatem (0, . . . , 0) ∈ Va (A). Możemy więc
założyć, że (x0 , . . . , xn ) 6= (0, . . . , 0). Wtedy (x0 : · · · : xn ) ∈ Vp (A), więc (x0 , . . . , xn ) ∈ Va (A). 10
1.7
Rzutowe twierdzenie Hilberta o zerach
Jeżeli s jest liczbą naturalną, to przez Js oznaczamy ideał w k[S] = k[S0 , . . . , Sn ] generowany przez wszystkie jednomiany w k[S] stopnia
√ > s. Ideał ten zawiera w szczególności
s
s
wszystkie jednomiany S0 , . . . , Sn . Jego radykałem Js jest ideał (S0 , . . . , Sn ). Zauważmy, że
Js = (S0 , S1 , . . . , Sn )s . Jest oczywiste, że Vp (Js ) = ∅.
Poniższe twierdzenie jest rzutową wersją twierdzenia Hilberta o zerach.
Twierdzenie 1.7.1. Załóżmy, że ciało k jest algebraicznie domknięte.
(1) Jeśli A jest jednorodnym ideałem w k[S], to
Vp (A) = ∅ ⇐⇒ ∃ Js ⊆ A.
s>1
(2) Jeśli A jest jednorodnym ideałem w k[S] takim, że Vp (A) 6= ∅, to Ip Vp (A) =
√
A.
(3) Operacje Vp , Ip ustalają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rzutowymi
zbiorami domkniętymi w Pn (k), a jednorodnymi ideałami radykalnymi w k[S], różnymi od
(S0 , . . . , Sn ).
Dowód. (1). Wiemy już, że jeśli Js ⊆ A, to Vp (A) = ∅. Załóżmy teraz, że A jest jednorodnym
ideałem w k[S] takim, że Vp (A) = ∅. Niech F1 , . . . , Fr ∈ Formk [S] będą generatorami ideału A. Rozpatrzmy wielomiany f1 = F1 , . . . , fr = Fr należące do pierścienia k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ]. Zauważmy,
że Va (f1 , . . . , fr ) = ∅. Wynika to ze Stwierdzenia 1.5.9:
Va (f1 , . . . , fr ) = (Vp (F1 , . . . , Fr ) ∩ An0 ) = (∅ ∩ An0 ) = ∅.
Z afinicznej wersji twierdzenia Hilberta o zerach wynika więc, że 1 ∈ (f1 , . . . , fr ). Istnieją zatem
wielomiany g1 , . . . , gr ∈ k[T ] takie, że
1 = g1 f1 + · · · + gr fr .
Podstawiając do tej równości Ti = Si /S0 , dla i = 1, . . . , n, oraz mnożąc stronami przez odpowiednią
potegę zmiennej S0 stwierdzamy, że istnieje liczba naturalna p0 taka, że S0p0 ∈ A.
W ten sam sposób dowodzimy, że dla każdego i = 1, . . . , n istnieje liczba naturalna pi taka, że
Sipi ∈ A. Stąd łatwo wynika, że Js ⊆ A, dla s = p0 + · · · + pn .
(2). Wynika to ze stwierdzenia 1.6.3 i afinicznego twierdzenia Hilberta o zerach. Mamy bowiem:
√
Ip Vp (A) = Ia (cone(Vp (A))) = Ia Va (A) = A.
(3). Niech X będzie domkniętym zbiorem rzutowym w Pn (k). Wtedy X = Vp (A), dla pewnego
ideału A ⊆ k[S] i mamy:
Vp Ip (X) = Vp Ip Vp (A) = Vp (A) = X.
Niech A będzie radykalnym ideałem jednorodnym w k[S], różnym od (S0 , . . . , Sn ). Jeśli A = k[S],
to Ip Vp (A) = Ip Vp (k[S]) = Ip (∅) = k[S] = A. Załóżmy, że A 6= k[S]. Wtedy nie istnieje żadna liczba
naturalna s taka, że Js ⊆ A, a zatem (na mocy (1)) Vp (A) 6= ∅ i stąd, korzystając z (2), mamy:
√
Ip Vp (A) = A = A. Zanotujmy prosty wniosek wynikający z rzutowego Twierdzenia Hilberta o zerach.
Stwierdzenie 1.7.2. Załóżmy, że ciało k jest algebraicznie domknięte. Jeśli Q ∈ k[S] jest
jednorodnym wielomianem takim, że Vp (Q) = ∅, to Q jest niezerową stałą (należącą do k).
11
Dowód. Z rzutowego twierdzenia Hilberta o zerach wynika, że Js ∈ (Q), dla pewnego naturalnego
s. W szczególności wielomiany S0s , . . . , Sns należą do ideału (Q). Musimy pokazać, że (Q) = k[S] =
k[S0 , . . . , Sn ]. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy deg Q > 1 oraz Q | S0s . Z jednoznaczności rozkładu
pierścienia k[S] wynika więc, że Q jest potegą wielomianu S0 (z dokładnością do niezerowej stałej). Ale
n > 1, więc Q | S1n , czyli Q jest potęgą wielomianu S1 (też z dokładnością do stałej). Zatem aS0p = bS1q ,
dla pewnych niezerowych a, b ∈ k oraz naturalnych p, q. Jest to sprzeczne z jednoznacznością rozkładu
w k[S]. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
1.8
Topologia podzbioru przestrzeni rzutowej
Niech X będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni rzutowej Pn (k). Wtedy X jest przestrzenią topologiczną z topologią indukowaną przez topologię Zariskiego przestrzeni Pn (k).
Każdy zbiór domknięty w X jest postaci V ∩ X, gdzie V jest zbiorem domkniętym w Pn (k).
Lemat 1.8.1. Jeżeli X ⊆ Pn (k) jest podzbiorem i B jest jednorodnym ideałem w k[S], to
Vp Ip (Vp (B) ∩ X) ∩ X = Vp (B) ∩ X.
Dowód. Niech W = Vp (B)∩X. Mamy wykazać, że Vp Ip (W )∩X = W . Ponieważ W ⊆ Vp Ip (W )
oraz W ⊆ X, więc W ⊆ Vp Ip (W )∩X. Inkluzję w przeciwną stronę wykazujemy kolejno w następujący
sposób: W ⊆ Vp (B), Ip (W ) ⊇ Ip Vp (B), Vp Ip (W ) ⊆ Vp Ip Vp (B) = Vp (B), Vp Ip (W ) ∩ X ⊆ Vp (B) ∩
X = W. Stwierdzenie 1.8.2. Niech X będzie podzbiorem przestrzeni Pn (k) i niech W będzie podzbiorem zbioru X. Następujące warunki są równoważne.
(1) W jest zbiorem domkniętym w X.
(2) Istnieje jednorodny ideał C w k[S] taki, że C ⊇ Ip (X) oraz W = Vp (C) ∩ X.
Dowód. Implikacja (2) ⇒ (1) jest oczywista. Załóżmy, że W = Vp (B) ∩ X, gdzie B jest pewnym
ideałem jednorodnym w k[S]. Niech C = Ip (W ). Wtedy C jest ideałem jednorodnym w k[S] zawierającym ideał Ip (X) oraz (na mocy Lematu 1.8.1) Vp (C) ∩ X = Vp Ip (Vp (B) ∩ X) = Vp (B) ∩ X = W .
Każdy domknięty zbiór rzutowy w Pn (k) jest podzbiorem zbioru Pn (k). Jest więc zatem
przestrzenią topologiczną z topologia indukowaną z topologii Zariskiego na Pn (k). Poniższe
stwierdzenie opisuje wszystkie jej zbiory domknięte.
Stwierdzenie 1.8.3. Niech X = Vp (A) będzie rzutowym zbiorem domkniętym określonym
przez jednorodny ideał A ⊆ k[S]. Niech W ⊆ X będzie podzbiorem. Następujące warunki są
równoważne.
(1) W jest zbiorem domkniętym w X.
(2) W = Vp (B), gdzie B jest jednorodnym ideałem w k[S] zawierającym A.
Dowód. (1) ⇒ (2). Niech W = Vp (C) ∩ X, gdzie C jest pewnym ideałem jednorodnym w k[S].
Wtedy W = Vp (C) ∩ Vp (A) = Vp (A + C). Ideał A + C jest jednorodny i zawiera oczywiście ideał A.
(2) ⇒ (1). W = Vp (B) = Vp (B + A) = Vp (B) ∩ Vp (A) = Vp (B) ∩ X. Podzbiorami przestrzeni Pn (k) są w szczególności zbiory An0 , . . . , Ann . Zbiory te, dzięki odwzorowaniom µi : Ani −→ k n , νi : k n −→ Ani , mają własną topologię przeniesioną z topologii
12
Zariskiego afinicznej przestrzeni k n . Każdy zbiór domknięty w An0 z taką topologią jest postaci
Va (A) , gdzie A jest ideałem w pierścieniu k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ]. Każdy zbiór postaci Ani ma
więc dwie topologie. Poniższe stwierdzenie jest konsekwencją Stwierdzenia 1.5.9.
Stwierdzenie 1.8.4. Topologia indukowana z Pn (k) na Ani jest zgodna z topologią przestrzeni
Ani jako przestrzeni afinicznej. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
1.9
Nieprzywiedlne zbiory rzutowe
Przepisując dowód odpowiedniego stwierdzenia geometrii afinicznej otrzymujemy
Stwierdzenie 1.9.1. Przestrzeń topologiczna Pn (k) (z topologią Zariskiego) jest noetherowska. Stąd w szczególności wynika, że każdy zbiór domknięty w Pn (k) ma jedyne nieskracalne
przedstawienie w postaci skończonej sumy nieprzywiedlnych zbiorów domkniętych w Pn (k).
Lemat 1.9.2. Niech X ⊆ Pn (k) będzie niepustym zbiorem domkniętym. Następujące warunki
są równoważne.
(1) X jest zbiorem nieprzywiedlnym.
(2) Ip (X) jest ideałem pierwszym.
Dowód. Ponieważ X 6= ∅, więc Ip (X) 6= k[S].
(1) ⇒ (2). Niech f, g będą jednorodnymi wielomianami w k[S] takimi, że f g ∈ Ip (X). Wtedy
X ⊆ Vp (f g) = Vp (f ) ∪ Vp (g) i z nieprzywiedlności wynika, że X ⊆ Vp (f ) lub X ⊆ Vp (g). To
implikuje, że f ∈ Ip (X) lub g ∈ Ip (X). Wiemy, że ideał Ip (X) jest jednorodny. Zatem, na mocy
Stwierdzenia 1.2.6, Ip (X) jest ideałem pierwszym.
(2) ⇒ (1). Przypuśćmy, że X = X1 ∪X2 , X1 6= X, X2 6= X, gdzie X1 , X2 są zbiorami domkniętymi
w Pn (k). Wtedy X1 ( X, a zatem Ip (X) ( Ip (X1 ) (gdyby Ip (X) = Ip (X1 ), to X = Vp Ip (X) =
Vp Ip (X1 ) = X1 ). Analogicznie Ip (X) ( Ip (X2 ). Istnieją więc jednorodne wielomiany f1 , f2 ∈ k[S]
takie, że f1 ∈ Ip (X1 ) r Ip (X) oraz f2 ∈ Ip (X2 ) r Ip (X). Wtedy wielomian f1 f2 należy do ideału
pierwszego Ip (X). Zatem f1 ∈ Ip (X) lub f2 ∈ Ip (X), co jest sprzecznością. W dowodzie implikacji (2) ⇒ (1) powyższego lematu wykorzystaliśmy założenie o domkniętości zbioru X. To założenie nie jest jednak potrzebne. Mamy bowiem:
Stwierdzenie 1.9.3. Niech X ⊆ Pn (k) będzie dowolnym niepustym podzbiorem. Następujące
warunki są równoważne.
(1) X jest zbiorem nieprzywiedlnym.
(2) Ip (X) jest ideałem pierwszym.
Dowód. Jeśli X 6= ∅, to oczywiście X 6= ∅. Wiadomo, że X jest zbiorem nieprzywiedlnym ⇐⇒
X jest zbiorem nieprzywiedlnym. Ponadto, Ip (X) = Ip (X) (Stwierdzenie 1.4.4). Teza wynika zatem z
Lematu 1.9.2. Wniosek 1.9.4. Jeżeli k jest ciałem nieskończonym, to przestrzeń Pn (k) jest nieprzywiedlna.
13
Dowód. Ip (Pn (k)) = 0 (patrz Stwierdzenie 1.4.5) jest ideałem pierwszym w k[S]. Poniższe stwierdzenie jest konsekwencją Stwierdzeń 1.9.3 i 1.5.11.
Stwierdzenie 1.9.5. Jeśli X jest niepustym podzbiorem w Ani , to X jest zbiorem nieprzywiedlnym w Ani wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór X jest nieprzywiedlny. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
1.10
Romaitości quasi-rzutowe
Definicja 1.10.1. Rozmaitością quasi-rzutową nazywamy każdy podzbiór przestrzeni rzutowej Pn (k), który jest postaci Y ∩ U , gdzie Y jest zbiorem domkniętym w Pn (k), a U jest
zbiorem otwartym w Pn (k).
Z definicji tej wynika, że podzbiór X przestrzeni Pn (k) jest rozmaitością quasi-rzutową
dokładnie wtedy, gdy X jest podzbiorem otwartym pewnego domkniętego zbioru rzutowego
lub równoważnie, gdy X jest podzbiorem domkniętym pewnego otwartego zbioru w Pn (k).
Stwierdzenie 1.10.2. Podzbiór X przestrzeni rzutowej Pn (k) jest rozmaitością quasi-rzutową wtedy i tylko wtedy, gdy X jest postaci Y1 r Y2 , gdzie Y1 , Y2 są zbiorami domkniętymi w
Pn (k).
Dowód. Wynika, to z równości Y1 r Y2 = Y1 ∩ (Pn (k) r Y2 ). Każda rozmaitość quasi-rzutowa jest przestrzenią topologiczną z topologią indukowaną
przez topologię Zariskiego na Pn (k). Jest to więc w szczególności przestrzeń noetherowska
(bo każda podprzestrzeń przestrzeni noetherowskiej jest przestrzenią noetherowską). Zatem
każda rozmaitość quasi-rzutowa X ma dokładnie jedno nieskracalne przedstawienie w postaci
skończonej sumy nieprzywiedlnych zbiorów domkniętych w X.
Podamy teraz przykłady rozmaitości quasi-rzutowych.
Stwierdzenie 1.10.3. Następujące podzbiory w Pn (k) są rozmaitościami quasi-rzutowymi.
(1) Rzutowy zbiór domknięty.
(2) Otwarty zbiór w Pn (k).
(3) Afiniczna przestrzeń postaci Ani .
(4) Zbiór domknięty w przestrzeni afinicznej Ani .
(5) Zbiór otwarty w przestrzeni afinicznej Ani .
(6) Zbiór domknięty rozmaitości quasi-rzutowej.
(7) Zbiór otwarty rozmaitości quasi-rzutowej.
Dowód. (1). X = X ∩ Pn (k).
(2). X = Pn (k) ∩ X.
(3). Ani = Pn (k) r Hi , gdzie Hi = {x ∈ Pn (k); xi = 0} = Vp (Si ). To oznacza, że Ani jest zbiorem
otwartym w Pn (k), a zatem - na mocy (2) - jest rozmaitością quasi-rzutową.
(6), (7). Niech X = Y ∩U , gdzie Y domknięte i U otwarte, będzie rozmaitością quasi rzutową. Jeśli
zbiór D ⊆ X jest zbiorem domkniętym w X, to D = Z ∩ X, dla pewnego domkniętego Z ⊆ Pn (k).
Wtedy D = Z ∩ X = Z ∩ (Y ∩ U ) = (Z ∩ Y ) ∩ U , więc D jest quasi-rzutowe. Analogicznie, gdy D jest
zbiorem otwartym w X.
(4), (5). Wynika to z (3) i (6), (7). Przekrój dwóch rozmaitości quasi rzutowych jest oczywiście rozmaitością quasi-rzutową.
Czy suma mnogościowa dwóch rozmaitości quasi-rzutowych jest rozmaitością quasi-rzutową?
14
Andrzej Nowicki, 2003
Definicja 1.10.4. Jeśli X jest rozmaitością quasi-rzutową, to każdy podzbiór zbioru X,
będący rozmaitością quasi-rzutową, nazywamy podrozmaitością quasi-rzutową rozmaitości X.
2
Płaszczyzna afiniczna i płaszczyzna rzutowa
2.1
Płaszczyzna afiniczna
Definicja 2.1.1. Płaszczyzną afiniczną nazywamy każdą parę (A, L), w której
A jest niepustym zbiorem zwanym zbiorem punktów,
L jest rodziną niepustych podzbiorów zbioru A zwaną rodziną prostych,
przy czym spełnione są następujące warunki:
(A1 ) Dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieje dokładnie jedna prosta zawierająca
te punkty.
(A2 ) Dla każdej prostej l i każdego punktu P istnieje dokładnie jedna prosta l0 zawierająca
punkt P taka, że l = l0 lub l ∩ l0 = ∅.
(A3 ) Istnieją trzy niewspółliniowe punkty.
Definicja 2.1.2. Mówimy, że dwie płaszczyzny afiniczne (A, L) i (A0 , L0 ) są izomorficzne
jeśli istnieje bijekcja σ : A → A0 taka, że σ(L) ⊆ L0 .
Jeśli dwie proste l i l0 danej płaszczyzny afinicznej są takie, że l = l0 lub l ∩ l0 = ∅, to
mówimy, że proste te są równoległe. Piszemy wówczas l k l0 . Aksjomat (A2 ) mówi zatem, że
dla każdej prostej l i każdego punktu P istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez
punkt P i równoległa do l.
Stwierdzenie 2.1.3. Równoległość na płaszczyźnie afinicznej jest relacją typu równoważności. ([Hart67] 11 ros., [Bebe76]) .
Dowód. Relacja k jest oczywiście zwrotna i symetryczna. Niech l, l0 , l00 będą prostymi takimi,
że l k l0 i l0 k l00 . Wykażemy, że l k l00 . Jeśli l = l00 , to nie ma czego dowodzić. Załóżmy więc, że
l 6= l00 i przypuśćmy, że l ∩ l00 6= ∅. Niech A będzie punktem należącym do l i l00 . Wówczas l jest prostą
równoległą do l0 i przechodzącą przez A. Podobnie, l00 jest prostą równoległą do l0 i przechodzącą przez
A. Zatem, na mocy (A2 ), l = l00 ; sprzeczność. Z definicji płaszczyzny afinicznej łatwo wynikają następujące stwierdzenia.
Stwierdzenie 2.1.4. Dwie różne proste płaszczyzny afinicznej albo są równoległe albo przecinają się w dokładnie jednym punkcie. ([Hart67] 11 ros.) .
Stwierdzenie 2.1.5. Na płaszczyźnie afinicznej istnieją trzy różne proste parami przecinające się w trzech różnych punktach. ([Bebe76]) .
Stwierdzenie 2.1.6. Każda prosta płaszczyzny afinicznej posiada co najmniej dwa punkty.
([Bebe76]) .
Stwierdzenie 2.1.7. Każde dwie proste płaszczyzny afinicznej są równoliczne. ([Hart67] 146 ros, [Bebe76]) .
15
16
2. Płaszczyzna afiniczna i płaszczyzna rzutowa
Stwierdzenie 2.1.8. Przez każdy punkt płaszczyzny afinicznej przechodzą co najmniej trzy
proste. ([Bebe76]) .
Stwierdzenie 2.1.9. Płaszczyzna afiniczna posiada co najmniej cztery punkty. ([Hart67] 11 ros.) .
Stwierdzenie 2.1.10. Płaszczyzna afiniczna posiada co najmniej 6 prostych. Pękiem prostych równoległych płaszczyzny afinicznej nazywamy każdą rodzinę wszystkich
prostych równoległych do danej prostej.
Pękiem prostych przechodzących przez dany punkt P płaszczyzny afinicznej nazywamy
rodzinę wszystkich prostych przechodzących przez P .
Stwierdzenie 2.1.11. Każde dwa pęki prostych równoległych płaszczyzny afinicznej mają
jednakową moc. ([Hart67] 146 ros, [Bebe76]) .
Stwierdzenie 2.1.12. Każde dwa pęki prostych przechodzących przez punkty płaszczyzny
afinicznej mają jednakową moc. ([Bebe76]) .
2.2
Płaszczyzna afiniczna k2
Niech k będzie ciałem i niech A = k 2 = {(a, b); a, b ∈ k}. Prostą w k 2 nazywamy każdy
zbiór postaci
{(x, y) ∈ k 2 ; Ax + By = C},
gdzie A, B, C ∈ k, przy czym A 6= 0 lub B 6= 0. Niech L będzie zbiorem wszystkich zwykłych
prostych w k 2 . Wówczas para (A, L) jest płaszczyzną afiniczną. Mówić będziemy, że jest to
płaszczyzna afiniczna k 2 .
Każda prosta w k 2 ma przedstawienie parametyczne:
(x, y) = (x0 , y0 ) + (a, b)t,
t ∈ k,
gdzie (x0 , y0 ) ∈ k 2 i (a, b) ∈ k 2 r {(0, 0)} są ustalonymi elementami.
Niech R będzie pierścieniem przemiennym nie będącym ciałem. Rozpatrzmy zbiór R2 =
R × R = {(a, b); a, b ∈ R} z rodziną wszystkich prostych w powyższym parametrycznym
sensie, tzn., t ∈ R, (x0 , y0 ) ∈ R2 oraz (a, b) ∈ R2 r{(0, 0)}. Czy R2 jest płaszczyzną afiniczną?
Poniższe fakty wykazują, że tak nie jest.
Stwierdzenie 2.2.1. Zbiór Z2 nie jest płaszczyzną afiniczną.
Dowód. Proste (x, y) = (1, 1) + (4, 4)t i (x, y) = (1, 1) + (8, 8)t są dwiema różnymi prostymi
równoległymi do prostej (x, y) = (0, 0) + (2, 2)t i przechodzącymi przez punkt (1, 1). Aksjomat (A2 )
więc tutaj nie zachodzi. Stwierdzenie 2.2.2. Niech R będzie pierścieniem nie będącym ciałem. Wtedy R2 nie jest
płaszczyzną afiniczną.
17
Dowód. Niech a ∈ R będzie nieodwracalnym elementem różnym od zera. Rozważmy proste
(x, y) = (0, 0) + (1, 1)t i (x, y) = (0, 0) + (a, a)t. Punkt (1, 1) leży na pierwszej prostej i nie leży na
drugiej (ponieważ element a nie jest odwracalny). Zauważmy, że punkty (0, 0) i (a, a) leżą na tych
prostych. Są to więc dwie różne proste przechodzące przez (0, 0) i (a, a). Nie zachodzi zatem aksjomat
(A1 ). oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
2.3
Skończone płaszczyzny afiniczne
Mówimy, że dana płaszczyzna afiniczna ma rząd n jeśli istnieje na niej prosta posiadająca
dokładnie n punktów.
Stwierdzenie 2.3.1. Rząd płaszczyzny afinicznej jest > 2.
Stwierdzenie 2.3.2. Jeśli płaszczyzna afiniczna ma rząd n, to
(1) każda prosta tej płaszczyzny ma dokładnie n punktów;
(2) płaszczyzna ta ma dokładnie n2 punktów;
(3) płaszczyzna ta ma dokładnie n2 + n prostych;
(4) przez każdy punkt tej płaszczyzny przechodzi dokładnie n + 1 prostych;
(5) każdy pęk prostych równoległych ma dokładnie n prostych.
([Hart67] 146 ros, [Bebe76])
.
Stwierdzenie 2.3.3. Jeśli n jest potęgą liczby pierwszej, to istnieje płaszczyzna afiniczna
rzędu n.
Dowód. Jeśli n jest potęgą liczby pierwszej, to istnieje skończone ciało k mocy n. Wówczas
płaszczyzna afiniczna k 2 ma rząd n. Stwierdzenie 2.3.4. Jeśli n ∈ N jest postaci 4k + 1 lub 4k + 2 i w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby n występuje co najmniej jedna liczba pierwsza postaci 4k + 3 w potędze
nieparzystej, to nie istnieje płaszczyzna afiniczna rzędu n. ([Bebe76]) .
Stwierdzenie 2.3.5. Istnieje płaszczyzna afiniczna rzędu 2. Ma ona dokładnie 4 punkty i 6
prostych. ([Hart67], [Bebe76]) .
Stwierdzenie 2.3.6. Istnieje płaszczyzna afiniczna rzędu 3. Ma ona dokładnie 9 punktów i
12 prostych. ([Hart67]) .
Stwierdzenie 2.3.7. Każde dwie 9-cio elementowe płaszczyzny afiniczne są izomorficzne.
([Hart67] 147) .
Stwierdzenie 2.3.8. Rząd grupy wszystkich automorfizmów 9-cio punktowej płaszczyzny afinicznej jest równy 432 = 9 · 8 · 6. ([Hart67] 33) .
Stwierdzenie 2.3.9. Istnieje płaszczyzna afiniczna rzędu 4. Ma ona dokładnie 16 punktów
i 20 prostych. ([Hart67] 147) .
18
Stwierdzenie 2.3.10 (Euler). Nie istnieje płaszczyzna afiniczna rzędu 6.
.
([Hart67] 147, [Bebe76], wynika z 2.3.4)
Stwierdzenie 2.3.11. Jeśli n 6 100, to nie istnieje płaszczyzna afiniczna rzędu n, gdy
n = 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46, 54, 57, 62, 66, 69, 70, 77, 78, 86, 93, 94.
([Bebe76], wynika z 2.3.4)
.
Stwierdzenie 2.3.12. Nie wiemy czy istnieje płaszczyzna afiniczna rzędu 10.
([Bebe76])
.
Stwierdzenie 2.3.13. Jeśli n 6 100, to nie wiemy czy istnieje płaszczyzna afiniczna rzędu
n, gdy n jest jedną z liczb:
10, 12, 18, 20, 24, 26, 28, 34, 35, 36, 39, 40, 44, 45, 48,
50, 51, 52, 55, 56, 58, 60, 63, 65, 68, 72, 74, 75, 76, 80,
82, 84, 85, 87, 88, 90, 91, 92, 95, 96, 98, 99, 100.
([Bebe76])
.
2.4
Płaszczyzna rzutowa
Płaszczyzną rzutową nazywamy każdą parę (P, L), w której P jest niepustym zbiorem
zwanym zbiorem punktów oraz L jest rodziną podzbiorów zbioru P zwaną rodziną prostych,
(π1 ) Dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieje dokładnie jedna prosta zawierające
te punkty.
(π2 ) Dowolne dwie proste przecinają się w co najmniej jednym punkcie.
(π3 ) Istnieją trzy niewspółliniowe punkty.
(π4 ) Każda prosta ma co najmniej trzy punkty.
Mówimy, że dwie płaszczyzny rzutowe (P, L) i (P0 , L0 ) są izomorficzne jeśli istnieje bijekcja
σ : P → P0 taka, że σ(L) ⊆ L0 .
Stwierdzenie 2.4.1. Niech k będzie ciałem i niech O będzie ustalonym punktem w k 3 . Niech
P będzie zbiorem wszystkich prostych w k 3 przechodzących przez O. Niech L będzie zbiorem
wszystkich płaszczyzn w k 3 przechodzących przez O. Wtedy para (P, L) jest płaszczyzną afiniczną.
Stwierdzenie 2.4.2. Dwie różne proste płaszczyzny rzutowej przecinają się w dokładnie jednym punkcie.
Stwierdzenie 2.4.3. Płaszczyzna rzutowa posiada co najmniej siedem punktów.
Stwierdzenie 2.4.4. Płaszczyzna rzutowa posiada co najmniej 7 prostych.
19
2.5
Płaszczyzna rzutowa powstała z płaszczyzny afinicznej
W rozdziale ”Geometria afiniczna” podaliśmy definicję i podstawowe własności płaszczyzny afinicznej. Z każdej płaszczyzny afinicznej można otrzymać płaszczyznę rzutową. Oto
konstrukcja:
Stwierdzenie 2.5.1. Niech (A, L) będzie płaszczyzną afiniczną. Dla każdej prostej l ∈ L
oznaczmy przez [l] pęk wszystkich prostych równoległych do l; pęk ten nazywa się punktem w
nieskończoności prostej l. Niech
P := A ∪ {[l]; l ∈ L} .
Prostą w P nazywamy zbiór {[l]; l ∈ L} oraz każdą prostą l ∈ L wzbogaconą o punkt [l].
Niech L będzie rodziną wszystkich prostych w P. Wtedy para (P, L) jest płaszczyzną rzutową.
([Hart67] 13 (ros)) .
Przykład 2.5.2. Niech A = (A, L) będzie czteroelementową płaszczyzną afiniczną; A =
{a, b, c, d}, L = {l∞ , l∈ , . . . , l6 }, l1 = {a, b}, l2 = {a, c}, l3 = {a, d}, l4 = {b, c}, l5 =
{b, d}, l6 = {c, d}. Mamy tu l1 k l6 , l2 k l5 oraz l3 k l4 . W terminologii 2.5.1 mamy więc trzy
punkty w nieskończoności:
x = [l1 ] = [l6 ],
y = [l2 ] = [l5 ],
z = [l3 ] = [l4 ].
Niech (P, L) będzie płaszczyzną rzutową skonstruowaną w 2.5.1. Wówczas
P = {a, b, c, d, x, y, z} oraz
L = {{a, b, x}, {a, c, y}, {a, d, z}, {b, c, z}, {b, d, y}, {c, d, x}, {x, y, z}} .
Otrzymaliśmy siedmiopunktową płaszczyznę rzutową. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
2.6
Płaszczyzna afiniczna powstała z płaszczyzny rzutowej
Stwierdzenie 2.6.1. Niech (P, L) będzie płaszczyzną rzutową. Ustalmy jedną prostą l0 ∈ L.
Niech
A = P r l0 ,
L = {l ∩ A; l ∈ L}.
Wtedy para (A, L) jest płaszczyzną afiniczną. Płaszczyzna rzutowa powstała z tej płaszczyzny
afinicznej w sposób 2.5.1 pokrywa się z wyjściową płaszczyzną rzutową (P, L). ([Hart67] 146 ros) .
2.7
Płaszczyzna rzutowa P2 (k)
Niech k będzie ciałem. Niech ∼ będzie relacją zbiorze k 3 r{(0, 0, 0)} określoną następująco:
(x0 , x1 , x2 ) ∼ (y0 , y1 , y2 ) jeśli
∃
06=r∈k
y0 = rx0 , y1 = rx1 , y2 = rx2 .
20
Jest to relacja typu równoważności. Klasę abstrakcji punktu (x0 , x1 , x2 ) względem tej relacji
oznaczamy przez (x0 : x1 : x2 ). Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez P2 (k).
Prostą w P2 (k) nazywamy każdy zbiór postaci
n
o
(x0 : x1 : x2 ) ∈ P2 (k); a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 = 0 ,
gdzie (a0 , a1 , a2 ) ∈ k 3 r {(0, 0, 0)}.
Stwierdzenie 2.7.1. Jeśli k jest ciałem (niekoniecznie przemiennym) to zbiór P2 (k) wraz z
rodziną prostych w powyższym sensie jest płaszczyzną rzutową. ([Hart67] 84 ros.) .
W przypadku, gdy k jest ciałem R (liczb rzeczywistych), P2 (R) nazywamy rzeczywistą
płaszczyzną rzutową.
Stwierdzenie 2.7.2. Startując w 2.5.1 od płaszczyzny afinicznej R2 otrzymujemy rzeczywistą płaszczyznę rzutową P2 (R).
Stwierdzenie 2.7.3. P2 (Z2 ) jest 7-mio punktową płaszczyzną rzutową z przykładu 2.5.2.
2.8
Płaszczyzna rzutowa i dualność
Niech π = (P, L) będzie płaszczyzną rzutową. Pękiem prostych w π nazywamy zbiór
wszystkich prostych w π przechodzących przez dany punkt. Jeśli A ∈ P, to przez pęk(A)
oznaczamy pęk prostych przechodzących przez A.
Rozpatrzmy nową parę π ∗ = (P∗ , L∗ ), w której
P∗
= L,
L∗
= {pęk(A); A ∈ P}.
Stwierdzenie 2.8.1. π ∗ jest płaszczyzną rzutową. Nazywamy ją płaszczyzną rzutową dualną
do płaszczyzny rzutowej π. ([Hart67] 51 ros) .
Powyższy fakt jest konsekwencją nastąpującego stwierdzenia.
Stwierdzenie 2.8.2. Płaszczyzna rzutowa (P, L) spełnia następujące cztery warunki.
(1) Dla dowolnych dwóch różnych prostych istnieje dokładnie jeden pęk prostych zawierający te proste.
(2) Dwa pęki prostych posiadają co najmniej jedną wspólną prostą.
(3) Istnieją trzy proste nie należące do wspólnego pęku.
(4) Każdy pęk prostych ma co najmniej trzy proste.
Przykład 2.8.3. Niech π = (P, L) będzie siedmiopunktową płaszczyzną rzutową. Wówczas
P = {a, b, c, d, x, y, z},
L = {abx, acy, adz, bcz, bdy, cdx, xyz},
gdzie abx oznacza prostą {a, b, x} itp. Wtedy płaszczyzna dualna π ∗ = (P∗ , L∗ ) jest również
siedmiopunktowa. Mamy tu:
P∗
= L = {abx, acy, adz, bcz, bdy, cdx, xyz},
L∗ = {pęk(a), pęk(b), pęk(c), pęk(d), pęk(x), pęk(y), pęk(z)},
21
przy czym pęk(a) = {abx, acy, adz}, pęk(b) = {abx, bcz, bdy}, pęk(c) = {acy, bcz, cdx},
pęk(d) = {adz, bdy, cdx}, pęk(x) = {abx, cdx, xyz}, pęk(y) = {acy, bdy, xyz}, pęk(z) =
{adz, bcz, xyz}. Stwierdzenie 2.8.4 (Zasada dualności). Niech S będzie pewnym twierdzeniem zachodzącym dla płaszczyzny rzutowej π. Wówczas zachodzi twierdzenie S ∗ powstałe z twierdzenia S
przez zamianę słów:
punkt
punkt leży na prostej
punkty współliniowe
punkt przecięcia dwóch prostych
itp.
([Hart67] 54 ros)
←→
←→
←→
←→
prosta,
prosta przechodzi przez punkt,
proste przecinające się w punkcie,
prosta przechodząca przez dwa punkty,
.
Stwierdzenie 2.8.5. Odwzorowanie π → π ∗∗ , które punktowi A przyporządkowuje pęk(A),
jest izomorfizmem płaszczyzn rzutowych. ([Hart67] 54 ros) .
Stwierdzenie 2.8.6. Płaszczyzny rzutowe π i π ∗∗ są izomorficzne. Natomiast płaszczyzny
π i π ∗ nie muszą być izomorficzne. Istnieje płaszczyzna rzutowa π rzędu 9 (10 punktów na
każdej prostej), która nie jest izomorficzna z π ∗ . ([Hart67] 54 ros) .
2.9
Aksjomat Desarques’a
Niech π = (P, L) będzie płaszczyzną rzutową. Aksjomatem Desarques’a (czyt. Dezarga)
na płaszczyźnie π nazywamy następujące zdania.
(π5 ) Dane są trzy proste przechodzące przez punkt O. Niech punkty A, A0 leżą na pierwszej prostej, punkty B, B 0 na drugiej oraz punkty C, C 0 na trzeciej. Wtedy punkty przecięcia
prostych AB i A0 B 0 , AC i A0 C 0 oraz BC i B 0 C 0 leżą na jednej prostej.
Stwierdzenie 2.9.1. Istnieją płaszczyzny rzutowe, dla których aksjomat Desarques’a nie
zachodzi. ([Hart67]) .
Stwierdzenie 2.9.2. Aksjomat Desarques’a zachodzi w każdej trójwymiarowej przestrzeni
rzutowej, przy czym w wysłowieniu tego aksjomatu dane trzy proste nie muszą leżeć w jednej
płaszczyźnie. W szczególności aksjomat Desarquesa zachodzi dla każdej płaszczyzny rzutowej
leżącej w trójwymiarowej przestrzeni rzutowej. ([Hart67] 21 ros) .
Stwierdzenie 2.9.3. Aksjomat Desarques’a zachodzi dla każdej płaszczyzny rzutowej P2 (k),
gdzie k jest ciałem niekoniecznie przemiennym. ([Hart67] 88) .
Stwierdzenie 2.9.4. Dowolna płaszczyzna rzutowa π jest izomorficzna z płaszczyzną rzutową P2 (k), gdzie k jest ciałem niekoniecznie przemiennym, wtedy i tylko wtedy, gdy dla π
zachodzi aksjomat Desarques’a ([Hart67] 119) .
Stwierdzenie 2.9.5. Jeśli płaszczyzna rzutowa spełnia aksjomat Desarques’a, to dualna do
niej płaszczyzna rzutowa również ten aksjomat spełnia. ([Hart67]) .
22
Stwierdzenie 2.9.6. Dualny aksjomat Desarques’a (czyli aksjomat Desarques’a dla płaszczyzny rzutowej π ∗ ) ma następującą postać.
Dane są trzy punkty A, B, C płaszczyzny rzutowej π, leżące na jednej prostej. Niech a i a0
będą prostymi przecinającymi się w punkcie A , niech b i b0 będą prostymi przecinającymi się
w punkcie B oraz niech c i c0 będą prostymi przecinającymi się w punkcie C. Niech x będzie
prostą przechodzącą przez punkty a∩b i a0 ∩b0 , niech y będzie prostą przechodzącą przez punkty
a ∩ c i a0 ∩ c0 oraz niech z będzie prostą przechodzącą przez punkty b ∩ c i b0 ∩ c0 . Wówczas
proste x, y, z przecinają się w jednym punkcie.
2.10
Aksjomat Pappa
Niech π = (P, L) będzie płaszczyzną rzutową. Aksjomatem Pappa na płaszczyźnie π nazywamy następujące zdania.
(π6 ) Niech l i l0 będą prostymi w π przecinającymi się w punkcie X. Niech A, B, C będą
trzema różnymi punktami prostej l, różnymi od X. Niech A0 , B 0 , C 0 będą trzema różnymi punktami prostej l0 , różnymi od X. Niech P, Q, R będą punktami przecięcia odpowiednio prostych
AB 0 i A0 B, AC 0 i A0 C oraz BC 0 i B 0 C. Wówczas punkty P, Q, R są współliniowe.
Stwierdzenie 2.10.1. Istnieją płaszczyzny rzutowe, dla których aksjomat Pappa nie zachodzi. Płaszczyzna rzutowa P2 (H), gdzie H jest ciałem (nieprzemiennym) kwaternionów nie
spełnia aksjomatu Pappa. ([Hart67]) .
Stwierdzenie 2.10.2. Jeśli płaszczyzna rzutowa spełnia aksjomat Pappa, to dualna do niej
płaszczyzna rzutowa również ten aksjomat spełnia. ([Hart67]) .
Stwierdzenie 2.10.3. Jeśli płaszczyzna rzutowa spełnia aksjomat Pappa, to spełnia aksjomat Desarques’a. ([Hart67]) .
Stwierdzenie 2.10.4. Aksjomat Pappa zachodzi dla każdej płaszczyzny rzutowej P2 (k), gdzie
k jest ciałem przemiennym. ([Hart67]) .
Stwierdzenie 2.10.5. Dowolna płaszczyzna rzutowa π jest izomorficzna z płaszczyzną rzutową P2 (k), gdzie k jest ciałem przemiennym, wtedy i tylko wtedy, gdy dla π zachodzi aksjomat
Pappa ([Hart67] 92) .
2.11
Skończone płaszczyzny rzutowe
Mówimy, że dana płaszczyzna rzutowa ma rząd n jeśli istnieje na niej prosta posiadająca
dokładnie n + 1 punktów.
Stwierdzenie 2.11.1. Rząd płaszczyzny rzutowej jest > 2.
Stwierdzenie 2.11.2. Jeśli płaszczyzna rzutowa ma rząd n, to
(1) każda prosta tej płaszczyzny ma dokładnie n + 1 punktów;
(2) przez każdy punkt tej płaszczyzny przechodzi dokładnie n + 1 prostych;
(3) płaszczyzna ta ma dokładnie n2 + n + 1 punktów;
(4) płaszczyzna ta ma dokładnie n2 + n + 1 prostych. ([MatEn], [Tull67] 37, [Kart76] 3) .
23
Stwierdzenie 2.11.3. Jeśli n jest potęgą liczby pierwszej, to istnieje płaszczyzna rzutowa
rzędu n.
Dowód. Jeśli n jest potęgą liczby pierwszej, to istnieje skończone ciało k mocy n. Wówczas
płaszczyzna rzutowa P2 (k) ma rząd n. Stwierdzenie 2.11.4. Jeśli n ∈ N jest postaci 4k + 1 lub 4k + 2 i w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby n występuje co najmniej jedna liczba pierwsza postaci 4k + 3 w potędze
nieparzystej, to nie istnieje płaszczyzna rzutowa rzędu n. ([MatEn]) .
Stwierdzenie 2.11.5 (Euler). Nie istnieje płaszczyzna rzutowa rzędu 6.
(wynika z 2.11.4)
.
Stwierdzenie 2.11.6. Jeśli n 6 100, to nie istnieje płaszczyzna rzutowa rzędu n, gdy
n = 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46, 54, 57, 62, 66, 69, 70, 77, 78, 86, 93, 94.
(2.11.4)
.
Stwierdzenie 2.11.7. Nie wiemy czy istnieje płaszczyzna rzutowa rzędu 10.
([MatEn])
.
Stwierdzenie 2.11.8. Jeśli n 6 100, to nie wiemy czy istnieje płaszczyzna rzutowa rzędu
n, gdy n jest jedną z liczb:
10, 12, 18, 20, 24, 26, 28, 34, 35, 36, 39, 40, 44, 45, 48,
50, 51, 52, 55, 56, 58, 60, 63, 65, 68, 72, 74, 75, 76, 80,
82, 84, 85, 87, 88, 90, 91, 92, 95, 96, 98, 99, 100.
([MatEn], [Bebe76])
.
Stwierdzenie 2.11.9. Rząd grupy wszystkich automorfizmów 7-mio punktowej płaszczyzny
rzutowej jest równy 168 = 7 · 6 · 4. ([Hart67] 31) .
2.12
Trójwymiarowa przestrzeń rzutowa
Trójwymiarową przestrzenią rzutową nazywamy każdą trójkę (P, L, H), w której
P jest niepustym zbiorem zwanym zbiorem punktów,
L jest rodziną podzbiorów zbioru P zwaną rodziną prostych,
H jest rodziną podzbiorów zbioru P zwaną rodziną płaszczyzn,
(T1 ) Dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieje dokładnie jedna prosta zawierające
te punkty.
(T2 ) Przez każde trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
(T3 ) Dla każdej prostej i każdej płaszczyzny istnieje co najmniej jeden punkt wspólny.
(T4 ) Dwie płaszczyzny mają co najmniej jedną wspólną prostą.
(T5 ) Istnieją cztery punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie, przy czym każde trzy z tych
punktów nie są współliniowe.
(T6 ) Każda prosta ma co najmniej trzy punkty.
24
Stwierdzenie 2.12.1. Z warunków (T1 ) − (T6 ) wynika:
(1) Jeśli dwa różne punkty leżą na płaszczyźnie α, to prosta przechodząca przez te punkty
też leży na płaszczyźnie α.
(2) Płaszczyzna i prosta na niej nie leżąca mają dokładnie jeden punkt wspólny.
(3) Dwie różne płaszczyzny mają dokładnie jedną wspólną prostą.
(4) Przez prostą i punkt nie leżący na tej prostej przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
.
([Hart67] 146 ros)
Stwierdzenie 2.12.2. Każda płaszczyzna należąca do trójwymiarowej przestrzeni rzutowej
jest płaszczyzną rzutową. ([Hart67] 146 ros) .
3
Odwzorowania regularne podzbiorów rzutowych
Zakładamy, że k jest ciałem. Ponadto k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ], k[S] = k[S0 , . . . , Sn ] są pierścieniami wielomianów nad k.
3.1
Jednorodne funkcje wymierne
Niech k(S) = k(S0 , . . . , Sn ) będzie ciałem funkcji wymiernych, tzn. ciałem ułamków pierścienia wielomianów k[S]. Niech t będzie dodatkową zmienną.
Definicja 3.1.1. Mówimy, że element ϕ ∈ k(S) jest jednorodny stopnia m, gdzie m jest
liczbą całkowitą, jeżeli w ciele k(t, S) = k(t, S0 , . . . , Sn ) zachodzi równość:
ϕ(tS0 , . . . , tSn ) = tm ϕ(S0 , . . . , Sn ).
W szczególności 0 jako element z k(S) jest elementem jednorodnym dowolnego stopnia.
Stwierdzenie 3.1.2. Niech f, g będą niezerowymi względnie pierwszymi wielomianami z k[S]
i niech ϕ = f /g ∈ k(S). Następujące dwa warunki są równoważne.
(1) Element ϕ jest jednorodny stopnia m.
(2) Wielomiany f, g są jednorodne odpowiednio stopni p, q, gdzie p − q = m.
Dowód. Implikacja (2) ⇒ (1) jest oczywista. Wykażemy implikację (1) ⇒ (2).
Niech f = fp1 + · · · + fpr , g = gq1 + · · · + gqs , gdzie p1 < · · · < pr = p i q1 < · · · < qs = q,
będą rozkładami wielomianów f i g na składowe jednorodne. Oznaczmy: S = (S0 , S1 , . . . , Sn ), tS =
(tS0 , tS1 , . . . , tSn ). Ponieważ ϕ(tS) = tm ϕ(S), więc w pierścieniu k(t)[S] mamy równość f (tS)g(S) =
tm f (S)g(tS), czyli
(tp1 fp1 (S) + · · · + tpr fpr (S)) g(S) = tm f (S) (tq1 gq1 (S) + · · · + tqs gqs (S)) .
Porównując w tej równości stopnie względem t stwierdzamy, że p = m + q oraz, że fp (S)g(S) =
f (S)gq (S). Wielomiany f i g są względnie pierwsze, więc fp = f h, gq = gh dla pewnego h ∈ k[S]. Ale
fp jest wielomianem jednorodnym, więc z równości fp = f h wynika, że wielomian f jest jednorodny.
Analogicznie, z równości gq = gh wynika, że wielomian g jest również jednorodny. Stwierdzenie 3.1.3. Załóżmy, że char(k) = 0 i niech ϕ ∈ k(S). Następujące dwa warunki
są równoważne.
(1) Element ϕ jest jednorodny stopnia m.
∂ϕ
∂ϕ
+ · · · + Sn ∂S
= mϕ. (3) S0 ∂S
n
0
([Now94a] 2.1.3)
.
Zbiór wszystkich elementów z k(S) jednorodnych stopnia zero oznaczać będziemy przez
k{S} = k{S0 , . . . , Sn }. Z powyższego stwierdzenia wynika, że element ϕ ∈ k(S) należy do
k{S} wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ jest ilorazem dwóch jednorodnych wielomianów z k[S] tego
samego stopnia. W szczególności k{S0 } = k i łatwo wykazać, zbiór k{S} jest podciałem ciała
k(S) zawierającym k.
25
26Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003
3. Odwzorowania regularne podzbiorów rzutowych
Stwierdzenie 3.1.4. Ciało k{S} jest izomorficzne z ciałem k(T ) = k(T1 , . . . , Tn ).
Dowód. Rozpatrzmy k-algebrowy homomorfizm f : k[T ] −→ k{S}, Ti 7→ Si /S0 , i = 1, . . . , n.
Niech F = F0 + · · · + Fm będzie rozkładem wielomianu F ∈ k[T ] na składowe jednorodne. Wtedy
f (F ) = S0−m (S0m F0 + S0m−1 F1 + · · · + Fm ). Jeśli f (F ) = 0, to wielomian S0m F0 + S0m−1 F1 + · · · + Fm ∈
k[S1 , . . . , Sn ][S0 ] jest zerowy, a zatem wtedy F0 = F1 = · · · = Fm = 0, czyli F = 0. Homomorfizm f
jest więc różnowartościowy. Istnieje zatem homomorfizm ciał f : k(T ) −→ k{S}, F/G 7→ f (F )/f (G).
Jest oczywiste, że f jest surjekcją. Niech ϕ będzie ustalonym elementem ciała k{S}. Rozpatrzmy zbiór Dϕ składający się z
tych wszystkich punktów x ∈ Pn (k), dla których istnieją wielomiany jednorodne P, Q ∈ k[S],
P
tego samego stopnia takie, że Q(x) 6= 0 oraz ϕ = Q
. Zbiór Dϕ jest podzbiorem przestrzeni
n
P (k). Nazywamy go dziedziną elementu ϕ.
F
Stwierdzenie 3.1.5. Niech ϕ ∈ k{S}. Niech ϕ = G
, gdzie F, G 6= 0 są względnie pierwszymi
jednorodnymi wielomianami z k[S] tego samego stopnia. Wówczas Dϕ = Pn (k) r Vp (G).
Dowód. Inkluzja Pn (k) r Vp (G) ⊆ Dϕ jest oczywista. Niech x ∈ Dϕ . Istnieją wtedy jednorodne
P
F
P
. Wtedy Q
=ϕ= G
, czyli
wielomiany P, Q ∈ k[S], tego samego stopnia takie, że Q(x) 6= 0 oraz ϕ = Q
P G = QF . Ponieważ wielomiany F i G są względnie pierwsze, więc P = HF i Q = HG, dla pewnego
jednorodnego wielomianu H ∈ k[S]. Wtedy 0 6= Q(x) = H(x)G(x), a zatem G(x) 6= 0. Oznacza to, że
x ∈ Pn (k) r Vp (G). Stąd w szczególności wynika:
Wniosek 3.1.6. Dϕ jest niepustym zbiorem otwartym w Pn (k). Zanotujmy również oczywiste stwierdzenie:
Stwierdzenie 3.1.7. Jeśli ϕ1 , ϕ2 ∈ k{S}, to:
(1) Dϕ1 ∩ Dϕ2 ⊆ Dϕ1 +ϕ2 ,
(2) Dϕ1 ∩ Dϕ2 ⊆ Dϕ1 ·ϕ2 . Niech ϕ = P/Q ∈ k{S}, gdzie P, Q 6= 0 są jednorodnymi wielomianami z k[S] tego
samego stopnia p. Niech x ∈ Pn (k) i niech (x0 , . . . , xn ) ∈ k n+1 r {0} będzie takim ciągiem
jednorodnych współrzędnych punktu x, że Q(x0 , . . . , xn ) 6= 0. Jeśli (y0 , . . . , yn ) ∈ k n+1 r {0}
jest innym ciągiem jednorodnych współrzędnych punktu x, to (y0 , . . . , yn ) = (ax0 , . . . , axn ),
dla pewnego a ∈ k r {0}, i wtedy Q(y0 , . . . , yn ) = Q(ax0 , . . . , axn ) = ap Q(x0 , . . . , xn ) 6= 0.
Mamy wtedy ponadto
P (y0 , . . . , yn )
P (ax0 , . . . , axn )
ap P (x0 , . . . , xn )
P (x0 , . . . , xn )
=
= p
=
.
Q(y0 , . . . , yn )
Q(ax0 , . . . , axn )
a Q(x0 , . . . , xn )
Q(x0 , . . . , xn )
Każdemu więc punktowi x = (x0 : · · · : xn ) ∈ Pn (k) r Vp (Q) możemy przyporządkować
dokładnie jeden element ϕ(x) ∈ k określony wzorem
ϕ(x) =
P (x0 , . . . , xn )
.
Q(x0 , . . . , xn )
Wartość ϕ(x), jak łatwo sprawdzić, nie zależy od wyboru jednorodnych wielomianów P i Q,
określających element ϕ.
27
Zatem każdy element ϕ ciała k{S} jest funkcją częściową ϕ : Pn (k) −→
◦ k. Jest oczywiste,
że zbiór Dϕ jest dziedziną tej częściowej funkcji.
3.2
Funkcje regularne
Dla każdego podzbioru X ⊆ Pn (k) zdefiniujemy taką k-algebrę, ktȯra w przypadku gdy
X jest afinicznym zbiorem domkniętym, pokrywać się będzie z k-algebrą k[X], funkcji regularnych na X.
W poprzednich rozdziałach rozważaliśmy różne funkcje. Pewne z nich były funkcjami
częściowymi. Dla zaznaczenia, że funkcja, o której w danej chwili mówimy, nie jest funkcją
częściową, mówić będziemy, że jest to zwykła funkcja.
Definicja 3.2.1. Niech X ⊆ Pn (k) będzie dowolnym podzbiorem. Mówimy, że zwykła funkcja f : X −→ k jest regularna na X, jeśli dla każdego punktu x ∈ X istnieją ϕ ∈ k{S} oraz
zbiór otwarty U ⊆ X zawierający x takie, że U ⊆ Dϕ i f |U = ϕ|U .
Stwierdzenie 3.2.2. Niech X ⊆ Pn (k) będzie dowolnym podzbiorem i niech f : X −→ k
będzie zwykłą funkcją. Następujące warunki są równoważne.
(1) f jest funkcją regularną na X.
(2) Dla każdego x ∈ X istnieją jednorodne wielomiany Px , Qx ∈ k[S] takie, że
(a) deg Px = deg Qx ,
(b) Qx (x) 6= 0,
(c) f (y) = Px (y)/Qx (y), dla wszystkich y ∈ X takich, że Qx (y) 6= 0.
Dowód. (2) ⇒ (1). Niech U = X ∩ (Pn (k) r Vp (Qx )) i niech ϕ = Px /Qx . Wtedy ϕ ∈ k{S}, U
jest zbiorem otwartym w X zawartym w Dϕ oraz f |U = ϕ|U .
(1) ⇒ (2). Niech x ∈ X i niech ϕ ∈ k{S}, x ∈ U ⊆ Dϕ , f |U = ϕ|U , gdzie U jest zbiorem otwartym
w X. Istnieją wtedy jednorodne wielomiany F, G ∈ k[S], tego samego stopnia takie, że ϕ = F/G i
G(x) 6= 0. Zbiór U (jako otwarty podzbiór w X) jest postaci X ∩ (Pn (k) r Y ), gdzie Y jest pewnym
rzutowym zbiorem domkniętym w Pn (k). Ponieważ x ∈ U , więc x 6∈ Y . Istnieje zatem jednorodny
wielomian H ∈ Ip (Y ) taki, że H(x) 6= 0. Przyjmijmy
Px = HF,
Qx = HG.
Wtedy Px , Qx są wielomianami jednorodnymi tego samego stopnia oraz Qx (x) = H(x)G(x) 6= 0.
Niech y ∈ X będzie takim punktem, że Qx (y) 6= 0. Wtedy H(y) 6= 0 (bo 0 6= Qx (y) = H(y)G(y))
zatem y 6∈ Y (bo H ∈ Ip (Y )), a zatem y ∈ X ∩ (Pn (k) r Y ) = U . Wobec tego
f (y) =
F (y)
H(y)F (y)
Px (y)
=
=
G(y)
H(y)G(y)
Qx (y)
i to kończy dowód naszego stwierdzenia. Następne stwierdzenie jest oczywiste.
Stwierdzenie 3.2.3. Każda funkcja stała f : X −→ k jest regularna na X. Zbiór wszystkich funkcji regularnych na podzbiorze X ⊆ Pn (k) oznaczmy przez Reg(X, k).
Jest oczywiste, że Reg(X, k) jest pierścieniem przemiennym zawierającym ciało k. Pierścień
ten nazywamy k-algebrą funkcji regularnych na X.
Przypomnijmy, że jeśli X ⊆ k n jest afinicznym zbiorem domkniętym, to przez k[X]
oznaczaliśmy k-algebrę wszystkich funkcji regularnych na X. Elementami tej algebry są
zwykłe funkcje f : X → k postaci f = F |X, gdzie F jest wielomianem należącym do
k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ]. Wykażemy teraz, że jeśli ciało k jest algebraicznie domknięte, to kalgebra k[X] jest izomorficzna z k-algebrą Reg(X, k). Do dowodu tego faktu potrzebne są
dwa lematy.
Lemat 3.2.4. Niech X ⊆ k n będzie afinicznym zbiorem domkniętym i niech U ⊆ X będzie
jego otwartym podzbiorem. Dla każdego x0 ∈ U istnieje f ∈ k[X] takie, że f (x0 ) 6= 0 oraz
f (y) = 0, dla wszystkich y ∈ X r U .
Dowód. Niech Y = X r U . Wtedy Y jest zbiorem domkniętym w X, więc jest także zbiorem
domkniętym w k n . Ponadto x0 ∈
6 Y = VI(Y ). Istnieje więc wielomian F ∈ I(Y ) taki, że F (x0 ) 6= 0.
Określamy f jako F |X. Lemat 3.2.5. Niech X ⊆ k n będzie zbiorem algebraicznym i niech f : X −→ k będzie zwykłą
funkcją. Załóżmy, że dla każdego x ∈ X istnieje zbiór otwarty Ux ⊆ X zawierający x
oraz istnieją funkcje regularne px , qx ∈ k[X] takie, że qx (x) 6= 0 i qx (y)f (y) = px (y), dla
wszystkich y ∈ Ux . Jeśli ciało k jest algebraicznie domknięte, to f ∈ k[X].
Dowód. Mnożąc ewentualnie funkcje regularne px , qx przez odpowiednią funkcję regularną, istniejącą na mocy Lematu 3.2.4, możemy założyć, że równości postaci qx (y)f (y) = px (y) spełnione są
dla wszystkich y ∈ X. Niech A będzie ideałem w k[X] generowanym przez wszystkie funkcje postaci
qx , x ∈ X. Wtedy VX (A) jest oczywiście zbiorem pustym. Z twierdzenia Hilberta o zerach dla k[X]
wynika więc, że A = k[X]. Stąd dalej wynika, że 1 = h1 qx1 + · · · + hs qxs , dla pewnych x1 , . . . , xs ∈ X
Ps
oraz h1 , . . . , hs ∈ k[X]. To implikuje, że f = i=1 hi pxi jest funkcją regularną na X. Stwierdzenie 3.2.6. Załóżmy, że ciało k jest algebraicznie domknięte. Jeśli X jest domkniętym zbiorem afinicznym (tzn. zbiorem domkniętym zawartym np. w An0 ), to k-algebra
Reg(X, k), funkcji regularnych na X, jest izomorficzna z afiniczną k-algebrą k[X], funkcji
regularnych na X
Dowód. Niech X ⊆ An0 będzie zbiorem domkniętym w An0 . Wtedy X = (Xa ) , gdzie Xa jest
afinicznym zbiorem domkniętym w k n (Stwierdzenie 1.8.4). Rozpatrzmy k-algebrę Reg(X, k) i niech
k[Xa ] będzie afiniczną k-algebrą funkcji regularnych na Xa . Wykażemy, że istnieje pewien k-algebrowy
homomorfizm α : k[Xa ] → Reg(X, k) i pokażemy następnie, że homomorfizm ten jest izomorfizmem.
Niech f : Xa → k będzie elementem pierścienia k[Xa ]. Definiujemy f : X −→ k przyjmując
f (x) = f (x ), dla x ∈ X.
Oczywiście f jest zwykłą funkcją. Pokażemy, że jest to funkcja regularna na X. W tym celu niech
F ∈ k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] będzie takim wielomianem, że f = F |Xa i niech P, Q będą wielomianami z
k[S] zdefiniowanymi następująco:
P (S0 , . . . , Sn ) = F = S0deg F F ( SS01 , . . . , SSn0 ),
Q(S0 , . . . , Sn ) = S0deg F .
Wielomiany P i Q są jednorodne i mają ten sam stopień równy deg F . Mamy zatem element ϕ =
P/Q należący do ciała k{S} i jest oczywiste, że An0 ⊆ Dϕ . Zauważmy, że f = ϕ|X. Istotnie, jeśli
x = (x0 : · · · : xn ) ∈ X, to
ϕ(x) =
F
xdeg
F ( xx10 , . . . , xxn0 )
0
F
xdeg
0
= F ( xx10 , . . . , xxn0 ) = F (x ) = f (x ) = f (x).
29
Zatem f : X −→ k jest elementem k-algebry Reg(X, k). Przyjmujemy, że α(f ) = f . Z łatwością
sprawdzamy, że α : k[Xa ] → Reg(X, k) jest homomorfizmem k-algebr.
Dla wykazania, że α jest izomorfizmem wystarczy pokazać, że istnieje zwykła funkcja β ze zbioru
Reg(X, k) do zbioru k[Xa ] taka, że αβ = id i βα = id.
Niech h : X −→ k będzie funkcją regularną na X w sensie Definicji 3.2.1. Wtedy h jest zwykłą
funkcją. Możemy więc określić zwykłą funkcję h : Xa −→ k przyjmując
h (y) = h(y ), dla y ∈ Xa .
Wykażemy, że h jest afiniczną funkcją regularną na Xa .
Niech y ∈ Xa . Wtedy y ∈ X. Istnieją więc jednorodne wielomiany P, Q z pierścienia k[S] i
istnieje otoczenie U ⊆ X punktu y takie, że
h|U =
P
| U.
Q
Niech p(T1 , . . . , Tn ) = P = P (1, T1 , . . . , Tn ), q(T1 , . . . , Tn ) = Q = Q(1, T1 , . . . , Tn ) i niech D ⊆ Xa
będzie podzbiorem określonym wzorem D = U . Wtedy D jest zbiorem otwartym w Xa (Stwierdzenie
1.8.4) zawierającym y oraz p|Xa , q|Xa są takimi afinicznymi funkcjami regularnymi na Xa , że q(y) 6= 0
i h (z)q(z) = p(z), dla wszystkich z ∈ D. To implikuje, na mocy Lematu 3.2.5, że h : Xa −→ k jest
afiniczną funkcją regularną na Xa . Zatem h jest elementem pierścienia k[Xa ]. Mamy zatem funkcję
β : Reg(X, k) −→ k[Xa ] określoną wzorem β(h) = h , dla wszystkich h ∈ Reg(X, k).
Wykażemy teraz, że złożenia αβ i βα są identycznościami. Niech h ∈ Reg(X, k) i niech x ∈ X.
Mamy wtedy:
(αβ(h))(x) = (α(h ))(x) = (h ) (x) = h (x ) = h((x ) ) = h(x).
Zatem αβ = id. Niech teraz f ∈ k[Xa ] i y ∈ Xa . Wtedy
(βα(f ))(y) = (β(f ))(y) = (f ) (y) = f (y ) = f ((y ) ) = f (y).
Złożenie βα jest więc również tożsamością. To kończy dowód naszego stwierdzenia. Wykażemy teraz, że każda funkcja regularna f : X −→ k traktowana jako odwzorowanie
z przestrzeni topologicznej X, z topologią indukowaną przez topologię Zariskiego na Pn (k),
do afinicznej przestrzeni k 1 (z topologią Zariskiego), jest funkcją ciągłą.
Lemat 3.2.7. Niech X ⊆ Pn (k) będzie dowolnym podzbiorem i niech f : X −→ k będzie
funkcją regularną na X. Wtedy, dla każdego a ∈ k, zbiór f −1 (a) jest domknięty w X.
Dowód. Z definicji funkcji regularnej f : X −→ k wiemy, że dla każdego x ∈ X istnieją jednorodne wielomiany Px , Qx ∈ k[S] tego samego stopnia takie, że Qx (x) 6= 0 oraz f (y) = Px (y)/Qx (y)
dla wszystkich y ∈ X spełniających warunek Qx (y) 6= 0.
Niech a ∈ k. Rozpatrzmy jednorodny ideał A w k[S] generowany przez wszystkie (jednorodne)
wielomiany postaci Px Qx − aQ2x , gdzie x ∈ X. Pokażemy, że
f −1 (a) = X ∩ Vp (A).
Niech z ∈ f −1 (a). Wtedy z ∈ X oraz f (z) = a. Niech x będzie dowolnym elementem należącym
do X. Jeśli Qx (z) = 0, to oczywiście Px (z)Qx (z) − aQx (z)2 = 0. Jeśli Qx (z) 6= 0, to a = f (z) =
Px (z)/Qx (z), a więc Px (z) − aQx (z) = 0, czyli Px (z)Qx (z) − aQx (z)2 = 0. Zatem z ∈ Vp (A) ∩ X.
Załóżmy teraz, że z ∈ Vp (A) ∩ X. Wtedy Pz (z)Qz (z) − aQz (z)2 = 0. Ale Qz (z) 6= 0, więc
Pz (z) − aQz (z) = 0 i stąd f (z) = Pz (z)/Qz (z) = a, tzn. z ∈ f −1 (a). Ponieważ każdy zbiór domknięty w k 1 jest albo całym zbiorem k 1 , albo jest zbiorem
skończonym, więc z powyższego lematu otrzymujemy:
Stwierdzenie 3.2.8. Jeśli X ⊆ Pn (k) jest dowolnym podzbiorem i f : X −→ k jest funkcją
regularną na X, to f jest funkcją ciągłą. Pierścień Reg(X, k), funkcji regularnych na podzbiorze X ⊆ Pn (k) znacznie różni się od
afinicznego pierścienia funkcji regularnych. Afiniczny pierścień funkcji regularnych jest postaci
k[T ]/Ia (Y ) dla pewnego domkniętego zbioru Y ⊆ k n . Z tego wynika, że każdy afiniczny pierścień funkcji regularnych jest skończenie generowaną k-algebrą. Takiej własności nie muszą
mieć pierścienie postaci Reg(X, k), gdy X jest nawet rozmaitością quasi-rzutową. Przykłady
podali Rees i Nagata. Wspomina o tym Szafarewicz [Szaf88]63.
Można udowodnić (pokażemy to później), że jeśli X jest domkniętym zbiorem rzutowym
w Pn (k) i ciało k jest algebraicznie domknięte, to Reg(X, k) = k. Wykażemy to teraz w
przypadku gdy X = Pn (k). W tym celu zanotujmy najpierw następujący lemat.
Lemat 3.2.9. Załóżmy, że ciało k jest nieskończone. Niech U będzie niepustym zbiorem
otwartym w Pn (k). Niech P, Q, P,0 Q0 będą jednorodnymi wielomianami w k[S] takimi, że:
(1) deg P = deg Q, deg P 0 = deg Q0 ,
(2) P i Q są względnie pierwsze oraz P 0 i Q0 są względnie pierwsze,
(3) Q(u) 6= 0 i Q0 (u) 6= 0 dla wszystkich u ∈ U ,
(4) P (u)/Q(u) = P 0 (u)/Q0 (u) dla wszystkich u ∈ U .
Istnieje wtedy niezerowa stała b ∈ k taka, że P = bP 0 i Q = bQ0 .
Dowód. Z założeń wynika, że (P Q0 − P 0 Q)(u) = 0, dla wszystkich u ∈ U . Zatem U ⊆ Vp (P Q0 −
P 0 Q), a więc U ⊆ Vp (P Q0 − P 0 Q). Z nieprzywiedlności przestrzeni Pn (k) wynika, że U = Pn (k).
Stąd Vp (P Q0 − P 0 Q) = Pn (k), a zatem P Q0 = P 0 Q. Teraz wystarczy skorzystać z faktu, że k[S] jest
pierścieniem z jednoznacznością rozkładu. Stwierdzenie 3.2.10. Jeśli X = Pn (k), to Reg(X, k) = k.
Dowód. Niech f : Pn −→ k będzie funkcją regularną. Niech x0 ∈ Pn i niech f (x0 ) = a. Pokażemy,
że f (x) = a dla wszystkich x ∈ Pn .
Istnieją jednorodne wielomiany P, Q ∈ k[S], tego samego stopnia takie, że Q(x0 ) 6= 0 oraz f (y) =
P (y)/Q(y) dla wszystkich y ∈ Pn spełniających własność Q(y) 6= 0. Możemy oczywiście założyć, że
wielomiany P i Q są względnie pierwsze. Zachodzić teraz mogą dwa przypadki.
Przypadek 1. Wszystkie punkty y ∈ Pn są takie, że Q(y) 6= 0. W tym przypadku zbiór Vp (Q) jest
pusty. Zatem (na mocy rzutowego twierdzenia Hilberta o zerach) wielomian Q jest niezerową stałą
należącą do k. Stopień wielomianu Q jest więc równy zero. Ten sam stopień ma wielomian P . Zatem
P jest też wielomianem stałym. Stąd wynika, że f = P/Q jest funkcją stałą.
Przypadek 2. Istnieje y0 ∈ Pn takie, że Q(y0 ) = 0. Pokażemy, że ten przypadek nie jest możliwy.
Ponieważ f : Pn −→ k jest funkcją regularną, więc dla punktu y0 istnieją jednorodne wielomiany
P 0 , Q0 ∈ k[S], tego samego stopnia takie, że Q0 (y0 ) 6= 0 oraz f (z) = P 0 (z)/Q0 (z) dla wszystkich
z ∈ Pn z warunkiem Q0 (z) 6= 0. Możemy założyć jeszcze, że wielomiany P 0 i Q0 są względnie pierwsze.
Mamy teraz dwa otwarte zbiory U = Pn r Vp (Q) oraz U 0 = Pn r Vp (Q0 ). Są to zbiory niepuste,
bo x0 ∈ U , y0 ∈ U 0 . Przestrzeń Pn (k) jest nieprzywiedlna, więc przekrój U ∩ U 0 jest niepustym
(otwartym) podzbiorem w Pn . Dla wszystkich punktów u należących do U ∩ U 0 zachodzą równości
f (u) = P (u)/Q(u) i f (u) = P 0 (u)/Q0 (u). Stąd P (u)/Q(u) = P 0 (u)/Q0 (u) dla u ∈ U ∩ U 0 . Spełnione
są więc wszystkie założenia Lematu 3.2.9. Zatem P = bP 0 , Q = bQ0 , dla pewnego b ∈ k r {0}.
Otrzymaliśmy sprzeczność: 0 = Q(y0 ) = bQ0 (y0 ) 6= 0. Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003
31
3.3
Definicje odwzorowania regularnego
W tym podrozdziale zajmować się będziemy zwykłymi funkcjami f : X −→ Y , gdzie X i
Y są podzbiorami odpowiednio w przestrzeniach rzutowych Pn i Pm . Pewne takie funkcje
nazywać będziemy odwzorowaniami regularnymi. Zdefiniujemy je najpierw w przypadku, gdy
Y jest rozmaitością postaci Am
j , dla pewnego j = 0, . . . , m. Wykorzystamy w tym celu znane
m , ν : k m −→ Am .
nam funkcje µj : Am
−→
k
j
j
j
Definicja 3.3.1. Niech X ⊆ Pn (k) będzie dowolnym podzbiorem. Mówimy, że zwykła funkm
cja f : X −→ Am
j jest odwzorowaniem regularnym z X do Aj jeśli istnieją funkcje regularne
f1 , . . . , fm : X −→ k takie, że
µj f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)),
dla wszystkich x ∈ X.
Teraz zdefiniujemy odwzorowania regularne w przypadku, gdy Y jest dowolnym podzbiorem przestrzeni Pm (k).
Definicja 3.3.2. Niech X ⊆ Pn , Y ⊆ Pm będą podzbiorami. Mówimy, że zwykła funkcja
f : X −→ Y jest odwzorowaniem regularnym z X do Y jeśli dla każdego punktu x ∈ X i
dla każdego j ∈ {0, . . . , m} takiego, że f (x) ∈ Am
j , istnieje podzbiór U ⊆ X, otwarty w X i
zawierający x taki, że
(a) f (U ) ⊆ Am
j oraz
m
(b) funkcja f |U : U −→ Am
j jest odwzorowaniem regularnym z U do Aj .
Poniższe stwierdzenie pozwala definiować odwzorowania regularne w inny sposób.
Stwierdzenie 3.3.3. Niech X ⊆ Pn , Y ⊆ Pm będą podzbiorami i niech f : X −→ Y będzie
zwykłą funkcją. Następujące warunki są równoważne.
(1) Funkcja f jest odwzorowaniem regularnym z X do Y .
(2) Dla każdego x ∈ X istnieje otwarty podzbiór U ⊆ X zawierający x i istnieją jednorodne
U ∈ k[S] = k[S , . . . , S ] takie, że:
wielomiany F0U , . . . , Fm
0
n
U są jednakowe,
(a) stopnie wszystkich wielomianów F0U , . . . , Fm
U (z)), dla wszystkich z ∈ U .
(b) f (z) = (F0U (z) : · · · : Fm
Dowód. (1) ⇒ (2). Załóżmy, że f : X −→ Y jest odwzorowaniem regularnym. Niech x ∈ X i
załóżmy (dla ustalenia uwagi), że f (x) ∈ Am
0 . Niech U0 ⊆ X będzie zbiorem otwartym w X zawieram
jącym x takim, jak w Definicji 3.3.2, tzn., f (U0 ) ⊆ Am
0 oraz f |U0 : U0 −→ A0 jest odwzorowaniem
m
regularnym z U0 do A0 . Z Definicji 3.3.1 wiemy, że wtedy f (z) = (f1 (z), . . . , fm (z)), dla z ∈ U0 ,
gdzie f1 , . . . , fm : U0 −→ k są pewnymi funkcjami regularnymi na U0 .
Wykorzystajmy teraz (dla punktu x) Stwierdzenie 3.2.2. Ze stwierdzenia tego wynika, że istnieją
jednorodne wielomiany P1 , Q1 , . . . , Pm , Qm ∈ k[S] takie, że dla wszystkich j = 1, . . . , m spełnione są
następujące trzy waruki:
(a0 ) deg Pj = deg Qj ,
(b0 ) Qj (x) 6= 0,
(c0 ) fj (z) = Pj (z)/Qj (z), dla z ∈ U0 takich, że Qj (z) 6= 0.
Rozpatrzmy wielomiany F0 , . . . , Fm ∈ k[S] zdefiniowane następująco:
F0
= Q1 · · · Qm ,
Fj
cj · · · Qm ,
= Pj Q1 · · · Q
j = 1, . . . , m.
Są to oczywiście wielomiany jednorodne tego samego stopnia oraz F0 (x) 6= 0. Niech
U = U0 ∩ (Pn r Vp (F0 )).
Wtedy U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym x oraz
fj (z) =
Pj (z)
Qj (z)
=
Fj (z)
F0 (z) ,
dla wszystkich j = 1, . . . , m i wszystkich z ∈ U . Jeśli więc z ∈ U , to f (z) = (F0 (z) : · · · : Fm (z)).
Istotnie,
f (z) = (f (z) ) = ν0 (f1 (z), . . . , fm (z))
=
Fm (z) 1 (z)
(F
F0 (z) , . . . , F0 (z) ) = (1 :
=
(F0 (z) : · · · : Fm (z)).
F1 (z)
F0 (z)
: ··· :
Fm (z)
F0 (z) )
U
Przyjmując teraz F0U = F0 , . . . , Fm
= Fm widzimy, że warunek (2) jest spełniony.
U
(2) ⇒ (1). Niech x ∈ X i niech U, F0U , . . . , Fm
będą takie, jak w (2). Niech j ∈ {0, . . . , m} będzie
U
U
U
m
(x)) ∈ Am
takie, że f (x) ∈ Aj . Ponieważ f (x) = (F0 (x) : · · · : Fm
j , więc Fj (x) 6= 0. Przyjmijmy (dla
U
U
ustalenia uwagi), że j = 0 i oznaczmy: F0 = F0 , . . . , Fm = Fm . Niech
U 0 = U ∩ (Pn r Vp (F0 )).
Wtedy U 0 jest zbiorem otwartym w X zawierającym x oraz f (U 0 ) ⊆ Am
0 . Wielomiany F0 , . . . , Fm
określają częściowe funkcje F1 /F0 , . . . , Fm /F0 z U do k, których dziedziny zawierają otwarty zbiór
U 0 . Obcięcia tych funkcji do zbioru U 0 dają nam zwykłe funkcje f1 , . . . , fm : U 0 −→ k, które są
oczywiście funkcjami regularnymi na U 0 . Zachodzą ponadto równości
f (z) = (f1 (z), . . . , fm (z)),
dla wszystkich z ∈ U 0 .
To implikuje (patrz Definicja 3.3.1), że f |U 0 : U 0 −→ Am
0 jest odwzorowaniem regularnym i stąd
wynika, że f : X −→ Y jest odwzorowaniem regularnym z X do Y . oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
3.4
Początkowe przykłady odwzorowań regularnych
Przy pomocy Stwierdzenia 3.3.3 można łatwo konstruować przykłady odwzorowań regularnych.
Przykład 3.4.1. Niech F0 , . . . , Fm ∈ k[S] = k[S0 , . . . , Sn ] będą jednorodnymi wielomianami
tego samego stopnia takimi, że (F0 (x) : . . . , Fm (x)) ∈ Y , dla wszystkich x ∈ X. Wtedy
funkcja f : X −→ Y określona wzorem f (x) = (F0 (x) : · · · : Fm (x)), dla x ∈ X, jest
odwzorowaniem regularnym z X do Y . W szczególności dla Y = Pm mamy:
Przykład 3.4.2. Niech F0 , . . . , Fm ∈ k[S] = k[S0 , . . . , Sn ] będą jednorodnymi wielomianami
tego samego stopnia takimi, że ∀x∈X ∃j∈{0,...,m} Fj (x) 6= 0. Wtedy funkcja f : X −→ Pm
określona wzorem f (x) = (F0 (x) : · · · : Fm (x)), dla x ∈ X, jest odwzorowaniem regularnym
z X do Pm . Różne ciągi (F0 , . . . , Fm ), (G0 , . . . , Gm ) jednorodnych wielomianów tego samego stopnia
mogą określać to samo odwzorowanie regularne. Poniższe stwierdzenie dotyczy tej sytuacji.
33
Stwierdzenie 3.4.3. Niech X ⊆ Pn (k) będzie podzbiorem. Niech (F0 , . . . , Fm ), (G0 , . . . , Gm )
będą ciągami jednorodnych wielomianów w k[S] takimi, że deg F0 = · · · = deg Fm , deg G0 =
· · · = deg Gm , oraz ∀x∈X ∃j∈{0,...,m} Fj (x) 6= 0 i ∀x∈X ∃j∈{0,...,m} Gj (x) 6= 0. Niech f, g :
X −→ Pm będą odwzorowaniami regularnymi określonymi wzorami
f (x) = (F0 (x) : · · · : Fm (x)),
g(x) = (G0 (x) : · · · : Gm (x)),
x ∈ X.
Wtedy następujące dwa warunki są równoważne.
(1) f = g,
(2) Fi (x)Gj (x) = Fj (x)Gi (x), dla wszystkich x ∈ X i wszystkich i, j ∈ {0, . . . , m}.
Dowód. (1) ⇒ (2) Niech x ∈ X. Wtedy (F0 (x) : · · · : Fm (x)) = (G0 (x) : · · · : Gm (x)). Istnieje
więc 0 6= a ∈ k takie, że Fs (x) = aGs (x) dla wszystkich s = 0, . . . , m. Jeśli więc i, j ∈ {0, 1, . . . , m},
to Fi (x)Gj (x) = aGi (x)Gj (x) = aGj (x)Gi (x) = Fj (x)Gi (x).
(2) ⇒ (1) Niech x ∈ X. Istnieją wówczas i0 , j0 ∈ {0, . . . , m} takie, że Fi0 (x) 6= 0 i Gj0 (x) 6= 0.
Wtedy 0 6= Fi0 (x)Gj0 (x) = Fj0 (x)Gi0 (x), czyli Fj0 (x) 6= 0. Mamy zatem f (x) = (F0 (x) : · · · :
Fm (x)) = (F0 (x)Gj0 (x) : F1 (x)Gj0 (x) : · · · : Fm (x)Gj0 (x)) = (G0 (x)Fj0 (x) : G1 (x)Fj0 (x) : · · · :
Gm (x)Fj0 (x)) = (G0 (x) : · · · : Gm (x)) = g(x). Odwzorowania (takie jak w Przykładach 3.4.1, 3.4.2) określone przy pomocy jednego
ciągu jednorodnych wielomianów tego samego stopnia, nie wyczerpują wszystkich przykładów
odwzorowań regularnych. Odwzorowania regularne z X do Y mogą być określone przy pomocy
kilku różnych ciągów jednorodnych wielomianów tego samego stopnia.
Przykład 3.4.4. Niech X = Vp (S12 + S22 − S02 ) ∩ A20 , gdzie char(k) 6= 2. Rozpatrzmy zwykłą
funkcję f : X −→ P1 określoną wzorem
f (x0 : x1 : x2 ) =

 (x1 − x0 : x2 ),

(−x2 : x1 + x0 ),
gdy
x1 6= x0 ,
gdy
x1 = x0
Łatwo sprawdzić, że f jest dobrze określoną funkcją. Do określenia tej funkcji użyliśmy dwóch
ciągów (F0 , F1 ), (G0 , G1 ) jednorodnych wielomianów tego samego stopnia należących do
k[S0 , S1 , S2 ]. Tutaj F0 = S1 − S0 , F1 = S2 , G0 = −S2 oraz G1 = S1 + S0 . Zauważmy, że ciągi
te nie spełniają warunku, o którym mowa w Przykładzie 3.4.2. Dla punktu (1 : 1 : 0) ∈ X
mamy (F0 (1, 1, 0), F1 (1, 1, 0)) = (0, 0). Natomiast dla punktu (1 : −1 : 0) zachodzi równość
(G0 (1, −1, 0), G1 (1, −1, 0)) = (0, 0).
Wykażemy, że funkcja ta jest odwzorowaniem regularnym z X do P1 (k). W tym celu niech
U1 = X ∩ P2 (k) r Vp (S0 − S1 ) ,
U2 = X ∩ P2 (k) r Vp (S0 + S1 ) .
Są to dwa zbiory otwarte w X oraz X = U1 ∪ U2 (ponieważ char(k) 6= 2). Zauważmy, że dla
x ∈ U1 ∩ U2 zachodzi równość: (x1 − x0 : x2 ) = (−x2 : x1 + x0 ). Istotnie, jeśli x = (x0 : x1 :
x2 ) ∈ U1 ∩ U2 , to x0 6= 0, x1 6= x0 , x1 6= −x0 oraz x22 = x20 − x21 = (x0 − x1 )(x0 + x1 ) (w
szczególności x2 6= 0) i wtedy (x1 − x0 : x2 ) = ((x1 − x0 )(x1 + x0 ) : x2 (x1 + x0 )) = (−x22 :
x2 (x1 + x0 )) = (−x2 : x1 + x0 ). Mamy zatem:
f (x) =

 (x1 − x0 : x2 ),

(−x2 : x1 + x0 ),
dla x ∈ U1 ,
dla x ∈ U2 .
Funkcja f jest więc odwzorowaniem regularnym z X do P1 (k). 34Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003
Ze Stwierdzenia 3.3.3 wynika:
Stwierdzenie 3.4.5. Jeśli X jest podzbiorem przestrzeni rzutowej Pn (k), to funkcja tożsamościowa 1X : X −→ X jest odwzorowaniem regularnym.
Dowód. Niech X ⊆ Pn . Niech U = X i niech F0 = S0 , . . . , Fn = Sn . Wtedy U jest zbiorem
otwartym w X oraz F0 , . . . , Fn są jednorodnymi wielomianami tego samego stopnia, należącymi do
k[S] = k[S0 , . . . , Sn ]. Teza wynika więc ze Stwierdzenia 3.3.3, gdyż dla każdego x ∈ U = X mamy
równość 1X (x) = (F0 (x) : · · · : Fn (x)). Nie jest w tej chwili łatwo udowodnić, że złożenie odwzorowań regularnych jest odwzorowaniem regularnym. Wykażemy to później (patrz Stwierdzenie 3.9.3).
3.5
Afiniczne odwzorowania regularne
Wiemy co to są odwzorowania regularne afinicznych zbiorów domkniętych. Nazwijmy
(chwilowo) takie odwzorowania afinicznymi odwzorowaniami regularnymi. Pokażemy, że jeśli
ciało k jest algebraicznie domknięte i zbiory X, Y są afinicznymi zbiorami domkniętymi,
to odwzorowania regularne z X do Y , w sensie Definicji 3.3.2, pokrywają się z afinicznymi
odwzorowaniami regularnymi z X do Y . W dowodzie tego faktu wykorzystamy funkcje µi , νi .
Będziemy je teraz oznaczać z dodatkowym górnym indeksem, tzn., µni = µi : Ani −→ k n ,
νin = νi : k n −→ Ani .
Stwierdzenie 3.5.1. Niech X ⊆ Ani , Y ⊆ Am
j będą afinicznymi zbiorami domkniętymi.
n
m
Załóżmy, że X = νi (Xa ), Y = νj (Ya ), gdzie Xa i Ya są zbiorami domkniętymi odpowiednio
w k n i k m . Niech f : X −→ Y będzie zwykłą funkcją. Jeśli ciało k jest algebraicznie
domknięte, to następujące warunki są równoważne.
(1) Funkcja f jest odwzorowaniem regularnym z X do Y .
n
(2) Funkcja µm
j f νi : Xa −→ Ya jest afinicznym odwzorowaniem regularnym.
Dowód. (1) ⇒ (2). Ponieważ f (X) ⊆ Y ⊆ Am
j , więc f jest odwzorowaniem regularnym z X do
Am
.
Z
Definicji
3.3.1
wynika,
że
istnieją
funkcje
f
1 , . . . , fm : X −→ k, regularne na X takie, że
j
µm
j f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)),
dla wszystkich x ∈ X.
0
Mamy wtedy funkcje f10 , . . . , fm
: Xa −→ k określone wzorami:
fp0 (z) = fp (νin (z)),
z ∈ Xa ,
p = 1, . . . , m.
0
Z dowodu Stwierdzenia 3.2.6 wiemy, że f10 , . . . , fm
są afinicznymi funkcjami regularnymi na Xa . Mamy
m
n
0
0
ponadto równość µj f νi = (f1 , . . . , fm ). Istotnie, jeśli z ∈ Xa , to:
n
m
n
n
n
0
0
(µm
j f νi )(z) = µj f (νi (z)) = (f1 (νi (z)), . . . , fm (νi (z))) = (f1 (z), . . . , fm (z)).
n
Stąd wynika, że funkcja µm
j f νi : Xa −→ Ya jest afinicznym odwzorowaniem regularnym.
m
(2) ⇒ (1). Załóżmy, że µj f νin = (g1 , . . . , gm ), gdzie g1 , . . . , gm : Xa −→ k są afinicznymi funkcjami
regularnymi na Xa . Rozpatrzmy funkcje g1 , . . . , gm : X −→ k określone wzorami
gp (x) = gp (µni (x)),
x ∈ X,
p = 1, . . . , m.
Z dowodu Stwierdzenia 3.2.6 wiemy, że g1 , . . . , gm są funkcjami regularnymi na X. Zauważmy, że
µm
j f = (g1 , . . . , gm ). Istotnie, jeśli x ∈ X, to:
m
n
n
n
n
µm
j f (x) = (µj f νi )(µi (x)) = (g1 (µi (x)), . . . , gm (µi (x))) = (g1 (x), . . . , gm (x)).
35
Stąd wynika (na mocy Definicji 3.3.1), że funkcja f : X −→ Y jest odwzorowaniem regularnym. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
3.6
Izomorfizm rozmaitości quasi-rzutowych
Mówiąc o odwzorowaniach regularnych z X do Y zakładaliśmy tylko, że X i Y są podzbiorami odpowiednich przestrzeni rzutowych. Od tej pory rozważać będziemy odwzorowania
regularne rozmaitości quasi-rzutowych, tzn., zakładać będziemy dodatkowo, że X i Y są rozmaitościami quasi-rzutowymi. Definicję i podstawowe przykłady rozmaitości quasi-rzutowych
podaliśmy na stronie 13.
Definicja 3.6.1. Mówimy, że odwzorowanie regularne f : X −→ Y jest izomorfizmem jeśli
jest bijekcją i funkcja odwrotna f −1 : Y −→ X jest odwzorowaniem regularnym.
Mówimy, że rozmaitości quasi-rzutowe X i Y są izomorficzne jeśli istnieje odwzorowanie
regularne z X do Y będące izomorfizmem.
Definicja 3.6.2. Rozmaitość quasi-rzutową X nazywamy rozmaitością afiniczną jeśli X jest
izomorficzne z pewnym afinicznym zbiorem domkniętym (zawartym w pewnej przestrzeni k n ).
Rozmaitość quasi-rzutową X nazywamy rozmaitością rzutową jeśli X jest izomorficzne z
pewnym rzutowym zbiorem domkniętym (zawartym w pewnej przestrzeni Pn (k)).
Zbiór k 1 r {0} jest rozmaitością quasi-rzutową (gdyż jest to zbiór otwarty w k 1 ). Jeśli
ciało k jest nieskończone, to zbior ten nie jest domknięty w afinicznej przestrzeni k 1 . Poniższy
przykład pokazuje, że zbiór ten jest jednak rozmaitością afiniczną.
Przykład 3.6.3. Niech X = A20 ∩ Vp (S1 S2 − S02 ),
Y
= A10 ∩ (P1 r Vp (S1 ))
= ν0 (k 1 r {0}).
Rozpatrzmy funkcje f : X −→ Y , g : Y −→ X określone wzorami:
f (x0 : x1 : x2 ) = (x0 : x1 )
g(y0 : y1 ) = (y0 y1 : y12 : y02 ),
dla wszystkich x = (x0 : x1 : x2 ) ∈ X, y = (y0 : y1 ) ∈ Y . Zauważmy, że definicje są poprawne.
Ze Stwierdzenia 3.3.3 wynika, że funkcje te są odwzorowaniami regularnymi. Złożenia tych
funkcji są tożsamościami. Istotnie, dla (y0 : y1 ) ∈ Y mamy:
f g(y0 : y1 ) = f (y0 y1 : y12 : y02 ) = (y0 y1 : y12 ) = (y0 : y1 ).
Jeśli (x0 : x1 : x2 ) ∈ X, to x20 = x1 x2 i mamy:
gf (x0 : x1 : x2 ) = g(x0 : x1 ) = (x0 x1 : x21 : x20 ) = (x0 x1 : x21 : x1 x2 ) = (x0 : x1 : x2 ).
Rozmaitości X i Y są więc izomorficzne. Rozmaitości afiniczne zawarte w An0 nie muszą być (jak pokazuje powyższy przykład)
zbiorami domkniętymi w An0 . Podobna sytuacja nie ma miejsca dla rozmaitości rzutowych.
Rozmaitość rzutowa zawarta w Pn jest zbiorem domkniętym w Pn . Udowodnimy to później.
Istnieją rozmaitości quasi-rzutowe, które nie są ani rozmaitościami afinicznymi, ani rozmaitościami rzutowymi. Takimi rozmaitościami są np. A20 r {x} i P2 r {x}, gdzie x jest
punktem ([Szaf88]86 Zadania 4 i 5).
3.7
Otoczenia afiniczne
Następujące stwierdzenie jest uogólnieniem Przykładu 3.6.3.
Stwierdzenie 3.7.1. Niech Y ⊆ k n będzie afinicznym zbiorem domkniętym i niech F będzie
wielomianem należącym do k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ]. Rozpatrzmy otwarty podzbiór D zbioru Y
zdefiniowany jako
D := Y r Va (F ) = {y ∈ Y ; F (y) 6= 0}.
Zbiór D jest rozmaitością afiniczną.
Dowód. Oznaczmy U := D . Istnieją wielomiany G1 , . . . , Gr ∈ k[T ] takie, że
Y = Va (G1 , . . . , Gr ).
Spójrzmy na te wielomiany jako na elementy pierścienia k[T1 , . . . , Tn , Tn+1 ] i rozpatrzmy jeszcze jeden
wielomian H ∈ k[T1 , . . . , Tn+1 ] zdefiniowany wzorem
H(T1 , . . . , Tn , Tn+1 ) = F (T1 , . . . , Tn )Tn+1 − 1.
Wielomiany G1 , . . . , Gr , H określają w przestrzeni k n+1 afiniczny zbiór domknięty
W = Va (G1 , . . . , Gr , H).
n+1
więc E ⊆ An+1
⊂ Pn+1 jest zbiorem
Niech E = W . Wtedy E = Vp (G
1 , . . . , G r , H ) ∩ A0
0
n+1
domkniętym w A0 . Pokażemy, że rozmaitości U i E są izomorficzne. W tym celu skonstruujemy
dwie, wzajemnie odwrotne, funkcje f : E −→ U i g : U −→ E, które będą odwzorowaniami
regularnymi. Funkcję f określamy wzorem:
f (e0 : · · · : en : en+1 ) = (e0 : · · · : en ).
Łatwo sprawdzić, że f jest dobrze określonym odwzorowaniem regularnym z E do U .
W definicji funkcji g wykorzystamy jednorodny wielomian F ∈ k[S0 , . . . , Sn ]. Przypomnijmy, że
F (S0 , . . . , Sn ) = S0p F ( SS01 , . . . , SSn0 ), gdzie p = deg F.
Przy pomocy tego wielomianu definiujemy następujące wielomiany P0 , . . . , Pn+1 należące do pierścienia k[S0 , . . . , Sn ].

P0 (S0 , . . . , Sn )
= S0 F (S0 , . . . , Sn ),





 P1 (S0 , . . . , Sn )
= S1 F (S0 , . . . , Sn ),



..
.




Pn (S0 , . . . , Sn )
= Sn F (S0 , . . . , Sn ),





Pn+1 (S0 , . . . , Sn ) = S0p+1 .
Wielomiany P0 , . . . , Pn+1 mają jednakowy stopień równy p + 1. Jeśli u ∈ U , to przyjmujemy:
g(u) = (P0 (u) : · · · : Pn+1 (u)).
Z łatwością sprawdzamy, że g jest dobrze określonym odwzorowaniem regularnym z U do E oraz, że
złożenia f g, gf są tożsamościami. Zatem zbiór U = D jest rozmaitością afiniczną. Stwierdzenie 3.7.2 ([Szaf88] 65). Jeśli X ⊆ Pn jest rozmaitością quasi-rzutową, to dla
każdego punktu x ∈ X istnieje zbiór otwarty w X zawierający x, będący rozmaitością afiniczną.
37
Dowód. Niech x ∈ X. Istnieje i ∈ {0, . . . , n} takie, że x ∈ Ani . Dla ustalenia uwagi załóżmy, że
i = 0. Zatem x ∈ X ∩ An0 .
Ponieważ X jest rozmaitością quasi-rzutową więc X = M1 r M2 , gdzie M1 , M2 są domkniętymi
podzbiorami rzutowymi w Pn (Stwierdzenie 1.10.2). Ale M1 r M2 = M1 r (M1 ∩ M2 ). Możemy więc
założyć, że M1 ⊇ M2 . Stąd mamy dalej:
X ∩ An0 = Z1 r Z2 ,
Z1 ⊇ Z2 ,
gdzie Z1 = M1 ∩ An0 , Z2 = M2 ∩ An0 . Zbiory Z1 , Z2 są oczywiście domknięte w An0 . Oznaczmy:
Y1 = Z1 ,
Y2 = Z2 .
Ze Stwierdzenia 1.8.4 wiemy, że Y1 , Y2 są afinicznymi podzbiorami domkniętymi afinicznej przestrzeni
k n . Oczywiście Y1 ⊇ Y2 oraz x ∈ Y1 r Y2 . Stąd wynika, że istnieje wielomian F ∈ k[T1 , . . . , Tn ] taki,
że
F (x ) 6= 0 oraz F (y) = 0, dla wszystkich y ∈ Y2 .
Rozważmy domknięty podzbiór R przestrzeni k n zdefiniowany następująco:
R = Y1 ∩ Va (F ) = {y ∈ Y1 ; F (y) = 0}.
Podzbiór ten zawarty jest w Y1 i zawiera Y2 . Niech
D = Y1 r R oraz U = D .
Wystarczy teraz udowodnić, że zbiór U spełnia następujące trzy własności:
(a) x ∈ U ⊆ X;
(b) U jest otwarte w X;
(c) U jest rozmaitością afiniczną.
Dowód własności (a). Punkt x należy do Y1 oraz F (x ) 6= 0. Zatem x ∈ Y1 r R = D, czyli
x = (x ) ∈ D = U . Ponieważ Y2 ⊆ R, więc D = Y1 r R ⊆ Y1 r Y2 . Zatem
U = D ⊆ (Y1 r Y2 ) = Z1 r Z2 = X ∩ An0 ⊆ X.
Dowód własności (b). Z definicji zbioru D wynika, że zbiór ten jest otwarty w Y1 . Istnieje więc zbiór
D0 ⊂ k n , otwarty w k n taki, że D = D0 ∩ Y1 . Wtedy (Stwierdzenie 1.8.4) zbiór (D0 ) jest otwarty w
An0 . Jest ponadto oczywiste, że U ⊂ An0 oraz X ∩ An0 ⊆ Z1 . Zatem:
U
= U ∩ X ∩ An0
=
(D0 ∩ Y1 ) ∩ X ∩ An0
=
(D0 ) ∩ Z1 ∩ X ∩ An0
=
((D0 ) ∩ An0 ) ∩ X.
Stąd wynika, że U jest otwarte w X.
Dowód własności (c). Wynika to ze Stwierdzenia 3.7.1. To kończy dowód naszego stwierdzenia. Definicja 3.7.3. Niech X będzie rozmaitością afiniczną i niech f ∈ k[X]. Wtedy zbiór
D(f ) = X r VX (f ) = {x ∈ X; f (x) 6= 0}
nazywamy głównym zbiorem otwartym w X.
Ze Stwierdzenia 3.7.1 wynika, że każdy główny zbiór otwarty D(f ) jest rozmaitością afiniczną. Łatwo wykazać, że k-algebra k[D(f )], funkcji regularnych na D(f ), jest izomorficzna
z k-algebrą k[X][1/f ].
Przekrój afinicznych otwartych podzbiorów jest zbiorem afinicznym ([Szaf88]86 Zad.9).
Jeśli f : X −→ Y jest odwzorowaniem regularnym rozmaitości afinicznych to przeciwobraz
głównego otwartego zbioru jest głównym zbiorem otwartym ([Szaf88]86 Zad.11).
3.8
Własności lokalne
Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech {Uα } będzie taką rodziną jej zbiorów
S
otwartych, że X = α Uα . Załóżmy, że każdy zbiór otwarty Uα spełnia pewną ustaloną
własność W . Jeśli z tego założenia wynika, że ta własność W zachodzi również dla całej
przestrzeni X, to mówić będziemy, że rozpatrywana własność W jest lokalna. Podamy kilka
przykładów takich własności.
Jeśli X i Y są przestrzeniami topologicznymi i f : X −→ Y jest funkcją ciągłą, to dla
każdego zbioru U , otwartego w X, funkcja f |U : U −→ Y też jest ciągła. Wynika to z
równości (f |U )−1 (D) = f −1 (D) ∩ U .
Stwierdzenie 3.8.1. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech f : X −→ Y
będzie zwykłą funkcją. Własność ”f jest funkcją ciągłą” jest lokalna.
S
Innymi słowy, niech X = α Uα , gdzie każde Uα jest zbiorem otwartym w X. Jeśli każda
funkcja f |Uα : Uα −→ Y jest ciągła, to f : X −→ Y jest funkcją ciągłą.
Dowód. Wynika to z równości f −1 (D) =
S
−1
(D).
α (f |Uα )
Jeśli U ⊆ X jest zbiorem otwartym w przestrzeni topologicznej X oraz F ⊆ X jest zbiorem
domkniętym w X, to zbiór F ∩U jest oczywiście domknięty w U . Następne stwierdzenie mówi,
że własność ”F jest zbiorem domkniętym w X” jest lokalna.
S
Stwierdzenie 3.8.2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech X = α Uα , gdzie
każde Uα jest zbiorem otwartym w X. Niech F ⊆ X będzie podzbiorem. Jeśli każdy zbiór
Uα ∩ F jest domknięty w Uα , to F jest zbiorem domkniętym w X.
Dowód. Każdy zbiór Uα jest postaci Uα = X r Zα , gdzie Zα jest zbiorem domkniętym w
X. Ponieważ F ∩ Uα jest domknięte w Uα , więc F ∩ Uα = Tα ∩ Uα , dla pewnego zbioru Tα ⊆ X,
domkniętego w X. Łatwo sprawdzić, że zachodzi równość
\
F = (Zα ∪ Tα ).
α
Z tej równości wynika, że F jest domknięte w X. Następne stwierdzenie mówi, że własność ”F jest zbiorem otwartym w X” też jest lokalna.
S
Stwierdzenie 3.8.3. Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech X = α Uα , gdzie
każde Uα jest zbiorem otwartym w X. Niech F ⊆ X będzie podzbiorem. Jeśli każdy zbiór
Uα ∩ F jest otwarty w Uα , to F jest zbiorem otwartym w X.
S
Dowód. F = F ∩ X = F ∩ (
α
Uα ) =
S
α (F
∩ Uα ). Powyższe przykłady dotyczyły dowolnych przestrzeni topologicznych. Teraz ograniczymy
się do rozmaitości quasi-rzutowych.
39
Niech X ⊆ Pn będzie rozmaitością quasi-rzutową i niech X = α Uα , gdzie każde Uα jest
zbiorem otwartym w X.
Niech f : X −→ k będzie zwykłą funkcją. Jeśli f jest funkcją regularną, to każda funkcja
f |Uα : Uα −→ k jest regularna. Wynika to z Definicji 3.2.1. Z definicji tej wynika również, że
zachodzi też odwrotnie. Własność ”f jest funkcją regularną” jest lokalna. Innymi słowy:
S
Stwierdzenie 3.8.4. Jeśli każda funkcja f |Uα : Uα −→ k jest regularna, to funkcja f :
X −→ k jest regularna. Niech Y ⊆ Pm będzie drugą rozmaitością quasi-rzutową. Niech f : X −→ Y będzie zwykłą
funkcją. Jeśli f jest odwzorowaniem regularnym z X do Y , to każda funkcja f |Uα : Uα →
Y jest odwzorowaniem regularnym. Wynika to ze Stwierdzenia 3.3.3. Z tego stwierdzenia
wynika również, że zachodzi też odwrotnie. Własność ”f jest odwzorowaniem regularnym”
jest lokalna. Innymi słowy:
Stwierdzenie 3.8.5. Jeśli każda funkcja f |Uα : Uα −→ Y jest odwzorowaniem regularnym,
to funkcja f : X −→ Y jest odwzorowaniem regularnym. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
3.9
Dalsze własności odwzorowań regularnych
Niech X ⊆ Pn , Y ⊆ Pm będą rozmaitościami quasi-rzutowymi.
Stwierdzenie 3.9.1. Jeśli f : X −→ Y jest odwozorowaniem regularnym i ϕ : Y −→ k jest
funkcją regularną, to złożenie ϕf : X −→ k jest funkcją regularną.
Dowód. Niech x ∈ X. Ze Stwierdzenia 3.3.3 wiemy, że istnieje podzbiór U ⊆ X, otwarty w X i
zawierający x, i istnieją jednorodne wielomiany F0 , . . . , Fm ∈ k[S0 , . . . , Sn ], tego samego stopnia takie,
że
f (u) = (F0 (u) : · · · : Fm (u)), dla wszystkich u ∈ U.
Ponieważ ϕ : Y −→ k jest funkcją regularną, więc (na mocy Stwierdzenia 3.2.2) istnieją jednorodne
wielomiany P, Q ∈ k[Z0 , . . . , Zm ], tego samego stopnia takie, że Q(f (x)) 6= 0 oraz ϕ(y) = P (y)/Q(y),
dla wszystkich y ∈ Y spełniających warunek Q(y) 6= 0. Rozważmy dwa wielomiany A i B należące do
k[S0 , . . . , Sn ] zdefiniowane następująco:
A(S0 , . . . , Sn )
= P (F0 (S0 , . . . , Sn ), . . . , Fm (S0 , . . . , Sn )),
B(S0 , . . . , Sn )
= Q(F0 (S0 , . . . , Sn ), . . . , Fm (S0 , . . . , Sn )).
Jest jasne, że są to jednorodne wielomiany tego samego stopnia. Ponadto, B(x) 6= 0 oraz (ϕf )(u) =
A(u)/B(u), dla wszystkich u ∈ U takich, że B(u) 6= 0. To oznacza, na mocy Stwierdzenia 3.2.2, że
funkcja ϕf |U : U −→ k jest regularna.
Wykazaliśmy zatem, że dla każdego x ∈ X istnieje zbiór otwarty U w X zawierający x taki, że
ϕf |U : U −→ k jest funkcją regularną. Ponieważ własność ”f jest funkcją regularną” jest lokalna
(Stwierdzenie 3.8.4) więc stąd wynika, że ϕf : X −→ k jest funkcją regularną. Każdej funkcji regularnej ϕ ∈ Reg(Y, k) możemy więc przyporządkować funkcję regularną
f ∗ (ϕ) = ϕf ∈ Reg(X, k).
Z każdym zatem odwzorowaniem regularnym f : X −→ Y związany jest k-algebrowy homomorfizm f ∗ : Reg(Y, k) −→ Reg(X, k).
40
3. Odwzorowania regularne
Stwierdzenie 3.9.2. Każde odwzorowanie regularne jest ciągłe.
Dowód. Niech f : X −→ Y będzie odwzorowaniem regularnym rozmaitości quasi-rzutowych
X ⊆ Pn i Y ⊆ Pm . Niech Z będzie zbiorem domkniętym w Y . Pokażemy, że zbiór f −1 (Z) jest
m
domknięty w X. Niech x ∈ X. Niech f (x) ∈ Am
i i niech V = Y ∩ Ai . Wtedy V jest otwartym zbiorem
w Y . Z definicji odwzorowania regularnego (Definicja 3.3.2) wiemy, że istnieje otoczenie otwarte U ⊆ X
punktu x takie, że funkcja f |U : U −→ V ⊆ Am
i jest odwzorowaniem regularnym.
Istnieje otoczenie U 0 ⊆ U punktu x, będące rozmaitością afiniczną (Stwierdzenie 3.7.2). Zbiór U 0
możemy więc utożsamić z pewnym domkniętym podzbiorem w pewnej przestrzeni afinicznej Arj ⊆ Pr .
Funkcja f |U 0 = (f |U )|U 0 : U 0 −→ V ⊆ Am
i jest oczywiście odwzorowanie regularnym. Jest to więc
zwykłe afiniczne odwzorowanie regularne (Stwierdzenie 3.5.1). Wiemy, że afiniczne odwzorowania
regularne są ciągłe. Zbiór f −1 (Z)∩U 0 = (f |U 0 )−1 (Z ∩V ) jest więc domknięty w U 0 . Teraz domkniętość
zbioru f −1 (Z) wynika z faktu (Stwierdzenie 3.8.2), że ”domkniętość zbioru” jest własnością lokalną.
Stwierdzenie 3.9.3. Jeśli f : X −→ Y , g : Y −→ Z są odwzorowaniami regularnymi
rozmaitości quasi-rzutowych, to złożenie gf : X −→ Z też jest odwzorowaniem regularnym.
Dowód. Niech X ⊆ Pn , Y ⊆ Pm , Z ⊆ Pr . Niech x ∈ X. Ze Stwierdzenia 3.3.3 wiemy, że istnieje
podzbiór otwarty U ⊆ X, zawierający x i istnieją jednorodne wielomiany F0 , . . . , Fm ∈ k[S0 , . . . , Sn ],
tego samego stopnia takie, że f |U = (F0 : · · · : Fm ).
Podobnie dla punktu f (x) ∈ Y i odwzorowania g. Istnieje zbiór otwarty V zawierający f (x) i
0
], tego samego stopnia takie, że g|V = (G0 :
istnieją jednorodne wielomiany G0 , . . . , Gr ∈ k[S00 , . . . , Sm
· · · : Gr ).
Ponieważ f |U : U −→ Y jest odwzorowaniem regularnym, więc (na mocy ciągłości wykazanej w
Stwierdzeniu 3.9.2) zbiór W = f −1 (V ) ∩ U = (f |U )−1 (V ) jest otwartym zbiorem w X zawierającym
punkt x. Wtedy
gf |W = (G0 (F0 , . . . , Fm ) : · · · : Gr (F0 , . . . , Fm ))
i oczywiście wielomiany G0 (F0 , . . . , Fm ), . . . , Gr (F0 , . . . , Fm ) są jednorodne i tego samego stopnia.
Dla każdego więc punktu x ∈ X istnieje otwarty podzbiór W zawierający x taki, że funkcja
gf |W : W −→ Z jest odwzorowaniem regularnym. Teraz regularność odwzorowania gf : X −→ Z
wynika ze Stwierdzenia 3.8.5. Ze Stwierdzeń 3.9.1 i 3.9.3 wynikają natychmiast następujące wnioski.
Wniosek 3.9.4.
(1) Jeżeli f : X −→ Y , g : Y −→ Z są odwzorowaniami regularnymi, to (gf )∗ = f ∗ g ∗ .
(2) (1X )∗ = 1k[X] . Wniosek 3.9.5. Jeżeli rozmaitości quasi-rzutowe X i Y są izomorficzne, to izomorficzne są
k-algebry Reg(X, k) i Reg(Y, k). Z wniosku 3.9.4 wynika, że ∗ jest funktorem kontrawariantnym z kategorii rozmaitości
quasi-rzutowych nad ciałem k do kategorii przemiennych k-algebr.
4
Odwzorowania wymierne
4.1
Funkcje wymierne rozmaitości quasi-rzutowej
Rozpoczynamy od następującego prostego stwierdzenia.
Stwierdzenie 4.1.1. Jeśli X ⊆ Pn jest nieprzywiedlną rozmaitością quasi-rzutową, to Ip (X)
jest ideałem pierwszym.
Dowód. Ip (X) = Ip (X) (Stwierdzenie 1.4.4). Domknięcie X jest oczywiście rzutowym nieprzywiedlnym zbiorem domkniętym. Ideał Ip (X) jest więc pierwszy (Stwierdzenie 1.9.3). Niech X będzie nieprzywiedlną rozmaitością quasi-rzutową zawartą w Pn . Niech k[S] =
k[S0 , . . . , Sn ], k(S) = k(S0 , . . . , Sn ) = k[S](0) . Oznaczmy:
P
OX = { Q
∈ k(S); P, Q ∈ Formk [S], deg P = deg Q, Q 6∈ Ip (X)}.
Zbiór OX jest pierścieniem lokalnym o ideale maksymalnym:
P
MX = { Q
∈ OX ; P ∈ Ip (X)}.
Definicja 4.1.2. Ciało OX /MX oznaczamy przez k(X) i nazywamy ciałem funkcji wymiernych na rozmaitości X.
P
+ MX , gdzie P i Q są jednorodnymi
Każdy element należący do k(X) jest postaci Q
wielomianami tego samego stopnia należącymi do k[S] przy czym Q 6∈ Ip (X).
Stwierdzenie 4.1.3.
(1) k(X) = k(X).
(2) Jeśli U jest niepustym zbiorem otwartym w X, to k(U ) = k(X).
Dowód. Wynika to z równości Ip (U ) = Ip (X) = Ip (X). Ze stwierdzenia tego wynika, że ciało k(X) wystarczy badać tylko w przypadku, gdy X
jest domkniętym zbiorem rzutowym lub domkniętym zbiorem afinicznym
Stwierdzenie 4.1.4. Jeśli X ⊆ An0 jest afinicznym nieprzywiedlnym zbiorem domkniętym,
to ciało k(X) jest k-izomorficzne z ciałem k(X ) funkcji wymiernych na rozmaitości afinicznej.
Dowód. Niech p = Ia (X ) i niech A = pk[T ]p . Wiemy, że k(X ) = k[T ]p /A. Każdy element z
k(X ) jest więc postaci F/G + A, gdzie F, G ∈ k[T ], G 6∈ p. Łatwo sprawdzić, że odwzorowanie
P
α P
+ MX 7−→
+A
Q
Q
jest dobrze określonym k-homomorfizmem z ciała k(X) do k(X ). Jest to oczywiście odwzorowanie
różnowartościowe (bo każdy homomorfizm ciał jest różnowartościowy). Pokażemy, że α jest surjekcją.
41
42
4. Odwzorowania wymierne
Niech u = F/G + A ∈ k(X ), gdzie F, G ∈ k[T ], G 6∈ p. Jeśli deg F = deg G, to u = α(F /G + MX ).
Jeśli deg F = deg G + p, gdzie p jest liczbą naturalną, to wielomiany F 0 = F , G0 = S0p G , są
jednorodne, mają ten sam stopień i G0 6∈ Ip (X). Wtedy u = α(F 0 /G0 + MX ). Podobnie postępujemy
w przypadku, gdy deg F < deg G. W szczególności mamy: k(Pn ) = k(An0 ) = k(k n ) = k(T1 , . . . , Tn ).
4.2
Odwzorowania wymierne z X do Pm
Niech X ⊆ Pn będzie nieprzywiedlną rozmaitością quasi-rzutową i niech m będzie liczbą
naturalną. Wprowadzamy następujące dwa nowe (własne) pojęcia.
Definicja 4.2.1. Wymiernym (X, m)-ciągiem nazywamy każdy ciąg (F0 , F1 , . . . , Fm ) jednorodnych wielomianów z k[S] = k[S0 , . . . , Sn ] tego samego stopnia, z których co najmniej
jeden nie należy do ideału Ip (X).
Definicja 4.2.2. Mówimy, że dwa wymierne (X, m)-ciągi, F = (F0 , . . . , Fm ) i G = (G0 , . . . ,
Gm ), są równoważne jeśli każdy wielomian postaci Fi Gj − Fj Gi , dla i, j ∈ {0, . . . , m}, należy
do ideału Ip (X). Piszemy wtedy F ∼ G.
Lemat 4.2.3. Równoważność wymiernych (X, m)-ciągów jest relacją typu równoważności w
zbiorze wszystkich wymiernych (X, m)-ciągów.
Dowód. Sprawdźmy przechodniość. Niech F = (F0 , . . . , Fm ), G = (G0 , . . . , Gm ) i H = (H0 , . . . , Hm )
będą wymiernymi (X, m)-ciągami takimi, że F ∼ G i G ∼ H. Niech i, j, p ∈ {0, . . . , m}. Załóżmy, że
Gp 6∈ Ip (X). Mamy wtedy:
Fi Hj Gp ≡ Fp Hj Gi ≡ Fp Hi Gj ≡ Fj Hi Gp (mod Ip (X)),
czyli (Fi Hj −Fj Hi )Gp ∈ Ip (X). Ale Gp 6∈ Ip (X) i Ip (X) jest ideałem pierwszym. Zatem Fi Hj −Fj Hi ∈
Ip (X), czyli F ∼ H. Definicja 4.2.4. Klasę abstrakcji wymiernego (X, m)-ciągu F = (F0 , . . . , Fm ) względem
relacji ∼ oznaczamy przez [F ] i nazywamy odwzorowaniem wymiernym z X do Pm .
Jeśli F = (F0 , . . . , Fm ) jest wymiernym (X, m)-ciągiem, to przez Vp (F ) oznaczmy domknięty zbiór rzutowy w Pn określony przez wielomiany F0 , . . . , Fm tzn.,
Vp (F ) = Vp (F0 , . . . , Fm ).
Definicja 4.2.5. Dziedziną odwzorowania wymiernego [F ] z X do Pm nazywamy zbiór D[F ]
zdefiniowany następująco:
D[F ] =
[
G∈[F ]
X ∩ (Pn r Vp (G)) = X ∩ (Pn r
\
Vp (G)).
G∈[F ]
Zauważmy, że powyższa definicja dziedziny jest poprawna; nie zależy od wyboru wymiernego (X, m)-ciągu F . Jeśli F ∼ G, to [F ] = [G] oraz D[F ] = D[G] .
Stwierdzenie 4.2.6. Dziedzina D[F ] jest niepustym i otwartym podzbiorem w X.
43
Dowód. Z definicji wymiernego (X, m)-ciągu F = (F0 , . . . , Fm ) wiemy, że co najmniej jeden z
wielomianów F0 , . . . , Fm , powiedzmy F0 , nie należy do ideału Ip (X). Oznacza to, że istnieje x ∈ X
takie, że x 6∈ Vp (F0 ) ⊇ Vp (F0 , . . . , Fm ) = Vp (F ), czyli x 6∈ Vp (F ). Zbiór X ∩ (Pn r Vp (F )) nie jest
więc pusty. Zatem D[F ] 6= ∅. Otwartość zbioru D[F ] wynika z Definicji 4.2.5. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
4.3
Odwzorowania wymierne jako funkcje częściowe
Niech, tak jak w poprzednim podrozdziale, X ⊆ Pn będzie nieprzywiedlną rozmaitością
quasi-rzutową i niech m będzie liczbą naturalną.
Lemat 4.3.1. Niech G, H będą (X, m)-ciągami i niech x ∈ X. Jeżeli G ∼ H oraz ciągi
(G0 (x), . . . , Gm (x)), (H0 (x), . . . , Hm (x)) nie są zerowe, to
(G0 (x) : · · · : Gm (x)) = (H0 (x) : · · · : Hm (x)).
Dowód. Załóżmy, że Gp (x) 6= 0, Hq (x) 6= 0. Wtedy Gq (x)Hp (x) = Gp (x)Hq (x) 6= 0 więc
Gq (x) 6= 0 i mamy:
(G0 (x) : · · · : Gm (x))
= (Hq (x)G0 (x) : · · · : Hq (x)Gm (x))
= (H0 (x)Gq (x) : · · · : Hm (x)Gq (x))
= (H0 (x) : · · · : Hm (x)). Niech [F ] będzie odwzorowaniem wymiernym z X do Pm i niech x ∈ D[F ] . Z definicji zbioru
D[F ] wynika, że istnieje (X, m)-ciąg G ∈ [F ] taki, że x 6∈ Vp (G). Ciąg (G0 (x), . . . , Gm (x))
nie jest wtedy ciągiem zerowym. Istnieje zatem punkt (G0 (x) : · · · : Gm (x)) należący do Pm .
Punkt ten (na mocy powyższego lematu) nie zależy od wyboru ciągu G należącego do [F ].
Definiujemy zatem element [F ](x) ∈ Pm , zwany wartością odwzorowania wymiernego [F ] w
punkcie x ∈ D[F ] , przyjmując
[F ](x) = (G0 (x) : · · · : Gm (x)),
gdzie G jest takie, jak powyżej.
W ten sposób każde odwzorowanie wymierne [F ] z X do Pm staje się funkcją częściową
m
[F ] : X −→
◦ P , której dziedziną jest zbiór D[F ] .
Stwierdzenie 4.3.2. Niech F, G będą (X, m)-ciągami. Jeśli istnieje niepusty zbiór otwarty
U ⊆ X taki, że U ⊆ D[F ] ∩ D[G] oraz [F ] | U = [G] | U , to [F ] = [G].
Dowód. Ponieważ U 6= ∅ więc istnieje u ∈ U . Wtedy u ∈ D[F ] oraz u ∈ D[G] . Istnieją zatem
jednorodne wielomiany F 0 ∈ [F ], G0 ∈ [G] takie, że u 6∈ Vp (F 0 ), u 6∈ Vp (G0 ). Niech U1 = X ∩
(Pn r Vp (F 0 )), U2 = X ∩ (Pn r Vp (G0 )). Zbiory U1 , U2 są otwarte w X i zawierają punkt u. Zatem
U0 = U ∩ U1 ∩ U2 jest niepustym i otwartym podzbiorem w X zawartym w U . Dla wszystkich y ∈ U0
0
ciągi (F00 (y), . . . , Fm
(y)), (G00 (y), . . . , G0m (y) są oczywiście niezerowe i
0
(G00 (y) : · · · : G0m (y)) = (F00 (y) : · · · : Fm
(y)),
ponieważ [F ] | U0 = [G] | U0 . Dla każdego więc y ∈ U0 istnieje ay ∈ k r {0} takie, że
Fi0 (y) = ay G0i (y),
dla i = 0, . . . , m.
Wtedy, dla wszystkich i, j ∈ {0, . . . , m} mamy:
Fi0 (y)G0j (y) − Fj0 (y)G0i (y) = ay G0i (y)G0j (y) − ay G0j (y)G0i (y) = 0,
44
czyli Fi0 G0j − Fj0 G0i ∈ Ip (U0 ) = Ip (X). To oznacza, że F 0 ∼ G0 . Zatem [F ] = [F 0 ] = [G0 ] = [G]. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
4.4
Związek z odwzorowaniami regularnymi
Definicja odwzorowania wymiernego jest podobna do definicji odzworowania regularnego (patrz Stwierdzenie 3.3.3). Spójrzmy jeszcze raz na Przykład 3.4.4 i przedstawmy go w
następujący, nieco inny, sposób.
Przykład 4.4.1. Niech X = Vp (S12 + S22 − S02 ) ∩ A20 , gdzie char(k) 6= 2 i niech m = 1.
Rozpatrzmy wielomiany
F0 = S 1 − S 0 , F 1 = S 2 .
Ze Stwierdzenia 1.5.12 oraz z rzutowego twierdzenia Hilberta o zerach wynika, że
Ip (X) = Ip (X) = Ip Vp ((S12 + S22 − S02 )) = (S12 + S22 − S02 ).
Widzimy więc, że F0 6∈ Ip (X) (tę samą własność ma wielomian F1 , ale to nie jest tutaj
istotne). Zatem F = (F0 , F1 ) jest (X, 1)-ciągiem. Mamy więc odwzorowanie wymierne [F ]
z X do P1 . Spójrzmy na to odwzorowanie jako na funkcję częściową z X do P1 . W tym
celu zbadajmy najpierw dziedzinę D[F ] . Niech x = (x0 : x1 : x2 ) ∈ X. Wtedy x0 6= 0 oraz
x21 + x22 = x20 . Jest oczywiste, że jesśli x0 6= x1 , to ciąg (F( x), F1 (x)) jest niezerowy. Każdy
więc punkt x ∈ X z warunkiem x0 6= x1 należy do zbioru D[F ] . Podobnie, gdy x2 6= 0. Takie
punkty też należą do D[F ] . Zostaje tylko jeden punkt należący do X, o którym jeszcze nie
wiemy, czy należy do D[F ] . Punktem tym jest a = (1 : 1 : 0). Niech G = (G0 , G1 ), gdzie
G0 = −S2 ,
G 1 = S1 + S 0 .
Ponieważ G0 6∈ Ip (X), więc G jest (X, 1)-ciągiem. Ponadto G ∼ F . Istotnie,
F0 G1 − F1 G0 = (S1 − S0 )(S1 + S0 ) + S22 = S12 + S22 − S02 ∈ Ip (X).
Zatem [F ] = [G]. Ciąg (G0 (a), G1 (a)) = (0, 2) jest niezerowy, więc punkt a również należy
do D[F ] .
Wykazaliśmy, że D[F ] = X. Odwzorowanie wymierne [F ] jest więc zwykłą funkcją (tzn.
nie częściową) z X do P1 . Jest to dokładnie ta sama funkcja, która badana była w Przykładzie
3.4.4. Zatem [F ] jest odwzorowaniem regularnym z X do P1 . Ze Stwierdzenia 3.3.3 oraz z definicji podanych w tym podrozdziale wynika:
m
Stwierdzenie 4.4.2. Niech [F ] : X −→
◦ P będzie odwzorowaniem wymiernym. Następujące warunki są równoważne.
(1) [F ] jest odwzorowaniem regularnym z X do Pm .
(2) D[F ] = X. W szczególności każde odwzorowanie regularne z X do Pm jest odwzorowaniem wymiernym. Poniższy przykład pokazuje, że stwierdzenie odwrotne na ogół nie zachodzi.
Przykład 4.4.3. Niech X = P2 i niech
F0 = S 1 S 2 ,
F 1 = S0 S 2 ,
F 2 = S 0 S1 .
45
Wtedy Ip (X) = Ip (P2 ) = 0, więc F = (F0 , F1 , F2 ) jest (P2 , 2)-ciągiem (tutaj nawet każdy wie2
lomian F0 , F1 , F2 nie należy do Ip (X)). Mamy zatem odwzorowanie wymierne [F ] : P2 −→
◦ P .
Pokażemy, że odwzorowanie to nie jest regularne.
Przypuśćmy, że jest. Wtedy D[F ] = P2 , a zatem w szczególności punkt a = (0 : 0 : 1)
należy do D[F ] . Istnieje więc (P2 , 2)-ciąg G = (G0 , G1 , G2 ) taki, że G ∼ F oraz
(G0 (a), G1 (a), G2 (a)) 6= (0, 0, 0).
Mamy wtedy równości:
G 0 S 0 S 2 = G 0 F1 = G 1 F0 = G 1 S 1 S 2
G 0 S 0 S 1 = G 0 F2 = G 2 F0 = G 2 S 1 S 2 ,
z których wynika, że S1 | G0 , S0 | G1 oraz S0 | G2 . To implikuje, że (G0 (a), G1 (a), G2 (a)) =
(0, 0, 0), co jest sprzecznością. Stwierdzenie 4.4.4. Niech U będzie niepustym i otwartym podzbiorem w X. Jeśli f : U −→
Pm jest odwzorowaniem regularnym, to istnieje dokładnie jedno odwzorowanie wymierne [F ]
z X do Pm takie, że U ⊆ D[F ] oraz f = [F ] | U .
Dowód. Niech x ∈ U . Wtedy (na mocy Stwierdzenia 3.3.3) istnieje zbiór otwarty Ux ⊂ U
zawierający x i istnieją jednorodne wielomiany F0 , . . . , Fm ∈ k[S] = k[S0 , . . . , n] tego samego stopnia
takie, że
f (y) = (F0 (y) : · · · : Fm (y)), dla wszystkich y ∈ Ux .
Stąd wynika, że co najmniej jeden z wielomianów F0 , . . . , Fm nie należy do ideału Ip (Ux ) = Ip (X). Dla
każdego więc x ∈ U mamy (X, m)-ciąg Fx = (F0 , . . . , Fm ) taki, że Ux ⊆ D[Fx ] oraz [Fx ] | Ux = f | Ux .
Jeśli x, y ∈ U , to Ux ⊆ D[Fx ] , Uy ⊆ D[Fy ] oraz
[Fx ] | (Ux ∩ Uy ) = f | (Ux ∩ Uy ) = [Fy ] | (Ux ∩ Uy ).
Ustalmy jedno x ∈ X i niech F = Fx . Ze Stwierdzenia 4.3.2 (i powyższych równości) wynika, że
[F ] = [Fy ], dla wszystkich y ∈ U . Zatem U ⊆ D[F ] oraz f = [F ] | U . Jednoznaczność jest konsekwencją
Stwierdzenia 4.3.2. Zanotujmy jeszcze następującą konsekwencję Stwierdzenia 3.3.3.
Wniosek 4.4.5. Jeśli [F ] jest odwzorowaniem wymiernym z X do Pm , to zwykła funkcja
[F ] | D[F ] : D[F ] −→ Pm
jest odwzorowaniem regularnym z D[F ] do Pm . Stąd i ze Stwierdzenia 3.9.2 otrzymujemy:
Wniosek 4.4.6. Jeśli [F ] jest odwzorowaniem wymiernym z X do Pm , to [F ] | D[F ] jest
funkcją ciągłą. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
4.5
Odwzorowania wymierne z X do Y
Załóżmy, że X ⊆ Pn , Y ⊆ Pm są nieprzywiedlnymi rozmaitościami quasi-rzutowymi.
46
Definicja 4.5.1. Niech [F ] będzie odwzorowaniem wymiernym z X do Pm . Mówimy, że [F ]
jest odwzorowaniem wymiernym z X do Y jeśli istnieje niepusty zbiór otwarty U w X taki,
że U ⊆ D[F ] oraz [F ](U ) ⊆ Y .
Z tego, że istnieje niepusty zbiór otwarty U , taki jak w powyższej definicji, nie wynika, że
każdy zbiór otwarty U 0 zawarty w D[F ] ma własność [F ](U 0 ) ⊆ Y .
Przykład 4.5.2. Niech X = Vp (S12 + S22 − S02 ) ∩ A20 , gdzie char(k) 6= 2 i niech m = 1 (patrz
Przykład 4.4.1). Niech F = (F0 , F1 ), gdzie
F0 = S 1 − S 0 ,
F 1 = S2 .
Wiemy, że D[F ] = X. Rozpatrzmy (nieprzywiedlną) rozmaitość quasi-rzutową Y = A10 . Niech
U = X ∩ (P2 r Vp (S1 − S0 )). Wtedy U jest oczywiście zbiorem otwartym w X = D[F ] . Jest
to zbiór niepusty, bo (5 : 3 : 4) ∈ U . Jeśli x ∈ U , to F0 (x) 6= 0, więc [F ](U ) ⊆ Y .
Zbiorem otwartym zawartym w D[F ] jest również zbiór U 0 = X ∩ (P2 r Vp (S0 + S1 )). Ten
zbiór też jest niepusty gdyż a = (1 : 1 : 0) ∈ U 0 . Z Przykładu 4.4.1 wiemy, że [F ](a) = (0 : 2).
Zatem [F ](a) 6∈ Y , a więc zbiór [F ](U 0 ) nie jest zawarty w Y . Niech [F ] będzie odwzorowaniem wymiernym z X do Y . Z powższego przykładu wynika, że
zbiór [F ](D[F ] ) nie musi być podzbiorem zbioru Y . Sumę mnogościową Ũ , wszystkich zbiorów
otwartych U ⊆ X takich, że U ⊆ D[F ] oraz [F ](U ) ⊆ Y , nazywamy dziedziną regularności
odwzorowania [F ]. Ũ jest niepustym i otwartym podzbiorem w X. Zbiór [F ](Ũ ) nazywamy
obrazem odwzorowania [F ].
Tak jak w przypadku afinicznym, jeśli obraz wymiernego odwzorowania [F ] z X do Y
jest zbiorem gęstym w Y , to określony jest k-homomorfizm ciał F ∗ : k(Y ) −→ k(X). Jeśli
odwzorowanie wymierne [F ] (z X do Y ) posiada odwrotne odwzorowanie wymierne, to [F ]
nazywamy biwymiernym izomorfizmem. Mówimy wtedy, że rozmaitości quasi-rzutowe X i
Y są biwymiernie izomorficzne. W tym przypadku włożenie F ∗ : k(Y ) −→ k(X) jest kizomorfizmem ciał. Można udowodnić następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 4.5.3 ([Szaf88]69). Jeśli X i Y są nieprzywiedlnymi rozmaitościami quasi-rzutowymi, to następujące warunki są równoważne.
(1) Rozmaitości X i Y są biwymiernie izomorficzne.
(2) Istnieją otwarte zbiory U w X oraz U 0 w Y , które są regularnie izomorficzne. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
4.6
Odwzorowanie Veronese
Niech n, m będą liczbami naturalnymi i niech
!
dn,m =
n+m
− 1.
m
Podamy przykład różnowartościowego odwzorowania regularnego νm : Pn −→ Pdn,m takiego,
że:
(a) obraz νm (Pn ) jest zbiorem domkniętym w Pdn,m ,
(b) odwzorowanie odwrotne, z νm (Pn ) do Pn , jest regularne.
47
Przed zdefiniowaniem tego odwzorowania oznaczmy przez L(n, m) zbiór wszystkich ciągów α = (α0 , . . . , αn ) nieujemnych liczb całkowitych takich, że α0 + · · · + αn = m. Dobrze
wiadomo, że zbiór ten ma dokładnie dn,m + 1 = n+m
elementów. Współrzędne jednorodne
m
punktów przestrzeni rzutowej Pdn,m możemy zatem indeksować elementami zbioru L(n, m).
Każdy więc punkt u ∈ Pdn,m jest klasą abstrakcji niezerowego ciągu (uα )α∈L(n,m) elementów
z k.
Każdemu ciągowi α ∈ L(n, m) odpowiada dokładnie jeden jednomian Fα ∈ k[S0 , . . . , Sn ]
stopnia m zdefiniowany wzorem:
Fα = S0α0 · · · Snαn .
Wielomiany postaci Fα są oczywiście niezerowe. Nie należą więc do ideału Ip (Pn ) = 0. Mamy
zatem wymierny (Pn , dn,m )-ciąg
F = (Fα )α∈L(n,m) ,
który określa odwzorowanie wymierne [F ] z Pn do Pdn,m . Odwzorowanie to oznaczać będziemy
przez νm i nazywać odwzorowaniem Veronese.
Ponieważ w zbiorze {Fα ; α ∈ L(n, m)} są wszystkie jednomiany S0m , S1m , . . . , Snm , więc
ciąg (Fα (x)) jest niezerowy, dla każdego x ∈ Pn . Oznacza to, że dziedziną odwzorowania
Veronese νm jest cały zbiór Pn . Zatem νm : Pn −→ Pdn,m jest odwzorowaniem regularnym.
Stwierdzenie 4.6.1.
(1) Odwzorowanie νm jest różnowartościowe.
n
(2) Obraz νm (P ) jest rzutowym zbiorem domkniętym w Pdn,m . Dokładniej:
νm (Pn ) = Vp (A),
gdzie A jest jednorodnym ideałem w k[Z] = k[Zα ; α ∈ L(n, m)] generowanym przez wszystkie
wielomiany postaci
Zα Zβ − Zγ Zδ ,
α, β, γ, δ ∈ L(n, m),
α + β = γ + δ.
(4.1)
(3) Odwzorowanie odwrotne νm (Pn ) −→ Pn jest regularne.
Dowód. (1). Załóżmy, że a = (a0 : · · · : an ), b = (b0 : · · · : bn ) ∈ Pn i νm (a) = νm (b).
Istnieje wtedy p ∈ k r {0} takie, że Fα (a) = pFα (b), dla wszystkich α ∈ L(n, m). W szczególności
m
am
i = pbi , dla i = 0, . . . , n. Co najmniej jeden z elementów a0 , . . . , an jest niezerowy. Dla ustalenia
−1 m
uwagi załóżmy, że a0 6= 0. Wtedy b0 6= 0, gdyż bm
a0 6= 0. Istnieje zatem q ∈ k r {0} takie, że
0 = p
a0 = qb0 . Pokażemy, że ai = qbi , dla wszystkich i = 0, . . . , n. Istotnie:
ai =
m−1
pbi b0m−1
am
ai am−1
a0 bi
0 b i b0
0
=
=
= qbi .
m−1
m−1
m−1 = b
m
a0
a0
b0 a0
0
Zatem a = (a0 : · · · : an ) = (qb0 : · · · : qbn ) = (b0 : · · · : bn ) = b.
(2). Niech α, β, γ, δ ∈ L(n, m), α + β = γ + δ. Wtedy αi + βi = γi + δi , dla wszystkich i = 0, . . . , n.
Niech a ∈ Pn . Mamy wtedy:
Fα (a)Fβ (a) − Fγ (a)Fδ (a) = aα aβ − aγ aδ = aα+β − aγ+δ = 0,
αn
β
γ
δ
0
gdzie przez aα oznaczyliśmy element aα
0 · · · an i podobnie dla a , a , a . Każdy więc element postaci
n
n
νm (a) = [F ](a), a ∈ P , należy do zbioru Vp (A). Zatem νm (P ) ⊆ Vp (A).
Załóżmy teraz, że u ∈ Pdn,m jest punktem należącym do Vp (A). Niech (uα )α∈L(n,m) będzie ciągiem
jednorodnych współrzędnych punktu u. Co najmniej jeden z elementów postaci uα jest oczywiście
różny od zera. Ponieważ punkt u jest zerem każdego wielomianu postaci (4.1), więc nie jest trudno
zauważyć, że co najmniej jeden z elementów
u(m,0,...,0) , u(0,m,...,0) , . . . , u(0,0,...,m)
48
4. Odwzorowania wymierne rozmaitości quasi-rzutowych
jest różny od zera. Dla ustalenia uwagi niech u(m,0,...,0) 6= 0. Przyjmujemy wtedy:
a0 = u(m,0,0,...,0 , a1 = u(m−1,1,0,...,0) , a2 = u(m−1,0,1,...,0) , . . . , an = u(m−1,0,0,...,1) .
Łatwo sprawdzić, że wtedy u = νm (a), gdzie a = (a0 : a1 : · · · : an ). Zatem Vp (A) ⊆ νm (Pn ).
(3). Regularność odwzorowania odwrotnego µ : νm (Pn ) = Vp (A) −→ Pn wynika z dowodu wład
sności (2). Odwzorowanie µ obcięte do zbioru postaci Vp (A) ∩ Aαn,m jest bowiem odpowiednim rzutowaniem. Przykład 4.6.2. Powtórzmy dowód własności (2) powyższego stwierdzenia w przypadku,
gdy n = 1, m = 2.
Mamy tutaj d1,2 = 3 − 1 = 2 oraz L(1, 2) = {20, 02, 11}. Odwzorowanie ν2 : P1 −→ P2
określone jest przy pomocy jednomianów
F20 = S02 ,
F02 = S12 ,
F11 = S0 S1 .
Jeśli a = (a0 : a1 ) ∈ P1 , to ν2 (a) = (a20 : a21 : a0 a1 ). Jest tylko jeden wielomian w
k[Z20 , Z02 , Z11 ] postaci (4.1), mianowicie G = Z20 Z02 − Z11 Z11 . Niech u = (u20 : u02 :
u11 ) ∈ Vp (A) = Vp (G). Wtedy u20 u02 = u211 . Jeśli u20 = u02 = 0, to u11 = 0 wbrew temu, że
co najmniej jeden z elementów u20 , u02 , u11 jest niezerowy. Zatem u20 6= 0 lub u02 6= 0. Dla
ustalenia uwagi niech u20 6= 0 (jeśli u02 6= 0, to postępujemy podobnie). Przyjmując a0 = u20 ,
a1 = u11 i a = (a0 : a1 ) mamy:
ν2 (a) = (a20 : a21 : a0 a1 ) = (u220 : u211 : u20 u11 )
= (u20 u20 : u20 u02 : u20 u11 ) = (u20 : u02 : u11 ) = u.
Stąd wnioskujemy, że Vp (A) ⊆ ν2 (P1 ). Inkluzja w przeciwnym kierunku jest oczywista. Hiperpłaszczyzną w Pn nazywamy każdy rzutowy zbiór domknięty w Pn określony przez
jedną liniową formę.
P
P
Niech G = α∈L(n,m) aα S α = α∈L(n,m) aα0 ...αn S0α0 · · · Snαn będzie dowolnym wielomianem jednorodnym w k[S] = k[S0 , . . . , Sn ] stopnia m i niech X = Vp (G) będzie domkniętym
zbiorem rzutowym w Pn określonym przez formę G. Wtedy zbiór νm (X) jest przekrojem
P
zbioru νm (Pn ) z hiperpłaszczyzną w Pdn,m określoną przez liniową formę α aα Zα . Odwzorowanie Veronese pozwala więc w pewnych przypadkach problemy dotyczące rzutowych hiperpowierzchni redukować do problemów rzutowych hiperpłaszczyzn.
Obraz odwzorowania Veronese νm (P1 ) w Pm nazywamy krzywą Veronese.
Uwaga 4.6.3 ([Szaf88]72 Zad.10). Obraz νm (Pn ) nie jest zawarty w żadnej hiperpłaszczyźnie przestrzeni Pdn,m . Uwaga 4.6.4 ([Szaf88]72 Zad.11). Stosując odwzorowanie Veronese można udowodnić, że
rozmaitość quasi-rzutowa P2 r X, gdzie X jest krzywą stopnia 2, jest rozmaitością afiniczną.
5
Produkty rozmaitości
Niech X i Y będą rozmaitościami quasi-rzutowymi. Zdefiniujemy produkt X × Y
tych rozmaitości w ten sposób, że będzie to produkt w sensie kategoryjnym. Podamy pewne
zastosowania produktów.
5.1
Produkt podrozmaitości przestrzeni afinicznych
Wiemy już co to jest produkt X × Y w przypadku, gdy X i Y są afinicznymi zbiorami domkniętymi. W szczególności produktem przestrzeni afinicznych k n i k m jest iloczyn
kartezjański k n × k m = k n+m .
Stwierdzenie 5.1.1. Jeśli X i Y są rozmaitościami quasi-rzutowymi takimi, że X ⊆ An0 i
n+m
Y ⊆ Am
.
0 , to iloczyn kartezjański X × Y jest rozmaitością quasi-rzutową zawartą w A0
Dowód. Niech X = X1 r X0 , Y = Y1 r Y0 , gdzie X1 , X0 i Y1 , Y0 są zbiorami domkniętymi
odpowiednio w An0 i Am
0 . Wtedy
X × Y = X1 × Y1 r (X1 × Y0 ∪ X0 × Y1 ).
Stąd wynika, że X × Y jest rozmaitością quasi-rzutową. Stwierdzenie 5.1.2. Niech X, X 0 , Y, Y 0 będą rozmaitościami quasi-rzutowymi takimi, że
q
0
0
0
X ⊆ An0 , X 0 ⊆ Ap0 , Y ⊆ Am
0 oraz Y ⊆ A0 . Jeśli rozmaitości X i X oraz Y i Y są regularnie
0
0
izomorficzne, to rozmaitości X × Y i X × Y też są regularnie izomorficzne.
Dowód. Niech α : X −→ X 0 , β : Y −→ Y 0 będą regularnymi izomorfizmami. Wtedy odwzorowanie
(α × β) : X × Y −→ X 0 × Y 0 ,
(x, y) 7−→ (α(x), α(y))
jest regularnym izomorfizmem. Odwzorowaniem odwrotnym jest (α−1 , β −1 ). oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
5.2
Zanurzenie Segrego
Gdy X ⊆ Pn i Y ⊆ Pm są dowolnymi rozmaitościami quasi-rzutowymi, to z określeniem
ich produktu jest pewien kłopot. Gdyby iloczyn kartezjański X × Y był tym produktem,
to musiałby być rozmaitością quasi-rzutową, więc w szczególności musiałby być podzbiorem
pewnej przestrzeni rzutowej PN . Nie jest to jasne nawet w przypadku, gdy X = Pn i Y = Pm .
W tym celu wprowadzimy, dla
N = (n + 1)(m + 1) − 1,
pewne ”dobre” zanurzenie
ϕ : Pn × Pm −→ PN
takie, że ϕ(X × Y ) będzie rozmaitością quasi-rzutową w PN . Odwzorowanie to nazywać
będziemy zanurzeniem Segrego. Definiujemy je następująco:
ϕ((a0 : · · · : an ), (b0 : · · · : bm )) = (a0 b0 : a0 b1 : · · · : ai bj : · · · : an bm ),
49
50
5. Produkty rozmaitości
dla wszystkich (a0 : · · · : an ) ∈ Pn i (b0 : · · · : bm ) ∈ Pm . Jest to dobrze określona funkcja
posiadająca następujące własności (których nie będziemy dowodzić).
Stwierdzenie 5.2.1 ([Szaf88]73).
(1) ϕ jest różnowartościowe.
(2) ϕ(Pn × Pm ) jest rzutowym zbiorem domkniętym w PN .
N
(3) ϕ(An0 × Am
0 ) jest zbiorem otwartym w P .
n
m
(4) ϕ| : An0 × Am
0 −→ ϕ(A0 × A0 ) jest regularnym izomorfizmem. Zanotujmy, że ϕ(Pn × Pm ) jest zbiorem zer wielomianów jednorodnych, z pierścienia wielomianów k[Sij ; i = 0, . . . , n, j = 0, . . . , m], postaci Sij Skl − Skj Sil , gdzie i, k ∈ {0, . . . , n}
oraz j, l ∈ {0, . . . , m}.
5.3
Produkt rozmaitości quasi-rzutowych
Przy pomocy zanurzenia Segrego można iloczynowi kartezjańskiemu Pn ×Pm nadać strukturę rozmaitości quasi-rzutowej z dokładnością do regularnego izomorfizmu. Zrobimy to ogólniej dla X × Y , gdzie X i Y są rozmaitościami quasi-rzutowymi. Wystarczy mieć funkcję
X × Y −→ PT spełniającą pewne warunki.
Definicja 5.3.1. Niech X i Y będą rozmaitościami quasi-rzutowymi i niech X × Y będzie
ich iloczynem kartezjańskim. γ-Funkcją tych rozmaitości nazywamy każdą różnowartościową
funkcję R : X ×Y −→ PT , gdzie T jest liczbą naturalną, spełniającą następujące dwa warunki.
(1) R(X × Y ) jest rozmaitością quasi-rzutową.
(2) Dla każdych x ∈ X, y ∈ Y istnieją otwarte otoczenia afiniczne x ∈ U ⊆ X, y ∈ V ⊆ Y
takie, że:
(a) Zbiór R(U × V ) jest otwarty w R(X × Y ),
(b) R| : U × V −→ R(U × V ) jest regularnym izomorfizmem.
Można wykazać, że zanurzenie Segrego ϕ : Pn × Pm −→ PN , gdzie N = (n + 1)(m + 1) − 1,
jest γ-funkcją rozmaitości Pn i Pm . Jeśli X ⊆ Pn , Y ⊆ Pm są rozmaitościami quasi-rzutowymi,
to ϕ| : X ×Y −→ PN , gdzie ϕ jest powyższym zanurzeniem Segrego, jest γ-funkcją rozmaitości
X i Y.
Stwierdzenie 5.3.2. Niech X, Y będą rozmaitościami quasi-rzutowymi. Niech α : X ×Y −→
PT , β : X × Y −→ PS będą γ-funkcjami tych rozmaitości. Wówczas
αβ −1 : β(X × Y ) −→ α(X × Y )
jest regularnym izomorfizmem. Teraz możemy zdefiniować produkt rozmaitości quasi-rzutowych X i Y .
Definicja 5.3.3. Produktem rozmaitości quasi-rzutowych X ⊆ Pn i Y ⊆ Pm nazywamy
rozmaitość
ϕ(X × Y ) ⊆ PN ,
gdzie ϕ : Pn × Pm −→ PN jest zanurzeniem Segrego. Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003
51
Produkt ten jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu regularnego.
W szczególności ϕ(Pn × Pm ) ⊆ PN jest produktem przestrzeni rzutowych Pn i Pm . Wiemy ze
Stwierdzenia 5.2.1, że jest to rzutowy zbiór domknięty w PN .
Dzięki zanurzeniu Segrego iloczyn kartezjański X × Y staje się przestrzenią topologiczną.
Podzbiór E ⊆ X × Y jest zbiorem domkniętym w X × Y wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
ϕ(E) jest domknięty w ϕ(X × Y ). Zmierzamy do opisania zbiorów domkniętych w Pn × Pm
i Pn × A m
0 .
5.4
Wielomiany jednorodne względem podzbioru zbioru zmiennych
Niech k[S, Z] = k[S0 , . . . , Sn , Z0 , . . . , Zm ] będzie pierścieniem wielomianów. Oznaczmy
przez Z+ zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych i niech
Ωn = (Z+ )n+1 = |Z+ × ·{z
· · × Z+} ,
n+1
+
Ωm = (Z+ )m+1 = Z
× ·{z
· · × Z+} .
|
m+1
Jeśli α = (α0 , . . . , αn ) ∈ Ωn i β = (β0 , . . . , βm ) ∈ Ωm to stosować będziemy następujące
oznaczenia: |α| = α0 + · · · + αn , |β| = β0 + · · · + βm oraz
S α = S0α0 · · · Snαn ,
βm
.
Z β = Z0β0 · · · Zm
Każdy wielomian G należący do k[S, Z] ma wtedy jednoznaczne przedstawienie w postaci
G=
X
X
cαβ S α Z β ,
(5.1)
α∈Ωn β∈Ωm
gdzie wszystkie elementy postaci cαβ należą do k.
Definicja 5.4.1. Niech G ∈ k[S, Z] r {0} będzie wielomianem postaci (5.1). Mówimy, że G
jest wielomianem jednorodnym sopnia p względem S jeśli z tego, że cαβ 6= 0 wynika, że |α| =
p. Dodatkowo przyjmujemy, że wielomian zerowy jest jednorodny względem S dowolnego
stopnia.
Przykład 5.4.2.
(1) Wielomian G = S02 Z13 +S0 S1 Z2 jest jednorodny stopnia 2 względem
S. Nie jest natomiast jednorodny względem Z.
(2) Wielomian G = S02 Z13 + S0 S1 Z02 Z2 jest jednorodny stopnia 2 względem S i jest jednocześnie jednorodny stopnia 3 względem Z.
(3) Wielomian G = S02 + Z02 nie jest jednorodny ani względem S ani względem Z. Jest
natomiast jednorodny stopnia 2 względem zmiennych S0 , Z0 . Z Definicji 5.4.1 wynikają następujące dwa stwierdzenia (zachodzące dla dowolnego nieskończonego ciała k).
Stwierdzenie 5.4.3. Niech G ∈ k[S, Z] r {0}. Następujące warunki są równoważne.
(1) Wielomian G jest jednorodny stopnia p względem S.
(2) Wielomian G, traktowany jako wielomian zmiennych S0 , . . . , Sn o współczynnikach z
pierścienia k[Z] = k[Z0 , . . . , Zm ], jest jednorodny stopnia p.
(3) Dla każdego a ∈ k zachodzi równość
G(aS0 , . . . , aSn , Z0 , . . . , Zm ) = ap G(S0 , . . . , Sn , Z0 , . . . , Zm ). 52
Stwierdzenie 5.4.4. Jeśli wielomian G ∈ k[S, Z] jest jednorodny stopnia p względem S i
jednocześnie jest jednorodny stopnia q wzgłędem Z, to jest jednorodny (w zwykłym sensie)
stopnia p + q. W następnym podrozdziale wykorzystamy następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 5.4.5. Niech G ∈ k[S, Z] i niech p ∈ Z+ . Następujące waunki są równoważne.
(1) Wielomian G jest jednorodny stopnia p względem S i jednocześnie jednorodny tego
samego stopnia p względem Z.
(2) Istnieje jednorodny wielomian H stopnia p należący do pierścienia wielomianów k[U ] =
k[U00 , U01 , . . . , U0m , . . . , Un0 , . . . , Unm ] taki, że
G(S0 , . . . , Sn , Z0 , . . . , Zm ) = H(S0 Z0 , . . . , S0 Zm , . . . , Sn Z0 , . . . , Sn Zm ).
(5.2)
Dowód. (2) ⇒ (1). Wynika to ze Stwierdzenia 5.4.4(3).
(1) ⇒ (2). Przedstawmy wielomian G w postaci (5.1) i rozpatrzmy każdy jednomian cαβ S α Z β
występujący w tym przedstawieniu. Ponieważ |α| = |β| = p więc jednomian taki ma postać
cαβ S α Z β = cαβ Si1 Si2 · · · Sip Zj1 Zj2 · · · Zjp = cαβ (Si1 Zj1 ) · · · (Sip Zjp ),
gdzie 0 6 i1 6 i2 6 · · · 6 ip 6 n oraz 0 6 j1 6 j2 6 · · · 6 jp 6 m. Stąd wynika, że
cαβ S α Z β = Hαβ (S0 Z0 , . . . , S0 Zm , . . . , Sn Z0 , . . . , Sn Zm ),
gdzie Hαβ = cαβ Ui1 j1 · · · Uip jp ∈ k[U ]. Niech
H=
X
Hαβ .
α,β
Wtedy H jest jednorodnym wielomianem stopnia p należącym do k[U ] i spełniającym równość (5.2).
Przykład 5.4.6. Wielomian H ∈ k[U ] spełniający warunek (5.2) nie jest wyznaczony jednoznacznie. Niech G = S0 S1 Z0 Z2 + S1 S2 Z0 Z1 . Wtedy równość (5.2) spełniona jest dla
H = U00 U12 + U10 U21 oraz dla H = U02 U10 + U11 U20 . oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
5.5
Zbiory domknięte w Pn ×Pm i Pn ×Am
0
Twierdzenie 5.5.1 ([Szaf88]75). Niech E ⊆ Pn × Pm . Następujące warunki są równoważne.
(1) E jest zbiorem domkniętym w Pn × Pm .
(2) E jest zbiorem wspólnych zer wielomianów
Gi (S0 , . . . , Sn , Z0 , . . . , Zm ) ∈ k[S, Z] = k[S0 , . . . , Sn , Z0 , . . . , Zm ]
dla i = 1, . . . r, jednorodnych względem S i jednocześnie jednorodnych względem Z.
53
Dowód. Skorzystamy z zanurzenia Segrego ϕ : Pn × Pm −→ PN (N = (n + 1)(m + 1) − 1).
Wiemy, że zbiór E jest domknięty w Pn × Pm wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ(E) jest zbiorem domkniętym
w PN .
(1) ⇒ (2). Załóżmy, że ϕ(E) jest zbiorem domkniętym w PN . Istnieją wtedy jednorodne wielomiany
H1 , . . . , Hr ∈ k[U ] = k[U00 , . . . , Unm ] takie, że ϕ(E) = Vp (H1 , . . . , Hr ). Niech G1 , . . . , Gr ∈ k[S, Z]
będą wielomianami zdefiniowanymi wzorami
Gi (S0 , . . . , Sn , Z0 , . . . , Zm ) = Hi (S0 Z0 , . . . , S0 Zm , . . . , Sn Z0 , . . . , Sn Zm ),
dla i = 1, . . . , r. Jest oczywiste, że wielomiany te spełniają warunek (2).
(2) ⇒ (1). Załóżmy teraz, że E jest zbiorem zer wielomianów G1 , . . . , Gr takich jak w warunku
(2). Niech p, q będą stopniami jednorodności wielomianu G1 odpowiednio względem S i Z. Jeśli p > q,
to wielomian G1 zastępujemy wielomianowym zbiorem
p−q
{Z0p−q G1 , . . . , Zm
G1 }.
Podobnie postępujemy w przypadku, gdy q > p. Możemy zatem założyć, że stopnie jednorodności
(względem S i Z) każdego z wielomianów G1 , . . . , Gr są jednakowe. Warunek (1) wynika zatem ze
Stwierdzenia 5.4.5. Twierdzenie 5.5.2 ([Szaf88]75). Niech E ⊆ Pn × Am
0 . Następujące warunki są równoważne.
(1) E jest zbiorem domkniętym w Pn × Am
0 .
(2) E jest zbiorem wspólnych zer wielomianów
Fi (S0 , . . . , Sn , Y1 , . . . , Ym ) ∈ k[S, Y ] = k[S0 , . . . , Sn , Y1 , . . . , Ym ]
dla i = 1, . . . r, jednorodnych względem S.
n
m
Dowód. Każdy zbiór domknięty w Pn × Am
0 jest postaci Y ∩ (P × A0 ), gdzie Y jest zbiorem
domkniętym w Pn × Pm . Dalej dowód przebiega standardowo i bazuje na Twierdzeniu 5.5.1. Jest godne zaznaczenia, że rozmaitość P1 × A10 nie jest ani rozmaitością rzutową, ani
afiniczną ([Szaf88]86 Zad.6).
5.6
Wykres odwzorowania regularnego
Przypomnijmy, że wykresem funkcji f : X −→ Y nazywamy zbiór Γf = {(x, f (x)); x ∈
X} ⊆ X × Y . Wykazaliśmy, że w przypadku afinicznym wykres odwzorowania regularnego
f : X −→ Y jest zbiorem domkniętym w X × Y . Teraz wykażemy, że fakt ten zachodzi
również dla odwzorowania regularnego rozmaitości quasi-rzutowych.
Niech ∆m = {(y, y); y ∈ Pm }.
Lemat 5.6.1. ∆m jest zbiorem domkniętym w Pm × Pm .
Dowód. ∆m jest zbiorem wspólnych zer wszystkich wielomianów z k[S0 , . . . , Sm , Z0 , . . . , Zm ]
postaci Si Zj − Sj Zi dla i, j = 0, . . . , m. Wielomiany te są jednorodne stopnia 1 względem S0 , . . . , Sm i
jednocześmie są jednorodne stopnia 1 względem Z0 , . . . , Zm . Teza wynika zatem z Twierdzenia 5.5.1.
54
Stwierdzenie 5.6.2. Niech X ⊆ Pn , Y ⊆ Pm będą rozmaitościami quasi-rzutowymi i niech
f : X −→ Y będzie odwzorowaniem regularnym. Wtedy Γf jest zbiorem domkniętym w X ×Y .
Dowód. Niech g : X −→ Pm będzie funkcją określoną wzorem g(x) = f (x), dla x ∈ X. Wtedy
g jest odwzorowaniem regularnym oraz
Γf = Γg ∩ (X × Y ).
Wystarczy więc pokazać, że Γg jest zbiorem domkniętym w X × Pm . Możemy zatem założyć, że
Y = Pm .
Niech i : Pm −→ Pm będzie odwzorowaniem identycznościowym i rozpatrzmy odwzorowanie
regularne
(f, i) : X × Pm −→ Pm × Pm , (x, u) 7−→ (f (x), u).
Wiemy (Stwierdzenie 3.9.2), że (f, i) jest odwzorowaniem ciągłym. Wiemy również (Lemat 5.6.1), że
∆m jest zbiorem domkniętyn w Pm × Pm . Łatwo sprawdzić, że
Γf = (f, i)−1 (∆m ).
Z tej równości wynika domkniętość zbioru Γf . oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
5.7
Rzutowania
Niech f : X −→ Y będzie odwzorowaniem regularnym. Jeżeli dla każdego zbioru domkniętego E ⊆ X obraz f (E) jest zbiorem domkniętym w Y , to mówić będziemy, że f jest
odwzorowaniem domkniętym. Korzystając z Twierdzenia 5.5.2 (o postaci zbiorów domkniętych w Pn × Am
0 ) można udowodnić:
m
Lemat 5.7.1 ([Szaf88]77). Rzutowanie Pn ×Am
0 −→ A0 jest odwzorowaniem domkniętym.
Stąd wynikają kolejno następujące wnioski.
n
Wniosek 5.7.2. Jeśli Y jest zbiorem domkniętym w Am
0 , to rzutowanie P × Y −→ Y jest
odwzorowaniem domkniętym.
m
n
n
Dowód. Niech p : Pn × Am
0 −→ A0 , q : P × Y −→ Y będą rzutowaniami i niech E ⊆ P × Y
będzie zbiorem domkniętym. Ponieważ zbiór Pn × Y jest domknięty w Pn × Am
0 więc E jest zbiorem
n
m
domkniętym w P × A0 , a zatem zbiór p(E) jest (na mocy Lematu 5.7.1) domknięty w Am
0 . Stąd
q(E) = p(E) ∩ Y jest zbiorem domkniętym w Y . Wniosek 5.7.3. Jeśli Y ⊆ Pm jest rozmaitością quasi-rzutową, to rzutowanie p : Pn × Y −→
Y jest odwzorowaniem domkniętym.
n
S Dowód. Niech E będzie zbiorem domkniętym w P × Y . Wiemy ze Stwierdzenia 3.7.2, że Y =
U
,
gdzie
każde
U
jest
zbiorem
otwartym
w
Y
regularnie
izomorficznym z afinicznym zbiorem
α
α α
domkniętym. Z Wniosku 5.7.2 wynika, że rzutowania pα : Pn × Uα −→ Uα są odwzorowaniami
domkniętymi. Każdy więc zbiór postaci pα (E ∩ (Pn × Uα )) jest domknięty w Uα . Zatem każdy zbiór
p(E) ∩ Uα jest domknięty w Uα , gdyż
p(E) ∩ Uα = pα (E ∩ (Pn × Uα )).
Domkniętość p(E) w Y wynika więc ze Stwierdzenia 3.8.2. Andrzej Nowicki, 2003
55
Twierdzenie 5.7.4 ([Szaf88]76). Niech X będzie rozmaitością rzutową i niech Y będzie
rozmaitością quasi-rzutową. Wtedy rzutowanie p : X × Y −→ Y jest odwzorowaniem domkniętym.
Dowód. Niech X ⊆ Pn będzie rzutowym zbiorem domkniętym. Wtedy X × Y jest domkniętym
zbiorem w Pn ×Y . Oznaczmy przez q rzutowanie Pn ×Y −→ Y i załóżmy, że E jest zbiorem domkniętym
w X × Y . Wtedy E jest zbiorem domkniętym w Pn × Y więc (Wniosek 5.7.3) q(E) jest domknięte w
Y . Zatem p(E) jest domknięte w Y , gdyż p(E) = q(E). oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
5.8
Zastosowanie produktów
Twierdzenie 5.8.1 ([Szaf88]76). Niech f : X −→ Y będzie odwzorowaniem regularnym,
gdzie X jest rozmaitością rzutową, a Y jest rozmaitością quasi-rzutową. Wtedy obraz f (X)
jest zbiorem domkniętym w Y .
Dowód. Wykres Γf jest zbiorem domkniętym w X × Y (Stwierdzenie 5.6.2). Ponieważ f (X) =
p(Γf ), gdzie p : X × Y −→ Y jest rzutowaniem, więc teza wynika z Twierdzenia 5.7.4. Wykazaliśmy w Stwierdzeniu 3.2.10, że jeśli X = Pn , to pierścień Reg(X, k), funkcji
regularnych na X, jest równy k. Teraz pokażemy, że tak jest dla dowolnej nieprzywiedlnej
rozmaitości rzutowej X.
Twierdzenie 5.8.2 ([Szaf88]78). Każda funkcja regularna na nieprzywiedlnej rozmaitości
rzutowej X jest funkcją stałą, tzn. k[X] = k.
Dowód. Niech f : X −→ k będzie funkcją regularną. Traktując k jako A10 możemy na f patrzeć
jako na odwzorowanie regularne f : X −→ A10 . Z Twierdzenia 5.8.1, f (X) jest zbiorem domkniętym w
A10 . Zatem f (X) jest albo równe A10 albo jest skończonym zbiorem punktów. Odwzorowanie f można
jednak rozpatrywać jako odwzorowanie regularne f : X −→ P1 . Z Twierdzenia 5.8.1 wynika więc,
że f (X) = f (X) jest zbiorem domkniętym w P1 . Stąd wnioskujemy, że f (X) 6= A10 . Zostaje więc
Sr
przypadek: f (X) = {u1 , . . . , ur }, gdzie r jest pewną liczbą naturalną. Wtedy X = i=1 f −1 (ui ). Jeśli
r > 1, to mamy sprzeczność z nieprzywiedlnością zbioru X. Zatem r = 1, a zatem f jest funkcją stałą.
Wniosek 5.8.3 ([Szaf88]79). Niech f : X −→ Y będzie odwzorowaniem regularnym nieprzywiedlnej rozmaitości rzutowej X w rozmaitość afiniczną Y . Wówczas f jest funkcją stałą.
Dowód. Wynika to z Twierdzenia 5.8.2, gdyż odwzorowanie regularne z X do rozmaitości afinicznej zadane jest przy pomocy funkcji regularnych na X (patrz Definicja 3.3.1). 6
Odwzorowania skończone
6.1
Odwzorowania skończone rozmaitości afinicznych
Niech X ⊆ k n , Y ⊆ k m będą domkniętymi zbiorami afinicznymi. Niech f : X −→ Y
będzie odwzorowaniem regularnym. Załóżmy, że obraz f (X) jest gęsty w Y . Wiemy, że wtedy
k-algebrowy homomorfizm f ∗ : k[Y ] −→ k[X] jest injekcją. Możemy więc zakładać, że k[Y ]
jest k-podalgebrą k-algebry k[X].
Definicja 6.1.1. Mówimy, że odwzorowanie f : X −→ Y jest skończone jeśli pierścień k[X]
jest całkowity nad k[Y ].
Z dobrze znanych własności rozszerzeń całkowitych wynika:
Stwierdzenie 6.1.2. Złożenie odwzorowań skończonych jest odwzorowaniem skończonym. W poniższym przykładzie pokazujemy, że pewne odwzorowanie regularne hiperboli X ⊂
k 2 w przestrzeń k 1 , nie jest skończone.
Przykład 6.1.3. Niech X = Va (T1 T2 − 1) ⊆ k 2 i niech f : X −→ k 1 , (a, b) 7→ a. Wiemy,
że zbiór f (X) jest gęsty w k 1 . Wiemy również, że k[X] = k[t]S , gdzie k[t] jest pierścieniem
wielomianów jednej zmiennej i S = {1, t, t2 , . . . }. Ponadto k[k 1 ] = k[t]. Ponieważ k[t] $
k[t]S ⊆ k(t) oraz pierścień k[t] jest całkowicie domknięty w k(t) (o czym dobrze wiadomo),
więc pierścień k[X] = k[t]S nie jest całkowity nad k[t]. Zatem odwzorowanie f : X −→ k 1 nie
jest skończone. Stwierdzenie 6.1.4. Jeśli f : X −→ Y jest odwzorowaniem skończonym, to każdy zbiór
postaci f −1 (y0 ), gdzie y0 ∈ Y , jest zbiorem skończonym.
Dowód. Niech X ⊆ kn i niech t1 , . . . , tn : X −→ k będą funkcjami regularnymi na X wyznaczonymi odpowiednio przez wielomiany T1 , . . . , Tn (tzn. ti = Ti | X, dla i = 1, . . . , n). Jeśli x ∈ X, to
x = (t1 (x), . . . , tn (x)). Wystarczy zatem pokazać, że funkcje t1 , . . . , tn przyjmują na zbiorze f −1 (y0 )
skończoną liczbę wartości.
Ponieważ t1 ∈ k[X] i pierścień k[X] jest całkowity nad f ∗ (k[Y ]), więc istnieją funkcje regularne
b1 , . . . , bs ∈ k[Y ] takie, że w pierścieniu k[X] zachodzi równość:
ts1 + f ∗ (b1 )ts−1
+ · · · + f ∗ (bs−1 )t1 + f ∗ (bs ) = 0.
1
Wstawiając do tej równości dowolny punkt x ∈ f −1 (y0 ) otrzymujemy:
(t1 (x))s + b1 (y0 )(t1 (x))s−1 + · · · + bs−1 (y0 )t1 (x) + bs (y0 ) = 0.
Widzimy więc, że każdy element postaci t1 (x), dla x ∈ f −1 (y0 ), jest pierwiastkiem wielomianu ts +
b1 (y0 )ts−1 + · · · + bs (y0 ) należącego do pierścienia wielomianów k[t], jednej zmiennej nad ciałem k.
Wielomian taki ma oczywiście tylko skończoną liczbę pierwiastków. Zatem zbiór {t1 (x); x ∈ f −1 (y0 )}
jest skończony. To samo pokazujemy dla funkcji t2 , . . . , tn . Następujące trzy twierdzenia (które przedstawiamy bez dowodów) podają istotne własności odwzorowań skończonych rozmaitości afinicznych.
56
6. Odwzorowania skończone
57
Twierdzenie 6.1.5 ([Szaf88]81). Każde odwzorowanie skończone jest surjekcją. Twierdzenie 6.1.6 ([Szaf88]81). Odwzorowanie skończone przeprowadza zbiory domknięte na domknięte. Następne twierdzenie mówi, że skończoność jest własnością lokalną.
Twierdzenie 6.1.7 ([Szaf88]81). Niech f : X −→ Y będzie odwzorowaniem regularnym
rozmaitości afinicznych. Załóżmy, że dla każdego y ∈ Y istnieje afiniczne otoczenie otwarte
U zawierające y takie, że V = f −1 (U ) jest rozmaitością afiniczną oraz odwzorowanie f | V :
V −→ U jest skończone. Wtedy f jest odwzorowaniem skończonym. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.2
Pierścień niezmienników skończonej grupy automorfizmów
Jeśli A jest k-algebrą (przemienną z jedynką), to przez Autk (A) oznaczamy grupę wszystkich k-automorfizmów k-algebry A.
Niech G będzie dowolną grupą. Działaniem grupy G na k-algebrę A nazywamy każdą
funkcję δ : G −→ Autk (A) będącą homomorfizmem grup. Jeśli δ jest takim działaniem, to
mówimy w tym przypadku, że grupa G działa na k-algebrę A. W szczególności każda podgrupa
grupy Autk (A) działa na k-algebrę A.
Załóżmy, że δ : G −→ Autk (A) jest działaniem grupy G na k-algebrę A i oznaczmy przez
AG podzbiór k-algebry A zdefiniowany następująco:
AG = {a ∈ A; ∀g∈G δg (a) = a}.
Jest oczywiste, że podzbiór ten jest k-podalgebrą w A. Nazywamy go k-algebrą niezmienników
algebry A względem grupy G.
Udowodnimy teraz następujące twierdzenie.
Twierdzenie 6.2.1 (E. Noether). Niech k będzie ciałem i niech G będzie skończoną grupą
działającą na skończenie generowaną k-algebrę A. Wtedy k-algebra niezmienników AG jest
skończenie generowana nad k.
Twierdzenie to udowodniła E. Noether najpierw, w 1916 roku, dla ciał charakterystyki
zero, a potem, w 1926 roku, dla dowolnych ciał. W przypadku gdy rząd grupy G nie jest
podzielny przez charakterystykę ciała k, Noether podała również algorytm na konstruowanie
zbioru generatorów k-algebry AG . Algorytm ten, opierający się na pewnym uogólnieniu klasycznego twierdzenia o funkcjach symetrycznych, jest opisany np. w tłumaczeniu rosyjskim
książki Springera [Spri81] (str. 155). W książce [At-Mac] Twierdzenie 6.2.1 występuje jako
ćwiczenie (patrz zadania w Sekcji 5). Dowód (w przypadku gdy char(k) - |G|) można znaleźć
np. w [Szaf88]334. Dowód, który tutaj przedstawiamy, oparty jest na następujących dwóch
dobrze znanych lematach.
Lemat 6.2.2. Niech M będzie skończenie generowanym modułem nad noetherowskim pierścieniem R. Wtedy każdy R-podmoduł modułu M jest też skończenie generowany nad R.
Lemat 6.2.3. Niech R ⊆ S będą pierścieniami. Załóżmy, że S jest całkowite nad R i S jest
skończenie generowaną R-algebrą. Wtedy S jest skończenie generowanym R-modułem. 58
Dowód Twierdzenia 6.2.1. Załóżmy, że A = k[r1 , . . . , rn ]. Niech δ : G −→ Autk (A) będzie
działaniem grupy G na A. Rozważmy wielomiany p1 (t), . . . , pn (t), należące do pierścienia wielomianów
A[t], jednej zmiennej t nad A, zdefiniowane następująco:
Y
pi (t) =
(t − δg (ri )), dla i = 1, . . . , n.
g∈G
Wielomiany te są unormowane (tzn. współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1) oraz, dla
każdego i, element ri jest pierwiastkiem wielomianu pi (t). Jest oczywiste, że współczynniki każdego
z tych wielomianów należą do pierścienia AG . Niech S będzie k-podalgebrą w A generowaną przez
wszystkie współczynniki wielomianów p1 (t), . . . , pn (t). Mamy wtedy:
k ⊆ S ⊆ AG ⊆ A = k[r1 , . . . , rn ] = S[r1 , . . . , rn ]
i ponadto, A jest całkowite nad S. Widzimy stąd, że A jest skończenie generowaną S-algebrą. Z
Lematu 6.2.3 wynika więc, że A jest skończenie generowanym S-modułem. Ale S jest skończenie
generowaną k-algebrą, zatem S jest pierścieniem noetherowskim, a zatem (na mocy Lematu 6.2.2) AG
jest skończenie generowanym S-modułem. Istnieją więc elementy x1 , . . . , xu należące do AG takie, że
AG = Sx1 + · · · + Sxu .
Stąd wynika, że AG = k[x1 , . . . , xu , {cij }], gdzie {cij } jest skończonym zbiorem wszystkich współczynników wielomianów p1 (t), . . . , pn (t). Z dowodu tego wynika następujący wniosek.
Wniosek 6.2.4. Niech k będzie ciałem i niech G będzie skończoną grupą działającą na skończenie generowaną k-algebrę A. Wtedy k-algebra niezmienników AG jest skończenie generowana nad k i A jest pierścieniem całkowitym nad AG oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.3
Ilorazowa rozmaitość afiniczna
Niech X ⊆ k n będzie afinicznym zbiorem domkniętym i niech G będzie grupą pewnych
regularnych automorfizmów zbioru X. Mamy wówczas funkcję G −→ Autk (k[X]) , g 7→ g ∗ ,
która jest oczywiście homomorfizmem grup. Grupa G działa więc na k-algebrę k[X]. Mamy
zatem k-algebrę niezmienników
k[X]G = {f ∈ k[X]; ∀g∈G g ∗ (f ) = f } = {f ∈ k[X]; ∀g∈G f g = f }.
Załóżmy teraz, że grupa G jest skończona. Wiemy z Twierdzenia 6.2.1, że wtedy k[X]G
jest skończenie generowaną k-algebrą i jest oczywiste, że k[X]G nie ma nietrywialnych nilpotentów (gdyż jest to podalgebra algebry k[X]). Istnieje zatem afiniczny zbiór domknięty
Y , zawarty w pewnej przestrzeni afinicznej k m taki, że k-algebra k[X]G jest izomorficzna z
k-algebrą k[Y ]. W tym przypadku zbiór Y oznaczamy przez X/G i nazywamy rozmaitością
ilorazową rozmaitości X względem G. Oznaczenie ”X/G” ma swoje uzasadnienie. Wyjaśnijmy
to doładniej.
Niech σ : k[Y ] −→ k[X]G będzie wspomnianym wyżej k-algebrowym izomorfizmem i
niech ω : k[X]G −→ k[X] będzie tożsamościowym włożeniem. Mamy wówczas k-algebrowy
homomorfizm
H = ωσ : k[Y ] −→ k[X].
Istnieje zatem odwzorowanie regularne ϕ : X −→ Y takie, że H = ϕ∗ . Wtedy
ϕ(x) = (H(p1 )(x), . . . , H(pm )(x)),
gdzie p1 , . . . , pm : Y −→ k są rzutowaniami.
dla x ∈ X,
59
Stwierdzenie 6.3.1. Odwzorowanie ϕ jest skończone. W szczególności ϕ jest surjekcją.
Dowód. Mamy równość: ϕ∗ (k[Y ]) = σ(k[Y ]) = k[X]G . Oczywiście ϕ∗ = H jest funkcją różnowartościową. Obraz ϕ(X) jest więc gęsty w Y . Całkowitość pierścienia k[X] nad k[Y ] wynika z
Wniosku 6.2.4. Zatem ϕ jest odwzorowaniem skończonym, a zatem (na mocy Twierdzenia 6.1.5) ϕ
jest surjekcją. Stwierdzenie 6.3.2 ([Szaf88]). Załóżmy, że char(k) - |G|. Jeśli x1 , x2 ∈ X, to następujące
dwa warunki są równoważne:
(1) ϕ(x1 ) = ϕ(x2 );
(2) istnieje g ∈ G takie, że g(x1 ) = x2 .
Dowód. (2) ⇒ (1). Niech g(x1 ) = x2 , dla pewnego g ∈ G. Ponieważ H(k[Y ]) = k[X]G , więc
wszystkie funkcje H(p1 ), . . . , H(pm ) należą do k[X]G . W szczególności więc g ∗ (H(pj )) = H(pj ), czyli
H(pj )g = H(pj ), dla j = 1, . . . , m. Mamy zatem:
ϕ(x2 )
= (H(p1 )(x2 ), . . . , H(pm )(x2 )) = (H(p1 )g(x1 ), . . . , H(pm )g(x1 ))
= (H(p1 )(x1 ), . . . , H(pm )(x1 )) = ϕ(x2 ).
(1) ⇒ (2). Załóżmy, że ϕ(x1 ) = ϕ(x2 ) i przypuśćmy, że g(x1 ) 6= x2 , dla wszystkich g ∈ G. Niech
E1 = {g(x1 ); g ∈ G},
E2 = {g(x2 ); g ∈ G}.
Wtedy E1 i E2 są rozłącznymi podzbiorami domkniętymi w X. Istnieje zatem funkcja regularna
f ∈ k[X] taka, że f (a) = 1 dla wszystkich a ∈ E1 oraz f (b) = 0 dla wszystkich b ∈ E2 .
Rozpatrzmy teraz funkcję regularną s ∈ k[X] zdefiniowaną wzorem
X
s(x) =
f g(x), x ∈ X.
g∈G
Ponieważ grupa G jest skończona, więc jest oczywiste, że funkcja s należy do k[X]G . Ale k[X]G =
H(k[Y ]) = ϕ∗ (k[Y ]). Istnieje zatem funkcja regularna r ∈ k[Y ] taka, że s = ϕ∗ (r) = rϕ. Stąd
wnioskujemy, że s(x1 ) = rϕ(x1 ) = rϕ(x2 ) = s(x2 ). To jest jednak sprzecznością. Mamy bowiem:
P
P
P
P
s(x2 ) = g∈G f g(x2 ) = b∈E2 f (b) = 0 oraz s(x1 ) = g∈G f g(x1 ) = g∈G 1 = |G| =
6 0. Pytanie 6.3.3. Czy w powyższym stwierdzeniu założenie o charakterystyce ciała k jest istotne?
Niech ∼ będzie relacją typu równoważności w zbiorze X określoną następująco:
x1 ∼ x2 ⇐⇒ ∃g∈G x2 = g(x1 ).
Niech [x] oznacza klasę abstrakcji elementu x ∈ X względem tej relacji. Mamy wówczas:
[x] = Gx = {g(x); g ∈ G}.
Z powyższych stwierdzeń wynika, że zbiór wszystkich klas abstrakcji jest równoliczny z rozmaitością ilorazową Y = X/G.
Przypomnijmy, że pierścień R nazywamy normalnym (lub całkowicie domkniętym) jeśli
jest dziedziną całkowicie domkniętą w swoim ciele ułamków. Mimo, że pierścień k[X] jest
całkowity nad k[X]G = k[Y ] (patrz Wniosek 6.2.4), można udowodnić:
60
Twierdzenie 6.3.4 ([Szaf88] 157). Jeśli k[X] jest pierścieniem normalnym, to k[Y ] (czyli
k[X]G ) też jest pierścieniem normalnym. Przykład 6.3.5. Niech char(k) 6= 2, X = k 2 i G = {1, g}, gdzie g(T1 ) = −T1 , g(T2 ) = −T2 .
Wtedy k[X]G = k[T1 , T2 ]G = k[T12 , T22 , T1 T2 ]. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.4
Odwzorowania skończone rozmaitości quasi-rzutowych
Definicja 6.4.1. Niech f : X −→ Y będzie odwzorowaniem regularnym rozmaitości quasi
rzutowych. Mówimy, że odwzorowanie f jest skończone, jeśli dla każdego y ∈ Y istnieje
afiniczne otoczenie otwarte U zawierające y takie, że V = f −1 (U ) jest rozmaitością afiniczną
oraz odwzorowanie f | V : V −→ U jest skończone.
Z Twierdzenia 6.1.7 wynika, że każde skończone odwzorowanie rozmaitości afinicznych
jest skończone w sensie powyższej definicji.
Poniższe twierdzenie jest uogólnieniem Stwierdzenia 6.1.4 i Twierdzenia 6.1.5.
Twierdzenie 6.4.2 ([Szaf88]82). Niech f : X −→ Y będzie skończonym odwzorowaniem
rozmaitości quasi-rzutowych. Wtedy:
(1) każdy zbiór postaci f −1 (y0 ), gdzie y0 ∈ Y , jest zbiorem skończonym;
(2) f jest surjekcją. Zanotujmy następujące dwa twierdzenia zwane twierdzeniami o normalizacji.
Twierdzenie 6.4.3 ([Szaf88]85). Dla każdej nieprzywiedlnej rozmaitości rzutowej X istnieje skończone odwzorowanie f : X −→ Pm , dla pewnego m. Twierdzenie 6.4.4 ([Szaf88]85). Dla każdej nieprzywiedlnej rozmaitości afinicznej X istnieje skończone odwzorowanie f : X −→ k m , dla pewnego m. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.5
Pewna ogólna własność odwzorowań regularnych
Korzystając z faktów dotyczących odwzorowań regularnych skończonych można udowodnić następujące twierdzenie.
Twierdzenie 6.5.1 ([Szaf88]85). Jeśli f : X −→ Y jest odwzorowaniem regularnym rozmaitości quasi-rzutowych takim, że obraz f (X) jest zbiorem gęstym w Y , to zbiór f (X) zawiera niepusty podzbiór otwarty w Y . oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.6
Rzutowania o danym środku
Niech 0 6 d < n i niech L1 , . . . , Ln−d będą liniowymi formami należącymi do pierścienia
wielomianów k[S] = k[S0 , . . . , Sn ], liniowo niezależnymi nad k. Rozpatrzmy afiniczny zbiór
domknięty
E = Vp (L1 , . . . , Ln−d ) ⊂ Pn .
61
Każda z form L1 , . . . , Ln−d nie należy oczywiście do ideału Ip (Pn ) = 0. Mamy więc wymierny
(Pn , n − d − 1)-ciąg
L = (L1 , . . . , Ln−d ),
n−d−1 , zwane rzutowaniem o środku
który wyznacza odwzorowanie wymierne [L] : Pn −→
◦ P
w E (patrz [Szaf88]69). Jest oczywiste, że zbiór otwarty Pn rE zawarty jest w zbiorze D[L] , w
dziedzinie odwzorowania [L]. Stąd w szczególności wynika, że jeśli X jest rzutowym zbiorem
domkniętym w Pn , rozłącznym z E, to odwzorowanie π = [L] | X : X −→ Pn−d−1 jest
regularne oraz
π(x) = (L1 (x) : · · · : Ln−d ), dla x ∈ X.
W tej sytuacji można udowodnić następujące twierdzenie.
Twierdzenie 6.6.1 ([Szaf88]83). Odwzorowanie π : X −→ π(X) jest skończone. Stosując odwzorowanie Veronese można udowodnić następujący fakt ogólniejszy.
Twierdzenie 6.6.2 ([Szaf88]85). Niech F0 , . . . , Fr będą liniowo niezależnymi formami tego samego stopnia należącymi do k[S] = k[S0 , . . . , Sn ]. Niech X będzie domkniętym zbiorem
rzutowym w Pn rozłącznym ze zbiorem Vp (F0 , . . . , Fr ). Wtedy odwzorowanie ϕ : X −→ ϕ(X)
określone wzorem
ϕ(x) = (F0 (x) : · · · : Fr (x)), x ∈ X,
jest skończone. 7
Wymiar
Niech X będzie rozmaitością quasi-rzutową. Jeśli rozmaitość X jest nieprzywiedlna,
to jej wymiarem nazywamy stopień transcendencji ciała k(X) nad k. Jeśli rozmaitość X jest
przywiedlna, to jej wymiarem nazywamy maksymalny wymiar wszystkich nieprzywiedlnych
składowych tej rozmaitości. Wymiar rozmaitości X oznaczamy przez dim X.
Jeśli Y jest domkniętą podrozmaitością w X to liczbę dim X −dim Y oznaczamy codim Y
(lub codimX Y ) i nazywamy kowymiarem Y w X.
Jeśli rozmaitość X jest nieprzywiedlna i U jest niepustym otwartym podzbiorem w X, to
k(U ) = k(X) (Stwierdzenie 4.1.3), a zatem wtedy dim X = dim U .
Jeśli X i Y są nieprzywiedlnymi rozmaitościami quasi-rzutowymi i istnieje odwzorowanie
skończone z X do Y , to oczywiście dim X = dim Y .
7.1
Przykłady
Przykład 7.1.1. dim Pn = dim k n = n, gdyż k(Pn ) = k(k n ) = k(T1 , . . . , Tn ). Przykład 7.1.2. dim X = 0 ⇐⇒ X jest zbiorem skończonym.
Dowód. Wystarczy to udowodnić w przypadku, gdy X jest domkniętym zbiorem afinicznym w
k n . Jeśli X jest zbiorem jednoelementowym, to k(X) = k, więc dim X = 0. Stąd wynika, że jeśli X
jest zbiorem skończonym, to dim X = 0.
Załóżmy teraz odwrotnie. Niech dim X = 0. Możemy założyć dodatkowo, że rozmaitość X jest
nieprzywiedlna. Niech t1 , . . . , tn będą funkcjami regularnymi na X wyznaczonymi odpowiednio przez
wielomiany T1 , . . . , Tn . Wtedy x = (t1 (x), . . . , tn (x)), dla wszystkich x ∈ X. Wystarczy zatem pokazać,
że każda z funkcji t1 , . . . , tn ma tylko skończoną liczbę wartości. To natomiast jest oczywiste, gdyż
wynika z faktu, że k[X] jest algebraiczne nad k (bo tr.degk k(X) = 0). Przykład 7.1.3. Niech F ∈ k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] będzie nieprzywiedlnym wielomianem i
niech X = Va (X). Wtedy dim X = n − 1.
Dowód. Wiemy, że k(X) jest ciałem ułamków dziedziny k[T ]/(F ). Niech ti = Ti + (F ), i =
1, . . . , n. Wtedy k[X] = k[t1 , . . . , tn ] oraz k(X) = k(t1 , . . . , tn ). Musimy pokazać, że tr.degk k(X) =
n − 1.
Ponieważ F jest wielomianem nierozkładalnym, więc F 6∈ k. W wielomianie F występuje zatem co najmniej jedna zmienna Ti w sposób istotny. Załóżmy, że tą zmienną jest T1 . Wówczas element t1 jest algebraiczny nad k(t2 , . . . , tn ). Spełnia on bowiem równanie F (T1 , t2 , . . . , tn ) = 0. Zatem
tr.degk k(X) 6 n − 1. Pokażemy teraz, że elementy t2 , . . . , tn są algebraicznie niezależne nad k (i to
zakończy nasz dowód). Przypuśćmy, że istnieje wielomian G ∈ k[T2 , . . . , Tn ], różny od zera taki, że
G(t2 , . . . , tn ) = 0. Oznacza to, że G(T2 , . . . , Tn ) ∈ (F ). Stąd F | G, a to jest sprzecznością bo F ma
T1 , a G nie ma T1 . Następne fakty podajemy bez dowodów. Dowody są łatwe i standardowe. Można je znaleźć
w [Szaf88] str. 88 - 90. Przez X i Y oznaczamy rozmaitości quasi-rzutowe.
Przykład 7.1.4. Jeśli X i Y są nieprzywiedlne, to dim(X × Y ) = dim X + dim Y . 62
7. Wymiar
63
Twierdzenie 7.1.5.
(1) Jeśli Y ⊆ X, to dim Y 6 dim X.
(2) Załóżmy, że X jest nieprzywiedlne. Jeśli Y ⊆ X, dim Y = dim X oraz Y jest domknięte w X, to Y = X. Twierdzenie 7.1.6. Wszystkie nieprzywiedlne składowe hiperpowierzchni w k n lub Pn mają
kowymiar równy 1. Twierdzenie 7.1.7. Każda rozmaitość afiniczna X ⊂ k n , której wszystkie składowe nieprzywiedlne mają kowymiar równy 1, jest hiperpowierzchnią. Twierdzenie 7.1.8. Niech X ⊆ PN1 ×· · ·×PNr . Jeśli wszystkie składowe nieprzywiedlne rozmaitości X mają kowymiar równy 1, to X jest zbiorem zer jednego wielomianu jednorodnego
ze względu na każdą z r grup zmiennych. Z powyższych faktów wynikają w szczególności następujące dwa wnioski.
Wniosek 7.1.9. Nieprzywiedlny afiniczny zbiór domknięty X ⊆ k n ma kowymiar 1 wtedy i
tylko wtedy, gdy X jest nieprzywiedlną hiperpowierzchnią w k n . Wniosek 7.1.10. Nieprzywiedlny rzutowy zbiór domknięty X ⊆ Pn ma kowymiar 1 wtedy i
tylko wtedy, gdy X = Vp (F ), gdzie F jest nieprzywiedlną formą w k[S] = k[S0 , . . . , Sn ]. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
7.2
Wymiar przekroju z hiperpowierzchnią
Jeśli F jest formą należącą do k[S] = k[S0 , . . . , Sn ] i X ⊆ Pn jest rozmaitością quasirzutową, to przez XF oznaczmy domknięty zbiór w X wyznaczony przez F , tzn.
XF = X ∩ Vp (F ).
Można udowodnić następujące twierdzenie.
Twierdzenie 7.2.1 ([Szaf88]91). Niech X ⊆ Pn będzie nieprzywiedlnym zbiorem rzutowym i niech F ∈ k[S] będzie formą. Jeśli F ∈
6 Ip (X), to dim XF = dim X − 1. Z tego twierdzenia (i jego dowodu) wynikają następujące wnioski (patrz [Szaf88] 91-92).
Wniosek 7.2.2. Dla każdej rozmaitości rzutowej X istnieją podrozmaitości dowolnego wymiaru s < dim X. Wniosek 7.2.3. Niech X będzie nieprzywiedlną rozmaitością rzutową. Wtedy
dim X = 1 + sup dim Y,
gdzie Y przebiega wszystkie właściwe (tzn. różne od X) podrozmaitości w X. Wniosek 7.2.4. Wymiar rzutowej rozmaitości X można zdefiniować jako największą liczbę
naturalną n (włącznie z 0), dla której istnieje ciąg
Y0 ! Y1 ! · · · ! Yn ,
nieprzywiedlnych podrozmaitości w X. 64
7. Wymiar
Każdy rzutowy zbiór domknięty w Pn postaci Vp (L1 , . . . , Lr ), gdzie L1 , . . . , Lr są formami
liniowymi, nazywamy podrozmaitością liniową w Pn .
Wniosek 7.2.5. Wymiar rzutowej rozmaitości X ⊆ Pn jest liczbą równą n − s − 1, gdzie s
jest maksymalnym wymiarem podrozmaitości liniowych w Pn , nie przecinających się z X. Wniosek 7.2.6. Jeśli F1 , . . . , Fr są formami należącymi do k[S0 , . . . , Sn ], to zbiór wspólnych
zer tych form w Pn ma wymiar nie mniejszy niż n − r, tzn. n − r 6 dim Vp (F1 , . . . , Fr ). Wniosek 7.2.7. Niech F1 , . . . , Fr będą formami należącymi do k[S0 , . . . , Sn ]. Jeśli r 6 n, to
formy te mają wspólne zero należące do Pn . Następne twierdzenie jest wzmocnieniem Twierdzenia 7.2.1.
Twierdzenie 7.2.8 ([Szaf88]94). Niech X ⊆ Pn będzie nieprzywiedlnym zbiorem rzutowym i niech F ∈ k[S] będzie formą. Jeśli F 6∈ Ip (X), to wymiar każdej składowej nieprzywiedlnej rozmaitości XF jest równy dim X − 1. W dowodzie tego twierdzenia wykorzystuje się następujący algebraiczny lemat.
Lemat 7.2.9 ([Szaf88]95). Niech B = k[T1 , . . . , Tn ] będzie pierścieniem wielomianów i
niech A będzie pierścieniem bez dzielników zera, zawierającym B i całkowitym nad B. Niech
x = T1 i niech y ∈ B będzie niezerowym wielomianem, w którym nie występuje zmienna T1 .
Ponadto niech u ∈ A. Jeśli x | (yu)p w A przy pewnym p > 0, to x | uq , dla pewnego q > 0.
Następne trzy twierdzenia o rozmaitościach quasi-rzutowych, to wnioski z Twierdzenia
7.2.8.
Twierdzenie 7.2.10 ([Szaf88]96). Niech X ⊆ Pn będzie nieprzywiedlną rozmaitością quasi-rzutową i niech F ∈ k[S] będzie formą nie należącą do Ip (X). Jeśli zbiór XF jest niepusty,
to wymiar każdej składowej nieprzywiedlnej rozmaitości XF jest równy dim X − 1. Twierdzenie 7.2.11 ([Szaf88]97). Niech X ⊆ Pn będzie nieprzywiedlną rozmaitością quasi-rzutową i niech F1 , . . . , Fr ∈ k[S0 , . . . , Sn ] będą formami. Rozpatrzmy rozmaitość
Y = X ∩ Vp (F1 , . . . , Fr ).
Jeśli Y 6= ∅, to wymiar każdej składowej nieprzywiedlnej rozmaitości Y jest nie mniejszy niż
dim X − r. Twierdzenie 7.2.12 ([Szaf88]97). Niech X, Y ⊆ Pn będą nieprzywiedlnymi rozmaitościami quasi-rzutowymi takimi, że X ∩ Y 6= ∅ oraz dim X + dim Y > n. Wtedy każda składowa
nieprzywiedlna rozmaitości X ∩ Y ma wymiar nie mniejszy niż dim X + dim Y − n. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
7.3
Twierdzenia o wymiarze włókien
Jeśli f : X −→ Y jest odwzorowaniem regularnym rozmaitości quasi-rzutowych i y ∈ Y ,
to zbiór f −1 (y) nazywamy włóknem nad punktem y. Ponieważ jednoelementowy zbiór {y}
jest domknięty w Y i f jest odwzorowaniem ciągłym, więc włókno jest zbiorem domkniętym
w X. Rozmaitość X jest sumą mnogościową parami rozłącznych włókien.
7. Wymiar
65
Twierdzenie 7.3.1 ([Szaf88]97). Niech f : X −→ Y będzie odwzorowaniem regularnym
nieprzywiedlnych rozmaitości quasi-rzutowych. Załóżmy, że f (X) = Y i niech n = dim X,
m = dim Y . Zachodzą wtedy następujące własności.
(1) m 6 n.
(2) Wymiar każdej składowej nieprzywiedlnej dowolnego włókna f −1 (y) jest > n − m.
(3) Istnieje niepusty zbiór otwarty U ⊆ Y taki, że dim f −1 (y) = n − m, dla wszystkich
y ∈ U.
(4) Każdy zbiór postaci {y ∈ Y ; dim f −1 (y) > p}, p ∈ Z, jest domknięty w Y . Twierdzenie 7.3.2 ([Szaf88]99). Niech f : X −→ Y będzie odwzorowaniem regularnym
rozmaitości quasi-rzutowych takim, że f (X) = Y . Załóżmy, że Y oraz wszystkie włókna są
nieprzywiedlne. Jeśli wymiary wszystkich włókien są jednakowe, to rozmaitość X jest nieprzywiedlna. Wniosek 7.3.3. Produkt rozmaitości nieprzywiedlnych jest rozmaitością nieprzywiedlną.
Dowód. Zastosujmy Twierdzenie 7.3.2 dla rzutowania X × Y −→ Y . oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
7.4
Twierdzenie Tsena
Wiemy (patrz Wniosek 7.2.7), że jeśli r 6 n, to każdy zbiór {F1 , . . . , Fr }, wielomianów
jednorodnych należących do k[S] = k[S0 , . . . , Sn ], ma wspólne zero w Pn . Wykażemy teraz,
że z faktu tego wynika następujące twierdzenie.
Twierdzenie 7.4.1 (Tsena, patrz [Szaf88]93). Niech R = k[t] będzie pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad algebraicznie domkniętym ciałem k. Niech F ∈ R[S] = R[S0 , . . . , Sn ]
będzie formą (ze względu na S0 , . . . , Sn ) stopnia m 6 n. Istnieje wtedy niezerowy ciąg (p0 , . . . , pn ),
wielomianów należących do R taki, że F (p0 , . . . , pn ) = 0.
Zauważmy, że powyższe twierdzenie jest oczywiste w przypadku gdy wszystkie współczynniki formy F należą do ciała k. Taka forma ma bowiem wtedy co najmniej jedno zero
(a0 : · · · : an ) w Pn i wtedy wielomiany stałe pi (t) = ai (lub np. wielomiany postaci pi (t) =
ai t), i = 0, . . . , n, spełniają tezę tego twierdzenia.
Przed dowodem Twierdzenia 7.4.1 udowodnimy dwa lematy.
Lemat 7.4.2. Niech R = k[t] i niech R[U ] = R[U1 , . . . , Ur ] będzie pierścieniem wielomianów
nad R. Niech f, g ∈ R[U ] będą takimi wielomianami, że
f=
d1
X
Ai (U )ti ,
i=0
g=
d2
X
Bj (U )tj .
j=0
gdzie A0 , . . . , Ad1 ∈ k[U ] są formami tego samego stopnia a oraz B0 , . . . , Bd1 ∈ k[U ] są
formami tego samego stopnia b. Wówczas
fg =
d1X
+d2
Cr (U )tr ,
r=0
gdzie C0 , . . . , Cd1 +d2 ∈ k[U ] są formami tego samego stopnia a + b.
66
7. Wymiar
Dowód. Wynika to natychmiast z definicji mnożenia w pierścieniu wielomianów. Lemat 7.4.3. Niech R = k[t] i niech R[U ] = R[U1 , . . . , Ur ] będzie pierścieniem wielomianów
nad R. Załóżmy, że F ∈ R[S] = R[S0 , . . . , Sn ] jest formą (ze względu na S0 , . . . , Sn ) stopnia
m. Niech P0 , . . . , Pn ∈ R[U ] będą wielomianami postaci
Pi =
d
X
Aij (U )tj ,
i = 0, . . . , n,
j=0
gdzie elementy postaci Aij (U ) są liniowymi formami należącymi do k[U ]. Wtedy
F (P0 , . . . , Pn ) =
dm+e
X
Bj (U )tj ,
(7.1)
j=0
gdzie elementy postaci Bj (U ) są formami stopnia m należącymi do k[U ] oraz e jest maksymalnym stopniem wszystkich współczynników (należących do R = k[t]) formy F .
Dowód. Wystarczy to udowodnić w przypadku gdy F jest jednomianem. Dla jednomianów
natomiast tezę otrzymamy stosując kilkakrotnie Lemat 7.4.2. Dowód Twierdzenia 7.4.1. Niech e będzie maksymalnym stopniem wszystkich współczynników (z k[t]) formy F . Niech d będzie liczbą naturalną większą od e i niech
U = {Uij ; i = 0, . . . , n, j = 0, . . . , d}
będzie zbiorem zmiennych nad k. Rozpatrzmy wielomiany P0 , . . . , Pn ∈ R[U ] określone wzorami
Pi =
d
X
Uij tj ,
i = 0, . . . , n.
j=0
Wielomiany te spełniają oczywiście założenia Lematu 7.4.3. Rozpatrzmy teraz formy postaci
Bj (U ) występujące w równości (7.1). Są to formy (n + 1) × (d + 1) zmiennych i jest ich
md + e + 1. Z nierówności
(n + 1)(d + 1) > (m + 1)(d + 1) > md + e + 1
wynika, że zmiennych jest więcej niż form. Formy te mają więc (na mocy Wniosku 7.2.7)
wspólne zero a ∈ PN , gdzie N = (n + 1)(d + 1) − 1. Niech pi = Pi (a), dla i = 0, . . . , n. Wtedy
(p0 , . . . , pn ) jest niezerowym ciągiem wielomianów z k[t] takim, że F (p0 , . . . , pn ) = 0. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
7.5
Krzywe algebraiczne
Każdą rozmaitość quasi-rzutową X taką, że dim X = 1 nazywamy krzywą (algebraiczną).
Stwierdzenie 7.5.1. Każda nieprzywiedlna krzywa w P2 jest zbiorem zer jednego jednorodnego wielomianu z k[S0 , S1 , S2 ].
Dowód. Wynika to z Twierdzenia 7.1.8. Każda nieprzywiedlna krzywa w P2 ma bowiem kowymiar równy 1. Andrzej Nowicki, 2003
7. Wymiar
67
Stwierdzenie 7.5.2. Każde dwie krzywe w P2 mają punkt wspólny.
Dowód. Niech X i Y będą krzywymi w P2 . Z definicji wymiaru wynika, że każda krzywa ma
co najmniej jedną składową nieprzywiedlną wymiaru 1. Możemy zatem założyć, że krzywe X i Y są
nieprzywiedlne. Istnieją wtedy jednorodne wielomiany F, G ∈ k[S0 , S1 , S2 ] takie, że X jest zbiorem
zer wielomianu F i Y jest zbiorem zer wielomianu G (Stwierdzenie 7.5.1). Teza wynika więc z tego,
że każde dwa jednorodne wielomiany w k[S0 , S1 , S2 ] mają wspólne zero (Wniosek 7.2.7). Rozpatrzmy teraz rozmaitości P2 oraz P1 × P1 . Rozmaitości te są wymiernie izomorficzne.
Wynika to np. ze Stwierdzenia 5.2.1.
Wniosek 7.5.3. Rozmaitości P2 i P1 × P1 nie są regularnie izomorficzne.
Dowód. Przypuśćmy, że rozważane rozmaitości są regularnie izomorficzne. Wtedy (na mocy
Stwierdzenia 7.5.2) każde dwie krzywe w P1 × P1 mają punkt wspólny. Wykażemy jednak, że w
P1 × P1 istnieją dwie krzywe bez punktu wspólnego.
Wiemy (patrz Stwierdzenie 5.2.1), że P1 × P1 jest rzutowym zbiorem domkniętym w P3 wyznaczonym przez jeden jednorodny wielomian
S00 S11 − S01 S10 ∈ k[S00 , S01 , S10 , S11 ].
Niech X = Vp (S00 , S10 ) oraz Y = Vp (S11 , S01 ). Jest oczywiste, że X i Y są rozłącznymi krzywymi w
P1 × P1 . 8
Lokalny pierścień punktu
8.1
Pierścień kiełków
Niech X będzie rozmaitością quasi-rzutową i niech p ∈ X. Przez Ap (X) oznaczać będziemy
zbiór wszystkich par postaci (U, f ), w których U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym
p oraz f : U −→ k jest funkcją regularną na U . W zbiorze Ap (X) wprowadzamy relację typu
równoważności ∼ zdefiniowaną następująco:
(U, f ) ∼ (V, g)
⇐⇒
istnieje zbiór otwarty W ⊆ X taki, że:
(1) p ∈ W ⊆ U ∩ V,
(2) f | W = g | W.
Klasę abstrakcji elementu (U, f ) względem tej relacji oznaczmy przez [U, f ] i nazywamy kiełkiem punktu p. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez Op (X). W zbiorze Op (X)
definiujemy dodawanie i mnożenie w następujący sposób:
[U, f ] + [V, g] = [U ∩ V, (f + g) | (U ∩ V )],
[U, f ]
·
[V, g] = [U ∩ V, (f · g) | (U ∩ V )].
Jest oczywiste, że powyższe działania są dobrze określone oraz, że zbiór Op (X) z takimi
działaniami jest przemienną k-algebrą z jedynką [X, 1] i zerem [X, 0]. Algebrę tę nazywamy
lokalnym pierścieniem punktu p na rozmaitości X lub pierścieniem kiełków w punkcie p rozmaitości X. Z algebrą taką stowarzyszony jest k-algebrowy homomorfizm νp : Op (X) −→ k
zdefiniowany wzorem
νp ([U, f ]) = f (p)
(dla wszystkich [U, F ] ∈ Op (X)), którego jądrem jest ideał
Mp (X) = {[U, f ]; f (p) = 0}.
Homomorfizm ten jest surjekcją (gdyż dla każdego elementu a ∈ k zachodzi równość
νp ([X, ã]) = a,
gdzie ã : X −→ k jest funkcją przyjmującą stałą wartość a). Mamy zatem:
Stwierdzenie 8.1.1. Mp (X) jest ideałem maksymalnym w Op (X) oraz Op (X)/Mp (X) = k.
Stwierdzenie 8.1.2. Pierścień Op (X) jest lokalny z jedynym ideałem maksymalnym Mp (X).
Dowód. Niech [U, f ] ∈ Op (X) r Mp (X). Wystarczy pokazać, że [U, f ] jest elementem odwracalnym w Op (X). Z definicji funkcji regularnej (Definicja 3.2.1) wiemy, że istnieje otwarty podzbiór
U0 ⊆ U zawierający p oraz istnieją jednorodne wielomiany F, G tego samego stopnia takie, że
f (u) = F (u)/G(u), dla wszystkich u ∈ U0 . Niech f0 = f | U0 . Wtedy oczywiście [U, f ] = [U0 , f0 ] oraz
68
8. Lokalny pierścień punktu
69
F (p) 6= 0 i G(p) 6= 0. Ponieważ f0 : U0 −→ k jest funkcją ciągłą (Stwierdzenie 3.2.8) więc w szczególności U1 = f0−1 (k r {0}) jest otwartym podzbiorem w U0 zawierającym p. Niech f1 = f | U1 = f0 | U1 .
Wtedy [U, f ] = [U1 , f1 ] oraz f1 (u1 ) = F (u1 )/G(u1 ) i F (u1 ) 6= 0, dla wszystkich u1 ∈ U1 . Mamy zatem
funkcję regularną g : U1 −→ k określoną wzorem g(u1 ) = G(u1 )/F (u1 ), dla wszystkich u1 ∈ U1 i
widzimy, że [U, f ][U1 , g] = [U1 , 1] = [X, 1] = 1. Zatem [U, f ] jest odwracalne w Op (X). Stwierdzenie 8.1.3. Jeśli U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym punkt p, to kalgebry Op (X) i Op (U ) są izomorficzne.
Dowód. Odwzorowanie Op (X) −→ Op (U ), [V, f ] 7→ [V ∩ U, f | (V ∩ U )] jest izomorfizmem
k-algebr. Niech ϕ : X −→ Y będzie odwzorowaniem regularnym rozmaitości quasi-rzutowych i
niech p ∈ X. Mamy wówczas odwzorowanie
O(ϕ) : Oϕ(p) (Y ) −→ Op (X),
[V, g] 7→ [ϕ−1 (V ), gϕ].
Bez trudu wykazujemy następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 8.1.4. O(ϕ) jest homomorfizmem k-algebr oraz O(ϕ)(Mϕ(p) (Y )) ⊆ Mp (X).
Z powyższych faktów wynika, że O jest funktorem kontrawariantnym z kategorii rozmaitości quasi-rzutowych z wyróżnionym punktem do kategorii lokalnych k-algebr. W szczególności
lokalny pierścień punktu jest niezmiennikiem regularnych izomorfizmów.
8.2
Lokalny pierścień punktu rozmaitości afinicznej
Każdy punkt p rozmaitości quasi-rzutowej X posiada otoczenie otwarte będące rozmaitością afiniczną (Stwierdzenie 3.7.2). Ze Stwierdzenia 8.1.3 wynika zatem, że w badaniach
dotyczących algebraicznych własności pierścienia Op (X) możemy ograniczyć się tylko do przypadku, w którym X jest rozmaitością afiniczną.
Niech więc X ⊂ k n będzie afinicznym zbiorem domkniętym i niech p ∈ X. Przypomnijmy, że przez mp oznaczamy ideał maksymalny w k[X] będący zbiorem wszystkich funkcji
regularnych na X zerujących się w punkcie p.
Stwierdzenie 8.2.1. Jeśli X jest rozmaitością afiniczną i p ∈ X, to pierścień Op (X) jest
lokalizacją pierścienia k[X] względem ideału mp .
Dowód. Rozpatrzmy k-algebrowy homomorfizm β : k[X] −→ Op (X) określony wzorem
β(f ) = [X, f ],
dla wszystkich f ∈ k[X].
Niech g ∈ k[X] r mp . Wtedy g(p) 6= 0 czyli β(g) = [X, g] 6∈ Mp (X), a zatem (na mocy Stwierdzenia 8.1.2) β(g) jest odwracalnym elementem w Op (X). Homomorfizm β indukuje więc k-algebrowy
homomorfizm
f
α : k[X]mp −→ Op (X),
7−→ [X, f ][X, g]−1 .
g
Pokażemy, że homomorfizm ten jest bijekcją.
Injektywność. Niech α( fg )=0, gdzie f, g ∈ k[X], g(p) 6= 0. Wtedy [X, f ][X, g]−1 = 0, czyli [X, f ] =
0 = [X, 0]. Istnieje zatem otwarty zbiór U ⊆ X, zawierający p taki, że f |U = 0. Ponieważ {p} i
70
X r U są rozłącznymi zbiorami domkniętymi w X, więc istnieje h ∈ k[X] takie, że h(p) = 1 oraz
h | (X r U ) = 0. Wtedy h 6∈ mp oraz (hf )(x) = h(x)f (x) = 0, dla wszystkich x ∈ X. Zatem fg = 0.
Surjektywność. Niech [U, f ] ∈ Op (X). Ponieważ f : U −→ k jest funkcją regularną na U , więc
istnieje wielomian F ∈ k[T1 , . . . , Tn ] taki, że f = F |U . Niech f1 = F |X. Wtedy f1 : X −→ k jest
funkcją regularną na X i mamy [U, f ] = [X, f1 ] = α(f1 /1). oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.3
Skończona generowalność i noetherowskość
Przykład 8.3.1. Pierścień O0 (k 1 ) jest lokalizacją pierścienia k[t], wielomianów jednej zmiennej t nad ciałem k, względem ideału (t). Wynika to ze Stwierdzenia 8.2.1. Każdy element
F
pierścienia O0 (k 1 ) jest więc funkcją wymierną (należącą do k(t)) postaci G
, gdzie F, G ∈ k[t],
przy czym G(0) 6= 0.
F1
Pierścień ten nie jest skończenie generowaną k-algebrą. Istotnie, przypuśćmy, że { G
,...,
1
Fs
Gs } jest skończonym zbiorem generatorów. Niech G = G1 · · · Gs i niech H ∈ k[t] będzie
dowolnym wielomianem nierozkładalnym w k[t] takim, że H(0) 6= 0. Wtedy H1 ∈ O0 (k 1 ).
Istnieje zatem wielomian P ∈ k[T1 , . . . , Ts ] taki, że
F1
1
Fs
= P( ,...,
).
H
G1
Gs
Mnożąc stronami powyższą równość przez odpowiednią potegę wielomianu G oraz przez wielomian H otrzymujemy równość (w pierścieniu k[t]) postaci
Gr = HQ,
Q ∈ k[t], r ∈ N,
z której wynika, że wielomian G jest podzielny przez H. Niezerowy wielomian G jest więc podzielny przez każdy nierozkładalny wielomian H (różny od t) pierścienia k[t]. Jest to sprzeczność, gdyż unormowanych wielomianów postaci H jest nieskończenie wiele. Widzimy, na mocy powyższego przykładu, że lokalne pierścienie punktów na rozmaitości
nie muszą być skończenie generowanymi k-algebrami.
Łatwo wykazuje się (patrz np. [At-Mac]), że każdy pierścień ułamków pierścienia noetherowskiego jest pierścieniem noetherowskim. Ze Stwierdzeń 8.1.3 i 8.2.1 wynika więc następujące stwierdzenie
Stwierdzenie 8.3.2. Jeśli X jest rozmaitością quasi-rzutową i p ∈ X, to Op (X) jest pierścieniem noetherowskim. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.4
Lokalny pierścień punktu rozmaitości nieprzywiedlnej
Wiemy, że jeśli X jest nieprzywiedlną rozmaitością afiniczną, to ciało k(X), funkcji wymiernych na X, jest ciałem ułamków pierścienia k[X]. Ze Stwierdzenia 8.2.1 wynika zatem:
Stwierdzenie 8.4.1. Jeśli X jest nieprzywiedlną rozmaitością afiniczną i p ∈ X, to Op (X)
jest pierścieniem wszystkich funkcji wymiernych z k(X), regularnych w punkcie p, tzn.
Op (X) =
f
; f, g ∈ k[X], g(p) 6= 0 . g
71
Stąd w szczególności wynika:
Stwierdzenie 8.4.2. Jeśli X jest nieprzywiedlną rozmaitością afiniczną i p ∈ X, to k[X] ⊆
Op (X) ⊆ k(X). Stwierdzenie 8.4.3. Jeśli X jest nieprzywiedlną rozmaitością afiniczną, to
k[X] =
\
Op (X).
p∈X
Dowód. Inkluzja ⊆ wynika ze Stwierdzenia 8.4.2. Inkluzja ⊇ wynika natomiast ze Stwierdzenia
8.4.1. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.5
Przestrzenie liniowe postaci Ms /Ms+1
Niech R będzie pierścieniem (przemiennym z jedynką) i M jego ideałem maksymalnym.
Niech s będzie liczbą naturalną. Mamy wówczas dwa ideały
M s ⊇ M s+1 ,
a więc dwa R-moduły (moduł i podmoduł). Mamy zatem R-moduł ilorazowy M s /M s+1 .
Moduł ten ma strukturę R/M -modułu z mnożeniem R/M × M s /M s+1 −→ M s /M s+1 określonym wzorem
(r + M )(a + M s+1 ) = ra + M s+1 ,
dla r ∈ R, a ∈ M s .
Zauważmy, że mnożenie to jest dobrze określone. Jeśli r, r0 ∈ R, a, a0 ∈ M s są takie, że
r+M = r0 +M , a+M s+1 = a0 +M s+1 , to r−r0 ∈ M , a−a0 ∈ M s+1 , a zatem (r−r0 )a ∈ M s+1 ,
r0 (a − a0 ) ∈ M s+1 , czyli ra − r0 a0 = (r − r0 )a + r0 (a − a0 ) ∈ M s+1 .
Zatem M s /M s+1 jest przestrzenią liniową nad ciałem R/M . Jest oczywiste, że jeśli elementy a1 , . . . , ar ∈ M s generują ideał M s , to warstwy a1 + M s+1 , . . . , ar + M s+1 generują
przestrzeń liniową M s /M s+1 . W szczególności mamy:
Stwierdzenie 8.5.1. Jeśli R jest pierścieniem noetherowskim, to wymiar przestrzeni
M s /M s+1 nad R/M jest skończony. Rozpatrzmy teraz pierścień ułamków RM (lokalizację pierścienia R względem ideału maksymalnego M ) i jego jedyny ideał maksymalny M RM . Mamy w tym przypadku izomorfizm
ciał
RM /M RM ≈ (R/M )(0) = R/M, f /g + M RM 7→ f g −1 + M
Mamy zatem dwie przestrzenie liniowe M s /M s+1 i (M RM )s /(M RM )s+1 nad tym samym
ciałem k = R/M .
Stwierdzenie 8.5.2. Jeśli M jest ideałem maksymalnym w pierścieniu R i s > 0, to przestrzenie M s /M s+1 i (M RM )s /(M RM )s+1 są izomorficzne.
Dowód. Definiujemy odwzorowanie α : M s /M s+1 −→ (M RM )s /(M RM )s+1 przyjmując
α(a + M s+1 ) =
a
+ (M RM )s+1 ,
1
dla a ∈ M s .
72
Bez trudu sprawdzamy, że α jest dobrze określonym różnowartościowym przekształceniem liniowym.
Wystarczy teraz udowodnić, że α jest surjekcją. Niech a/b + (M RM )s+1 (gdzie a ∈ M s , b ∈ R r M )
będzie dowolnym elementem przestrzeni (M RM )s /(M RM )s+1 . Ponieważ b 6∈ M i M jest ideałem
maksymalnym, więc (b) + M = R. Istnieją zatem elementy r ∈ R i u ∈ M takie, że 1 = rb + u. Wtedy
a/b − ra/1 ∈ (M RM )s+1 . Istotnie,
a − rab
a(1 − rb)
au
a ra
−
=
=
=
∈ (M RM )s+1 .
b
1
b
b
b
Zatem a/b + (M RM )s+1 = ra/1 + (M RM )s+1 = α(ra + M s+1 ). Zastosujmy teraz powyższe fakty dla pierścieni Op (X), k[X] i ich ideałów maksymalnych
Mp (X), mp (X). Ponieważ Op (X)/Mp (X) = k, k[X]/mp = k oraz Op (X), k[X] są pierścieniami noetherowskimi, więc ze Stwierdzenia 8.5.1 wynikają następujące dwa wnioski.
Wniosek 8.5.3. Jeśli X jest rozmaitością quasi-rzutową, to każda przestrzeń postaci
Mp (X)s /Mp (X)s+1 ,
s ∈ N,
ma skończony wymiar nad k. Wniosek 8.5.4. Jeśli X jest rozmaitością afiniczną, to każda przestrzeń postaci
mp (X)s /mp (X)s+1 ,
s ∈ N,
ma skończony wymiar nad k. Następny wniosek jest konsekwencją Stwierdzenia 8.5.2.
Wniosek 8.5.5. Jeśli X jest rozmaitością afiniczną oraz s > 0, to przestrzenie k-liniowe
Mp (X)s /Mp (X)s+1
są izomorficzne. i
mp (X)s /mp (X)s+1
9
Przestrzeń styczna
W tym rozdziale zakładamy, że X ⊆ k n jest afinicznym zbiorem domkniętym i p ∈ X.
Określimy przestrzeń styczną do X w punkcie p jako zbiór wszystkich prostych w k n przechodzących przez p i stycznych do X. Przestrzeń tę oznaczać będziemy przez Tp X. Podamy
kilka równoważnych opisów tej przestrzeni.
9.1
Prosta styczna
Niech F1 , . . . , Fr ∈ k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] będą takimi wielomianami, że
Ia (X) = (F1 , . . . , Fr )
oraz niech p = (p1 , . . . , pn ) ∈ X. Każda prosta w k n przechodząca przez p jest podzbiorem w
k n postaci
L = {ta + p = (ta1 + p1 , . . . , tan + pn ); t ∈ k},
gdzie a = (a1 , . . . , an ) ∈ k n r (0, . . . , 0).
Niech L będzie taką prostą i rozważmy rozmaitość afiniczną X ∩ L. Rozmaitość ta jest
oczywiście zbiorem wszystkich punktów w k n postaci t0 a + p, gdzie t0 ∈ k jest wspólnym
zerem wielomianów
F1 (ta + p), . . . , Fr (ta + p) ∈ k[t].
Ponieważ p ∈ X ∩ L, więc w szczególności t0 = 0 jest wspólnym zerem tych wielomianów, a
zatem każdy z tych wielomianów jest podzielny (w k[t]) przez wielomian t. Niech
f (t) = NWD(F1 (ta + p), . . . , Fr (ta + p)).
Jeśli co najmniej jeden z wielomianów F1 (ta + p), . . . , Fr (ta + p) jest niezerowy, to f (t) jest
wielomianem w k[t] postaci
f (t) = tq g(t),
gdzie q > 1, g(t) ∈ k[t], t - g(t).
Definicja 9.1.1. Liczbę q oznaczamy przez krp,X (L) i nazywamy krotnością przecięcia prostej L z rozmaitością X w punkcie p. Jeśli wszystkie wielomiany F1 (ta + p), . . . , Fr (ta + p) są
zerowe, to przyjmujemy krp,X (L) = ∞.
Lemat 9.1.2. Krotność krp,X (L) nie zależy od wyboru generatorów ideału Ia (X).
Dowód. Załóżmy, że wielomiany G1 , . . . , Gs ∈ k[T ] również generują ideał Ia (X) i rozważmy
wielomian g(t) = NWD(G1 (ta + p), . . . , Gs (ta + p)). Ponieważ (F1 , . . . , Fr ) = (G1 , . . . , Gs ), więc
Fi = Hi1 G1 + · · · + His Gs , dla i = 1, . . . , r, gdzie Hi1 , . . . , His ∈ k[T ]. Mamy wówczas (w pierścieniu
k[t]) równości postaci
Fi (ta + p) = Hi1 (ta + p)G1 (ta + p) + · · · + His (ta + p)Gs (ta + p),
dla i = 1, . . . , r, z których wynika, że g(t) | f (t). Analogicznie pokazujemy, że f (t) | g(t). Definicja 9.1.3. Mówimy, że prosta L jest styczna do X w punkcie p jeśli krp,X (L) > 2.
73
74
9. Przestrzeń styczna
Przykład 9.1.4. Załóżmy, że char(k) = 0. Niech X = Va (F ) ⊂ k 2 , gdzie F = T12 +T22 −25 ∈
k[T1 , T2 ] i niech p = (3, 4). Wtedy p ∈ X, Ia (X) = (F ) i każda prosta L w k 2 przechodząca
przez p jest zbiorem punktów (x1 , x2 ) ∈ k 2 postaci x1 = 3 + a1 t, x2 = 4 + a2 t, gdzie t ∈ k
oraz a = (a1 , a2 ) ∈ k 2 r (0, 0). Jeśli L jest taką prostą, to
f (t) = F (ta + p) = F (ta1 + 3, ta2 + 4) = (a21 + a22 )t2 + (6a1 + 8a2 )t.
Widzimy zatem, że L jest prostą styczną do X w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy 6a1 +
8a2 = 0. Stąd łatwo wnioskujemy, że jedyną prostą L styczną do X w punkcie p jest prosta
(
x1 = 3 + 4t,
x2 = 4 − 3t,
czyli prosta Va (3T1 + 4T2 − 25). Badając proste styczne do X w punkcie p wygodnie jest zmienić układ współrzędnych
tak by punkt p stał się punktem 0 = (0, . . . , 0).
Załóżmy więc, że p = 0 = (0, . . . , 0). Ponieważ p ∈ X więc wielomiany F1 , . . . , Fr nie mają
wyrazów stałych. Niech
Fi = Li + Gi , i = 1, . . . , r,
gdzie Li jest liniową składową jednorodną wielomianu Fi i Gi jest sumą jednomianów stopni
> 2. Każda prosta L, przechodząca przez p = 0, ma postać {at; t ∈ k}, gdzie a ∈ k n r {0}.
Stwierdzenie 9.1.5. Prosta L = {at; t ∈ k} jest styczna do X w punkcie 0 wtedy i tylko
wtedy, gdy L1 (a) = · · · = Lr (a) = 0.
Dowód. Każdy wielomian Fi (at), dla i = 1, . . . , r, ma postać
Fi (at) = Li (at) + Gi (at) = Li (a)t + Hi (t)t2 ,
(9.1)
gdzie Hi (t) ∈ k[t]. Niech L będzie prostą styczną do X w punkcie 0. Wtedy kr0,X (L) > 2, a zatem
wielomiany F1 (at), . . . , Fr (at) są podzielne przez t2 i z (9.1) wynika, że L1 (a) = · · · = Lr (a) = 0.
Załóżmy teraz, że L1 (a) = · · · = Lr (a) = 0. Wtedy, na mocy (9.1), wszystkie wielomiany
F1 (at), . . . , Fr (at) są podzielne przez t2 . Największy wspólny dzielnik tych wielomianów jest więc
też podzielny przez t2 , czyli kr0,X (L) > 2. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
9.2
Przestrzeń styczna jako zbiór prostych stycznych
Niech, tak jak w poprzednim podrozdziale, X ⊆ k n będzie domkniętym zbiorem afinicznym, Ia (X) = (F1 , . . . , Fr ), gdzie F1 , . . . , Fr ∈ k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] i niech p = (p1 , . . . , pn ) ∈
X.
Definicja 9.2.1. Zbiór wszystkich punktóe leżących na prostych w k n , stycznych do X w
punkcie p, oznaczmy przez Tp X i nazywamy przestrzenią styczną do X w punkcie p.
W książkach [Szaf72] i [Szaf88] zbiór Tp X oznaczany jest przez Θp lub Θp,X .
Ze Stwierdzenia 9.1.5 wynika następujący opis przestrzeni stycznej w punkcie p = 0.
Stwierdzenie 9.2.2. Niech Lj , dla j = 1, . . . , r, będzie liniową formą wielomianu Fj . Wtedy
T0 X = Va (L1 , . . . , Lr ). Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003
75
∂H
Jeśli L jest liniową formą wielomianu H ∈ k[T ], to dobrze wiadomo, że L = ni=1 ∂T
(0)Ti .
i
Wiadomo również, że każdy wielomian H ∈ k[T ] posiada dokładnie jedno rozwinięcie Taylora
w punkcie p, tzn.
H = H0 + H 1 + · · · ,
P
gdzie każde Hi jest wielomianem jednorodnym stopnia i względem T1 − p1 , . . . , Tn − pn .
P
∂H
W szczególności H0 = H(p) oraz H1 = ni=1 ∂T
(p)(Ti − pi ). Wielomian H1 odgrywać będzie
i
istotną rolę w naszych rozważaniach.
Definicja 9.2.3. Wielomian H1 oznaczamy przez dp H i nazywamy różniczką wielomianu
H w punkcie p. Zatem, jeśli H ∈ k[T ], to
dp H =
Pn
∂H
i=1 ∂Ti (p)(Ti
− pi ).
Z definicji tej otrzymujemy:
Stwierdzenie 9.2.4. Niech F, G ∈ k[T ], α ∈ k. Wtedy:
(1) dp (αF ) = α(dp F ),
(2) dp (F + G) = dp F + dp G,
(3) dp (F G) = F (p)dp G + G(p)dp F . Zanotujmy następujące stwierdzenie, które jest prostą konsekwencją Stwierdzenia 9.2.2
zastosowanego po odpowiedniej zamianie układu współrzędnych.
Stwierdzenie 9.2.5. Niech X ⊆ k n będzie afinicznym zbiorem domkniętym i niech p ∈ X.
Niech Ia (X) = (F1 , . . . , Fr ), gdzie F1 , . . . , Fr ∈ k[T ]. Wtedy przestrzeń styczna Tp X jest
zbiorem wszystkich wspólnych zer w k n wielomianów dp F1 , . . . , dp Fr , tzn.
Tp X = Va (dp F1 , . . . , dp Fr ). Jeśli p ∈ k n jest dowolnym punktem, to k n ma strukturę przestrzeni liniowej nad k z zerem
w punkcie p. Działania dodawanie i mnożenie przez skalar są wtedy określone następująco:
a ⊕p b = ((a − p) + (b − p)) + p = a + b − p,
α ∗p a = α(a − p) + p.
Stwierdzenie 9.2.6. Jeśli H ∈ k[T ], to funkcja
a 7−→ (dp H)(a) =
Pn
∂H
i=1 ∂Ti (p)(ai
− pi ),
jest odwzorowaniem liniowym z przestrzeni (k n , ⊕p , ∗p ) do k.
Dowód. Stwierdzenie to jest oczywiste w przypadku, gdy p = 0. Sprawdźmy to w ogólnym
przypadku. Niech a, b ∈ k n , α ∈ k. Wtedy:
(dp H)(a ⊕p b)
(dp H)(a + b − p)
Pn ∂H
=
i=1 ∂Ti (p)((ai + bi − pi ) − pi )
Pn ∂H
Pn ∂H
=
i=1 ∂Ti (p)(ai − pi ) −
i=1 ∂Ti (p)(bi − pi )
=
=
(dp H)(α ∗p a)
(dp H)(a) + (dp H)(b).
(dp H)(α(a − p) + p)
Pn ∂H
=
i=1 ∂Ti (p)(α(ai − pi ) + pi − pi )
Pn ∂H
=
i=1 ∂Ti (p)α(ai − pi )
=
= α(dp H)(a). 76
Stwierdzenie 9.2.7. Tp X jest przestrzenią liniową nad k. Jest to podprzestrzeń liniowa
przestrzeni (k n , ⊕p , ∗p )
Dowód. Wynika to z poprzednich stwierdzeń. Mamy bowiem równość:
Tp X = Ker(dp F1 ) ∩ · · · ∩ Ker(dp Fr ). Spójrzmy na kilka przykładów przestrzeni stycznych.
Przykład 9.2.8. Tp k n = k n . Istotnie, Ia (k n ) = 0, więc Tp k n = Va (dp 0) = Va (0) = k n . Przykład 9.2.9. Niech X = Va (F ), gdzie F ∈ k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ], będzie hiperpowierzchnią w k n i niech p ∈ X. Załóżmy, że Ia (X) = (F ). Wtedy Tp X jest zbiorem zer jednego
wielomianu dp F (liniowego względem T1 − p1 , . . . , Tn − pn ). Jeśli dp F = 0, to Tp X = k n i
wtedy dim Tp X = dimk Tp X = n. Jeśli dp F 6= 0, to dim Tp X = dimk Tp X = n − 1. Przykład 9.2.10. Niech X = Va (F ), gdzie F = T2 (T2 −T12 ) ∈ k[T1 , T2 ]. Wtedy X jest przywiedlnym zbiorem afinicznym w k 2 zawierającym 0. Przestrzeń T0 X jest oczywiście równa
k 2 . Składowymi nieprzywiedlnymi zbioru X są zbiory Va (T2 ) i Va (T2 − T12 ), które zawierają
0. Zbiory te mają w punkcie 0 wspólną przestrzeń styczną Va (T2 ), która jest różna od k 2 . oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
9.3
Różniczka funkcji regularnej
Niech X ⊆ k n będzie afinicznym zbiorem domkniętym i niech p ∈ X. Przypomnijmy, że
P
∂F
jeśli F ∈ k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ], to dp F = ni=1 ∂T
(p)(Ti − pi ).
i
Lemat 9.3.1. Jeśli F ∈ Ia (X), to (dp F )(a) = 0, dla wszystkich a ∈ Tp X.
Dowód. Niech Ia (X) = (F1 , . . . , Fr ) i niech a ∈ Tp X. Wtedy (dp F1 ) = · · · = (dp Fr )(a) = 0
(Stwierdzenie 9.2.5) oraz F = G1 F1 + · · · + Gr Fr , dla pewnych G1 , . . . , Gr ∈ k[T ]. Mamy zatem:
Pr
(dp F )(a) = (dp ( j=1 Gj Fj ))(a)
Pr
=
j=1 (dp (Gj Fj ))(a)
Pr
Pr
=
j=1 (Gj (p)dp Fj )(a) +
j=1 (Fj (p)dp Gj )(a)
Pr
Pr
=
j=1 Gj (p)0 +
j=1 0(dp Gj )(a)
=
0. Definicja 9.3.2. Niech f ∈ k[X] i niech F ∈ k[T ] będzie wielomianem takim, że f = F | X.
Różniczką funkcji f w punkcie p nazywamy odwzorowanie liniowe dp f : Tp X −→ k określone
wzorem
dp f = (dp F ) | Tp X.
Z Lematu 9.3.1 wynika, że powyższa definicja jest poprawna; nie zależy od wyboru wielomianu F ∈ k[T ]. Liniowość odwzorowania dp f wynika ze Stwierdzenia 9.2.6. Zanotujmy
prostą konsekwencję Stwierdzenia 9.2.4.
77
Stwierdzenie 9.3.3. Niech f, g ∈ k[X], α ∈ k. Wtedy:
(1) dp (αf ) = α(dp f ),
(2) dp (f + g) = dp f + dp g,
(3) dp (f g) = f (p)dp g + g(p)dp f . W dalszym ciągu rozważaċ będziemy k-liniową przestrzeń
(Tp X)∗ = Homk (Tp X, k),
wszystkich przekształceń liniowych z Tp X do k. Przestrzeń tę nazywamy przestrzenią kostyczną w punkcie p rozmaitości X.
Zauważmy, że jeśli f ∈ k[X], to dp f ∈ (Tp X)∗ . Mamy zatem odwzorowanie
dp : k[X] −→ (Tp X)∗ ,
f 7→ dp f,
które (na mocy Stwierdzenia 9.3.3) jest liniowe. Rozważmy obcięcie tego odwzorowania do
ideału maksymalnego mp (X) = {f ∈ k[X]; f (p) = 0}.
Stwierdzenie 9.3.4. Jeśli f ∈ mp (X)2 , to dp f = 0.
Dowód. Niech f = f1 g1 + · · · + fs gs , gdzie f1 , . . . , fs , g1 , . . . , gs ∈ mp (X). Stosując wzory zawarte
w Stwierdzeniu 9.3.3 otrzymujemy:
dp f
=
Ps
=
Ps
+ gj (p)dp (fj ))
=
Ps
+ 0dp (fj )) = 0. j=1
dp (fj gj )
j=1 (fj (p)dp (gj )
j=1 (0dp (gj )
W dowodzie następnego faktu wykorzystamy poniższy lemat z algebry liniowej.
Lemat 9.3.5. Niech G, L1 , . . . , Lr ∈ k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] będą formami liniowymi. Jeśli
Va (L1 , . . . , Lr ) ⊆ Va (G),
to G = α1 L1 + . . . , αr Lr , dla pewnych α1 , . . . , αr ∈ k.
Dowód. Niech G = a01 T1 + · · · + a0n Tn i niech Lj = ai1 T1 + · · · + ain Tn , i = 1, . . . , r, gdzie
każdy element postaci aij należy do k. Rozpatrzmy macierz A = [aij ]r×n , stowarzyszoną z formami
L1 , . . . , Lr oraz macierz B = [aij ](m+1)×n , stowarzyszoną z formami G, L1 , . . . , Lr . Z algebry liniowej
wiadomo, że Va (L1 , . . . , Lr ) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni k n wymiaru n − rz(A). Podobnie
Va (G, L1 , . . . , Lr ) jest taką podprzestrzenią wymiaru n − rz(B). Ponieważ Va (L1 , . . . , Lr ) ⊆ Va (G),
więc Va (G, L1 , . . . , Lr ) = Va (L1 , . . . , Lr ), a zatem rz(B) = rz(A). To dalej implikuje (na mocy definicji rzędu macierzy), że przestrzenie liniowe Link (G, L1 , . . . , Lr ) oraz Link (L1 , . . . , Lr ) są identyczne.
Zatem G = α1 L1 + · · · αr Lr , dla pewnych α1 , . . . , αr ∈ k. Twierdzenie 9.3.6. Odwzorowanie dp : mp (X) −→ (Tp X)∗ , f −→ dp f , indukuje izomorfizm
przestrzeni liniowych mp (X)/mp (X)2 i (Tp X)∗ .
78
Dowód. Zmieniając odpowiednio układ współrzędnych możemy założyć, że p = 0. Oznaczmy
m = m0 (X). Wystarczy pokazać, że d0 jest surjekcją oraz Kerd0 = m2 .
Surjektywność. Niech ϕ ∈ (T0 X)∗ . Wtedy ϕ : T0 X −→ k jest przekształceniem liniowym i T0 X
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni k n . Przekształcenie ϕ możemy oczywiście przedłużyć do przekształcenia liniowego ψ : k n −→ k. Istnieje zatem liniowy wielomian F = q1 T1 + · · · + qn Tn ∈ k[T ]
taki, że ψ(a) = F (a), dla wszystkich a ∈ k n . W szczególności ϕ(b) = F (b), dla wszystkich b ∈ T0 X.
Rozpatrzmy funkcję regularną f = F | X. Ponieważ f (0) = F (0) = 0, więc f ∈ m. Jest oczywiste, że
d0 f = ϕ.
Jądro. Wiemy, na mocy Stwierdzenia 9.3.4, że m2 ⊆ Ker d0 . Wykażemy teraz, że m2 ⊇ Ker d0 .
Niech d0 f = 0, gdzie f ∈ m. Niech G ∈ k[T ] będzie takim wielomianem, że f = G | X. Wtedy
0 = d0 f = d0 G | (T0 X). Załóżmy, że Ia (X) = (F1 , . . . , Fr ). Wtedy T0 X = Va (d0 F1 , . . . , d0 Fr )
(Stwierdzenie 9.2.5), a zatem Va (d0 F1 , . . . , d0 Fr ) ⊆ Va (d0 G) i stąd wynika (na mocy Lematu 9.3.5),
że
d0 G = α1 d0 F1 + · · · + d0 Fr ,
dla pewnych α1 , . . . , αr ∈ k. Rozpatrzmy wielomian
H = G − (α1 F1 + · · · + αr Fr ).
Wielomian ten nie posiada składowych jednorodnych stopni 0 i 1. Zatem H ∈ (T1 , . . . , Tn )2 . Niech
t1 , . . . , tn będą funkcjami regularnymi na X wyznaczonymi odpowiednio przez wielomiany T1 , . . . , Tn .
Wtedy m = (t1 , . . . , tn ) oraz f = G | X = H | X ∈ m2 . Wniosek 9.3.7. Przestrzenie liniowe Tp X i (mp (X)/mp (X)2 )∗ są izomorficzne. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
9.4
Przestrzeń styczna i lokalne derywacje
Zakładamy, tak jak w poprzednich podrozdziałach, że X ⊆ k n jest domkniętym zbiorem
afinicznym i p ∈ X.
Niech R będzie podpierścieniem pierścienia Op (X) zawierającym ciało k.
Definicja 9.4.1. Lokalną derywacją w punkcie p pierścienia R nazywamy każdą funkcję
δ : R −→ k spełniającą następujące warunki:
(1) δ(α) = 0, dla α ∈ k,
(2) δ(f + g) = δ(f ) + δ(g), dla f, g ∈ R,
(3) δ(f g) = f (p)δ(g) + g(p)δ(f ), dla f, g ∈ R.
Definicja 9.4.2. Zbiór wszystkich lokalnych derywacji w punkcie p pierścienia R oznaczamy
przez Dp (R).
Jest oczywiste, że jeśli δ1 , δ2 są lokalnymi derywacjami w punkcie p pierścienia R, to
funkcja δ1 + δ2 również jest lokalną derywacją w punkcie p pierścienia R. Ponadto, jeśli
δ ∈ Dp (R) i α ∈ k, to αδ ∈ Dp (R). Mamy zatem:
Stwierdzenie 9.4.3. Dp (R) jest przestrzenią liniową nad ciałem k. Dzięki homomorfizmowi νp |R : R −→ k, f 7→ νp (f ) = f (p), ciało k ma strukturę
R-modułu. Każda więc lokalna derywacja w punkcie p pierścienia R to nic innego jak kderywacja R-modułu k (Patrz [Now95a] Podrozdział 1.1).
79
Stwierdzenie 9.4.4. Niech H = H(Z1 , . . . , Zs ) będzie wielomianem o współczynnikach z k.
Niech f1 , . . . , fs ∈ R oraz niech δ ∈ Dp (R). Wtedy H(f1 , . . . , fs ) ∈ R i zachodzi równość:
δ(H(f1 , . . . , fr )) =
Ps
∂H
j=1 ∂Zj (f1 , . . . , fr )(p)δ(fj ).
Dowód. Patrz [Now95a] Podrozdział 1.2. Stwierdzenie 9.4.5. Niech δ ∈ Dp (R). Niech f, g ∈ R będą takimi elementami, że f /g ∈ R.
Wtedy
g(p)δ(f ) − f (p)δ(g)
δ(f /g) =
.
g(p)2
Dowód. 0 = δ(1) = δ(g · g1 ) = g(p)δ( g1 ) +
δ( fg )
= δ(f g1 ) =
=
1
g(p) δ(f )
1
g(p) δ(g).
1
g(p) δ(f )
−
δ(g)
Stąd δ( g1 ) = − g(p)
2 . Zatem
+ f (p)δ( g1 )
f (p)δ(g)
g(p)2
=
g(p)δ(f )−f (p)δ(g)
.
g(p)2
Wiemy (Stwierdzenie 8.2.1), że pierścień Op (X) jest lokalizacją pierścienia k[X] względem
ideału mp (X). Niech ε : k[X] −→ Op (X), f 7→ f /1, będzie naturalnym homomorfizmem. Jeśli
δ ∈ Dp (Op (X)), to odwzorowanie d = δε : k[X] −→ k jest lokalną derywacją w punkcie p
pierścienia k[X]. Istotnie, jeśli f, g ∈ k[X], to d(f g) = δε(f g) = δ(ε(f )·ε(g)) = ε(f )(p)δε(g)+
ε(g)(p)δε(f ) = f (p)d(g) + g(p)d(f ).
Twierdzenie 9.4.6. Odwzorowanie α : Dp (Op (X)) −→ Dp (k[X]), δ 7→ δε, jest k-izomorfizmem przestrzni liniowych.
Dowód. Odwzorowanie α jest oczywiście przekształceniem liniowym. Pokażemy, że α jest bijekcją.
Injektywność. Niech δ ∈ Dp (Op (X)) i α(δ) = 0. Wtedy δε = 0, więc δ(f /1) = 0, dla wszystkich
f ∈ k[X]. Jeśli teraz f, g ∈ k[X], g 6∈ mp (X), to (patrz Stwierdzenie 9.4.5) δ(f /g) = δ(f /1 · 1/(g/1)) =
0. Zatem δ = 0. Pokazaliśmy więc, że Kerα = 0.
Surjektywność. Niech d ∈ Dp (k[X]). Definiujemy δ : Op (X) −→ k przyjmując
δ(f /g) =
g(p)d(f ) − f (p)d(g)
,
g(p)2
dla f, g ∈ k[X], g 6∈ mp (X).
Standardowym rachunkiem sprawdzamy, że δ jest dobrze określone oraz, że δ jest lokalną derywacją
w punkcie p pierścienia Op (X). Jest oczywiste, że d = α(δ). Wniosek 9.4.7. Przestrzenie liniowe Dp (Op (X)) i Dp (k[X]) są izomorficzne. Niech a ∈ Tp X będzie ustalonym elementem. Z własności różniczek funkcji regularnych na
X (podanych w Stwierdzeniu 9.3.3) wynika, że przyporządkowanie k[X] −→ k, f 7→ (dp f )(a),
jest lokalną derywacją w punkcie p pierścienia k[X].
Twierdzenie 9.4.8. Odwzorowanie β : Tp X −→ Dp (k[X]), określone wzorem
β(a)(f ) = (dp f )(a),
jest k-izomorfizmem przestrzeni liniowych.
dla a ∈ Tp X, f ∈ k[X],
80
Dowód. Odwzorowanie β jest oczywiście przekształceniem liniowym. Pokażemy, że β jest bijekcją.
Injektywność. Niech a ∈ Tp X i niech β(a) = 0. Pokażemy, że a jest zerem przestrzeni Tp X, tzn.,
pokażemy, że a = p. Niech f ∈ k[X] i niech F ∈ k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] takie, że f = F | X. Wtedy
0 = β(a)(f ) = (dp f )(a) =
n
X
∂F
(p)(ai − pi ).
∂T
i
i=1
W szczególności dla f = ti = Ti | X mamy 0 = ai − pi i tak jest dla wszystkich i = 1, . . . , n. Zatem
a = p.
Surjektywność. Niech δ ∈ Dp (k[X]) i niech, tak jak poprzednio, ti = Ti | X, dla i = 1, . . . , n.
Oznaczmy ai = δ(ti ) + pi , dla i = 1, . . . , n i niech a = (a1 , . . . , an ). Pokażemy, że a ∈ Tp X. W
tym celu wystarczy pokazać (patrz Stwierdzenie 9.2.5), że (dp F1 )(a) = · · · = (dp Fr )(a) = 0, gdzie
F1 , . . . , Fr ∈ k[T ] są takimi wielomianami, że Ia (X) = (F1 , . . . , Fr ). Niech j ∈ {1, . . . , r}. Mamy
wtedy:
0 = δ(0) = δ(Fj | X)
=
δ(Fj (t1 , . . . , tn ))
Pn ∂Fj
i=1 ∂Ti (t1 , . . . , tn )(p)δ(ti )
Pn ∂Fj
i=1 ∂Ti (p)(ai − pi )
=
(dp Fj )(a).
=
9.4.4
=
Zatem a ∈ Tp X. Zauważmy teraz, że
β(a)(ti ) = (dp ti )(a) = (dp Ti )(a) = ai − pi = δ(ti ),
dla i = 1, . . . , n. Ponieważ funkcje t1 , . . . , tn generują k-algebrę k[X], więc β(a) = δ. Wniosek 9.4.9. Przestrzenie liniowe Tp X i Dp (k[X]) są izomorficzne. Z Wniosków 9.4.9 i 9.3.7 otrzymujemy następny wniosek, opisujący przestrzeń Dp (k[X])
przy pomocy ideału mp (X) = {f ∈ k[X]; f (p) = 0}.
Wniosek 9.4.10. Przestrzenie liniowe Dp (k[X]) i (mp (X)/mp (X)2 )∗ są izomorficzne. Podamy teraz inny dowód tego wniosku.
Dowód. Oznaczmy m = mp (X). Jeśli δ ∈ Dp (k[X]), to przez δp oznaczamy odwzorowanie z
m/m2 do k zdefiniowane wzorem
δp (a + m2 ) = δ(a),
dla a ∈ m.
Ponieważ δ(m2 ) = 0, więc odwzorowanie δp jest dobrze określone. Jest oczywiste, że δp ∈ (m/m2 )∗ .
Mamy zatem przekształcenie liniowe
γ : Dp (k[X]) −→ δp ∈ (m/m2 )∗ ,
δ 7→ δp .
Pokażemy, że γ jest bijekcją.
Injektywność. Niech δ ∈ Dp (k[X]), γ(δ) = 0. Wtedy δ(a) = δp (a + m2 ) = 0, dla wszystkich a ∈ m.
Jeśli f ∈ k[X], to f − f (p) ∈ m, a zatem δ(f ) = δ(f − f (p)) = 0, tzn., δ = 0.
Surjektywność. Niech h : m/m2 −→ k będzie przekształceniem liniowym. Definiujemy odwzorowanie δ : k[X] −→ k, przyjmując:
δ(f ) = h((f − f (p)) + m2 ),
dla f ∈ k[X].
81
Pokażemy, że δ jest lokalną derywacją w punkcie p pierścienia k[X]. Niech f, g ∈ k[X]. Wtedy
f g − f (p)g − g(p)f + f (p)g(p) = (f − f (p))(g − g(p)) ∈ m2 .
Mamy zatem:
δ(f g)
=
=
=
=
=
=
h(f g − f (p)g(p) + m2 )
h(f g − f (p)g − g(p)f + f (p)g(p) − 2f (p)g(p) + f (p)g + g(p)f + m2 )
h(f (p)g + g(p)f − 2f (p)g(p) + m2 )
h(f (p)(g − g(p)) + g(p)(f − f (p)) + m2 )
f (p)h(g − g(p) + m2 ) + g(p)h(f − f (p) + m2 )
f (p)δ(g) + g(p)δ(f ).
Stąd wynika, że δ ∈ Dp (k[X]). Jeśli f ∈ m, to
γ(δ)(f + m2 ) = δ(f ) = h(f − 0 + m2 ) = h(f − f (p) + m2 ) = h(f + m2 ).
Zatem h = γ(δ). Podaliśmy kilka równoważnych opisów przestrzni stycznej Tp X. Zbierzmy te opisy w postaci następującego twierdzenia.
Twierdzenie 9.4.11. Jeśli X ⊆ k n jest rozmaitością afiniczną i p ∈ X, to następujące
przestrzenie liniowe (nad ciałem k) są izomorficzne:
(1) Tp X, jako zbiór wszystkich prostych w k n , stycznych do X w punkcie p,
(2) Dp (k[X]),
(3) Dp (Op (X)),
(4) (mp /m2p )∗ , gdzie mp = {f ∈ k[X]; f (p) = 0},
(5) (Mp /Mp2 )∗ , gdzie Mp jest jedynym ideałem maksymalnym w Op (X).
Dowód.
(1) ≈ (4):
(2) ≈ (3):
(1) ≈ (2):
(2) ≈ (4):
(4) ≈ (5):
Twierdzenie 9.3.6;
Twierdzenie 9.4.6;
Twierdzenie 9.4.8;
wynika z powyższych równoważności; inny dowód jest po Wniosku 9.4.10;
Wniosek 8.5.5. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
9.5
Derywacje lokalne pierścienia wielomianów
Wiemy (patrz Przykład 9.2.8), że przestrzeń Tp k n jest izomorficzna z przestrzenią liniową
k n . Ponieważ pierścień k[k n ] jest pierścieniem wielomianów k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ], więc w
języku lokalnych derywacji powyższy fakt można wysłowić następująco.
Stwierdzenie 9.5.1. Niech p ∈ k n . Dla każdego a ∈ k n istnieje dokładnie jedna lokalna w
punkcie p derywacja δ : k[T ] −→ k taka, że δ(Ti ) = ai , dla wszystkich i = 1, . . . , n.
Dowód. Odwzorowanie δ : k[T ] −→ k określone wzorem
δ(F ) =
n
X
∂F
(p)ai ,
∂T
i
i=1
dla F ∈ k[T ],
82
jest taką lokalną derywacją. Jedyność jest oczywista. Niech X ⊆ k n będzie rozmaitością afiniczną i niech p ∈ X. Mamy wtedy dwie przestrzenie
styczne w punkcie p. Mianowicie Tp X i Tp k n . Przestrzenie te są izomorficzne odpowiednio z
przestrzeniami Dp (k[X]) i Dp (k[T ]).
Niech η : k[T ] −→ k[T ]/Ia (X) = k[X] będzie homomorfizmem naturalnym. Homomorfizm
ten utożsamiamy z odwzorowaniem F 7→ F | X. Jeśli δ : k[X] −→ k jest lokalną derywacją w
punkcie p pierścienia k[X], to δη : k[T ] −→ k jest lokalną derywacją w punkcie p pierścienia
k[T ]. Istotnie, niech F, G ∈ k[T ]. Wtedy:
δη(F G) = δ(η(F )η(G))
= η(G)(p)δη(F ) + η(F )(p)δη(G)
= G(p)δη(F ) + F (p)δη(G).
Mamy zatem odwzorowanie liniowe τ : Dp (k[X]) −→ Dp (k[T ]), δ 7→ δη.
Stwierdzenie 9.5.2.
(1) Odwzorowanie τ jest różnowartościowe.
(2) Niech d ∈ Dp (k[T ]). Wtedy d ∈ Im τ ⇐⇒ d | Ia (X) = 0.
Dowód. (1). Niech δ ∈ Dp (k[X]), τ (δ) = 0. Wtedy δη = 0, więc δ(k[X]) = δη(k[T ]) = 0. To
oznacza, że Ker τ = 0.
(2). Jeśli d ∈ Im τ , to d = τ (δ) = δη, dla pewnej derywacji δ ∈ Dp (k[X]). Wtedy d(Ia (X)) =
δη(Ia (X)) = δ(0) = 0.
Załóżmy, że d | Ia (X) = 0. Mamy wtedy odwzorowanie liniowe δ : k[T ]/Ia (X) = k[X] −→ k,
F + Ia (X) 7→ d(F ), które jest oczywiście lokalną derywacją w punkcie p pierścienia k[X] oraz d =
δη = τ (δ). Stwierdzenie 9.5.3. Niech Ia (X) = (F1 , . . . , Fr ), gdzie F1 , . . . , Fr ∈ k[T ]. Niech d ∈ Dp (k[T ]).
Wówczas następujące warunki są równoważne.
(1) d ∈ Im τ .
(2) d(Ia (X)) = 0.
(3)
∂Fj
i=1 ∂Ti (p)d(Ti )
Pn
= 0, dla j = 1, . . . , r.
Dowód. Równoważność (1) ⇐⇒ (2) wykazaliśmy w Stwierdzeniu 9.5.2.
(2) ⇒ (3). Niech j ∈ {1, . . . , r}. Ponieważ Fj ∈ Ia (X), więc d(Fj ) = 0, a zatem (na mocy
Pn ∂F
Stwierdzenia 9.4.4) 0 = d(Fj ) = i=1 ∂Tji (p)d(Ti ).
(3) ⇒ (2). Z (3) wynika, że d(F1 ) = · · · = d(Fr ) = 0. Mamy ponadto F1 (p) = · · · = Fr (p) = 0, gdyż
p ∈ X. Niech H ∈ Ia (X). Wtedy H = G1 F1 +· · ·+Gr Fr , dla pewnych wielomianów G1 , . . . , Gr ∈ k[T ].
P
P
Mamy zatem d(H) = d( Gj Fj ) = (Gj (p)d(Fj ) + Fj (p)d(Gj )) = 0. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
9.6
Morfizmy przestrzeni stycznych
W tym podrozdziale przestrzeń styczną Tp X utożsamiać będziemy z przestrzenią Dp (k[X]),
wszystkich lokalnych derywacji w punkcie p ∈ X pierścienia k[X].
Niech X, Y będą rozmaitościami afinicznymi i niech p ∈ X. Załóżmy, że ϕ : X −→ Y jest
odwzorowaniem regularnym. Mamy wtedy k-algebrowy homomorfizm ϕ∗ : k[Y ] −→ k[X],
83
g 7→ gϕ. Jeśli δ : k[X] −→ k jest lokalną derywacją w punkcie p, to odwzorowanie d = δϕ∗ :
k[Y ] −→ k jest lokalną derywacją w punkcie ϕ(p). Istotnie, niech f, g ∈ k[Y ]. Wtedy:
d(f g) = (δϕ∗ )(f g)
= δ(ϕ∗ (f )ϕ∗ (g))
= ϕ∗ (f )(p)δϕ∗ (g) + ϕ∗ (g)(p)δϕ∗ (f )
= f (ϕ(p))d(g) + g(ϕ(p))d(f ).
Mamy zatem odwzorowanie liniowe
Tp ϕ : Tp X −→ Tϕ(p) Y,
δ 7→ δϕ∗ .
Odwzorowanie to nazywa się różniczką odwzorowania regularnego ϕ w punkcie p.
Łatwo sprawdzić następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 9.6.1.
(1) Tp 1X = 1Tp X .
(2) Jeśli ϕ : X −→ Y , ψ : Y −→ Z są odwzorowaniami regularnymi rozmaitości afinicznych i p ∈ X, to Tp (ψϕ) = (Tϕ(p) ψ) ◦ (Tp ϕ). Wniosek 9.6.2. Jeśli ϕ : X −→ Y jest izomorfizmem regularnym i p ∈ X, to Tp ϕ : Tp X −→
Tϕ(p) Y jest izomorfizmem przestrzeni liniowych. Wniosek 9.6.3. Niech X będzie rozmaitością afiniczną. Jeśli istnieje punkt p ∈ X taki, że
dimk Tp X = m, to X nie można zanurzyć regularnie w żadną przestrzeń k s , gdzie s < m.
Dowód. Przypuśćmy, że istnieje rozmaitość afiniczna Y ⊆ ks , gdzie s < m, regularnie izomorficzna z X. Niech ϕ : X −→ Y będzie regularnym izomorfizmem. Wtedy (na mocy Wniosku 9.6.2)
mamy sprzeczność: m = dimk Tϕ(p) Y 6 s. Przykład 9.6.4. Krzywa X = Va (T13 − T22 ) ⊂ k 2 nie jest regularnie izomorficzna z k 1 .
Dowód. Zauważmy, że dimk T0 X = dimk k2 = 2. Gdyby istniał regularny izomorfizm ϕ : X −→
k 1 wówczas mielibyśmy sprzeczność: 2 = dimk Tϕ(0) k 1 6 1. Następny przykład jest uogólnieniem Przykładu 9.6.4.
Przykład 9.6.5 ([Szaf88] 113). Niech n > 1. Krzywą X ⊂ k n , zadaną parametrycznie
wzorami:
x1 = tn , x2 = tn+1 , . . . , xn = t2n−1 ,
nie można zanurzyć regularnie w żadną przestrzeń k m , gdzie m < n.
Dowód. Łatwo sprawdzić, że T0 X = kn . Teza wynika więc z Wniosku 9.6.3. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
9.7
Przestrzeń styczna dla rozmaitości quasi-rzutowej
Definicja 9.7.1. Jeśli X jest rozmaitością quasi-rzutową i p ∈ X, to przestrzenią styczną
do X w punkcie p nazywamy przestrzeń liniową Dp (Op (X)). Oznaczamy ją przez Tp X.
84
Z faktów udowodnionych w poprzednich podrozdziałach wynika, że przestrzeń Tp X jest
izomorficzna z przestrzenią (Mp (X)/Mp (X)2 )∗ . Ponadto, jeśli U ⊆ X jest otoczeniem afinicznym punktu p, to Tp X ≈ Tp U .
9.8
Wymiar przestrzeni stycznej i punkty proste
Niech X ⊂ k n będzie rozmaitością afiniczną, Ia (X) = (F1 , . . . , r), gdzie F1 , . . . , Fr ∈
k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] i niech p ∈ X.
∂Fi
Stwierdzenie 9.8.1. dimk (Tp X) = n − rz[ ∂T
].
j
Dowód. Przesuwając układ współrzędnych możemy założyć, że p = 0. Ponieważ Tp X = Va (dp F1 , . . . ,
dp Fr ), więc dimk (Tp X) jest wymiarem przestrzeni rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych
Pn
∂Fi
j=1 aij xj = 0, i = 1, . . . , r, gdzie aij = ∂Tj (p). W dalszym ciągu zakładamy, że X jest dowolną rozmaitością quasi-rzutową. Oznaczmy:
s = min{dimk (Tp X); p ∈ X}.
Stwierdzenie 9.8.2.
(1) ∀p∈X dimk (Tp X) > s.
(2) {p ∈ X; dimk (Tp X) > s} jest zbiorem domkniętym w X, różnym od X.
(3) {p ∈ X; dimk (Tp X) = s} jest niepustym otwartym podzbiorem w X.
Dowód. Wystarczy udowodnić (2). Z definicji liczby s wynika, że zbiór występujący w (2) jest różny od X. Ponieważ domkniętość zbioru oraz wymiar przestrzeni stycznej mają charakter lokalny, więc
wystarczy założyć, że X jest rozmaitością afiniczną. Niech więc X ⊆ k n będzie rozmaitością afiniczną
∂Fi
i niech Ia (X) = (F1 , . . . , Fr ), gdzie F1 , . . . , Fr ∈ k[T1 , . . . , Tn ]. Oznaczmy a = max{rz[ ∂T
(p)]; p ∈ X}.
j
Wtedy (na mocy Stwierdzenia 9.8.1) s = n − a oraz
∂Fi
{p ∈ X; dimk (Tp X) > s} = {p ∈ X; rz[ ∂T
(p)] < a}
j
∂Fi
= X ∩ Va (minory stopnia a macierzy [ ∂T
]).
j
Zatem zbiór {p ∈ X; dimk (Tp X) > s} jest domknięty w X. Definicja 9.8.3. Niech X będzie nieprzywiedlną rozmaitością quasi-rzutową i niech p ∈ X.
Mówimy, że p jest punktem prostym na X jeśli dimk (Tp X) = s. W przeciwnym przypadku
mówimy, że p jest punktem osobliwym. Jeśli każdy punkt p ∈ X jest prosty, to X nazywamy
rozmaitością gładką.
Przypomnijmy, że jeśli X jest nieprzywiedlną rozmaitością quasi-rzutową, to jej wymiar
dim X jest stopniem transcendencji ciała k(X) nad k. Można udowodnić następujące twierdzenie.
Twierdzenie 9.8.4 ([Szaf88] 117). Jeśli p ∈ X jest punktem prostym, to dimk (Tp X) =
dim X. Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003
85
Z tego twierdzenia wynika, że jeśli rozmaitość X jest nieprzywiedlna, to liczba s, wprowadzona powyżej, jest wymiarem rozmaitości X.
S
Niech teraz X będzie przywiedlną rozmaitością quasi-rzutową i niech X = Xi będzie jej
rozkładem na nieprzywiedlne składowe. Jeśli p ∈ X, to wymiarem rozmaitości X w punkcie p
nazywamy liczbę dimp X = max{dim Xi ; p ∈ Xi }. Mówimy, że punkt p ∈ X jest prosty na X
jeśli dimk (Tp X) = dimp X. W przeciwnym wypadku mówimy, że p jest punktem osobliwym.
Można udowodnić następujące stwierdzenie, analogiczne do Stwierdzenia 9.8.2.
Stwierdzenie 9.8.5.
(1) ∀p∈X dimk (Tp X) > dimp X.
(2) Zbór wszystkich punktów osobliwych na X jest domknięty w X i różny od X.
(3) Zbór wszystkich punktów prostych na X jest niepustym otwartym podzbiorem w X. Twierdzenie 9.8.6 ([Szaf88] 129). Jeśli p ∈ X jest punktem prostym, to p leży na dokładnie jednej nieprzywiedlnej składowej rozmaitości X. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
9.9
Lokalny pierścień punktu prostego
Podamy bez dowodów pewne fakty dotyczące pierścienia Op (X), w przypadku gdy p jest
punktem prostym na rozmaitości quasi-rzutowej X. Dowody można znaleźć w [Szaf88] 122
-132 oraz [BalJ85].
Załóżmy najpierw, że p ∈ X jest dowolnym punktem i niech dimk (Tp X) = n. Jeśli u jest
elementem pierścienia Op (X) należącym do ideału Mp (X), to przez u oznaczamy warstwę
elementu u w przestrzeni liniowej Mp (X)/Mp (X)2 .
Definicja 9.9.1. Mówimy, że elementy u1 , . . . , un ∈ Mp (X) są lokalnymi parametrami w
punkcie p jeśli warstwy u1 , . . . , un tworzą bazę przestrzeni liniowej Mp (X)/Mp (X)2 nad k.
Stwierdzenie 9.9.2. Jeśli u1 , . . . , un ∈ Mp (X), to następujące warunki są równoważne.
(1) Elementy u1 , . . . , un są lokalnymi parametrami w punkcie p.
(2) Różniczki dp u1 , . . . , dp un tworzą bazę przestrzeni (Tp X)∗ .
(3)
Tn
i=1 Ker
dp ui = 0. Z lematu Nakayamy wynika:
Stwierdzenie 9.9.3. Lokalne parametry u1 , . . . , un w punkcie p generują ideał Mp (X). Definicja 9.9.4. Niech u1 , . . . , un ∈ Mp (X) będą lokalnymi parametrami punktu p ∈ X i
P
niech f ∈ Op (X). Mówimy, że szereg F = ∞
i=0 Fi ∈ k[[T1 , . . . , Tn ]] jest szeregiem Taylora
funkcji f jeśli
P
m+1 .
∀m>0 f − m
i=0 Fi (u1 , . . . , un ) ∈ Mp (X)
Stwierdzenie 9.9.5. Każda funkcja f ∈ Op (X) posiada co najmniej jeden szereg Taylora.
Jeśli p ∈ X jest punktem osobliwym, to dla danej funkcji f ∈ Op (X) można znaleźć
nieskończenie wiele szeregów Taylora.
86
Twierdzenie 9.9.6. Niech p ∈ X będzie punktem prostym. Wtedy każda funkcja f ∈ Op (X)
posiada dokładnie jeden szereg Taylora Ff . Przyporządkowanie
τ : Op (X) −→ k[[T1 , . . . , Tn ]],
f 7→ Ff ,
jest k-algebrową injekcją. Homomorfizm τ nie jest na ogół izomorfizmem. Jeśli ciało k jest przeliczalne, to mocą
pierścienia Op (X) jest ℵ0 . Natomiast pierścień k[[T1 , . . . , Tn ]] ma moc continuum.
Dowód następnego faktu można znaleźć np. w książce [BalJ85].
Twierdzenie 9.9.7. Niech p będzie punktem nieprzywiedlnej rozmaitości quasi-rzutowej X.
Następujące warunki są równoważne:
(1) p jest punktem prostym na X;
(2) Op (X) jest lokalnym pierścieniem regularnym. We wspomnianej książce [BalJ85] znajdziemy kilka równoważnych definicji lokalnego pierścienia regularnego. W połowie lat 50-tych jednoczesne prace Auslandera i Buchsbauma oraz
Serre’a doprowadziły do następującej homologicznej charakteryzacji lokalnych pierścieni regularnych.
Twierdzenie 9.9.8. Pierścień lokalny R jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończony wymiar globalny. Przy tym założeniu globalny wymiar pierścienia R pokrywa się z
wymiarem Krulla tego pierścienia. Dzięki tej charakteryzacji można łatwo udowodnić następujące twierdzenie, które przez
długi czas nie miało swojego dowodu (problem Krulla).
Twierdzenie 9.9.9. Jeśli R jest lokalnym pierścieniem regularnym, a P jest ideałem pierwszym w R, to pierścień RP (lokalizacja pierścienia R względem P ) jest też regularny. Metody homologiczne pozwoliły rozwiązać pozytywnie jeszcze jeden klasyczny problem problem jednoznaczności rozkładu w pierścieniach regularnych. Dzięki temu mamy:
Twierdzenie 9.9.10 (Auslander, Buchsbaum). Jeśli p jest punktem prostym nieprzywiedlnej rozmaitości quasi-rzutowej X, to Op (X) jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu.
W książce [BalJ85] (283 - 289) opisane są wyniki fundamentalnych prac I. S. Cohena
(z końca lat 40-tych) dotyczących struktury pierścieni regularnych zupełnych. Pierścienie
szeregów nad ciałem są regularne. Są to jedyne pierścienie regularne zupełne, jeśli charakterystyka pierścienia jest równa charakterystyce ciała ilorazowego. W ogólnym przypadku
pierścień regularny zupełny ma postać W [[T1 , . . . , Tn ]]/(u), gdzie W jest pierścieniem waluacyjnym (pierścień Witta), a element u nie należy do kwadratu ideału maksymalnego pierścienia W [[T1 , . . . , Tn ]].
10
Wiązka styczna
10.1
Rodziny wektorowe i przekroje
Zmierzamy do wprowadzenia wiązki stycznej do rozmaitości. Pojęcie do jest szczególnym
przykładem ogólniejszego pojęcia zwanego rodziną wektorową ([Szaf72]355, [Szaf88] t.2 68).
W tym podrozdziale podamy podstawowe definicje i fakty dotyczące rodzin wektorowych i
ich przekrojów. Wprowadzimy także wiązki wektorowe.
Niech X będzie rozmaitością quasi-rzutową.
Definicja 10.1.1. Rodziną wektorową nad X nazywamy każdą trójkę E = (E, π, X) taką,
że:
(1) E jest rozmaitością quasi-rzutową,
(2) π : E −→ X jest odwzorowaniem regularnym,
(3) dla każdego x ∈ X zbiór Ex = π −1 (x), zwany włóknem nad x, jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad k i topologia Zariskiego na Ex jest zgodna z topologią
indukowaną przez topologię na E.
Definicja 10.1.2. Jeśli E = (E, π, X), E0 = (E 0 , π 0 , X) są rodzinami wektorowymi nad X, to
ich morfizmem (lub odwzorowaniem) nazywamy każde odwzorowanie regularne f : E −→ E 0
takie, że:
(a) π 0 f = π,
(b) dla każdego x ∈ X odwzorowanie fx = f |: Ex −→ Ex0 jest przekształceniem liniowym.
Uwaga 10.1.3. Z warunku (a) wynika, że f (Ex ) ⊆ Ex0 . Istotnie, niech e ∈ f (Ex ). Wtedy
e = f (u), gdzie u ∈ Ex = π−1 (x), czyli π(u) = x. Stąd π 0 (e) = π 0 f (u) = π(u) = x, czyli
e ∈ Ex0 .
Z warunku (3) wynika, że każde włókno Ex jest niepustym zbiorem. Jeśli więc (E, π, X)
jest rodziną wektorową nad X, to π jest surjekcją. Przykład 10.1.4. Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad k. Rozpatrzmy trójkę (E, π, X) określoną następująco:
E = X × V,
π : E −→ X, (x, v) 7→ x.
Trójka ta jest rodziną wektorową nad X. Definicja 10.1.5. Rodzinę wektorową (X × V, π, X) z Przykładu 10.1.4 nazywamy trywialną.
Niech E = (E, π, X) będzie rodziną wektorową nad X i niech U ⊆ X będzie otwartym
podzbiorem. Rozpatrzmy trójkę (π −1 (U ), q, U ), w której
q = π| : π −1 (U ) −→ U.
87
88
10. Wiązka styczna
Zauważmy, że jeśli x ∈ U , to q −1 (x) = π −1 (x). Każdy zbiór postaci q −1 (x), gdzie x ∈ U ,
jest więc skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad k. Trójka (π −1 (U ), q, U ) jest zatem
rodziną wektorową nad U .
Definicja 10.1.6. Rodzinę wektorową (π −1 (U ), q, U ) oznaczamy przez E | U i nazywamy
ograniczeniem rodziny E do U .
Stwierdzenie 10.1.7. Jeśli E jest trywialną rodziną wektorową nad X, to każde jej ograniczenie E | U (U otwarte w X) jest trywialną rodziną wektorową nad U .
Dowód. E = (X × V, π, X), gdzie V jest przestrzenią liniową i π : X × V −→ X jest rzutowaniem
(x, v) 7→ x. Wtedy π −1 (U ) = U × V i q : U × V −→ U jest rzutowaniem na U . Wprowadzimy teraz przekroje rodziny wektorowej. Niech E = (E, π, X) będzie rodziną
wektorową nad X.
Definicja 10.1.8. Przekrojem rodziny E nazywamy każde odwzorowanie regularne s :
X −→ E takie, że πs = 1X . Zbiór wszystkich przekrojów rodziny wektorowej E oznaczmy przez Γ(E).
Niech s : X −→ E będzie przekrojem rodziny E. Jeśli x ∈ X to πs(x) = x, a zatem
s(x) jest elementem przestrzeni liniowej Ex = π −1 (x). Załóżmy, że f : X −→ k jest funkcją
regularną na X. Mamy wówczas, dla każdego x ∈ X, wektor f (x)s(x) należący do przestrzeni
Ex . Mamy zatem przekrój f s : X −→ E określony wzorem
(f s)(x) = f (x)s(x),
x ∈ X.
Jeśli s1 , s2 : X −→ E są przekrojami rodziny E, to definiujemy dodawanie s1 +s2 : X −→
E, przyjmując:
(s1 + s2 )(x) = s1 (x) + s2 (x), x ∈ X,
gdzie s1 (x)+s2 (x) jest sumą wektorów s1 (x) i s2 (x) w przestrzeni liniowej Ex . Jest oczywiste,
że s1 + s2 jest przekrojem rodziny E.
Widzimy więc, że w zbiorze Γ(E) określone jest dodawanie i mnożenie przez elementy
pierścienia k[X], funkcji regularnych na X.
Stwierdzenie 10.1.9. Zbiór Γ(E), wraz z powyższymi działaniami, jest k[X]-modułem. Niech E = (E, π, X) i E0 = (E 0 , π 0 , X) będą rodzinami wektorowymi nad X i niech
ϕ : E −→ E0 będzie morfizmem tych rodzin. Definiujemy wówczas odwzorowanie Γ(ϕ) :
Γ(E) −→ Γ(E0 ), przyjmując
Γ(ϕ)(s) = ϕs, s ∈ Γ(E).
Zauważmy, że Γ(f )(s) jest istotnie przekrojem rodziny E0 . Mamy bowiem (dla x ∈ X):
π 0 (Γ(ϕ)(s)) = π 0 ϕs = πs = 1X .
Stwierdzenie 10.1.10. Funkcja Γ(ϕ) : Γ(E) −→ Γ(E0 ) jest homomorfizmem k[X]-modułów.
10. Wiązka styczna
89
Dowód. Przypomnijmy najpierw (patrz Definicja 10.1.2), że jeśli x ∈ X, to funkcja
ϕx = ϕ |: Ex −→ Ex0
jest przekształceniem liniowym. Niech s ∈ Γ(E), f ∈ k[X] oraz x ∈ X. Wtedy:
(Γ(ϕ)(f s))(x)
= (ϕ ◦ (f s))(x)
= ϕx (f (x)s(x))
= f (x)ϕx (s(x))
= f (x)(ϕs)(x)
= f (x)(Γ(ϕ)(s))(x) = (f Γ(ϕ)(s))(x).
Zatem Γ(ϕ)(f s) = f Γ(ϕ)(s). W podobny sposób sprawdzamy addytywność. Wniosek 10.1.11. Γ jest funktorem kowariantnym z kategorii rodzin wektorowych nad X
do kategorii k[X]-modułów. Stwierdzenie 10.1.12. Jeśli E = (X × V, π, X) jest trywialną rodziną wektorową, to Γ(E)
jest k[X]-modułem wolnym rangi dimk V .
Dowód. Niech {e1 , . . . , en } będzie bazą przestrzeni V nad k. Niech ε1 , . . . , εn : X −→ X × V
będą funkcjami zdefiniowanymi następująco:
εi (x) = (x, ei ),
x ∈ X, i = 1, . . . , n.
Łatwo sprawdzić, że funkcje te są przekrojami rodziny E, tworzącymi bazę k[X]-modułu Γ(E). Pewne rodziny wektorowe nazywać będziemy wiązkami.
Definicja 10.1.13. Wiązką wektorową (lub krótko wiązką) nad X nazywamy każdą rodzinę
wektorową E nad X, która jest lokalnie trywialna, tzn., dla każdego x ∈ X istnieje zbiór
otwarty U ⊆ X, zawierający x taki, że rodzina wektorowa E | U jest trywialna.
Każda trywialna rodzina wektorowa nad X jest oczywiście wiązką nad X.
Stwierdzenie 10.1.14. Jeśli E jest wiązką wektorową nad X oraz U ⊆ X jest otwartym
podzbiorem, to rodzina wektorowa E | U jest wiązką wektorową nad U .
Dowód. Niech x ∈ U . Ponieważ x ∈ X więc istnieje zbiór otwarty U 0 ⊆ X taki, że E | U 0 jest
trywialną rodziną wektorową. Wtedy (na mocy Stwierdzenia 10.1.7) rodzina wektorowa
(E | U ) | (U ∩ U 0 ) = (E | U 0 ) | (U ∩ U 0 )
jest trywialna. Definicja 10.1.15. Morfizmem wiązek wektorowych E i E0 nad X nazywamy każdy
morfizm rodzin wektorowych E i E0 (w sensie Definicji 10.1.2).
10.2
Definicja wiązki stycznej
Niech X ⊆ k n będzie rozmaitością afiniczną. Oznaczmy przez TX podzbiór zbioru X × k n
zdefiniowany następująco:
TX = {(p, a) ∈ X × k n ; a ∈ Tp X}.
90
10. Wiązka styczna
Definicja 10.2.1. Zbiór TX nazywamy wiązką styczną do rozmaitości X.
Stwierdzenie 10.2.2. TX jest afinicznym zbiorem domkniętym w k 2n .
Dowód. Załóżmy, że Ia (X) = (F1 , . . . , Fr ), gdzie F1 , . . . , Fr ∈ k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ]. Wiemy
(Stwierdzenie 9.2.5), że jeśli p ∈ X, to Tp X = Va (dp F1 , . . . , dp Fr ), gdzie
Pn ∂F
dp Fj = i=1 ∂Tji (p)(Ti − pi ), j = 1, . . . , r.
Rozpatrzmy pierścień wielomianów k[T, Z] = k[T1 , . . . , Tn , Z1 , . . . , Zn ] i spójrzmy na wielomiany
F1 , . . . , Fn jako na elementy pierścienia k[T, Z]. Niech G1 , . . . , Gj będą wielomianami należącymi do
k[T, Z] zdefiniowanymi następująco:
Pn ∂F
Gj = Gj (T, Z) = i=1 ∂Tji (T1 , . . . , Tn )(Zi − Ti ), j = 1, . . . , r.
Wtedy TX = Va (F1 , . . . , Fr , G1 , . . . , Gr ). Przykład 10.2.3. Niech char(k) 6= 2. Rozpatrzmy w przestrzeni k 2 okrąg X = Va (F ), gdzie
F = T12 + T22 − 1 ∈ k[T1 , T2 ]. Jeśli p = (p1 , p2 ) ∈ X, to dp F jest wielomianem, należącym do
pierścienia wielomianów k[Z1 , Z2 ], określonym wzorem
(dp F )(Z1 , Z2 ) =
∂F
∂T1 (p)(Z1
− p1 ) +
∂F
∂T2 (p)(Z2
− p2 )
= 2p1 (Z1 − p1 ) + 2p2 (Z2 − p2 ).
Przestrzeń styczna Tp X jest więc zbiorem wszystkich punktów a = (a1 , a2 ) ∈ k 2 takich, że
2p1 (a1 − p1 ) + 2p2 (a2 − p2 ) = 0.
Niech G będzie wielomianem należącym do k[T1 , T2 , Z1 , Z2 ], pierścienia wielomianów czterech
zmiennych, określonym wzorem:
G = G(T1 , T2 , Z1 , Z2 ) = d(T1 ,T2 ) F = 2T1 (Z1 − T1 ) + 2T2 (Z2 − T2 ).
Wówczas wiązka styczna TX jest zbiorem domkniętym w k 4 określonym przez wielomiany
F, G ∈ k[T1 , T2 , Z1 , Z2 ], tzn.,
TX = Va (F, G)
= {(p1 , p2 , a1 , a2 ) ∈ k 4 ; F (p1 , p2 ) = 0, G(p1 , p2 , a1 , a2 ) = 0}
= {(p1 , p2 , a1 , a2 ) ∈ k 4 ; p21 + p22 = 1, p1 (a1 − p1 ) + p2 (a2 − p2 ) = 0}. Rzutowanie π : TX −→ X, (p, a) 7→ p jest oczywiście odwzorowaniem regularnym. Jeśli
p ∈ X, to włókno π −1 (p) jest przestrzenią liniową {p} × Tp X izomorficzną z przestrzenią
Tp X. Mamy zatem:
Stwierdzenie 10.2.4. Trójka (TX, π, X) jest rodziną wektorową nad X. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
10.3
Derywacje pierścienia funkcji regularnych
Niech k[X] będzie k-algebrą funkcji regularnych na rozmaitości afinicznej X ⊆ k n .
Do tej pory mówiliśmy o derywacjach lokalnych w danym punkcie. Były to odwzorowania
z k[X] do k. Teraz rozważać będziemy dowolne k-derywacje pierścienia k[X], tzn., k-liniowe
odwzorowania D : k[X] −→ k[X] spełniające warunek:
D(f g) = f D(g) + gD(f ),
dla wszystkich f, g ∈ k[X].
10. Wiązka styczna
91
Stwierdzenie 10.3.1. Jeśli D : k[X] −→ k[X] jest k-derywacją i p ∈ X, to odwzorowanie
Dp : k[X] −→ k,
f 7→ D(f )(p)
(gdzie f ∈ k[X]) jest derywacją lokalną w punkcie p pierścienia k[X].
Dowód. Niech f, g ∈ k[X]. Wtedy
Dp (f g)
=
=
=
=
D(f g)(p)
(f D(g) + gD(f ))(p)
f (p)D(g)(p) + g(p)D(f )(p)
f (p)Dp (g) + g(p)Dp (f ). Jeśli X = k n , to k[X] jest pierścieniem wielomianów k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ]. W tym przypadku mamy następujące dobrze znane stwierdzenie.
Stwierdzenie 10.3.2. Dla każdego ciągu (F1 , . . . , Fn ) wielomianów pierścienia k[T ] istnieje
dokładnie jedna k-derywacja d : k[T ] −→ k[T ] taka, że d(Ti ) = Fi , dla i = 1, . . . , n. Derywacja
d określona jest wzorem
P
∂H
d(H) = ni=1 ∂T
Fi ,
i
dla wszystkich H ∈ k[T ]. W ogólnym przypadku wiemy, że k[X] = k[T ]/Ia (X). Jeśli d : k[T ] −→ k[T ] jest kderywacją spełniającą warunek d(Ia (X)) ⊆ Ia (X), to derywacja ta wyznacza k-derywację
D : k[X] −→ k[X] zdefiniowaną wzorem
D(H + Ia (X)) = d(H) + Ia (X),
dla H ∈ k[T ].
Poniższe stwierdzenie pokazuje, że każda k-derywacja pierścienia k[X] ma taką postać.
Stwierdzenie 10.3.3. Niech D będzie k-derywacją pierścienia k[X]. Istnieje wtedy k-derywacja d : k[T ] −→ k[T ] taka, że:
(1) d(Ia (X)) ⊆ Ia (X),
(2) D(H + Ia (X)) = d(H) + Ia (X), dla wszystkich H ∈ k[T ].
Dowód. Oznaczmy: A = Ia (X), ti = T1 + A, i = 1, . . . , n. Niech G1 , . . . , Gn będą wielomianami
z k[T ] takimi, że D(ti ) = Gi + A, dla i = 1, . . . , n. Rozpatrzmy k-derywację d pierścienia k[T ] taką, że
d(Ti ) = Gi , i = 1, . . . , n. Taka derywacja istnieje na mocy Stwierdzenia 10.3.2. Wtedy dla dowolnego
H ∈ k[T ] zachodzi równość D(H + A) = d(H) + A. Istotnie:
D(H + A)
= D(H(t1 , . . . , tn ))
Pn ∂H
=
i=1 ∂T (t1 , . . . , tn )D(ti )
Pn ∂Hi
=
i=1 ∂Ti Gi + A
= d(H) + A.
Spełniony jest wię warunek (2). Stąd też wynika warunek (1). Jeśli bowiem F ∈ A, to 0 + A =
D(F + A) = d(F ) + A, czyli d(F ) ∈ A. Zbiór wszystkich k-derywacji pierścienia k[X] oznaczamy przez Derk (k[X]). Zbiór ten jest
oczywiście k[X]-modułem.
10.4
Pola wektorowe i derywacje
Niech X będzie rozmaitością afiniczną.
92
10. Wiązka styczna
Definicja 10.4.1. Polem wektorowym na rozmaitości afinicznej X nazywamy każdy przekrój
wiązki stycznej TX.
Polem wektorowym na X jest więc każde odwzorowanie regularne s : X −→ TX takie,
że πs = 1X , gdzie π : TX −→ X jest rzutowaniem. Stąd w szczególności wynika, że jeśli
s : X −→ TX jest polem wektorowym i p ∈ X, to punkt s(p) jest postaci (p, a), dla pewnego
a ∈ Tp X
Zbiór wszystkich pól wektorowych na X oznaczać będziemy, przez Γ(TX). Wiemy, że zbiór
ten jest k[X]-modułem. Przypomnijmy działania. Niech s, s1 będą polami wektorowymi na
X, f ∈ k[X] i niech p ∈ X. Załóżmy, że s(p) = (p, a), s1 (p) = (p, a1 ), gdzie a, a1 ∈ Tp X.
Wtedy:
(s + s1 )(p) = (p, a ⊕p a1 )
= (p, a + a1 − p),
= (p, f (p) ∗p a) = (p, f (p)(a − p) + p).
(f s)(p)
Udowodnimy, że moduł Γ(TX) jest izomorficzny z k[X]-modułem Derk (k[X]), wszystkich
k-derywacji pierścienia k[X].
Niech A = Ia (X), k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] i niech t1 , . . . , tn będą warstwami odpowiednio
wielomianów T1 , . . . , Tn w pierścieniu k[X] = k[T ]/A. Załóżmy, że D : k[X] −→ k[X] jest
k-derywacją.
Jeśli p ∈ X, to oznaczmy przez aD (p) punkt (a1 , . . . , an ) ∈ k n taki, że
ai = D(ti )(p) + pi ,
dla wszystkich i = 1, . . . , n.
Lemat 10.4.2. aD (p) ∈ Tp X.
Dowód. Niech A = Ia (X) = (F1 , . . . , Fr ), gdzie F1 , . . . , Fr ∈ k[T ]. Wtedy
Tp X = Va (dp F1 , . . . , dp Fr ),
(Stwierdzenie 9.2.5).
Musimy zatem wykazać, że (dp Fj )(aD (p)) = 0, dla j = 1, . . . , r. Sprawdzamy:
(dp Fj )(aD (p))
∂Fj
i=1 ∂Ti (p)(aD (p) −
∂Fj
i=1 ∂Ti (p)D(ti )(p)
=
Pn
=
Pn
=
hP
pi )
i
∂Fj
n
i=1 ∂Ti (t1 , . . . , tn )D(ti )
(p)
= D(Fj (t1 , . . . , tn ))(p)
= D(Fj + A)(p) = (0 + A)(p) = 0.
Zatem aD (p) ∈ Tp X. Z każdą więc k-derywacją D pierścienia k[X] stowarzyszone jest odwzorowanie
sD : X −→ TX,
p 7→ (p, aD (p)).
Z określenia elementu postaci aD (p) wynika, że odwzorowanie to jest regularne. Spełniony
jest też oczywiście warunek πsD = 1X . Zatem sD ∈ Γ(TX) (tzn. sD jest polem wektorowym
na X). Mamy więc odwzorowanie
Φ : Derk (k[X]) −→ Γ(TX),
D 7→ sD .
10. Wiązka styczna
93
Stwierdzenie 10.4.3. Odwzorowanie Φ jest homomorfizmem k[X]-modułów.
Dowód. Niech D, D1 , D2 ∈ Derk (k[X]), f ∈ k[X] oraz p ∈ X. Zachodzą wtedy równości:
aD1 +D2 (p) = aD1 (p) + aD2 (p) − p i af D (p) = f (p)(aD (p) − p) + p. Istotnie, jeśli i = 1, . . . , n, t
[aD1 (p) + aD2 (p) − p]i
= (D1 (ti )(p) + pi ) + (D2 (ti )(p) + pi ) − pi
= D1 (ti )(p) + D2 (ti )(p) + pi
= (D1 + D2 )(ti )(p) + pi
= [aD1 +D2 (p)]i ;
[f (p)(aD (p) − p) + p]i
= f (p)(D(ti )(p) + pi − pi ) + pi
= f (p)D(ti )(p) + pi
= (f D)(ti )(p) + pi
= [af D (p)]i .
Stąd otrzymujemy następujące równości:
Φ(D1 + D2 )(p)
=
=
=
=
=
(p, aD1 +D2 (p))
(p, aD1 (p) + aD2 (p) − p)
(p, aD1 (p) ⊕p aD2 (p))
(p, aD1 (p)) + (p, aD2 (p))
(Φ(D1 ) + Φ(D2 ))(p);
Φ(f D)(p)
= (p, a(f D) (p))
= (p, f (p)(aD (p) − p) + p)
= (p, f (p) ∗p aD (p))
= (f Φ(D))(p).
Zatem Φ(D1 + D2 ) = Φ(D1 ) + Φ(D2 ) oraz Φ(f D) = f Φ(D). Skonstruowaliśmy k[X]-homomorfizm Φ : Derk (k[X]) −→ Γ(TX). Wykażemy, że homomorfizm ten jest izomorfizmem. W tym celu skonstruujemy odwzorowanie Ψ : Γ(TX) −→
Derk (k[X]).
kn
Niech s : X −→ TX będzie dowolnym polem wektorowym na X. Ponieważ s : X −→
× k n jest odwzorowaniem regularnym więc
s(p) = (p, (H1 (p), . . . , Hn (p))),
dla p ∈ X,
gdzie H1 , . . . , Hn są pewnymi wielomianami należącymi do pierścienia k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ].
Rozważmy k-derywację ∆ : k[T ] −→ k[T ] określoną wzorami
∆(Ti ) = Hi − Ti ,
i = 1, . . . , n.
Taka derywacja oczywiście istnieje (Stwierdzenie 10.3.2).
Lemat 10.4.4. ∆(A) ⊆ A.
Dowód. Przypomnijmy, że A = Ia (X). Niech A = (F1 , . . . , Fr ), gdzie F1 , . . . , Fr ∈ k[T ]. Ustalmy
jedno j ∈ {1, . . . , r}. Wystarczy pokazać, że ∆(Fj ) ∈ A czyli, że ∆(Fj )(p) = 0, dla wszystkich
p ∈ X. Niech więc p ∈ X. Wtedy (H1 (p), . . . , Hn (p)) ∈ Tp X = Va (dp F1 , . . . , dp Fr ), a zatem 0 =
Pn ∂Fj
Pn ∂Fj
i=1 ∂Ti ∆(Ti ))(p) = (∆(Fj )(p). i=1 ∂Ti (p)(Hi (p) − pi ) = (
94
10. Wiązka styczna
Derywacja ∆ : k[T ] −→ k[T ] indukuje więc, na mocy powyższego lematu, k-derywację D
pierścienia k[X] = k[T ]/A, określoną wzorem
D(F + A) = ∆(F ) + A,
F ∈ k[T ].
Z każdym zatem polem wektorowym s ∈ Γ(TX) stowarzyszona jest derywacja D ∈
Derk (k[X]) określona powyższym wzorem. Derywację tę oznaczać będziemy przez Ψ(s). W
ten sposób określiliśmy funkcję Ψ : Γ(TX) −→ Derk (k[X]). Jest oczywiste, że funkcja ta jest
homomorfizmem k[X]-modułów oraz, że ΦΨ = id, ΨΦ = id. Mamy zatem:
Twierdzenie 10.4.5. Moduły Derk (k[X]) i Γ(TX) są izomorficzne. Dokładniej, odwzorowanie
Φ : Derk (k[X]) −→ Γ(TX), D 7→ sD ,
jest izomorfizmem k[X]-modułów. Ponadto, Φ−1 = Ψ. To, że moduły Derk (k[X]) i Γ(TX) są izomorficzne można wykazać jeszcze w inny sposób.
Wiemy (na mocy Stwierdzenia 9.4.11), że przestrzeń Tp X możemy utożsamiać z przestrzenią
liniową Dp (k[X]), wszystkich lokalnych derywacji pierścienia k[X] w punkcie p. Wiązka styczna TX jest więc zbiorem wszystkich par (p, δ), gdzie p ∈ X i δ ∈ Dp (k[X]). Jeśli s : X −→ TX
jest polem wektorowym na X i p ∈ X, to s(p) jest parą postaci (p, δ), gdzie δ ∈ Dp (k[X]).
Działania w k[X]-module Γ(TX) są wtedy określone następująco.
Niech s, s1 będą polami wektorowymi na X, f ∈ k[X] i niech p ∈ X. Załóżmy, że s(p) =
(p, δ), s1 (p) = (p, δ1 ), gdzie δ, δ1 : k[X] −→ k są lokalnymi w punkcie p derywacjami. Wtedy:
(s + s1 )(p) = (p, δ + δ1 ),
(f s)(p) = (p, f (p)δ).
Wiemy (Stwierdzenie 10.3.1), że jeśli D : k[X] −→ k[X] jest k-derywacją i p ∈ X, to odwzorowanie
Dp : k[X] −→ k, f 7→ D(f )(p)
(gdzie f ∈ k[X]) jest derywacją lokalną w punkcie p pierścienia k[X]. Z każdą więc kderywacją D pierścienia k[X] stowarzyszone jest odwzorowanie
SD : X −→ TX,
p 7→ (p, Dp ).
Nietrudno wykazać, że odwzorowanie SD jest regularne i spełnia warunek πSD = 1X . Zatem SD ∈ Γ(TX) (tzn. SD jest polem wektorowym na X). Twierdzenie 10.4.5 można teraz
wysłowić następująco:
Twierdzenie 10.4.6. Odwzorowanie
Υ : Derk (k[X]) −→ Γ(TX),
D 7→ SD ,
jest izomorfizmem k[X]-modułów.
Dowód. Fakt, że Υ jest homomorfizmem wynika z oczywistych równości:
(D + D0 )p = Dp + Dp0 ,
dla wszystkich D, D0 ∈ Derk (k[X])), f ∈ k[X], p ∈ X.
(f D)p = f (p)Dp ,
10. Wiązka styczna
95
Niech Υ(D) = 0, gdzie D ∈ Derk (k[X]). Wtedy SD = 0, więc Dp = 0, dla wszystkich p ∈ X.
Stąd dalej wynika, że 0 = Dp (f ) = D(f )(p), dla wszystkich f ∈ k[X] i p ∈ X. To z kolei oznacza,
że D(f ) = 0, dla wszystkich f ∈ k[X], czyli D = 0. Wykazaliśmy więc, że odwzorowanie Υ jest
różnowartościowe.
Załóżmy teraz, że s : X −→ TX jest dowolnym polem wektorowym na X. Wówczas dla każdego
p ∈ X mamy lokalną derywację δp : k[X] −→ k taką, że s(p) = (p, δp ). Definiujemy odwzorowanie
D : k[X] −→ k[X] przyjmując
D(f )(p) = δp (f ),
dla f ∈ k[X], p ∈ X.
Pokażemy, że D jest k-derywacją pierścienia k[X]. Jest oczywiste, że D jest przekształceniem liniowym.
Niech f, g ∈ k[X]. Wtedy dla każdego p ∈ X mamy:
D(f g)(p)
=
=
=
=
δp (f g)
f (p)δp (g) + g(p)δp (f )
f (p)D(g)(p) + g(p)D(f )(p)
(f D(g) + gD(f ))(p).
Zatem D(f g) = f D(g)+gD(f ), a więc D ∈ Derk (k[X]). Ponieważ s = SD = Υ(D), więc wykazaliśmy,
że odwzorowanie Υ jest surjekcją. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
10.5
Nawias Liego pól wektorowych
Niech X ⊆ k n będzie rozmaitością afiniczną. Niech s : X −→ TX będzie polem wektorowym. Przypomnijmy w skrócie to o czym mówiliśmy w poprzednim podrozdziale. Z regularności odwzorowania s wynika, że istnieją wielomiany H1 , . . . , Hn ∈ k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ] takie,
że s(p) = (p, (H1 (p), . . . , Hn (p))), dla wszystkich p ∈ X. Wielomiany te definiują k-derywację
∆ : k[T ] −→ k[T ] zachowującą ideał A = Ia (X), a zatem definiują k-derywację D pierścienia
k[X] = k[T ]/A. Mamy wtedy D(F + A) = ∆(F ) + A oraz ∆(Ti ) = Hi − Ti , dla wszystkich
i = 1, . . . , n.
Zachodzi też odwrotnie. Niech D : k[X] −→ k[X] będzie k-derywacją. Istnieją wówczas
wielomiany G1 , . . . , Gn ∈ k[T ] określone wzorami D(ti ) = Gi + A, dla i = 1, . . . , n, gdzie
ti = Ti + A. Mamy zatem k-derywację ∆ : k[T ] −→ k[T ] (taką, że ∆(Ti ) = Gi ), zachowującą
ideał A. Z derywacją D stowarzyszone jest pole wektorowe S : X −→ TX określone wzorem
s(p) = (p, (H1 (p), . . . , Hn (p))),
p ∈ X,
gdzie Hi = Gi + Ti , i = 1, . . . , n.
Wiemy, że powyższe dwa przyporządkowania są wzajemnie odwrotne.
Zbiór Derk (k[X]), wszystkich k-derywacji pierścienia k[X], ma strukturę k-algebry Liego
z nawiasem
[D1 , D2 ] = D1 D2 − D2 D1 .
Dzięki izomorfizmowi Derk (k[X]) ≈ Γ(TX), strukturę tę można przenieść na Γ(TX). Mamy
zatem nawias Liego [ , ] : Γ(TX) × Γ(TX) −→ Γ(TX).
Stwierdzenie 10.5.1. Niech s1 , s2 : X −→ TX będą polami wektorowymi takimi, że
s1 (p) = (p, (A1 (p), . . . , An (p))),
s2 (p) = (p, (B1 (p), . . . , Bn (p))),
dla p ∈ X, gdzie A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bn ∈ k[T ]. Wtedy [s1 , s2 ](p) = (p, (C1 (p), . . . , Cn (p))),
gdzie
P
Pn ∂(Bi −Ai )
∂Ai
i
Ci = ni=1 ( ∂B
Tj + (Bi − Ai ) + Ti ,
j=1
∂Tj Aj − ∂Tj Bj ) −
∂Tj
dla i = 1, . . . , n.
96
10. Wiązka styczna
Dowód. Niech ∆1 , ∆2 będą k-derywacjami pierścienia wielomianów k[T ] określonymi wzorami
∆1 (Ti ) = Ai − Ti , ∆2 (Ti ) = Bi − Ti , i = 1, . . . , n. Mamy wówczas:
Ci − Ti
=
∆1 ∆2 (Ti ) − ∆2 ∆1 (Ti )
∆1 (Bi − Ti ) − ∆2 (Ai − Ti )
Pn ∂Bi
Pn ∂Ai
=
j=1 ∂Tj ∆2 (Tj ) + ∆2 (Ti )
j=1 ∂Tj ∆1 (Tj ) − ∆1 (Ti ) −
Pn ∂Bi
∂Ai
=
j=1 ( ∂Tj (Aj − Tj ) − ∂Tj (Bj − Tj )) − (Ai − Ti ) + (Bi − Ti )
Pn ∂Bi
Pn ∂(Bi −Ai )
∂Ai
=
Tj + (Bi − Ai ),
j=1 ( ∂Tj Aj − ∂Tj Bj ) −
j=1
∂Tj
=
dla wszystkich i = 1, . . . , n. Jeśli char(k) = p > 0 i D ∈ Derk (k[X]), to odwzorowanie Dp jest k-derywacją pierścienia
k[X]. Z każdym zatem polem wektorowym s : X −→ TX stowarzyszone jest, w tym przypadku, pole wektorowe s[p] : X −→ TX odpowiadające derywacji Dp , gdzie D jest derywacją
wyznaczoną przez pole s.
11
Rozmaitości normalne
11.1
Normalność
Przypomnijmy, że pierścień bez dzielników zera nazywamy normalnym (lub całkowicie
domkniętym) jeśli jest całkowicie domknięty w swoim ciele ułamków. Pierścieniami normalnymi są np. Z, k[T1 , . . . , Tn ] i ogólniej: każda dziedzina z jednoznacznością rozkładu.
Definicja 11.1.1. Mówimy, że nieprzywiedlna rozmaitość afiniczna X jest normalna, jeśli pierścień k[X] jest normalny. Mówimy, że nieprzywiedlna rozmaitość quasi-rzutowa jest
normalna, jeśli każdy punkt rozmaitości X zawarty jest w pewnym afinicznym otwartym
podzbiorze normalnym.
Przykład 11.1.2. Krzywa X ⊆ k 2 dana równaniem y 2 = x3 + x2 nie jest rozmaitością
normalną.
Dowód. Element t = y/x ∈ k(X) jest całkowity nad k[X], gdyż t2 = 1 + x. Ale t 6∈ k[X]. Stwierdzenie 11.1.3 ([Szaf88] 155). Jeśli X jest nieprzywiedlną rozmaitością quasi-rzutową, to następujące dwa warunki są równowaṅe.
(1) Rozmaitość X jest normalna.
(2) Dla każdego punktu p ∈ X pierścień Op (X) jest normalny. Ponieważ (jak wiemy) każdy lokalny pierścień regularny jest dziedziną z jednoznacznością
rozkładu (czyli jest w szczególności pierścieniem normalnym), więc z powyższego stwierdzenia
wynika:
Twierdzenie 11.1.4. Każda nieprzywiedlna rozmaitość gładka jest normalna. Istnieją rozmaitości normalne, które nie są gładkie. Przykładem takiej rozmaitości jest
stożek X ⊂ k 3 , dany równaniem x2 + y 2 = z 2 , gdzie char(k) 6= 2 ([Szaf88] 154). Istnieją
nawet takie rozmaitości normalne X, które nie są gładkie i każdy pierścień lokalny Op (X)
(dla wszystkich p ∈ X) jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu ([Szaf88] 157).
Twierdzenie 11.1.5 ([Szaf88] 156). Niech X będzie normalną rozmaitością quasi-rzutową i niech Y ⊂ X będzie jej podrozmaitością kowymiaru 1. Istnieje wówczas otwarty podzbiór
afiniczny X 0 ⊆ X taki, że X 0 ∩ Y 6= ∅ i ideał rozmaitości X 0 ∩ Y jest ideałem głównym w
pierścieniu k[X 0 ]. Przypomnijmy (Stwierdzenie 9.8.5), że zbiór wszystkich punktów osobliwych danej rozmaitości X jest domknięty w X i różny od X.
Twierdzenie 11.1.6 ([Szaf88] 157). Zbiór wszystkich punktów osobliwych rozmaitości
quasi-rzutowej normalnej ma kowymiar nie mniejszy niż 2. 97
98
11. Rozmaitości normalne
Stąd w szczególności otrzymujemy:
Wniosek 11.1.7 ([Szaf88] 157). Jeśli X jest algebraiczną krzywą, to X jest rozmaitością
normalną wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozmaitością gładką. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
11.2
Normalizacja
Definicja 11.2.1. Normalizacją nieprzywiedlnej rozmaitości quasi-rzutowej X nazywamy
każdą nieprzywiedlną normalną rozmaitość quasi-rzutową X ν taką, że istnieje regularne odwzorowanie ν : X ν −→ X będące odwzorowaniem skończonym i biwymiernym izomorfizmem.
Przykład 11.2.2. Rozpatrzmy krzywą X ⊆ k 2 daną równaniem y 2 = x3 + x2 . Wiemy z
Przykładu 11.1.2, że X jest nieprzywiedlną rozmaitością, która nie jest normalna. Znajdziemy
jej normalizację. Określamy w tym celu funkcję
f : k 1 −→ X,
a 7−→ (a2 − 1, a(a2 − 1)).
Funkcja ta jest biwymiernym izomorfizmem. Odwzorowanie odwrotne określone jest poza
(0, 0) i ma postać (x, y) 7→ t = y/x. Zauważmy, że f (k 1 ) = X, a zatem f ∗ : k[X] −→ k[k 1 ] jest
włożeniem. Niech t1 , t2 będą warstwami wielomianów T1 , T2 w k[X]. Wtedy f ∗ (t1 ) = t2 − 1,
f ∗ (t2 ) = t(t2 − 1). Stąd wynika, że pierścień k[k 1 ] jest całkowity nad k[X], gdyż t spełnia
równanie t2 = t1 +1. Zatem f jest odwzorowaniem skończonym. Rozmaitość k 1 jest oczywiście
normalna. Widzimy więc, że k 1 jest normalizacją rozmaitości X. Podamy teraz kilka faktów dotyczących normalizacji.
Twierdzenie 11.2.3 ([Szaf88] 159). Każda nieprzywiedlna rozmaitość afiniczna posiada
afiniczną
normalizację. Normalizacja ta jest wyznaczona jednoznacznie, z dokładnością do regularnego
izomorfizmu. Twierdzenie 11.2.4 ([Szaf88] 161). Każda nieprzywiedlna krzywa quasi-rzutowa posiada
normalizację (która jest oczywiście nieprzywiedlną krzywą quasi-rzutową). Twierdzenie 11.2.5 ([Szaf88] 163). Normalizacja krzywej rzutowej jest krzywą rzutową.
Wniosek 11.2.6 ([Szaf88] 163). Każda nieprzywiedlna krzywa quasi-rzutowa jest biwymiernie izomorficzna z gładką krzywą rzutową. Twierdzenie 11.2.7 ([Szaf88]168, [Harr]193). Każda gładka rozmaitość quasi-rzutowa
wymiaru n jest regularnie izomorficzna z rozmaitością quasi-rzutową zawartą w P2n+1 . W
szczególności, każda quasi-rzutowa krzywa gładka jest regularnie izomorficzna z krzywą zawrtą
w P3 . Każda powierzchnia quasi-rzutowa gładka jest regularnie izomorficzna z powierzchnią
quasi-rzutową zawartą w P5 . 12
Dywizory
Każdy wielomian jednej zmiennej f (t) ∈ k[t] jest postaci f (t) = c · (t − a1 )α1 · · · (t −
as
gdzie c, a1 , . . . , as ∈ k, α1 , . . . , αs > 0. Każdy taki wielomian jest więc, z dokładnością
do niezerowej stałej c ∈ k, wyznaczony przez elementy a1 , . . . , as ciała k i nieujemne liczby
całkowite α1 , . . . , αs . Podobną własność ma każda funkcja wymierna ϕ(t) ∈ k(t). Niech ϕ(t) =
f (t)/g(t), gdzie f (t), g(t) ∈ k[t]. Wtedy
)αs ,
α1
αs
···(t−as )
1)
= c · (t − a1 )α1 · · · (t − as )αs (t − b1 )−β1 · · · (t − br )−βr .
ϕ(t) = c (t−a
(t−b )β1 ···(t−b )βr
1
r
Funkcję wymierną ϕ ∈ k(t) możemy zatem przedstawić w postaci ϕ(t) = c · (t − a1 )α1 · · · (t −
as )αs , gdzie c ∈ k, a1 , . . . , as ∈ k oraz α1 , . . . , αs są liczbami całkowitymi.
W niniejszym rozdziale podamy pewne uogólnienie powyższego przedstawienia dla dowolnych funkcji wymiernych ϕ na nieprzywiedlnej rozmaitości quasi-rzutowej X. Rolę punktów
a1 , . . . , as odgrywać będą dowolne nieprzywiedlne podrozmaitości w X kowymiaru 1.
12.1
Podrozmaitości kowymiaru 1
Niech X będzie nieprzywiedlną rozmaitością quasi-rzutową wymiaru s (przypomnijmy, że
s = dim X = tr. degk k(X)). Oznaczmy przez N(X) zbiór wszystkich nieprzywiedlnych domkniętych podzbiorów rozmaitości X kowymiaru 1. Przypomnijmy kilka faktów dotyczących
zbioru N(X).
Twierdzenie 12.1.1. Y ∈ N(k n ) ⇐⇒ Y = Va (F ), gdzie F jest nieprzywiedlnym wielomianem w k[T1 , . . . , Tn ]. Twierdzenie 12.1.2. Y ∈ N(Pn ) ⇐⇒ Y = Vp (F ), gdzie F jest nieprzywiedlnym wielomianem jednorodnym k[S0 , . . . , Sn ]. Twierdzenie 12.1.3. Niech X będzie normalną rozmaitością quasi-rzutową i niech Y ∈
N(X). Istnieje wówczas otwarty podzbiór afiniczny X 0 ⊆ X taki, że X 0 ∩ Y 6= ∅ i ideał
rozmaitości X 0 ∩ Y jest ideałem głównym w pierścieniu k[X 0 ]. O powyższych twierdzeniach mówiliśmy w rozdziałach 10 i 14. W szczególności N(k 1 )
jest zbiorem wszystkich punktów w k 1 . Przypomnijmy, że każdą nieprzywiedlną rozmaitość
quasi-rzutową C ∈ Pn wymiaru 1 nazywamy krzywą. Domkniętymi podzbiorami krzywej C
są zbiory skończone lub C. Stąd wynika:
Twierdzenie 12.1.4. Jeśli C jest krzywą, to N(C) = C, tzn. N(C) jest zbiorem wszystkich
punktów krzywej C. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.2
Grupa dywizorów
Zakładamy, że X jest nieprzywiedlną rozmaitością quasi-rzutową.
99
100
12. Dywizory
Definicja 12.2.1. Z-moduł wolny rozpięty na zbiorze N(X) nazywamy grupą dywizorów na
X i oznaczamy przez DIV(X). Każdy element grupy DIV(X) nazywamy dywizorem na X.
Każdy dywizor D na X jest więc postaci D = α1 C1 + · · · + αr Cr , gdzie α1 , . . . , αr ∈ Z,
C1 , . . . , Cr ∈ N(X). Przedstawienie takie jest oczywiście jednoznaczne. Jeśli wszyskie liczby
α1 , . . . , αr są większe od 0, to mȯwimy, że dywizor D jest efektywny. Piszemy wtedy: D > 0.
Jeśli D = 0 lub D > 0 to piszemy: D > 0. Dywizor D nazywamy prostym jeśli r = 1 i
α1 = 1, tzn. jeśli D ∈ N(X). Jeśli D = α1 C1 + · · · + αr Cr i wszystkie liczby α1 , . . . , αr są
różne od 0, to zbiór C1 ∪ · · · ∪ Cr oznaczmy przez Supp(D) i nazywamy nośnikiem dywizora
D. Zauważmy, że Supp(D) jest domkniętym podzbiorem w X.
Wiemy, że nieprzywiedlne zbiory domknięte kowymiaru 1 w k 1 , to zbiory jednoelementowe
(punkty). Zatem DIV(k 1 ) jest abelową grupą wolną rozpiętą na zbiorze k 1 . Jeśli L jest ciałem
to przez L∗ oznaczamy grupę L r 0.
Stwierdzenie 12.2.2. DIV(k 1 ) ≈ k(t)∗ /k ∗ .
Dowód. Określimy surjekcję grup f : k(t)∗ −→ DIV(k1 ), której jądrem będzie k∗ . Jeśli ϕ ∈
∗
k(t) , to ϕ = F/G, gdzie wielomiany F, G ∈ k[t] są postaci F = a(t − a1 )α1 · · · (t − ap )αp , G =
b(t − b1 )β1 · · · (t − bq )βq , to przyjmujemy f (ϕ) = α1 a1 + · · · + αp ap − β1 b1 − · · · − βq bq . Jest jasne, że
f (ϕ) nie zależy od przedstawienia ϕ = F/G i oczywiście f jest surjekcją grup z jądrem równym k ∗ .
Nieprzywiedlne zbiory domknięte kowymiaru 1 w k n są zbiorami postaci Va (F ), gdzie
F jest nieprzywiedlnym wielomianem z k[T ] = k[T1 , . . . , Tn ]. Zatem DIV (k n ) jest abelową
grupą wolną rozpiętą na zbiorze wszystkich nieprzywiedlnych wielomianów z k[T ]. Zastępując w dowodzie powyższego stwierdzenia wszystkie wielomiany postaci (t − ai ), (t − bj )
nieprzywiedlnymi wielomianami, otrzymujemy:
Stwierdzenie 12.2.3. DIV(k n ) ≈ k(T1 , . . . , Tn )∗ /k ∗ . oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.3
Dywizory główne
Zakładamy, że nieprzywiedlna rozmaitość quasi-rzutowa X jest nieprzywiedlna w kowymiarze 1, tzn. zbiór punktów osobliwych rozmaitości X (który, jak wiemy, jest zbiorem domkniętym w X) ma kowymiar > 2. Taką rozmaitością jest każda rozmaitość normalna. W
szczególności taką rozmaitością jest każda rozmaitość gładka.
Załóżmy, że C jest nieprzywiedlnym zbiorem domkniętym w X kowymiaru 1, tzn. C ∈
N(X). Istnieje wtedy (na mocy Twierdzenia 12.1.3) afiniczny zbiór otwarty U ⊆ X taki,
że U ∩ C 6= ∅ i ideał rozmaitości U ∩ C (tzn. {f ∈ k[U ]; ∀a∈U ∩C f (a) = 0}) jest ideałem
głównym w k[U ]. Oznaczmy ten ideał przez (π). Jeśli f ∈ k[U ] r 0, to przez νC (f ) oznaczamy
nieujemną liczbę całkowitą p taką, że f ∈ (π p ), f 6∈ (π p+1 ). Taka liczba p = νC (f ) oczywiście
istnieje. Jeśli ϕ = f /g ∈ k(U ), to przyjmujemy νC (ϕ) = νC (f ) − νC (g). Jest jasne, że liczba
całkowita νC (ϕ) nie zależy od przedstawienia ϕ = f /g, f, g ∈ k[U ].
Niech teraz ϕ ∈ k(X). Ponieważ k(X) = k(U ), więc mamy liczbę νC (ϕ) zdefiniowaną
przy pomocy afinicznego podzbioru U ⊆ X. Można udowodnić ([Szaf88] 186), że liczba ta nie
zależy od wyboru U . Można ponadto udowodnić następujące dwa stwierdzenia:
Stwierdzenie 12.3.1. Niech ϕ, ψ ∈ k(X). Wtedy:
(1) νC (ϕψ) = νC (ϕ) + νC (ψ),
(2) νC (ϕ + ψ) > min(νC (ϕ), νC (ψ)), o ile ϕ + ψ 6= 0. Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003
12. Dywizory
101
Stwierdzenie 12.3.2. Jeśli ϕ ∈ k(X), to zbiór {C ∈ N(X); νC (ϕ) 6= 0} jest skończony. W ten sposób z każdą funkcją wymierną ϕ ∈ k(X) możemy stowarzyszyć dywizor
[ϕ] =
X
νC (ϕ)C.
C∈N(X)
Nazywamy go dywizorem głównym. Jeśli ϕ, ψ ∈ k(X), to [ϕ] + [ψ] = [ϕψ]. Dywizory główne
stanowią więc podgrupę grupy DIV(X). Oznaczamy ją przez P (X). Grupę DIV(X)/P (X)
oznaczamy przez Cl(X) i nazywamy grupą klas dywizorów na X. Jeśli D, D0 ∈ DIV(X), to
piszemy D ∼ D0 w przypadku, gdy D − D0 ∈ P (X).
Z dowodu Stwierdzenia 12.2.3 (patrz dowód Stwierdzenia 12.2.2) otrzymujemy:
Stwierdzenie 12.3.3. Cl(k n ) = 0. Stwierdzenie 12.3.4. Cl(Pn ) ≈ Z.
Dowód. Nieprzywiedlne zbiory domknięte kowymiaru 1 w Pn są zbiorami postaci Vp (F ), gdzie
F jest nieprzywiedlnym wielomianem
jednorodnym z k[S] = k[S0 , . . . , Sn ]. Każdy zatem dywizor
P
D ∈ DIV(Pn ) jest postaci D = i mi Vp (Fi ), gdzie mi ∈ Z i każde Fi jest jednorodnym
wielomianem
P
nieprzywiedlnym w k[S]. Definiujemy stopień deg D przyjmując deg D = i mi deg Fi . Zauważmy,
że funkcja deg : DIV(Pn ) −→ Z jest homomorfizmem grup. Jest to ponadto surjekcja (gdzyż m =
deg(mVp (S0 )), dla m ∈ Z).
Przypomnijmy (patrz Rozdział 6), że
k(Pn ) = k(T ) = k{S} = {F/G; F, G ∈ Formk [S0 , . . . , Sn ], deg F = deg G}
i rozważmy monomorfizm grup α : k(Pn )∗ /k ∗ −→ DIV(Pn ) określony wzorem
m
u=
aF1 1 ···Frmr
n
s
bG1 1 ···Gn
s
7−→ m1 Vp (F1 ) + · · · + mr Vp (Fr ) − n1 Vp (G1 ) − · · · − ns Vp (Gs ).
Mamy wtedy następujący ciąg grup abelowych:
α
deg
0 −→ k(Pn )∗ /k ∗ −→ DIV(Pn ) −→ Z −→ 0.
(12.1)
Pokażemy, że ciąg ten jest dokładny. Wystarczy pokazać, że Im α = Ker deg. Niech D ∈ Im α. Wtedy
D = α(u) = m1 Vp (F1 ) + · · · + mr Vp (Fr ) − n1 Vp (G1 ) − · · · − ns Vp (Gs ),
gdzie u jest takie, jak powyżej. W liczniku
i mianowniku elementu
P
P u mamy wielomiany tego samego
stopnia. Stopień licznika jest równy
mi deg Fi , a mianownika
nj deg Gj . Zatem
X
X
deg D =
mi deg Fi −
nj deg Gj = 0.
Oznacza to, że Im α ⊆ Ker deg. Niech teraz D = m1 Vp (F1 ) + · · · + mr Vp (Fr ) − n1 Vp (G1 ) − · · · −
ns Vp (Gs ) (gdzie liczby m1 , . . . ,P
mr , n1 , . . . , ns są
do DIV(Pn )
Pdodatnie) będzie dywizorem należącym
m1
takim, że deg(D) = 0. Wtedy
mi deg Fi =
nj deg Gj , a zatem formy F = F1 · · · Frmr i G =
n1
ns
G1 · · · Gs mają jednakowy stopień. Widzimy więc, że F/G ∈ k(Pn )∗ i α(F/G + k ∗ ) = D.
Wykazaliśmy, że ciąg (12.1) jest dokładny. Z określenia homomorfizmu α wynika, że Im α jest
grupą P (Pn ), dywizorów głównych rozmaitości Pn . Mamy zatem:
Cl(Pn ) = DIV(Pn )/P (Pn ) ≈ Im(deg) = Z
i to kończy dowód stwierdzenia. 102
12. Dywizory
Stwierdzenie 12.3.5 ([Szaf88] 189). Cl(Pn1 × · · · × Pnr ) = Zr , Cl(X × k 1 ) ≈ Cl(X). Twierdzenie 12.3.6 ([Szaf88] 193). Jeśli rozmaitość X jest gładka, a1 , . . . , am ∈ X i
D ∈ DIV(X), to istnieje dywizor D0 ∈ DIV(X) taki, że D ∼ D0 i a1 , . . . , am 6∈ Supp(D0 ). Uwaga 12.3.7. Wprowadziliśmy dywizory główne. Istnieje jeszcze inna wyróżniona klasa dywizorów. Są to tak zwane dywizory lokalnie główne, które też tworzą podgrupę grupy
DIV(X). Odpowiednią grupę ilorazową oznacza się przez PIC(X) i nazywa grupą Picara rozmaitości X. Tą grupą nie będziemy się tu zajmować. Jeśli [ϕ] =
P
i αi Ci
jest dywizorem głównym, to oznaczamy:
[ϕ]0 =
X
αi >0
αi Ci ,
[ϕ]∞ = −
X
αi Ci .
αi <0
Wtedy [ϕ] = [ϕ]0 − [ϕ]∞ . Dywizory [ϕ]0 , [ϕ]∞ są oczywiście efektywne. Dywizor [ϕ]0 nazywamy dywizorem zer funkcji ϕ, a dywizor [ϕ]∞ ıdywizorem biegunów funkcji ϕ.
Z definicji dywizora głównego wynika, że jeśli f ∈ k[X], to [f ] jest dywizorem efektywnym. Można udowodnić ([Szaf88] 187), że jeśli X jest rozmaitością gładką, to zachodzi też
odwrotnie: jeżeli ϕ ∈ k(X) i dywizor [ϕ] jest efektywny, to ϕ ∈ k[X]. To samo zachodzi dla
rozmaitości normalnych.
Wiemy, że jeśli rozmaitość X jest rzutowa, to każda funkcja regularna na X jest funkcją
stałą. Z tego wynika, że jeśli dywizor [ϕ], funkcji wymiernej ϕ na takiej rozmaitości (normalnej) , jest efektywny, to ϕ jest funkcją stałą. Stąd dalej wynika:
Wniosek 12.3.8. Niech f, g ∈ k(X), gdzie X jest normalną rozmaitością rzutową. Jeśli
[f ] = [g], to istnieje stała α ∈ k taka, że f = αg.
Dowód. Jeśli [f ] = [g], to [f g −1 ] = 0, więc dywizor [f g −1 ] jest efektywny. Zatem f g −1 jest
elementem ciała k. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.4
Przestrzeń liniowa stowarzyszona z dywizorem
Niech X będzie gładką nieprzywiedlną rozmaitością quasi-rzutową i niech D będzie dywizorem należącym do DIV(X). Załóżmy, że
D = α1 C1 + · · · + αr Cr ,
gdzie α1 , . . . , αr ∈ Z oraz C1 , . . . , Cr ∈ N(X). Przypomnijmy, że jeśli wszyskie liczby α1 , . . . ,
αr są nieujemne, to piszemy D > 0. Dywizor D jest efektywny jeśli wszystkie liczby α1 , . . . , αr
są większe od zera. Jeśli D0 jest drugim dywizorem na X, to piszemy D0 > D w przypadku,
gdy D0 − D > 0. W szczególności jeśli f, g ∈ k(X), to [f ] > [g] wtedy i tylko wtedy, gdy
νC (f ) > νC (g), dla wszystkich C ∈ N(X).
Z każdym dywizorem D ∈ DIV(X) stowarzyszamy podzbiór L(D) ciała k(X) zdefiniowany następująco:
Definicja 12.4.1. L(D) = {f ∈ k(X) r 0; [f ] + D > 0} ∪ {0}.
Lemat 12.4.2. L(D) jest przestrzenią liniową nad ciałem k.
12. Dywizory
103
Dowód. Niech f ∈ k(X) r 0 i a ∈ k r 0. Z definicji liczb całkowitych postaci νC (f ) wynika, że
νC (f ) = νC (af ), dla wszystkich C ∈ N(X). Zatem [af ] = [f ]. Jeśli więc f ∈ L(D), to af ∈ L(D).
Addytywność zbioru L(D) wynika z nierówności νC (f + g) > min(νC (f ), νC (g)). Definicja 12.4.3. L(D) nazywamy przestrzenią liniową stowarzyszoną z dywizorem D. Wymiar przestrzeni L(D) nad k nazywamy wymiarem dywizora D i oznaczamy przez l(D).
Niech D, D0 będą dywizorami na X. Jest oczywiste, że jeśli D 6 D0 , to L(D) ⊆ L(D0 )
i stąd l(D) 6 l(D0 ). Przypomnijmy, że D ∼ D0 ⇐⇒ D − D0 ∈ P (X). Można udowodnić
([Szaf88] 197), że jeśli D ∼ D0 , to l(D) = l(D0 ).
Przestrzeń L(D) odgrywa ważną rolę w przypadku, gdy X jest gładką rozmaitością rzutową. W tym przypadku można udowodnić:
Twierdzenie 12.4.4 ([Szaf88] 197, 211). Jeśli D jest dywizorem na gładkiej rozmaitości
rzutowej X, to jego wymiar l(D) jest liczbą skończoną. Zakładać będziemy teraz, że X jest gładką krzywą rzutową. Przypomnijmy, że w tym
przypadku N(X) = X, tzn. N(X) jest zbiorem wszystkich punktów krzywej X.
Definicja 12.4.5. Jeśli D = α1 C1 + · · · + αr Cr , jest dywizorem na X, to liczbę całkowitą
α1 + · · · + αr oznaczamy przez deg D i nazywamy stopniem dywizora D.
Można udowodnić:
Twierdzenie 12.4.6. Jeśli X jest gładką krzywą rzutową i f ∈ k(X) r k, to deg[f ]0 =
(k(X) : k(f )) < ∞. Stąd wynika:
Wniosek 12.4.7. Jeśli X jest gładką krzywą rzutową i f ∈ k(X) r 0, to deg[f ] = 0. Można również udowodnić następujące
Twierdzenie 12.4.8 (Riemanna). Jeśli X jest gładką krzywą rzutową, to istnieje stała
liczba g taka, że
l(D) > deg D + 1 − g,
dla wszystkich dywizorów D ∈ DIV(X). Przyjmując w powyższym twierdzeniu D = 0 widzimy, że g > 0 (gdyż 1 > 0 + 1 − g).
Definicja 12.4.9. Najmniejszą z liczb g spełniających związek zawarty w Twierdzeniu Riemanna nazywamy rodzajem krzywej rzutowej X.
Przy k = C rodzaj g jest identyczny z klasycznym rodzajem powierzchni.
Twierdzenie 12.4.10 (Riemanna - Rocha). Jeśli X jest gładką krzywą rzutową, to istnieje kanoniczny dywizor W ∈ DIV(X) taki, że
l(D) = deg D + 1 − g + l(W − D),
dla wszystkich dywizorów D ∈ DIV(X), gdzie g jest rodzajem krzywej X. 104
12. Dywizory
Przy D = 0 otrzymujemy l(W ) = g. Przy D = W otrzymujemy deg W = 2g − 2. Jeśli
deg D > 2g − 2, to l(W − D) = 0, a zatem dla takich D zachodzi równość w Twierdzeniu
Riemanna. Można udowodnić, że g = 0 ⇐⇒ X jest biwymiernie izomorficzne z P1 . Ponadto,
g = 1 ⇐⇒ X jest krzywą eliptyczną, tzn. X jest biwymiernie izomorficzne z płaską krzywą gładką trzeciego stopnia. Można też udowodnić, że jeśli X jest krzywą gładką trzeciego
stopnia, to na X istnieje struktura grupy abelowej taka, że Cl(X) ≈ X.
Spis cytowanej literatury
105
Literatura
[At-Mac] M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley
Publishing Company, 1969.
[BalJ85] S. Balcerzyk, T. Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN, Warszawa 1985.
[Bebe76] L. Bebe, Mini geometria, Kwant 6(1976) 2-12.
[Fult78] W. Fulton, Algebraic Curves, An Introduction to Algebraic Geometry, Advanced Book Classics, Addison-Wesley, Reading, Mass., (1978).
[Harr] J. Harris, Algebraic Geometry. A First Course. Graduate Texts in Mathematics 133, SpringerVerlag, 1992.
[Hart67] R. Hartshorne, Foundations of Projective Geometry, W. A. Benjamin, Inc. New York, 1967.
Tłum. ros. Moskwa 1970.
[Kart76] F. Karteszi, Introduction to finite geometries, Akademiai Kiado, Budapest, 1976.
[MatEn] Matematyczna Encyklopedia, Tomy 1 - 5, Moskwa, 1977 - 1985.
[Now94a] A. Nowicki, Polynomial derivations and their rings of constants, UMK, Toruń, 1994.
[Now95a] A. Nowicki, Moduł różniczek, Preprint 1995.
[Spri81] T. A. Springer, Invariant Theory, Lecture Notes in Mathemathics 585, 1977, (przekład rosyjski: MIR, Moskwa 1981).
[Szaf72] I. R. Szafarewicz, Podstawy geometrii algebraicznej (po rosyjsku), Izd. Nauka, Moskwa, 1972.
[Szaf88] I. R. Szafarewicz, Podstawy geometrii algebraicznej (po rosyjsku), Second Ed., v.1, v.2, Izd.
Nauka, Moskwa, 1988.
[Tull67] A. Tuller, A Modern Introduction to Geometries, D. van Nostrand Company, Inc., Toronto,
New York, London, 1967.
[ZarSam] O. Zariski, P. Samuel, Commutative Algebra, New York: D. Van Nostrand, vol. I, 1958, vol.
II, 1960.

Algebraiczna geometria rzutowa

Transkrypt

Podobne dokumenty

Najszybsi maratończycy rodzą się w Afryce

Geometria różniczkowa / Andrzej Jankowski. – Gdańsk, 2015 Spis

Dzisiaj krótko - Inwentarz Wyborczy

Generuj PDF - Dolnośląski Urząd Wojewódzki

METALE BLOKU S I ICH ZWIĄZKI