PODSTAWOWE POJĘCIA DOTYCZĄCE RELACJI § l. Zdania

PODSTAWOWE POJĘCIA DOTYCZĄCE RELACJI § l. Zdania

PODSTAWOWE POJĘCIA DOTYCZĄCE RELACJI
(niniejsze opracowanie jest nieznacznie skróconą wersją opracowania
zawartego w książce Zygmunta Ziembińskiego Logika pragmatyczna. (wyd.
XIX, s. 95­99). Polecam lekturę całej pracy Z. Ziembińskiego.
§ l. Zdania stwierdzające relację
Pewne wyrazy i wyrażenia wskazują na stosunki, czyli relacje, jakie zachodzą
między różnymi przedmiotami. Do takich wyrazów należą np. wyrazy:
„nad", „pod", „za", „przy", „po", „braterstwo", „wyższość", „władza" itp. Stosunki
między przedmiotami opisujemy w takich zdaniach, jak np.: „Jan jest bratem Piotra"
(tzn. Jan pozostaje w stosunku braterstwa do Piotra); „Poznań leży nad Wartą";
„Paweł jest starszy od Adama", itp. Ograniczamy rozważania do stosunków
dwuczłonowych opisywanych w zdaniach, w których mowa jest o dwóch elementach
powiązanych daną relacją, jakkolwiek wyróżnia się często, np. przy analizowaniu
stosunków prawnych, stosunki trójczłonowe i więcej niż trójczłonowe (np. „... jest
poręczycielem... wobec... co do..."). Zdania opisujące stosunki dwuczłonowe mają
ogólny wzór budowy:
xRy,
co czytamy: przedmiot x pozostaje w stosunku R do przedmiotu y (R to skrót
łacińskiego słowa relatio = stosunek). Wszystko to, o czym w opisie stosunku może
być mowa na pierwszym miejscu (na miejscu x), nazywamy poprzednikiem stosunku
(relacji), wszystko to, o czym w opisie stosunku może być mowa na drugim miejscu
(na miejscu y), nazywamy n a s t ę p n i k i e m stosunku (relacji).
Jeśli weźmiemy np. stosunek „jest potomkiem" (stosunek pochodzenia od), to np.
jakieś niemowlę może być poprzednikiem w opisie tego stosunku, bo można
Powiedzieć: „To niemowlę jest potomkiem tego a tego"; nie może być jednak
następnikiem tej relacji, bo nie można o nikim powiedzieć, iż jest potomkiem
jakiegoś niemowlęcia, które właśnie oglądamy. Jakiś pies może być następnikiem
stosunku „jest właścicielem", ale nie może być poprzednikiem tego stosunku. Ktoś
może być właścicielem psa, ale pies nie może być właścicielem czegoś. Jeśli mowa
o ustroju społecznym, który nie uznaje instytucji niewolnictwa, to człowiek może być
tylko poprzednikiem stosunku „jest właścicielem". Człowiek może być właścicielem
czegoś, ale coś czy ktoś nie może być właścicielem człowieka. Natomiast w ustroju,
gdzie istnieje niewolnictwo, człowiek może być i poprzednikiem, i następnikiem
stosunku „jest właścicielem". Widzimy więc, że stosunek wyznacza pewne klasy
przedmiotów, przedmiotów, które mogą być członami tego stosunku: przedmioty,
które aktualnie są poprzednikami danego stosunku, tworzą klasę zwaną dziedziną
tego stosunku (relacji), a przedmioty, które są jego następnikami, tworzą klasę
zwaną przeciwdziedziną tego stosunku. Stosunek pomiędzy pewnymi przedmiotami x oraz y może być opisywany dwojako:
jako stosunek x do y albo jako stosunek y do x. Stosunek ten brany jako
1
przebiegający w jednym kierunku może być w niektórych przypadkach nazywany
inaczej niż stosunek brany jako przebiegający w drugim kierunku. Porównajmy np.
takie stosunki, jak starszeństwo i bycie młodszym. Jeśli pierwszy z tych stosunków
zachodzi między jakimś Janem i jakimś Piotrem, to drugi z nich także zachodzi
między tymże Piotrem a tymże Janem. Podobnie jest ze stosunkami: mniejszość i
większość (Adam jest mniejszy od Piotra — to tyle, co: Piotr jest większy od
Adama), „jest przodkiem" i „jest potomkiem", „jest dłużnikiem” i „jest wierzycielem",
„jest obserwującym" i „jest obserwowany". Taką właściwość zauważyliśmy też
mówiąc o stosunku podrzędności i stosunku nadrzędności zakresów nazw.
Jeżeli w każdym przypadku, gdy pewien stosunek R1 zachodzi między jakimś
poprzednikiem x a jakimś następnikiem y, zachodzi odpowiednio odmienny stosunek
R2 między tym y a tym x, to mówimy, że stosunek R2 jest stosunkiem odwrotnym
względem stosunku R1 (czyli konwersem stosunku R1). Tak więc stosunek
niższości będzie stosunkiem odwrotnym względem stosunku wyższości, mniejszości
— względem większości, dłużnictwa — względem wierzycielstwa, bycia potomkiem
— względem bycia przodkiem, itp.
§ 2. Stosunki symetryczne, asymetryczne i nonsymetryczne
Niektóre stosunki mają taką właściwość, że jeśli zachodzą między pewnym
poprzednikiem i następnikiem, to w każdym przypadku zachodzą też między tym
właśnie następnikiem a poprzednikiem. Przykładem może być stosunek
pokrewieństwa: Jeżeli Paweł jest krewnym Piotra, to na pewno Piotr jest krewnym
Pawła. Taki stosunek, który w każdym przypadku jeśli zachodzi między pewnym
poprzednikiem a następnikiem, to zachodzi też między tym następnikiem a
poprzednikiem nazywamy stosunkiem symetrycznym. Symetryczny jest np.
stosunek rówieśnictwa: bo o jakimkolwiek Janie i Piotrze mowa, wiadomo jest, że
jeśli ów Jan jest rówieśnikiem Piotra, to Piotr jest rówieśnikiem Jana. Stwierdzić, że
stosunek R jest stosunkiem symetrycznym, to tyle, co stwierdzić, że (w przypadku
jakiegokolwiek x i jakiegokolwiek y) x pozostaje w stosunku R do y zawsze i tylko
wtedy, y pozostaje w stosunku R do x. Np. stosunek wykluczania się zakresów
dwóch nazw jest symetryczny: zakres dowolnej nazwy x wyklucza się z zakresem
nazwy y zawsze i tylko wtedy, gdy zakres nazwy y wyklucza się z zakresem nazwy
x. Porównajmy to z określeniem stosunku odwrotnego względem pewnego innego
stosunku.
Określony stosunek i stosunek względem niego odwrotny (np. bycie wyższym od,
niższym od) wiązały te same przedmioty, ale w przeciwnym kierunku. Gdy
napotykamy stosunek symetryczny, to zachodzi on między danymi przedmiotami i w
jedną w drugą stronę, poprzednik tego stosunku jest zarazem następnikiem
I następnik ­ poprzednikiem. Stosunek „jest małżonkiem" jest stosunkiem symetrycznym, bo Anna jest
małżonkiem Adama zawsze i tylko wtedy, gdy Adam jest małżonkiem Anny.
Natomiast stosunek ojcostwa ma taką właściwość, że jeśli np. Jan jest ojcem Piotra,
to na pewno Piotr nie jest ojcem Jana. Jeśli pewien stosunek zachodzący między
2
jakimś x a jakimś y wyklucza to, by stosunek ten zachodził także między tymże y a
tymże x, mówimy, że stosunek ten jest stosunkiem asymetrycznym. Np. jeśli Jan jest
starszy od Romana, to nieprawda, że Roman jest starszy od Jana. Jeśli Paweł jest
niższy od Piotra, to nieprawda, że Piotr jest niższy od Pawła. Starszeństwo,
niższość — to przykłady stosunku asymetrycznego. Stwierdzenie, że stosunek
asymetryczny R zachodzi między x oraz y, nie jest jednak równoważne
stwierdzeniu, iż nie zachodzi ten stosunek pomiędzy y a x. Z tego, że Jan jest
przodkiem Piotra, wynika, iż nieprawda, że Piotr jest przodkiem Jana, ale z tego, że
nieprawda, iż Piotr jest przodkiem Jana, bynajmniej nie wynika, że Jan jest
przodkiem Piotra.
Czy stosunek taki, jak „x kocha y”, np. „Jan kocha Zofię", jest stosunkiem
symetrycznym? Nie, bo z tego, że Jan kocha Zofię, nie wynika, że Zofia kocha Jana.
Czy jest to stosunek asymetryczny? Też nie, bo nie wynika z tego, iż Zofia nie kocha
Jana. Taki stosunek, który nie jest ani stosunkiem symetrycznym, ani
asymetrycznym, nazywamy stosunkiem nonsymetrycznym (niesymetrycznym).
Stosunek szacunku jest stosunkiem nonsymetrycznym: z tego bowiem, że Adam
szanuje Pawła, ani nie wynika to, że Paweł szanuje Adama, ani to, że Paweł nie
szanuje Adama; może być i tak, że szanuje, i tak, że nie szanuje — trzeba byłoby to
dopiero zbadać.
Ważną sprawą jest to, do jakiego z tych trzech rodzajów stosunków zaliczyć
stosunek wynikania. Stosunek wynikania łączący dwa zdania jest stosunkiem
nonsymetrycznym, bo jeśli ze zdania p wynika zdanie q, to wcale nie wiadomo stąd,
czy ze zdania q wynika zdanie p, czy nie wynika. Ze zdania „Przepaliły się
bezpieczniki" wynika zdanie „Zgasło światło", ale z tego, że zgasło światło, nie
wynika, że przepaliły się bezpieczniki: może przepaliły się bezpieczniki, a może
żarówka. Ze zdania ,,Jeśli pada deszcz, to jest mokro w danym miejscu" nie
możemy wnosić, iż prawdziwe jest zdanie „Jeśli w danym miejscu jest mokro, pada
tam deszcz", ani też nie mamy podstaw do tego, by orzec, że to zdanie jest
fałszywe. Często wprawdzie w taki sposób wnioskujemy, ale takie wnioskowanie
może okazać się zawodne.
Natomiast stosunek równoważności dwóch zdań, stosunek, jaki stwierdzamy
wypowiadając równoważność, np.: „p zawsze i tylko wtedy, gdy q", jest stosunkiem
symetrycznym, bo w każdym przypadku, w którym zdanie p jest równoważne zdaniu
q, również zdanie q jest równoważne zdaniu p.
§ 3. Stosunek przechodni
Ważnym dla prawnika pojęciem jest również pojęcie stosunku przechodniego
czyli tranzytywnego. Stosunkiem przechodnim, czyli tranzytywnym, nazywamy
stosunek, który ma taką własność, iż w każdym przypadku, jeśli zachodzi między
jakimś x a jakimś y oraz między tymże y a jakimś z, to zachodzi też między owym x
a owym z, niezależnie od tego, jakie trzy przedmioty x, y i z wzięto pod uwagę. Np.
przechodni jest stosunek starszeństwa, bo o kimkolwiek mowa, jeśli Paweł jest
3
starszy od Jana, a Jan jest starszy od Gawła, to wiadomo, że Paweł jest starszy od
Gawła. Nie jest przechodni stosunek ojcostwa, bo jeśli Adam jest ojcem Bolesława,
a Bolesław ojcem Czesława, to na pewno nieprawda, że Adam jest ojcem Czesława.
Jest to stosunek atranzytywny, taki, iż w każdym przypadku jeśli xRy oraz yRz, to
nieprawda, że xRz. Natomiast przechodni jest stosunek bycia potomkiem, bo jeśli
Czesław jest potomkiem Bolesława, a Bolesław potomkiem Adama, to na pewno
Czesław jest potomkiem Adama. Nie jest przechodni stosunek pokrewieństwa, bo z
tego. że x jest krewnym y oraz że y jest krewnym z, nie wynika, że x jest krewnym z
(ani też nie wynika w tym przypadku, że x nie jest krewnym z). Np. ojciec jest
krewnym dziecka, dziecko jest krewnym matki, ale normalnie ojciec nie jest krewnym
matki. Gdyby zaś chodziło o dziadka, ojca i jego dziecko, dziadek byłby też krewnym
dziecka. Pokrewieństwo jest więc stosunkiem nontranzytywnym. to znaczy takim,
który nie jest ani tranzytywny, ani atranzytywny. Nontranzytywny jest stosunek
przyjaźni itp.
Ważną sprawą jest to, że stosunek wynikania oraz stosunek równoważności są
stosunkami przechodnimi. Jeżeli ze zdania p wynika zdanie q, a ze zdania q wynika
zdanie r, to łatwo zauważyć, że ze zdania p wynika zdanie r; skoro bowiem przy
prawdziwości zdania p zdanie q nie może być fałszywe, a przy prawdziwości zdania
q nie może być fałszywe zdanie r, to rzecz jasna, że przy prawdziwości zdania p
zdanie r nie może być fałszywe. Podobnie przy równoważności, jeśli zdanie p jest
równoważne zdaniu q, a zdanie q równoważne zdaniu r, to zdanie p musi być tej
samej wartości logicznej, co zdanie r. § 4. Stosunek porządkujący i stosunek równościowy w danej klasie
przedmiotów
Aby wyjaśnić pojęcie stosunku porządkującego w danej klasie
przedmiotów, musimy uprzednio wprowadzić pomocniczo pojęcie stosunku
spójnego w danej klasie przedmiotów. Stosunkiem spójnym w danej klasie
przedmiotów nazywamy taki stosunek, który zachodzi w jednym lub w
drugim kierunku między każdymi dowolnie wybranymi elementami tej
klasy. A więc jeśli stosunek R jest spójny w pewnej klasie, to dla każdych
dwóch różnych, dowolnie dobranych elementów x i y z tej klasy prawdą
jest, że xRy, lub że yRx. Jeśli weźmiemy jako przykład dla rozważań klasę
złożoną z kilkudziesięciu osób, wśród których nie ma osób urodzonych
tego samego dnia, to w tej klasie osób stosunek starszeństwa będzie
stosunkiem spójnym; jakiekolwiek bowiem weźmiemy dwie osoby z tej
klasy, zawsze znajdziemy, że pierwsza jest starsza od drugiej, albo że
druga jest starsza od pierwszej. Jeśli dobrano kompanię żołnierzy równego
wzrostu, to stosunek równości wzrostem będzie stosunkiem spójnym w
klasie tych żołnierzy, każdy z nich bowiem będzie równy wzrostem
dowolnemu innemu. Dlatego właśnie taki stosunek nazywa się spójnym, że
w pewnej klasie spaja on, wiąże w jedną lub drugą stronę, każdy element
tej klasy z każdym innym elementem. Wystarczy jednak, że w danej klasie
jakiś element nie jest związany rozważanym stosunkiem z pewnym innym
4
elementem tej klasy, by już stosunek ten nie był spójny w danej klasie.
Wystarczy, że w pewnym kręgu osób wzajemnie względem siebie
życzliwych znajdziemy taką parę osób, z których ani pierwsza nie jest
życzliwa drugiej, ani też druga — pierwszej, by już stosunek życzliwości nie
był stosunkiem spójnym w kręgu tych osób. W grupie rodzinnej (rodzice,
dzieci) stosunek pokrewieństwa nie jest zazwyczaj spójny, gdyż ojciec nie
jest zazwyczaj krewnym matki (nie mają wspólnych przodków), a więc nie
każde dwa elementy rozważanej klasy osób są związane pokrewieństwem.
Stosunkiem porządkującym w danej klasie przedmiotów nazywamy taki stosunek,
który pozwala ustawić (przynajmniej w myśli) wszystkie przedmioty należące do
danej klasy w jeden szereg, w którym każdy przedmiot będzie zajmować określone,
to, a nie inne, miejsce. Aby jakiś stosunek był stosunkiem porządkującym w pewnej
klasie przedmiotów, musi on być zarazem: l) stosunkiem asymetrycznym, 2)
stosunkiem przechodnim i 3) stosunkiem spójnym w danej klasie przedmiotów.
Jeśli więc stosunek wyższości wzrostem jest spójny w kompanii żołnierzy, tzn. Jeśli
nie ma w tej kompanii dwóch ludzi tego samego wzrostu, i jeśli zważyć, że jest to
stosunek przechodni (jeśli A jest wyższy od B i B jest wyższy od C, to A jest wyższy
od C), a przy tym asymetryczny (jeśli A jest wyższy od B, to nieprawda, że B jest
wyższy od A), to możemy ustawić żołnierzy z tej kompanii w jeden szereg, w którym
każdy będzie miał określone, to, a nie inne, miejsce — wedle stosunku wyższości
wzrostem.
5