Algebra liniowa z geometri ˛a analityczn ˛a dla studentów

Transkrypt

Algebra liniowa
z geometria˛ analityczna˛
dla studentów informatyki
Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej
w Płocku
Aktualizacja: 15 stycznia 2012
Spis treści
Spis treści
2
1 Macierze i wyznaczniki
1
1.1
Macierze – podstawowe określenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Działania na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Własności wyznaczników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5
Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2 Układy równań
17
2.1
Podstawowe określenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
Układy Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3
Rzad
˛ macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4
Rozwiazywanie
˛
dowolnych układów równań liniowych . . . . . . . . .
21
3 Liczby zespolone
23
3.1
Podstawowe definicje i własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2
Postać algebraiczna i sprz˛eżenie liczby zespolonej. . . . . . . . . . . . . .
25
3.3
Moduł i argument liczby zespolonej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.4
Postać trygonometryczna liczba zespolonej. . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.5
Pierwiastkowanie liczb zespolonych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4 Przestrzenie liniowe. Przekształcenia liniowe
30
4.1
Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2
Liniowa niezależność. Baza i wymiar przestrzeni liniowej . . . . . . . . .
32
4.3
Przekształcenia liniowe. Obraz i jadro
˛
przekształcenia liniowego . . . . .
37
4.4
Macierz przekształcenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.5
Działania na przekształceniach liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2
5 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
43
5.1
Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.2
Równania płaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.3
Równania prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5.4
Wzajemne położenie punktów, prostych i płaszczyzn . . . . . . . . . . .
52
Dodatek
54
Indeks
55
Rozdział 1
Macierze i wyznaczniki
1.1
Macierze – podstawowe określenia
Definicja 1.1. Macierza˛ (rzeczywista)
˛ wymiaru m × n, gdzie m, n ∈ N, nazywamy
prostokatn
˛ a˛ tablic˛e złożona˛ z m · n liczb rzeczywistych ustawionych w m wierszach i
n kolumnach.

a11
a12
. . . a1n

 a
 21 a22 . . . a2n
 .
..
..
..
 ..
.
.
.

am1 am2 . . . amn







Macierze b˛edziemy oznaczali wielkimi literami alfabetu np. A, B, C, X itd.
Element macierzy stojacy
˛ w i −tym wierszu oraz w j−tej kolumnie oznaczamy przez
aij .
[ ]
[ ]
Macierz A można zapisywać w postaci aij m×n lub aij , gdy znany jest jej wymiar.
Macierze A i B sa˛ równe, gdy maja˛ takie same wymiary i gdy aij = bij , dla i ∈
{1, 2, . . . , m} , j ∈ {1, 2, . . . , n} .
Przykład 1.1.


1 0
 – macierz wymiaru 2 × 2,
1. A = 
6 3
[
2. B =
2 3 1
1
2
]
– macierz wymiaru 1 × 4,
1
ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI

2 3

 1 2

3. C = 
 0 3

0 4
7
2


5 

 – macierz wymiaru 4 × 3. Mamy tu: c12 = 3, c23 = 5.
3 

2
Definicja 1.2.
1. Macierz wymiaru m × n, w której wszystkie elementy sa˛ zerami nazywamy macierza˛ zerowa˛ wymiaru m × n i oznaczamy 0m×n lub 0, gdy znamy jej wymiar.


0 0 ... 0


 0 0 ... 0 


0= . . .
.
 .. .. . . ... 


0 0 ... 0
2. Macierz, w której liczba wierszy jest taka sama jak liczba kolumn (m = n) nazywamy macierza˛ kwadratowa.˛ Liczb˛e kolumn (wierszy) nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej. Elementy macierzy, które maja˛ taki sam numer
wiersza i kolumny ( a11 , a22 , . . . ann ) tworza˛ główna˛ przekatn
˛ a˛ macierzy


a11 a12 . . . a1n


 a

a
.
.
.
a
2n 
 21 22
A= .
.
.. . .
.. 
 ..

.
.
.


an1 an2 . . . ann
3. Macierz kwadratowa˛ stopnia n ≥ 2, w której wszystkie elementy leżace
˛ nad
główna˛ przekatn
˛ a˛ sa˛ równe 0, nazywamy macierza˛ trójkatn
˛ a˛ dolna˛


a11 0 . . . 0



 a
 21 a22 . . . 0 
.
A= .
.. . .
.. 

 ..
.
.
.


an1 an2 . . . ann
Analogicznie określamy macierz trójkatn
˛ a˛ górna˛

a11 a12 . . . a1n

 0 a
22 . . . a2n

A= .
.. . .
.
 ..
. ..
.

0
0 . . . ann




.


3
4. Macierz kwadratowa˛ stopnia n, w której wszystkie wyrazy nie stojace
˛ na głównej
przekatnej
˛
sa˛ równe 0, nazywamy macierza˛ diagonalna˛


a11 0 . . . 0


 0 a
0 
22 . . .


A= .
.
.
.
.
 ..
..
. . .. 


0
0 . . . ann
Macierz diagonalna˛ stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej przekatnej
˛
sa˛ równe 1 nazywamy macierza˛ jednostkowa˛ i oznaczamy In lub I, gdy
znamy jej wymiar




I=


1 0 ... 0
0
..
.
1 ...
.. . .
.
.
0
..
.




.


0 0 ... 1
5. Załóżmy, że mamy m · n różnych macierzy Aij , i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n.
Ustawmy te macierze w m wierszach i n kolumnach. Otrzymana˛ w ten sposób
macierz A nazywamy macierza˛ blokowa˛

A11 A12

 A
 21 A22
A= .
..
 ..
.

Am1 Am2

...
A1n
...
..
.
A2n
..
.
...
Amn






Oczywiście macierze Ai1 , Ai2 , . . . , Ain stojace
˛ w i −tym wierszu musza˛ mieć te
same liczby wierszy. Podobnie macierze A1j , A2j , . . . , Amj stojace
˛ w j−tej kolumnie musza˛ mieć te same liczby kolumn.
Przykład 1.2.
1. Macierze zerowe


2. Macierze kwadratowe



0 0 0



,  0 0 0 .


0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
1 −2

 0

9
5
5
7



5

,
8 

−7
−4

4
34
3
.
4
3. Macierze trójkatne
˛
górna i dolna



5
0
0
0



1 2 7
4

 
4 0 0 


5
 0 −5 8  , 


  5

−
5
2
0
 7

0 0 4
4 77 11 7
4. Macierz diagonalna

4 0
0
0

 0 1 0
0

2

 0 0 64 0

0 0 0 −5
5. Macierz jednostkowa









1 0 0


 0 1 0 


0 0 1
6. Macierz blokowa

4

A=
 3
7
1.2
−5 7
1
2
1
2
4 2
19
6 1
3
1


−7 

0 11
1
Działania na macierzach
[ ]
[ ]
Definicja 1.3. Niech A = aij m×n , B = bij m×n . Suma˛ [różnica]
˛ macierzy A i B
[ ]
nazywamy macierz C = cij m×n , której elementy określone sa˛ wzorami
cij = aij ± bij ,
dla i ∈ {1, 2, . . . , m} , j ∈ {1, 2, . . . , n} . Piszemy wtedy
C = A ± B.
Zatem,

c11
c12
. . . c1n

 c
 21 c22 . . . c2n
 .
..
..
..
 ..
.
.
.

cm1 cm2 . . . cmn


a11 ± b11
a12 ± b12
...
a1n ± b1n
 
  a ±b
a22 ± b22 . . . a2n ± b2n
21
  21
=
..
..
..
..
 
.
.
.
.
 
am1 ± bm1 am2 ± bm2 . . . amn ± bmn




.


5
Uwaga 1.1. Z definicji wynika, że dodawać i odejmować możemy od siebie tylko macierze tych samych wymiarów
Przykład 1.3. Niech


A=

3
1
0
2
3
−5
1

4 
,
3
2 −4 2 21
Wówczas

3+
2
3


1

B=
 14 9
−4 3
0−3
1+1
1 −3
2
3
1+4


0 
.
−2
11
1


4
11
3
44
3
2
−3 5

 


+ 14 −5 + 9 1 + 11 4 + 0 
4 12 4 
=
.
2 − 4 −4 + 3 2 21 + 1 3 − 2
−2 −1 72 1
[ ]
Definicja 1.4. Niech A = aij m×n , α niech b˛edzie dowolna˛ liczba˛ rzeczywista.˛ Ilo[ ]
czynem macierzy A przez liczb˛e α nazywamy macierz B = bij m×n której elementy

A+B = 

2
3
określone sa˛ nast˛epujaco:
˛
bij = α · aij ,
B = α · A.
Zatem

b11
b12

. . . b1n

 b
 21 b22 . . . b2n
 .
..
..
..
 ..
.
.
.

bm1 bm2 . . . bmn


A=

3·A = 3·

1
4
−2 1

=

A=
6
. . . α · a1n
2
−5 2 −1
4
−2 1



.


.
3·4
3 · (−2) 3 · 1
,


1
3·1

5
α · a12
 
  α·a
21 α · a22 . . . α · a2n
 
=
.
..
..
..
 
..
.
.
.
 
α · am1 α · am2 . . . α · amn
Wówczas
α · a11

B=


=

3
12
−6
3
3 −7 1
4
1
3

.
.
6
Obliczymy
3 · A − 4 · B.
Mamy

3 · A − 4 · B =3 · 



15
18
6
−15
6
−3

−

5
6
2
−5 2 −1
−4·

12 −28
4
16
12
4

3 −7 1
4
1

=
3


=
3
46
2
−31
2
−15
.
Przejdziemy teraz do najtrudniejszego działania – mnożenia macierzy.
[ ]
[ ]
Definicja 1.5. Niech A = aij m×n , B = bij n×k . Iloczynem macierzy A i B nazy[ ]
wamy macierz C = cij m×k , której elementy określone sa˛ wzorami
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj
dla i ∈ {1, 2, . . . , m} , j ∈ {1, 2, . . . , k } . Piszemy wtedy
C = A · B.
Uwaga 1.2. Z definicji wynika, że iloczyn A · B jest wykonalny, gdy liczba kolumn
macierzy A jest taka sama jak liczba wierszy macierzy B. Otrzymana macierz ma tyle
wierszy, ile miała macierz A i tyle kolumn, ile miała macierz B. Mnożenie macierzy polega zatem na mnożeniu kolejnych wierszy pierwszej macierzy przez kolejne kolumny
drugiej macierzy (przez mnożenie rozumiemy tu znany ze szkoły średniej iloczyn skalarny).

A=
Wówczas

AB = 

1
3
12
−2 21 −2
1 · 5 + 3 · 1 + 12 · 1
,

5 2



.
B=
1
0


1 1
1 · 2 + 3 · 0 + 12 · 1
−2 · 5 + 21 · 1 + (−2) · 1 −2 · 2 + 21 · 0 + (−2) · 1


=
Uwaga 1.3. Mnożenie macierzy nie jest na ogół przemienne.
Twierdzenie 1.1. Mamy nast˛epujace
˛ własności działań na macierzach:

20
14
9
−6
.
7
1. Jeśli macierz A ma wymiar m × n oraz macierze B i C wymiar n × k, to
A (B + C) = AB + AC.
2. Jeśli macierze A i B maja˛ wymiar m × n oraz macierz C wymiar n × k, to
(A + B) C = AC + BC.
3. Jeśli macierz A ma wymiar m × n, macierz B wymiar n × k oraz α jest liczba
rzeczywista,˛ to
A (αB) = (αA) B = α (AB) .
4. Jeśli macierz A ma wymiar m × n, macierz B wymiar n × k oraz macierz C wymiar k × l, to
(AB) C = A (BC) .
5. Jeśli macierz A ma wymiar m × n, to
AIn = Im A = A.
[ ]
Definicja 1.6. Niech A = aij m×n . Macierza˛ transponowana˛ do macierzy A nazy[ ]
wamy macierz B = bij n×m określona˛ wzorem
bij = a ji ,
B = AT .
Uwaga 1.4. Transponowanie macierzy polega wi˛ec na zamianie wierszy z kolumnami.

−5
2
1



 −1 6 2 


A=
.
 2 0 1 


2 64 5
Wówczas

−5 −1 2

AT = 
 2
1
6
2
2


0 64 
.
1 5
8
˛ własności transponowania macierzy
1. Jeśli macierze A i B maja˛ wymiar m × n, to
(A + B)T = A T + B T .
2. Jeśli macierz A ma wymiar m × n oraz α ∈ R, to
( )T
AT
=A
oraz
(αA)T = αA T
3. Jeśli macierz A ma wymiar m × n,, macierz B wymiar n × k, to
(AB)T = B T A T
1.3
Wyznacznik macierzy
Definicja 1.7. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywamy liczb˛e det A, określona˛ w sposób nast˛epujacy:
˛
1. jeśli macierz A ma stopień n = 1 (A = [ a11 ]) , to
det A = a11 ,
2. jeśli A ma stopień n ≥ 2, to
det A = (−1)1+1 a11 det A11 + (−1)1+2 a12 det A12 + . . . + (−1)1+n a1n det A1n ,
gdzie Aij oznacza macierz stopnia n − 1, powstała˛ z macierzy A przez skreślenie
i −tego wiersza i j−tej kolumny.
Uwaga 1.5. Określamy stopień wyznacznika z macierzy jako stopień tej macierzy. Jeśli


a11 a12 . . . a1n



 a
a
.
.
.
a
22
2n
21


,
A= .
.. . .
.. 

 ..
.
.
.


an1 an2 . . . ann
to wyznacznik det A oznaczamy również jako

a11 a12 . . . a1n

 a
 21 a22 . . . a2n
det  .
.. . .
..
 ..
.
.
.

an1 an2 . . . ann







albo
9
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ..
.. . .
. .
. .. .
.
an1 an2 . . . ann Uwaga 1.6. Dla macierzy stopnia n = 2 wyznacznik liczymy w nast˛epujacy
˛ sposób


a b
 = ad − cb.
det 
c d
Uwaga 1.7. Dla macierzy stopnia n = 3 wyznacznik liczymy stosujac
˛ tzw. metod˛e
Sarrusa
a b c a b
 
 = d e f d e = aei + b f g + cdh − ceg − a f h − bdi.
det 
d
e
f
 
g h i
g h i g h
[ ]
Definicja 1.8. Niech A = aij b˛edzie macierza˛ kwadratowa˛ stopnia n ≥ 2. Wówczas

a b c

dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywamy liczb˛e
Dij = (−1)i+ j det Aij ,
gdzie Aij oznacza macierz stopnia n − 1, powstała˛ z macierzy A przez skreślenie i −tego
wiersza i j−tej kolumny.

−4 2 1

A=
 4
2


2 3 
.
1 0
1+3 4 2 D13 = (−1)
·
= 1 · 0 = 0,
2 1 2+3 −4 2 D23 = (−1)
·
= −1 · (−8) = 8.
2 1 [ ]
Twierdzenie 1.3. Niech A = aij b˛edzie macierza˛ kwadratowa˛ stopnia n ≥ 2. Ustalmy
Wówczas
liczby naturalne i, j ∈ {1, 2, . . . , n} . Wtedy wyznacznik macierz A możemy obliczyć z
nast˛epujacych
˛
wzorów
det A = ai1 Di1 + ai2 Di2 + . . . + ain Din ,
(1.1)
10
det A = a1j D1j + a2j D2j + . . . + anj Dnj .
(1.2)
Uwaga 1.8. Wzór (1.1) mówi, że wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów
wyrazów i −tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwini˛eciem Laplace’a wzgl˛edem i −tego wiersza. Wzór (1.2) mówi, że wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów wyrazów j−tej kolumny i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwini˛eciem Laplace’a wzgl˛edem j−tej kolumny.

−4 2 1

A=
 4
2


2 3 
,
1 0
obliczymy det A rozwini˛eciem Laplace’a wzgl˛edem 2−ego wiersza, a nast˛epnie wzgl˛edem 3−ej kolumny.
2+1 2 1
det A = 4 · (−1)
1 0
−
4
1
−
4
2
2
+
2
2
+
3
+ 2 · (−1)
+ 3 · (−1)
=
2 0 2 1 = −4 · (−1) + 2 · (−2) + (−3) · (−8) = 24.
W drugim przypadku mamy:
1+3 4 2
det A = 1 · (−1)
2 1
−4 2 −4 2 2
+
3
3
+
3
+ 3 · (−1)
+ 0 · (−1)
=
2 1 4 2 = 1 · 0 + (−3) · (−8) + 0 = 24.
1.4
Własności wyznaczników
W rozdziale tym przedstawimy podstawowe własności wyznaczników, które b˛eda˛
bardzo pomocne przy ich obliczaniu.
Twierdzenie 1.4. Wyznacznik macierzy trójkatnej
˛
górnej lub dolnej równy jest iloczynowi wyrazów na głównej przekatnej.
˛
a
11 0 . . . 0
a
21 a22 . . . 0
.
.. . .
.
..
. ..
.
an1 an2 . . . ann
= a11 · a22 · . . . · ann ,
a11 a12 . . . a1n
0
..
.
a22 . . . a2n
.
.. . .
. ..
.
0
0
. . . ann
11
= a11 · a22 · . . . · ann .
˛ własności wyznaczników
1. Wyznacznik macierzy kwadratowej majacej
˛ kolumn˛e albo wiersz złożone z samych zer jest równy zero.
2. Wyznacznik macierzy majacej
˛ dwie identyczne kolumny albo dwa identyczne
wiersze jest równy zero.
3. Wyznacznik macierzy danej i transponowanej sa˛ równe.
4. Jeśli w macierzy kwadratowej przestawimy mi˛edzy soba˛ dwie kolumny albo
dwa wiersze, to wyznacznik zmieni znak na przeciwny.
5. Jeśli wszystkie wyrazy kolumny lub wiersza w danej macierzy kwadratowej
maja˛ wspólnych czynnik, to czynniki ten możemy wyłaczyć
˛
przed znak wyznacznika




det 


a11 c · a12 . . . a1n
a21 c · a22 . . . a2n
..
..
. . . ..
.
.
.







 = c · det 




an1 c · an2 . . . ann

a11
a12
...

a1n

 c·a
21 c · a22 . . . c · a2n

det 
.
..
..
..

..
.
.
.

an1
an2 . . . ann
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
..
.. . .
.
. ..
.
.




,


an1 an2 . . . ann


a11 a12 . . . a1n



 a

 21 a22 . . . a2n
 = c · det  .
.. . .
..

 ..
.
.
.


an1 an2 . . . ann







6. Wyznacznik macierzy nie zmieni si˛e, jeżeli do elementów dowolnej kolumny
[wiersza] dodamy odpowiadajace
˛ im wyrazy innej kolumny [wiersza] pomnożone przez dowolna˛ liczb˛e.
Korzystajac
˛ z powyższych własności można tak poprzekształcać macierz kwadratowa,˛
aby otrzymać macierz trójkatn
˛ a,˛ której wyznacznik jest bardzo łatwo policzyć korzystajac
˛ z Twierdzenia 1.4. Aby doprowadzić dana˛ macierz do postaci trójkatnej
˛
wygodnie jest zastosować poniższy algorytm pochodzacy
˛ od C. F. Gaussa.
12
Algorytm Gaussa
[ ]
Niech dana b˛edzie macierz kwadratowa (niezerowa) A = aij n×n .
1. Dzielimy pierwsza˛ kolumn˛e macierzy przez wyraz a11 , tak aby pierwszy wyraz
nowej macierzy był równy 1 (gdy a11 = 0, przestawiamy wiersze albo kolumny
macierzy A tak, aby po przestawieniu wyraz nowy wyraz a11 był różny od zera
– oczywiście należy pami˛etać o zmianie znaku wyznacznika):



a11 a12 . . . a1n
1 a12


 a

 a
 21 a
22
 21 a22 . . . a2n  ′
 a11
k1
det  .
=
a
·
det
k
=


11
.
.
.
..
1
a
.
11
..
. . .. 
 ..
 ..
.



an1
an1 an2 . . . ann
a11 an2
. . . a1n
. . . a2n
.
..
. ..




.


. . . ann
2. Od każdego z wierszy (z wyjatkiem
˛
pierwszego) odejmujemy pierwszy wiersz
pomnożony przez pierwszy wyraz danego wiersza:


1 a12 . . . a1n
 w2′ = w2 − w1 · aa21
 a
11

 21 a
22 . . . a2n 
 a11
..
=
a11 · det  .
.
.. . .
. 
 ..
. .. 
.


wn′ = wn − w1 · aan1
an1
11
a11 an2 . . . ann




= a11 · det 


1 a12 . . . a1n
′
′
0 a22
. . . a2n
..
.. . .
.
. ..
.
.
0 a′n2 . . . a′nn




.


Otrzymamy wtedy macierz, w której pierwsza kolumna składa si˛e z pierwszego
wyrazu równego 1 i samych zer.
′ i zerujac
˛ ko3. Kontynuujemy nasze post˛epowanie dzielac
˛ drugi wiersz przez a22
lejne (leżace
˛ poniżej) wyrazy drugiej kolumny, itd.
Uwaga 1.9. Aby ułatwić wykonywane działania można zamieniać ze soba˛ komuny lub
wiersze mi˛edzy soba˛ pami˛etajac
˛ oczywiście o ewentualnej zmianie znaku wyznacznika. Jest to w szczególności konieczne, gdy wyraz a11 = 0.
Uwaga 1.10. Cz˛esto zamiast dzielić wiersz, aby otrzymać wyraz 1 od kolejnych wierszy odejmuje si˛e pierwszy wiersz mnożony przez takie współczynniki, aby wyzerować
kolejne wyrazy poszczególnych kolumn.
13
Przykład 1.10. Obliczyć stosujac
˛ algorytm Gaussa:

1
4

det 
 3
2


7 
.
−4 −2 1
1.5
5
1
4
2
w2′ = w2 − 3 · w1
3
=
5
7
w3′ = w3 + 4 · w1
−4 −2 1 1
1 4 2 ′
0 −7 1 w3 = w3 + 2 · w2 = 0
0
0 14 9 1 4 2 0 −7 1 =
0 14 9 4
2 −7 1 = −77
0 11 Macierz odwrotna
Definicja 1.9. Niech A b˛edzie macierza˛ kwadratowa˛ stopnia n. Macierza˛ odwrotna˛ do
macierzy A nazywamy macierz A−1 , która spełnia warunek
AA−1 = A−1 A = In,
gdzie In jest macierza˛ jednostkowa˛ stopnia n.

A=
A −1 = 

AA−1 = 
oraz
5 3

wówczas
Rzeczywiście

2 1

5 3

A −1 A = 
3
−1
−5
2

2 1
3
−1
−5
2
,
3
−1
−5
2



.

=
5 3

1 0

0 1

2 1


=

1 0
0 1
.
Uwaga 1.11. Jeśli macierz A posiada macierz odwrotna,˛ to nazywamy ja˛ odwracalna.˛
14
Definicja 1.10. Macierz kwadratowa˛ A nazywamy osobliwa,˛ gdy
det A = 0.
W przeciwnym razie macierz A nazywamy nieosobliwa.˛
Twierdzenie 1.6. Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest
[ ]
nieosobliwa: det A ̸= 0. Ponadto, jeśli macierz A = aij stopnia n jest nieosobliwa, to

A −1
D11 D12 . . . D1n

1 
 D21 D22 . . . D2n
=

..
..
..
det A  ...
.
.
.

Dn1 Dn2 . . . Dnn
T



 ,


gdzie Dij oznaczaja˛ algebraiczne dopełnienia elementów aij macierzy A.
Twierdzenie 1.7. Niech macierze A i B b˛eda˛ macierzami odwracalnym tego samego
stopnia oraz niech α ̸= 0. Wówczas macierze A−1 , A T , AB, αA oraz An (n ∈ N) sa˛
odwracalne, ponadto:
(
)
(
) −1
1. det A−1 = (det A)−1 2. A−1
=A
4. (AB)−1 = B−1 A−1
5. (αA)−1 = α1 A−1
( ) −1 ( −1 ) T
3. A T
= A
(
)n
6. (An )−1 = A−1
Przykład 1.12. Wyznaczyć macierz odwrotna˛ do macierzy


2
5
7


.
A=
6
3
4


5 −2 −3
Obliczmy wyznacznik det A
2
5
7
5
7 2
det A = 6
3
4
3
4 = 6
5 −2 −3 5 −2 −3
2
5
6
3 = −18 + 100 − 84 − 105 + 16 + 90 = −1.
5 −2
Obliczmy nast˛epnie dopełnienia algebraiczne kolejnych elementów.
3
4 1+1 = −1,
D11 = (−1)
−2 −3 D12
4
1+2 6
= (−1)
5 −3
= 38,
15
3 1+3 6
= −27,
D13 = (−1)
5 −2 5
7 2+1 = 1,
D21 = (−1)
−2 −3 7 2+2 2
= −41,
D22 = (−1)
5 −3 5 2+3 2
= 29,
D23 = (−1)
5 −2 3+1 5 7 D31 = (−1)
= −1,
3 4 2
7
3+2 = 34,
D32 = (−1)
6 4 3+3 2 5 D33 = (−1)
= −24.
6 3 Zatem


A −1 = −1 

−1
38 −27
T

−1
1
−1


1
−1
1



 

 38 −41
 =  −38
.
=
−
1
29 
34
41
−
34


 

34 −24
−27
29 −24
27 −29
24
1 −41
−1
Podamy jeszcze jeden sposób znajdowania macierzy odwrotnej. W metodzie tej nie
korzystamy z wyznaczników.
Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej.
Niech A b˛edzie macierza˛ nieosobliwa.˛ Aby znaleźć macierz A−1 post˛epujemy w nast˛epujacy
˛ sposób:
1. Z prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkowa˛ tego samego stopnia







a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0
a21 a22 . . . a2n 0 1 . . .
..
.. . .
.
.. .. . .
. ..
.
.
.
. .
0
..
.
an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1




.


16
2. Działajac
˛ na wierszach tak przekształcamy otrzymana˛ macierz blokowa˛ [A|I] aby
uzyskać macierz [I|B] przy czym możemy:
• przestawiać mi˛edzy soba˛ dowolne wiersze,
• dowolny wiersz mnożyć przez stała˛ różna˛ od zera,
• do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy innych wierszy pomnożonych prze dowolne liczby.
3. Otrzymana w wyniku tych operacji macierz B jest macierza˛ odwrotna˛ do macierzy A.
Ćwiczenie 1.1. Znaleźć macierz odwrotna˛ do macierzy


A=

2
2 3


1 −1 0 

−1
2 1
korzystajac
˛ z bezwyznacznikowego algorytmu.
Rozdział 2
Układy równań
2.1
Podstawowe określenia
Definicja 2.1. Układem m równań z n niewiadomymi x1 , x2 , . . . , xn , gdzie m, n ∈ N,
nazywamy układ równań postaci


a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1




 a x + a x + . . . + a xn = b
22 2
2n
2
21 1
,
.
.
.
.
.

..
..
..
..
..





am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
(2.1)
gdzie aij , bi ∈ R dla i ∈ {1, 2, . . . , m} oraz j ∈ {1, 2, . . . , n} .
Rozwiazaniem
˛
układu (2.1) nazywamy ciag
˛ liczb ( x1 , x2 , . . . , xn ) spełniajacych
˛
ten
układ. Układ, który nie ma rozwiazania
˛
nazywamy sprzecznym.
Uwaga 2.1. Układ (2.1) możemy zapisać w postaci macierzowej
(2.2)
AX = B,
gdzie

a11
a12
. . . a1n

 a
 21 a22 . . . a2n
A= .
..
..
...
 ..
.
.

am1 am2 . . . amn





X=





,


x1
x2
..
.
xn




,






B=


b1
b2
..
.




.


bm
Macierz A nazywa si˛e macierza˛ główna˛ układu, macierz X kolumna˛ niewiadomych,
macierz A|B – macierza˛ dołaczon
˛
a˛ układu, zaś macierz B – kolumna˛ wyrazów wolnych.
17
ROZDZIAŁ 2. UKŁADY RÓWNAŃ
18
Ćwiczenie 2.1. Podany układ zapisz w postaci macierzowej



 x−y = 0
y+z = 2 .



z = −5
Definicja 2.2. Układ, w którym B = 0, czyli układ postaci
AX = 0
nazywamy jednorodnym. W przeciwnym wypadku (gdy B nie jest kolumna˛ zerowa)
˛
układ nazywamy niejednorodnym.
Uwaga 2.2. Układ jednorodny ma zawsze rozwiazanie
˛
zerowe: X = 0.
2.2
Układy Cramera
Definicja 2.3. Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych
(2.3)
AX = B,
w którym macierz A jest macierza˛ kwadratowa˛ nieosobliwa.˛
Twierdzenie 2.1 (Cramera). Układ Cramera (2.3) ma dokładnie jedno rozwiazanie
˛
wyrażajace
˛ si˛e wzorem

det A1

1 
 det A2
X=

..
det A 
.

det An




,


gdzie n oznacza stopień macierzy A, natomiast A j , j ∈ {1, 2, . . . , n} oznacza macierz
A, w której j−ta˛ kolumn˛e zastapion
˛
a˛ kolumna˛ wyrazów wolnych B. Mamy zatem
x1 =
det A2
det An
det A1
, x2 =
, . . . , xn =
.
det A
det A
det A
Ćwiczenie 2.2. Korzystajac
˛ ze wzorów Cramera znaleźć rozwiazanie
˛
układu



 x−y−z = 1
3x + 4y − 2z = −1 .



3x − 2y − 2z = 1
19
Poniższe twierdzenie podaje inna˛ metod˛e rozwiazywania
˛
układu Cramera
Twierdzenie 2.2. Rozwiazanie
˛
układu Cramera (2.3) jest określone wzorem
X = A−1 B.
Ćwiczenie 2.3. Rozwia˛ż przy pomocy metody macierzy odwrotnej układ z poprzedniego ćwiczenia.
2.3
Rzad
˛ macierzy
W dalszych rozważaniach dotyczacych
˛
metod rozwiazywania
˛
dowolnych układów
równań potrzebne nam b˛edzie poj˛ecie rz˛edu macierzy
Definicja 2.4. Rz˛edem macierzy A nazywamy maksymalny stopień niezerowego wyznacznika powstałego z macierzy A przez skreślenie pewnej liczby kolumn i wierszy.
Dla macierzy zerowej przyjmujemy rzad
˛ równy 1. Rzad
˛ macierzy A oznaczamy symbolem rz A.
Przy obliczaniu rz˛edu macierzy pomocne jest nast˛epujace
˛
Twierdzenie 2.3.
1. Jeśli dowolne dwa wiersze albo dwie kolumny zamienimy ze soba˛ miejscami, to
rzad
˛ macierzy nie ulegnie zmianie.
2. Jeśli kolumn˛e albo wiersz danej macierzy pomnożymy lub podzielimy przez
pewna˛ liczb˛e różna˛ od zera, to rzad
3. Jeśli do dowolnego wiersza [dowolnej kolumny] dodamy sum˛e innych wierszy
[kolumn] pomnożonych przez pewne liczby, to rzad
Przykład 2.1. Znaleźć rzad
˛ macierzy


A=

1 −1
0 2 1


1 3 2 

−1 −3 −1 1 0
3
1
Obliczamy kolejno
1
3
−1
1
3
−1
1
3
−1
20
−1
1
−3
−1
1
−3
−1
1
−3
0 1 = 0,
−1 2 3 = 0,
1 1 2 = 0
0 Post˛epujac
˛ tak dalej stwierdzamy, że wszystkie podwyznaczniki stopnia 3 sa˛ zerowe,
zatem rz A ≤ 2. Sprawdźmy, czy istnieje niezerowy podwyznacznik stopnia 2. Mamy
1 −1 = 4 ̸= 0,
1 3
zatem rz A = 2.
Metoda znajdowania rz˛edu macierzy w oparciu o wyznaczniki jest dość kłopotliwa.
Znacznie skuteczniejsze okazuje si˛e być post˛epowanie, w którym za pomoca˛ działań
opisanych w poprzednim twierdzeniu (najlepiej wykonywanych w oparciu o algorytm
Gaussa) doprowadzamy macierz A do nast˛epujacej
˛ postaci










1 0
...
0
′
a1r
+1
...
′
a1n
0 1
.. ..
. .
...
..
.
0
0
′
a2r
+1
..
.
...
..
.
′
a2n
..
.
0 0
...
1
′
arr
+1
...
′
a4n
0 0
...
0
0
...
0










Wówczas rz A = r. Metoda ta nazywana jest metoda˛ przekształceń elementarnych,
zaś powyższa postać macierzy – postacia˛ bazowa.˛
Uwaga 2.3. Czasami wygodniej jest doprowadzać macierz do tzw. rozproszonej postaci bazowej. Jest to taka postać macierzy, która˛ możemy doprowadzić do postaci
bazowej jedynie przestawiajac
˛ wiersze lub kolumny.
21
Przykład 2.2. Metoda˛ przekształceń elementarnych zbadać rzad
˛ macierzy


A=

1 −1
0 2 1


1 3 2 
.
−1 −3 −1 1 0
3
1
Mamy


rz 


1 −1
0 2 1


1 3 2 

−1 −3 −1 1 0
3
1
1 −1
0
2
1


1 −3 −1 

0 −4 −1
3
1

rz 
 0
2.4
4

w2′ = w2 − 3w1
w3′ = w3 + w1
1 −1
2
1


1 −3 −1 
=
0 −4 −1
3
1

= rz 
 0
w3′ = w3 + w2
0

4
1
4
1
4
5
4
− 34
3
4
1
−4
0 0 0
0
0
1 0

w1′ = w1 + 14 w2 = rz 
 0 1
w2′ = 14 w1


 = 2.

Rozwiazywanie
˛
dowolnych układów równań
liniowych
Twierdzenie 2.4 (Kroneckera-Capellego). Układ
AX = B
posiada rozwiazanie
˛
wtedy i tylko wtedy, gdy
rz A = rz [A|B] = r.
Przy czym
• jeśli r = n (rzad
˛ macierzy A jest równy ilości niewiadomych), to układ posiada
dokładnie jedno rozwiazanie,
˛
• jeśli r < n (rzad
˛ macierzy A jest mniejszy ilości niewiadomych), to układ posiada
nieskończenie wiele rozwiaza
˛ ń zależnych od n − r parametrów.
Uwaga 2.4. Jeśli układ jest jednorodny, to możemy nie sprawdzać warunku rz A =
rz [A|B], jest on bowiem spełniony w sposób oczywisty.
22
Definicja 2.5. Załóżmy, że układ AX = B posiada nieskończenie wiele rozwiaza
˛ ń zależnych od n − r parametrów t1 , t2 , ..., tn−r . Załóżmy dalej, że zbiór rozwiaza
˛ ń układu
został zapisany w ten sposób, że dla niewiadomych xi1 , xi2 , ..., xin−r mamy, że xi1 =
˛
bazowym układu AX = B nazyt1 , xi2 = t2 , ..., xin−r = tn−r . Wtedy rozwiazaniem
wamy rozwiazanie,
˛
dla którego t1 = t2 = ... = tn−r = 0.
Twierdzenie 2.5. Liczba rozwiaza
˛ ń bazowych układu AX = B z n niewiadomymi, w
którym rz A = rz [A|B] = r wynosi co najwyżej
( )
n
n!
=
.
r
(n − r )!r!
˛
układ
Ćwiczenie 2.4. Rozwiazać



 4x − y = 7
3x + y = 14 .



2x + 3y = 0
˛
układ


5x + 3y − z = 3




 2x + y − z = 1
.

3x
−
2y
+
2z
=
−
4




 x − y + 2z = −2
˛
układ


3u + x + y + 2z = 2




 −u + x + 2y + z = 1
.

 6u + 2x + 2y + 4z = 4



 −3u + 3x + 6y + 3z = 3
Rozdział 3
Liczby zespolone
3.1
Podstawowe definicje i własności
Definicja 3.1. Liczba˛ zespolona˛ nazywamy par˛e liczb rzeczywistych ( x, y) . Liczby
zespolone oznaczamy zwykle przez z, u, w, itd. Zbiór wszystkich liczb zespolonych
oznaczamy symbolem C, mamy zatem
C = {z = ( x, y) : x, y ∈ R} .
Uwaga 3.1. Liczb˛e zespolona˛ z = ( x, y) interpretujemy geometrycznie na płaszczyźnie R2 jako punkt o współrz˛ednych ( x, y) albo jako wektor zaczepiony o poczatku
˛
w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie ( x, y) . Płaszczyzn˛e R2 nazywa si˛e wtedy zwykle
płaszczyzna˛ zespolona.˛
Definicja 3.2. Niech z = ( x, y) , z1 = ( x1 , y1 ) , z2 = ( x2 , y2 ) b˛eda˛ liczbami zespolonymi.
1. Mówimy, że liczby z1 i z2 sa˛ równe (z1 = z2 ) wtedy i tylko wtedy gdy x1 = x2
oraz y1 = y2 .
2. Zerem zespolonym nazywamy liczb˛e 0 określona˛ nast˛epujaca:
˛
0 := (0, 0) .
3. Jedynka˛ zespolona˛ nazywamy liczb˛e zespolona˛ 1 określona˛ nast˛epujaco:
˛
1 := (1, 0) .
4. Suma˛ liczb zespolonych z1 i z2 nazywamy liczb˛e zespolona˛ z1 + z2 określona˛
nast˛epujaco:
˛
z1 + z2 : = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) .
23
ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE
24
5. Liczba˛ przeciwna˛ do liczby z nazywamy liczb˛e −z określona˛ nast˛epujaco:
˛
−z := (− x, −y) .
6. Iloczynem liczb zespolonych z1 i z2 nazywamy liczb˛e zespolona˛ z1 · z2 określona˛
nast˛epujaco:
˛
z1 · z2 : = ( x1 · x2 − y1 · y2 , x1 · y2 + x2 · y1 ) .
7. Jeśli z ̸= 0, to odwrotnościa˛ liczby z nazywamy liczb˛e z−1 (stosujemy też oznaczenie 1z ) określona˛ nast˛epujaco:
˛
z
−1
:=
(
x
y
,− 2
2
2
x +y
x + y2
)
.
Iloczyn z · . . . · z n czynników oznaczamy tradycyjnie przez zn .
Własność 3.1. Niech z1 , z2 , z3 ∈ C.
1. Dodawanie liczb zespolonych jest przemienne:
z1 + z2 = z2 + z1 .
2. Dodawanie liczb zespolonych jest łaczne:
˛
( z1 + z2 ) + z2 = z1 + ( z2 + z3 ) .
3. Dla każdej liczby zespolonej z spełniona jest równość
z + 0 = z.
4. Dla każdej liczby zespolonej z istnieje liczba przeciwna −z oraz zachodzi równość:
z + (−z) = 0.
5. Mnożenie liczb zespolonych jest przemienne:
z1 · z2 = z2 · z1 .
6. Mnożenie liczb zespolonych jest łaczne:
˛
( z1 · z2 ) · z2 = z1 · ( z2 · z3 ) .
25
7. Dla każdej liczby zespolonej z zachodzi równość:
z · 1 = z.
8. Dla każdej liczby zespolonej z ̸= 0 istnieje liczba odwrotna
1
z
oraz zachodzi rów-
ność:
z·
1
= 1.
z
9. Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne wzgl˛edem dodawania:
z1 · ( z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 .
Definicja 3.3. Niech z1 , z2 ∈ C. oraz zachodzi równość:
1. Różnica˛ liczb zespolonych z1 i z2 nazywamy liczb˛e z1 − z2 określona˛ nast˛epujaco:
˛
z1 − z2 := z1 + (−z2 ) .
2. Jeśli z2 ̸= 0, to ilorazem liczb zespolonych z1 i z2 nazywamy liczb˛e
nast˛epujaco:
˛
z1
: = z1 ·
z2
3.2
(
1
z2
z1
z2
określona˛
)
.
Postać algebraiczna i sprz˛eżenie liczby zespolonej.
Uwaga 3.2. Każda liczba zespolona z posiadajaca
˛ cz˛eść urojona˛ równa˛ zero, tzn. liczba
postaci z = ( x, 0) może być traktowana jako liczba rzeczywista x. B˛edziemy wi˛ec pisać,
że ( x, 0) = x. W szczególności dla liczb ( x, 0), (y, 0) i z1 = ( x1 , y1 ) mamy, że
( x, 0) + (y, 0) = ( x + y, 0) = x + y,
( x, 0) · (y, 0) = ( x · y − 0 · 0, x · 0 + 0 · y) = ( x · y, 0) = x · y,
( x, 0) · ( x1 , y1 ) = ( x · x1 − 0 · y1 , x · y1 + 0 · x1 ) = ( x · x1 , x · y1 ) = x · ( x1 , y1 ).
Definicja 3.4. Liczb˛e zespolona˛ (0, 1) nazywamy jednostka˛ urojona˛ i oznaczamy przez
i. Mamy zatem:
i := (0, 1) .
26
Własność 3.2. Każda˛ liczb˛e zespolona˛ z = ( x, y) można przedstawić w postaci
z = x + i · y.
Definicja 3.5. Postać z = x + i · y liczby zespolonej z = ( x, y) nazywamy postacia˛ algebraiczna.˛ Wtedy liczb˛e x nazywamy cz˛eścia˛ rzeczywista˛ liczby z i oznaczamy Re z,
zaś liczb˛e y nazywamy cz˛eścia˛ urojona˛ liczby z i oznaczamy Im z. Zatem każda˛ liczb˛e
zespolona˛ z można przedstawić w postaci algebraicznej jako
z = Re z + i · Im z.
Własność 3.3. Dwie liczby zespolone z1 , z2 sa˛ równe wtedy i tylko wtedy, gdy
Re z1 = Re z2 ,
Im z1 = Im z2 .
Definicja 3.6. Sprz˛eżeniem liczby zespolonej z = x + i · y ( x, y ∈ R) nazywamy liczb˛e
zespolona˛ z̄ określona˛ jako
z̄ := x − i · y.
Własność 3.4. Niech z, z1 , z2 ∈ C. Wtedy:
1. z1 + z2 = z1 + z2 . 2. z1 − z2 = z1 − z2 . 3. z1 · z2 = z1 · z2 . 4.
5. z + z̄ = 2 Re z.
3.3
6. z − z̄ = 2i Im z.
( )
z1
z2
=
z1
z2 , z2
̸= 0.
8. Im (z̄) = − Im z.
7. (z̄) = z.
Moduł i argument liczby zespolonej.
Definicja 3.7. Modułem liczby zespolonej z = x + i · y ( x, y ∈ R) nazywamy liczb˛e
rzeczywista˛ |z| określona˛ jako:
|z| :=
√
x 2 + y2 .
Moduł liczby zespolonej z = ( x, y) interpretujemy geometrycznie na płaszczyźnie zespolonej jako odległość punktu o współrz˛ednych ( x, y) od poczatku
˛
układu współrz˛ednych.
Własność 3.5. Niech z, z1 , z2 ∈ C. Wtedy:
1. |z̄| = |z| = |−z| .
|z |
4. zz12 = |z1 | , z2 ̸= 0.
2. z · z̄ = z2 .
3. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | .
5. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | .
6. |z1 − z2 | ≥ ||z1 | − |z2 || .
7. |Re z| ≤ |z| , |Im z| ≤ |z| .
8. |Re (z1 · z2 )| ≤ |z1 | · |z2 | .
2
27
Definicja 3.8. Argumentem liczby zespolonej z ̸= 0 nazywamy każda˛ liczb˛e φ ∈ R
spełniajac
˛ a˛ układ równań

Re z


,
 cos φ =
|z|
Im z


.
 sin φ =
|z|
Dodatkowo przyjmujemy, że argumentem liczby 0 jest 0.
Argumentem głównym liczby zespolonej z nazywamy ten spośród jej argumentów,
który jest w przedziale ⟨0, 2π ) . Argument główny liczby z oznaczamy symbolem arg z.
Uwaga 3.3. Jeśli rozważymy interpretacj˛e geometryczna˛ liczby zespolonej z na płaszczyźnie, to argumentem głównym tej liczby jest miara kata
˛ dodatnio skierowanego jaki
tworzy wektor z z dodatnia˛ półosia˛ rzeczywista˛ ox.
Własność 3.6. Niech z ̸= 0 b˛edzie dowolna˛ liczba˛ zespolona.˛ Wtedy:
1. arg (z̄) = 2π − arg z.

 arg z + π gdy 0 ≤ arg z < π
.
2. arg (−z) =
 arg z − π gdy π ≤ arg z < 2π
( )
3. arg 1z = 2π − arg z.
3.4
Postać trygonometryczna liczba zespolonej.
Własność 3.7. Każda˛ liczb˛e zespolona˛ z można zapisać jako
z = r (cos φ + i sin φ) ,
(3.1)
gdzie r ≥ 0 oraz φ ∈ R. Liczba r jest wtedy modułem liczby z, zaś φ jej argumentem.
Zatem
z = |z| (cos (arg z) + i sin (arg z)) .
Definicja 3.9. Postać (3.1) liczby zespolonej z nazywamy postacia˛ trygonometryczna.˛
Własność 3.8. Niech z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1 ) , z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2 ) b˛eda˛ liczbami zespolonymi (w postaci trygonometrycznej). Wówczas
z1 · z2 = r1 r2 (cos ( φ1 + φ2 ) + i sin ( φ1 + φ2 )) ,
r
z1
= 1 (cos ( φ1 − φ2 ) + i sin ( φ1 − φ2 )) o ile z2 ̸= 0
z2
r2
28
Własność 3.9. Niech z = r (cos φ + i sin φ) b˛edzie dowolna˛ liczba˛ zespolona˛ w postaci
trygonometrycznej. Wówczas:
1. z̄ = r (cos (− φ) + i sin (− φ)) .
2.
1
z
=
1
r
(cos (− φ) + i sin (− φ)), o ile z ̸= 0.
3. −z = r (cos ( φ + π ) + i sin ( φ + π )) .
4. zk = r k (cos (kφ) + i sin (kφ)) (wzór de Moivre’a).
Własność 3.10. Niech z, z1 , z2 ∈ C oraz niech n ∈ N. Wówczas:
1. arg (z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 + 2kπ, dla k = 0 lub k = −1.
2. arg (zn ) − n arg z + 2kπ, dla pewnego k ∈ Z.
( )
3. arg zz12 = arg z1 − arg z2 + 2kπ, dla k = 0 lub k = 1, o ile z2 ̸= 0.
Uwaga 3.4. Liczb˛e k dobieramy (w zależności od z, z1 , z2 oraz n) w ten sposób, aby
otrzymany argument był z przedziału ⟨0, 2π ) .
3.5
Pierwiastkowanie liczb zespolonych.
Definicja 3.10. Pierwiastkiem stopnia n ∈ N liczby zespolonej z nazywamy taka˛
liczb˛e zespolona˛ w, że
wn = z.
Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby z oznaczamy przez
√
n
z.
Przykład 3.1. Poniżej prezentujemy wartości zespolonych pierwiastków z pewnych
liczb zespolonych. Dla porównania w prawej kolumnie podane sa˛ wartości pierwiastków rzeczywistych tych liczb:
wR
√
4=2
√
4
1=1
√
−1 - nie istnieje
wC
√
4 = {−2, 2}
√
4
1 = {1, i, −1, −i }
√
−1 = {i, −i }
29
Własność 3.11. Każda liczba zespolona z = |z| (cos φ + i sin φ) (w postaci trygonometrycznej) ma dokładnie n pierwiastków n−tego stopnia. Zbiór tych pierwiastków ma
postać
√
n
gdzie
√
wk =
n
(
z = { w0 , w1 , . . . , w n −1 } ,
φ + 2kπ
φ + 2kπ
+ i sin
|z| cos
n
n
)
,
k = 0, 1, . . . , n − 1
Rozdział 4
Przestrzenie liniowe. Przekształcenia
liniowe
4.1
Podstawowe definicje
Definicja 4.1. Przestrzenia˛ liniowa˛ nazywamy zbiór V, taki że dla dowolnych elementów u, v ∈ V określona jest suma u + v ∈ V oraz dla dowolnej liczby α ∈ R i
dowolnego elementu u ∈ V określony jest iloczyn αu ∈ V spełniajace
˛ warunki
(L1) u + v = v + u dla u, v ∈ V (przemienność dodawania),
(L2) (u + v) + w = u + (v + w) dla u, v, w ∈ V (łaczność
˛
dodawania),
(L3) istnieje element θ ∈ V taki, że u + θ = u dla u ∈ V (istnienie elementu neutralnego),
(L4) dla każdego u ∈ V istnieje element −u ∈ V taki, że u + (−u) = θ (istnienie
element przeciwnego),
(L5) 1u = u oraz α ( βu) = (αβ) u dla u ∈ V i α, β ∈ R,
(L6) (α + β) u = αu + βu oraz α (u + v) = αu + βv dla α, β ∈ R oraz u, v ∈ V.
Elementy zbioru V nazywamy wektorami. Element neutralny θ ∈ V nazywamy wektorem zerowym.
Definicja 4.2. Różnica˛ wektorów u, v ∈ V nazywamy wektor
u − v := u + (−v) .
30
ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE
31
Przykład 4.1. Zbiór V = Rn wektorów v = [v1 , v2 , ..., vn ] dla n ∈ N z działaniami
określonymi w naturalny sposób tj.
u + v := [u1 + v1 , u2 + v2 , ..., un + vn ] ,
αu := [αu1 , αu2 , ..., αun ] ,
dla u = [u1 , u2 , ..., un ] ∈ Rn , v = [v1 , v2 , ..., vn ] ∈ Rn oraz α ∈ R jest przestrzenia˛
liniowa˛ zwana˛ przestrzenia˛ euklidesowa.˛
Przykład 4.2. Zbiór V wszystkich funkcji f : R → R z działaniami określonymi jako:
1. ( f + g) ( x ) := f ( x ) + g ( x ) , dla x ∈ R oraz f , g ∈ V
2. (α f ) ( x ) := α f ( x ) , dla x ∈ R oraz f ∈ V
(sa˛ to tzw. działania określone w sposób naturalny) jest przestrzenia˛ liniowa.˛ Wektorem zerowym jest funkcja θ ( x ) = 0 dla x ∈ R (tożsamościowo równa zero).
Uwaga 4.1. Z definicji wynika, że każda przestrzeń liniowa V musi zawierać co najmniej jeden element: wektor zerowy θ. Zauważmy, że zbiór V = {θ } jest przestrzenia˛
liniowa.˛ Taka˛ przestrzeń nazywamy przestrzenia˛ zerowa.˛
Własność 4.1. Niech V b˛edzie przestrzenia˛ liniowa.˛ Wówczas
1. 0u = θ dla u ∈ V
2. αθ = θ dla α ∈ V
3. jeśli αu = θ, to α = 0 lub u = θ dla u ∈ V oraz α ∈ R
4. jeśli αu = βu, to α = β dla α, β ∈ R oraz u ∈ V
5. (−α) u = − (αu) = α (−u) dla α ∈ R oraz u ∈ V
6. jeśli αu = αv, to u = v dla α ∈ R, α ̸= 0 oraz u, v ∈ V
7. (α − β) u = αu − βu dla α, β ∈ R oraz u ∈ V.
W dalszych rozważaniach, jeśli nie b˛edzie powiedziane inaczej, V oznacza zawsze
przestrzeń liniowa.˛
Definicja 4.3. Niepusty zbiór W ⊂ V nazywamy podprzestrzenia˛ liniowa˛ przestrzeni
V jeśli spełnione sa˛ warunki
32
1. u + v ∈ W dla u, v ∈ W
2. αu ∈ W dla α ∈ R oraz v ∈ W.
Własność 4.2. Niepusty zbiór W ⊂ V jest podprzestrzenia˛ przestrzeni V wtedy i tylko
wtedy, gdy spełniony jest warunek
αu + βv ∈ W
dla α, β ∈ R oraz u, v ∈ W.
Przykład 4.3. Niech V = R3 . Wówczas zbiór
W := {[u1 , u2 , 0] : u1 , u2 ∈ R}
jest podprzestrzenia˛ przestrzeni R3 . Geometrycznie zbiór W jest płaszczyzna˛ w przestrzeni R3 .
Przykład 4.4. Jeżeli V jest przestrzenia˛ liniowa,˛ to zbiór {θ } złożony z wektora zerowego jest zawsze podprzestrzenia˛ liniowa˛ przestrzeni V.
4.2
Liniowa niezależność. Baza i wymiar przestrzeni
liniowej
Definicja 4.4. Mówimy, że wektory v1 , v2 , ..., vm ∈ V (m ∈ N) sa˛ liniowo niezależne,
gdy dla dowolnych liczb α1 , α2 , ..., αm spełniony jest warunek
α1 v1 + α2 v2 + ... + αm vm = θ ⇒ α1 = α2 = ... = αm = 0.
W przeciwnym razie wektory v1 , v2 , ..., vn nazywamy liniowo zależnymi.
Własność 4.3. Wektory v1 , v2 , ..., vn ∈ V sa˛ liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieja˛ liczby α1 , α2 , ..., αm nie wszystkie równe zero takie, że
α1 v1 + α2 v2 + ... + αm vm = θ.
Mamy nast˛epujac
˛ a˛ „macierzowa”
˛ charakteryzacj˛e liniowej niezależności
33
[
]
[
]
Twierdzenie 4.1. Niech V = Rn . Niech v1 = v11 , v21 , ..., v1n , ..., vm = v1m , v2m , ..., vnm .
Wtedy wektory sa˛ liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

v11
 .
.
rz 
 .
v1m
v21
..
.
v2m

· · · v1n
. . .. 
. . 
 = m.
· · · vnm
Przykład 4.5. Niech [1, 1, 1] , [1, 0, 1] , [1, 1, 0] , [5, 3, 2] ∈ R3 . Wtedy

1 1 1



 = 3,
rz 
1
0
1


1 1 0
bo
1 1 1
1 0 1
1 1 0
= 1,
wi˛ec wektory [1, 1, 1] , [1, 0, 1] , [1, 1, 0] sa˛ liniowo niezależne. Natomiast wektory [1, 0, 1] ,
[1, 1, 0] , [5, 3, 2] sa˛ liniowo zależne, gdyż


1 0 1


 = 2,
rz 
1
1
0


5 3 2
bo
1 0 1
1 1 0
5 3 2
1 1
0 1
oraz
=0
= 1.
Zauważmy też, że
2 · [1, 0, 1] + 3 · [1, 1, 0] − 1 · [5, 3, 2] = 0
lub, co na jedno wychodzi
[5, 3, 2] = 2 · [1, 0, 1] + 3 · [1, 1, 0] .
34
Definicja 4.5. Kombinacja˛ liniowa˛ wektorów v1 , v2 , ..., vm ∈ V o współczynnikach
α1 , α2 , ..., αm ∈ R nazywamy wektor v ∈ V taki, że
v = α1 v1 + α2 v2 + ... + αm vm =
m
∑ αi vi .
i =1
Własność 4.4. Wektory v1 , v2 , ..., vm ∈ V sa˛ liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy,
gdy spełniony jest warunek: jeżeli wektor zerowy jest kombinacja˛ liniowa˛ tych wektorów, to wszystkie współczynniki tej kombinacji sa˛ zerami. Wektory v1 , v2 , ..., vm ∈ V
sa˛ liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wektor zerowy daje si˛e przedstawić
jako kombinacja liniowa tych wektorów o co najmniej jednym współczynniki niezerowym lub, co na jedno wychodzi pewien wektor vi jest kombinacja˛ liniowa pozostałych
wektorów.
Uwaga 4.2. Mówiac
˛ o liniowej niezależności lub zależności wektorów v1 , v2 , ..., vm ∈ V
b˛edziemy używali określenia układ {v1 , v2 , ..., vm } wektorów v1 , v2 , ..., vm .
Uogólniajac
˛ poj˛ecie liniowej niezależności skończonego układu wektorów {v1 , v2 , ..., vm }
określamy również liniowa˛ niezależność zbioru A ⊂ V (być może zawierajacego
˛
nieskończona˛ liczb˛e elementów).
Definicja 4.6. Mówimy, że zbiór A ⊂ V jest liniowo niezależny, jeśli dla każdego
skończonego układu wektorów {v1 , v2 , ..., vm } ⊂ A, m ∈ N układ ten jest układem
wektorów liniowo niezależnych. W przeciwnym razie, zbiór A nazywamy zbiorem
liniowo zależnym.
Definicja 4.7. Niech v1 , v2 , ..., vm ∈ V. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v1 , v2 , ..., vm nazywamy otoczka˛ liniowa˛ wektorów v1 , v2 , ..., vm i oznaczamy przez
lin {v1 , v2 , ..., vm } .
Mamy wi˛ec
lin {v1 , v2 , ..., vm } := {v = α1 v1 + α2 v2 + ... + αm vm : α1 , α2 , ..., αm ∈ R} .
Podobnie definiujemy otoczk˛e liniowa˛ zbioru A ⊂ V :
lin A :=
∪
{v = α1 v1 + α2 v2 + ... + αm vm : vi ∈ V, αi ∈ R, 1 ≤ i ≤ m}
m ∈N
Własność 4.5. Otoczka liniowa lin A, gdzie A ⊂ V jest podprzestrzenia˛ liniowa˛ przestrzeni V; dokładniej jest najmniejsza˛ podprzestrzenia˛ liniowa˛ zawierajac
˛ a˛ zbiór A.
35
Ze wzgl˛edu na ostatnia˛ własność otoczka liniowa wektorów v1 , v2 , ..., vm (zbioru A) jest
nazywana również podprzestrzenia˛ rozpi˛eta˛ na wektorach v1 , v2 , ..., vm (na układzie
wektorów, na zbiorze A) albo generowana˛ przez wektory v1 , v2 , ..., vm (układ wektorów, zbiór A)).
Definicja 4.8. Baza˛ przestrzeni liniowej V nazywamy taki zbiór B ⊂ V, że
1. jest on liniowo niezależny,
2. generuje cała˛ przestrzeń V, tzn. lin B = V.
Mamy
Twierdzenie 4.2. Dla dowolnej niezerowej przestrzeni liniowej V istnieje baza tej przestrzeni.
Przykład 4.6. Niech V = R3 . Układy
B1 = {[1, 0, 0] , [0, 1, 0] , [0, 0, 1]} ,
B2 = {[1, 2, 3] , [2, 0, 1] , [3, 2, 1]}
sa˛ bazami przestrzeni R3 . Rzeczywiście
10 Sa˛ liniowo niezależne, bo
1 0 0 0 1 0 = 1,
0 0 1 1 2 3
2 0 1
3 2 1
= 12.
20 Generuja˛ cała˛ przestrzeń, bo dowolny wektor [v1 , v2 , v3 ] ∈ R3 jest kombinacja˛
liniowa˛ układu B1 , co wynika bezpośrednio z zapisu
[v1 , v2 , v3 ] = v1 [1, 0, 0] + v2 [0, 1, 0] + v3 [0, 0, 1] .
Również dla dowolnego wektora [v1 , v2 , v3 ] ∈ R3 istnieja˛ współczynniki α1 , α2 , α3 ∈
R takie, że
[v1 , v2 , v3 ] = α1 [1, 2, 3] + α2 [2, 0, 1] + α3 [3, 2, 1] ,
36
o czym łatwo przekonać si˛e zapisujac
˛ ostatnia˛ równość jako układ równań z niewiadomymi α1 , α2 , α3

1 2 3

α1


v1



 

 2 0 2  α  =  v 
2
2


 

3 1 1
α3
v3
i stwierdzajac,
˛ że jest to układ Cramera.
Przykład 4.7. Niech V = Rn , gdzie n ∈ N. Rozważmy układ E = {e1 , e2 , ..., en } wektorów postaci
e1 = [1, 0, 0, ..., 0]
e2
..
.
=
..
.
[0, 1, 0, ..., 0]
..
.
en = [0, 0, 0, ..., 1]
Argumentujac
˛ jak w poprzednim przykładzie widzimy, że układ E jest baza˛ przestrzeni Rn .
Definicja 4.9. Niech V = Rn , gdzie n ∈ N. Układ E określony w poprzednim przykładzie nazywamy baza˛ kanoniczna˛ albo baza˛ standardowa˛ przestrzeni liniowej Rn .
Jak widać z przytoczonych przykładów dana przestrzeń liniowa może mieć różne
bazy. Baza przestrzeni liniowej nie musi być zbiorem skończonym. Zachodzi jednak
Twierdzenie 4.3. Jeżeli V posiada baz˛e złożona˛ z n wektorów, to każda inna baza też
składa si˛e z n wektorów. Jeżeli przestrzeń V posiada baz˛e nieskończona,˛ to każda inna
baza tej przestrzenie też jest nieskończona.
Definicja
4.10. Niech
V
b˛edzie
przestrzenia˛ liniowa.˛
Jeżeli
istnieje
baza
B = {b1 , b2 , ..., bn } przestrzeni V złożona ze skończonej liczby n ∈ N wektorów, to
wymiarem przestrzeni V nazywamy liczb˛e
dim V := n,
i mówimy, że przestrzeń jest n−wymiarowa.
Jeżeli baza przestrzeni V jest zbiorem nieskończonym, to mówimy, że przestrzeń V jest
nieskończenie wymiarowa oraz piszemy
dim V = ∞.
37
Jeżeli V = {θ } (V jest przestrzenia˛ zerowa),
˛ to przyjmujemy
dim V := 0,
i mówimy, że przestrzeń zerowa jest zerowymiarowa.
Przykład 4.8. Przestrzeń Rn ma wymiar n.
Przykład 4.9. Przestrzeń V wszystkich funkcji f : R → R z działaniami określonymi
w sposób naturalny jest przestrzenia˛ nieskończenie wymiarowa.˛
4.3
Przekształcenia liniowe. Obraz i jadro
˛
przekształcenia liniowego
Definicja 4.11. Przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej V w przestrzeń liniowa˛ W nazywamy funkcj˛e L : V → W spełniajac
˛ a˛ warunki
(PL1) L (u + v) = L (u) + L (v) dla u, v ∈ V,
(PL2) L (αu) = αL (u) dla u ∈ V oraz α ∈ R.
Własność 4.6. Przekształcenie L : V → W jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy
L (αu + βv) = αL (u) + βL (v)
dla u, v ∈ V oraz α, β ∈ R.
Własność 4.7. Jeżeli L : V → W jest przekształceniem liniowym, to L (θ ) = θ.
Przykład 4.10. Niech V = R2 , W = R2 . Wówczas przekształcenie liniowe L : V →
W przekształca płaszczyzn˛e na płaszczyzn˛e. Przykładami przekształceń liniowych sa˛
znane ze geometrii przekształcenia:
1. symetria wzgl˛edem poczatku
˛
układu współrz˛ednych określona wzorem
L ([ x, y]) = [− x, −y] ,
2. symetria wzgl˛edem prostej x = 0 określona wzorem
L ([ x, y]) = [− x.y] ,
38
3. symetria wzgl˛edem prostej y = 0 określona wzorem
L ([ x, y]) = [ x, −y] ,
4. obrót dookoła poczatku
˛
układu współrz˛ednych,
5. rzuty prostokatne
˛
(na proste przechodzace
˛ przez poczatek
˛
układu współrz˛ednych),
6. jednokładności (o środku w poczatku
˛
układu współrz˛ednych).
Definicja 4.12. Obrazem przekształcenia liniowego L : V → W nazywamy zbiór
Im L := {w ∈ W : L (u) = w dla pewengo u ∈ V } .
Definicja 4.13. Jadrem
˛
przekształcenia liniowego L : V → W nazywamy zbiór
ker L := {u ∈ V : L (u) = θ } .
Własność 4.8. Obraz przekształcenia liniowego L : V → W jest podprzestrzenia˛ liniowa˛ przestrzeni W. Jadro
˛
przekształcenia liniowego L : V → W jest podprzestrzenia˛
liniowa˛ przestrzeni V.
4.4
Macierz przekształcenia liniowego
Własność 4.9. Niech V = R2 , W = R2 . Wówczas L : R2 → R2 jest przekształceniem
liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja˛ liczby a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R takie, że
L ([ x1 , x2 ]) = [ a1 x1 + a2 x2 , b1 x1 + b2 x2 ]
dla [ x1 , x2 ] ∈ R2
Własność 4.10. Niech V = R3 , W = R3 . Wówczas L : R3 → R3 jest przekształceniem
liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja˛ liczby a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1 .c2 , c3 ∈ R takie,
że
L ([ x1 , x2 , x3 ]) = [ a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 , b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 , c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 ]
dla [ x1 , x2 , x3 ] ∈ R3 .
Powyższe własności możemy sformułować nast˛epujaco
˛
39
1. L : R2 → R2 jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje

macierz


a1 a2

b1 b2
taka, że
L ([ x1 , x2 ]) = 



a1 a2

x1

x2
b1 b2
2. L : R3 → R3 jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
macierz

a1 a2 a3



 b b b 
 1 2 3 
c1 c2 c3
taka, że

a1 a2 a3

x1




 x .
L ([ x1 , x2 , x3 ]) = 
b
b
b
2
2
3
1



x3
c1 c2 c3
Powyższe spostrzeżenia uogólnia
Twierdzenie 4.4. Przekształcenie L : Rn → Rm jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy
[ ]
istnieje dokładnie jedna macierz A = aij 1≤i≤m,1≤ j≤n ∈ Rm×n taka, że L(v) = Av T dla
v ∈ Rn tzn.




L ([ x1 , x2 , ..., xn ]) = 


a11
a12
· · · a1n
a21
..
.
a22
..
.
· · · a2n
. . ..
. .
am1 am2 · · · amn







x1
x2
..
.







xn
dla [ x1 , x2 , ..., xn ] ∈ Rn .
Definicja 4.14. Jeżeli L : Rn → Rm jest przekształceniem liniowym, to macierz A =
[ ]
˛ warunek L(v) = Av T dla v ∈ Rn nazywa si˛e
aij 1≤i≤m,1≤ j≤n ∈ Rm×n spełniajaca
macierza˛ przekształcenia liniowego.
[ ]
Własność 4.11. k − ta kolumny macierzy A = aij 1≤i≤m,1≤ j≤n ∈ Rm×n przekształcenia
L : Rn → Rm liniowego jest wektorem L (ek ) , gdzie ek jest k−tym wektorem bazy
kanonicznej (na k −tej współrz˛ednej mamy liczb˛e 1 na pozostałych 0).
40
Przykład 4.11. Niech L : R3 → R2 b˛edzie przekształceniem liniowym postaci
L [( x, y, z]) = [ x − 3y + 3z, −2x + 6y − 4z] .
Wówczas
L ([1, 0, 0]) = [1, −2]) ,
L ([0, 1, 0] = [−3, 6]) ,
L ([0, 0, 1] = [3, −4]) .
Zatem macierz tego przekształcenia jest postaci


1 −3
3
.
A=
−2
6 −4
Dla przykładu L ([1, −2, 3]) = [16, −26] , L ([0, 1, −3]) = [−12, 18] , co możemy otrzymać również jako



1





16
  −2  = 
,


−2
6 −4
−26
3






0

1 −3
3 
−
12
 1  = 
.
L ([0, 1, −3]) = 


−2
6 −4
18
−3
L ([1, −2, 3]) = 
1 −3
3
Uwaga 4.3 (Interpretacja geometryczna wyznacznika macierzy przekształcenia).
1. Niech L : R2 → R2 b˛edzie przekształceniem liniowym o macierzy A, D zbiorem
na płaszczyźnie R2 , L ( D ) obrazem zbioru D w przekształceniu L. Wówczas, pola
powierzchni | D | i | L ( D )| zbioru D i obrazu L ( D ) spełniaja˛ zależność
| L ( D )| = | det A| · | D | .
2. Niech L : R3 → R3 b˛edzie przekształceniem liniowym o macierzy A, D zbiorem w przestrzeni R3 , L ( D ) obrazem zbioru D w przekształceniu L. Wówczas,
obj˛etości | D | i | L ( D )| zbioru D i obrazu L ( D ) spełniaja˛ zależność
| L ( D )| = | det A| · | D | .
4.5
41
Działania na przekształceniach liniowych
Działania na przekształceniach liniowych określamy tak jak dla zwykłych funkcji. Mamy
jednak
Twierdzenie 4.5. Suma, iloczyn przez liczb˛e, złożenie i odwrotność (o ile istnieje) przekształceń liniowych jest przekształceniem liniowym.
Nie każde przekształcenie liniowe posiada przekształcenia odwrotne warunek istnienia tego przekształcenia w przypadku, gdy dziedzina i przeciwdziedzina sa˛ takie same
określa
Twierdzenie 4.6. Niech L : Rn → Rn b˛edzie przekształceniem liniowym, A jego macierza,˛ wówczas nast˛epujace
˛ warunki sa˛ równoważne
1. przekształcenie L jest odwracalne,
2. przekształcenie L jest różnowartościowe,
3. ker L = {θ } ,
4. rz A = n,
5. det A ̸= 0.
Zwiazek
˛
pomi˛edzy macierzami przekształceń oraz macierzami sumy, iloczynu przez
liczb˛e złożenia i odwrotności ustala nast˛epujace
˛
Twierdzenie 4.7.
1. Jeżeli A1 , A2 oznaczaja˛ macierze przekształceń liniowych L1 : Rn → Rm oraz
L2 : Rn → Rm (odpowiednio), to macierz A1 + A2 jest macierza˛ przekształcenia
liniowego L1 + L2 : Rn → Rm (sumy przekształceń L1 i L2 ).
2. Jeżeli A jest macierza˛ przekształcenia liniowego L : Rn → Rm , α ∈ R jest ustalona˛ liczba,˛ to macierz αA1 jest macierza˛ przekształcenia liniowego αL1 : Rn →
Rm , (iloczynu przekształcenia L1 przez liczb˛e α).
3. Jeżeli A1 , A2 oznaczaja˛ macierze przekształceń liniowych L1 : Rn → Rm oraz
L2 : Rm → Rk (odpowiednio), to macierz A2 · A1 jest macierza˛ przekształcenia
liniowego L2 ◦ L1 : Rn → Rk (złożenia przekształceń L1 i L2 ).
42
4. Jeżeli A jest macierza˛ przekształcenia liniowego L : Rn → Rm , odwracalnego, to
A−1 jest macierza˛ przekształcenia liniowego L−1 : Rm → Rn
Rozdział 5
Elementy geometrii analitycznej w
przestrzeni
W wykładzie tym wi˛ekszy nacisk został położony raczej na intuicyjne rozumienie
definiowanych poj˛eć, niż ścisłe ich zdefiniowanie. Dlatego niniejszy wykład nie posiada, przynajmniej na poczatku,
˛
charakteru formalnego wykładu matematycznego.
Zakładamy, że Czytelnik zna, a przynajmniej rozumie intuicyjnie, takie poj˛ecia geometryczne jak: punkt, odcinek, wektor, prosta i płaszczyzna w trójwymiarowej przestrzeni.
5.1
Wektory
Definicja 5.1. Przestrzenia˛ euklidesowa˛ R3 nazywamy zbiór wszystkich uporzadko˛
wanych trójek ( x, y, z) liczb rzeczywistych
R3 := {( x, y, z) : x, y, z ∈ R} .
Tradycyjnie elementy przestrzeni euklidesowej R3 moga˛ być interpretowane jako trzy
rodzaje obiektów:
• Punkty. Do oznaczania punktów używamy wielkich liter alfabetu: A, B, C, P, Q.
Zapis A = ( x, y, z) oznacza, że punkt A ma współrz˛edne x, y, z.
• Wektory zaczepione. Jeśli dane sa˛ punkty A = ( x a , y a , z a ) oraz B = ( xb , yb , zb ), to
⃗ jest wektorem zaczepionym w punkcie A (tzn. o poczatku
wektor AB
˛
w punkcie
⃗ liczymy według wzoru
A) i o końcu w punkcie B. Współrz˛edne wektora AB
⃗ := [ xb − x a , yb − y a , zb − z a ] .
AB
43
ROZDZIAŁ 5. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ W PRZESTRZENI
44
Wektorem zaczepionym jest wi˛ec uporzadkowana
˛
para punktów, z których jeden
jest poczatkiem,
˛
a drugi końcem tego wektora. Należy jeszcze zwrócić uwag˛e, że
⃗ czyli o poczatku
dowolny wektor postaci AA,
˛
i końcu w tym samym punkcie
nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy ⃗0. Oczywiście
⃗0 := [0, 0, 0] .
• Wektory swobodne. Ich określenie podamy nieco później.
Definicja 5.2. Niech dane b˛eda˛ dwa punkty A = ( x a , y a , z a ) oraz B = ( xb , yb , zb ). Dłu¯ Długość wektora AB
⃗ nazywamy długość odcinka AB.
⃗ oznaczamy
gościa˛ wektora AB
⃗ ||. Mamy wi˛ec, że
symbolem || AB
√
⃗
|| AB|| := ( xb − x a )2 + (yb − y a )2 + (zb − z a )2 .
⃗ i PQ
⃗ maja˛ ten sam kierunek
Definicja 5.3. Mówimy, że dwa wektory niezerowe AB
⃗ nazywamy ten z dwu zwrojeśli proste AB i PQ sa˛ równoległe. Zwrotem wektora AB
tów prostej AB w którym punkt A poprzedza punkt B.
Uwaga 5.1. Można pokazać, że relacja R „posiadania tej samej długości zwrotu i kierunku” określona w przestrzeni euklidesowej R3 interpretowanej jako zbiór wektorów
zaczepionych jest relacja˛ równoważności.
Możemy teraz podać ścisłe określenie wektora swobodnego.
Definicja 5.4. Wektorem swobodnym, dokładniej wektorem swobodnym wyznaczo⃗ nazywamy klas˛e abstrakcji relacji R wynym przez pewien wektor zaczepiony AB,
⃗
znaczona˛ przez wektor AB.
Uwaga 5.2. W dalszej cz˛eści tego rozdziału b˛edziemy mówić jedynie o wektorach swobodnych, pami˛etajac,
˛ że możemy w każdej chwili utożsamiać dowolny wektor swobodny z konkretnym, dowolnie wybranym reprezentantem klasy abstrakcji R (czyli
wektorem zaczepionym).
Z wielu powodów najwygodniej jest wybierać reprezentanta b˛edacego
˛
wektorem zaczepionym w punkcie (0, 0, 0), czyli utożsamiać wektor swobodny z wektorem zaczepionym w zerze.
Przestrzeń euklidesowa R3 z elementami interpretowanymi jako wektory swobodne
jest oczywiście przestrzenia˛ liniowa.˛ Wobec tego wektory swobodne sa˛ jej elementami
45
i zachodza˛ dla nich wszystkie własności omówione w wykładzie dotyczacym
˛
przestrzeni liniowych.
Powyższa uwaga dodatkowo wyjaśnia dlaczego elementy przestrzeni liniowej (niekoniecznie euklidesowej) nazywaliśmy wektorami.
Wektory swobodne oznaczamy symbolami ⃗a, ⃗u, ⃗v itd.
Definicja 5.5. Mówimy, że punkty A, B, C sa˛ współliniowe, gdy istnieje prosta k, że
A, B, C ∈ k. Mówimy, że punkty K, L, M, N sa˛ współpłaszczyznowe, jeśli istnieje płaszczyzna π, że K, L, M, N ∈ π.
Definicja 5.6. Mówimy, że wektory niezerowe ⃗u, ⃗v sa˛ równoległe, co zapisujemy ⃗u ∥ ⃗v,
gdy maja˛ te same kierunki. Przyjmujemy dodatkowo, że wektor zerowy jest równoległy do każdego innego wektora.
Wniosek 5.1. Niech dane b˛eda˛ wektory ⃗u i ⃗v. Wówczas ⃗u ∥ ⃗v wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieja˛ takie liczby rzeczywiste α, β, że α⃗u + β⃗v = ⃗0 czyli, gdy wektory ⃗u i ⃗v sa˛ liniowo
niezależne.
Własność 5.1. Długość wektora ⃗u = [ x, y, z] wynosi
√
||⃗u|| = x2 + y2 + z2 .
Twierdzenie 5.1 (Własności długości wektorów). Niech dane b˛eda˛ wektory ⃗u, ⃗v oraz
liczba α. Wtedy:
1. ||⃗u|| ≥ 0 oraz ||⃗u|| = 0 ⇔ ⃗u = ⃗0,
2. ||α⃗u|| = |α| · ||⃗u||,
3. ||⃗u + ⃗v|| ≤ ||⃗u|| + ||⃗v||,
4. |||⃗u|| − ||⃗v||| ≤ ||⃗u − ⃗v||.
Definicja 5.7. Układem współrz˛ednych nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinajace
˛ si˛e w jednym punkcie O = (0, 0, 0), które sa˛ wzajemnie prostopadłe. Taki układ
współrz˛ednych oznaczamy przez Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami układu.
W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy, Oz wyróżniamy dwie jego orientacje: układ prawoskr˛etny (rys. 5.1) i układ lewoskr˛etny (rys. 5.2).
46
z
k
O
j
y
i
x
Rysunek 5.1: Układ prawoskr˛etny.
z
k
O
i
x
j
y
Rysunek 5.2: Układ lewoskr˛etny.
Definicja 5.8. Wektory ⃗i = [1, 0, 0], ⃗j = [0, 1, 0], ⃗k = [0, 0, 1] nazywamy wersorami
odpowiednio osi Ox, Oy, Oz.
Definicja 5.9. Niech dane b˛eda˛ wektory ⃗u, ⃗v. Iloczynem skalarnym wektorów ⃗u i ⃗v
nazywamy liczb˛e ⃗u ◦ ⃗v określona˛ wzorem:
⃗u ◦ ⃗v = ||⃗u|| · ||⃗v|| · cos ϕ,
gdzie ϕ jest katem
˛
mi˛edzy wektorami ⃗u i ⃗v (rys. 5.3).
Własność 5.2 (Wzór na obliczanie iloczynu skalarnego). Niech ⃗u1 = [ x1 , y1 , z1 ] oraz
⃗u2 = [ x2 , y2 , z2 ]. Wtedy
⃗u1 ◦ ⃗u2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
47
z
Á
u
v
y
x
Rysunek 5.3: Kat
˛ mi˛edzy dwoma wektorami.
⃗
Twierdzenie 5.2 (Własności iloczynu skalarnego). Niech dane b˛eda˛ wektory ⃗u, ⃗v, w
oraz liczba α. Wtedy:
1. ⃗u ◦ ⃗v = ⃗v ◦ ⃗u,
2. (α⃗u) ◦ ⃗v = α (⃗u ◦ ⃗v),
3. ⃗u ◦ ⃗u = ||⃗u||2 ,
⃗ = ⃗u ◦ w
⃗ + ⃗v ◦ w
⃗,
4. (⃗u + ⃗v) ◦ w
5. |⃗u ◦ ⃗v| ≤ ||⃗u|| · ||⃗v||, przy czym równość zachodzi ⇔ ⃗u ∥ ⃗v,
6. ⃗u ⊥ ⃗v ⇔ ⃗u ◦ ⃗v = 0.
⃗ = [ x3 , y3 , z3 ]. Mówimy,
Definicja 5.10. Niech ⃗u = [ x1 , y1 , z1 ], ⃗v = [ x2 , y2 , z2 ] oraz w
⃗ ) tworzy układ o orientacji zgodnej z orientacja˛ układu
że trójka wektorów (⃗u, ⃗v, w
współrz˛ednych, jeżeli
x y z 1 1 1 x y z > 0.
2 2 2 x3 y2 z3 ⃗
W przypadku, gdy powyższy wyznacznik jest ujemny, to mówimy, że wektory ⃗u, ⃗v, w
tworza˛ układ o orientacji przeciwnej do orientacji układu współrz˛ednych.
Definicja 5.11. Niech ⃗u i ⃗v b˛eda˛ wektorami nierównoległymi. Iloczynem wektorowym
uporzadkowanej
˛
pary wektorów ⃗u i ⃗v w układzie współrz˛ednych Oxyz nazywamy
⃗ = ⃗u × ⃗v spełniajacy
wektor w
˛ warunki
48
⃗ jest prostopadły do każdego z wektorów ⃗u i ⃗v (czyli jest prostopadły do płasz1. w
czyzny rozpi˛etej na tych wektorach),
2.
||⃗
w|| = ||⃗u|| · ||⃗v|| · sin ϕ,
gdzie ϕ jest katem
˛
mi˛edzy wektorami ⃗u i ⃗v,
⃗ jest zgodna z orientacja˛ układu Oxyz.
3. orientacja trójki wektorów ⃗u, ⃗v, w
Jeśli ⃗u ∥ ⃗v (w szczególności, jeśli jeden z nich jest wektorem zerowym), to przyjmujemy,
że ⃗u × ⃗v = ⃗0.
Uwaga 5.3. W układzie prawoskr˛etnym zwrot iloczynu wektorowego ⃗u × ⃗v określa
si˛e za pomoca˛ tzw. reguły prawej dłoni. Jeśli w układzie współrz˛ednych umieścimy
prawa˛ dłoń tak, aby zgi˛ete palce wskazywały kierunek obrotu od wektora ⃗u do wektora ⃗v, to wyprostowany kciuk b˛edzie nam wskazywał zwrot wektora ⃗u × ⃗v. W układzie lewoskr˛etnym obowiazuje
˛
analogiczna reguła lewej dłoni.
Własność 5.3 (Wzór na obliczanie iloczynu wektorowego). Jeśli ⃗u = [ x1 , y1 , z1 ], oraz
⃗v = [ x2 , y2 , z2 ], to
⃗i ⃗j ⃗k ⃗u × ⃗v = x1 y1 z1 ,
x2 y2 z2 przy czym przy obliczaniu powyższego wyznacznika wersory⃗i,⃗j, ⃗k należy traktować
jak liczby.
Twierdzenie 5.3 (Własności iloczynu wektorowego). Niech dane b˛eda˛ wektory ⃗u, ⃗v,
⃗ oraz liczba α. Wtedy:
w
1. ⃗u × ⃗v = −(⃗v × ⃗u),
2. (α⃗u) × ⃗v = ⃗u × (α⃗v) = α(⃗u × ⃗v),
⃗ = ⃗u × w
⃗ + ⃗v × w
⃗,
3. (⃗u + ⃗v) × w
⃗ ) = ⃗u × ⃗v + ⃗u × w
⃗,
4. ⃗u × (⃗v + w
5. ||⃗u × ⃗v|| ≤ ||⃗u|| · ||⃗v||, przy czym równość zachodzi ⇔ ⃗u ⊥ ⃗v,
6. ⃗u ∥ ⃗v ⇔ ⃗u × ⃗v = 0.
49
Własność 5.4. Długość iloczynu wektorowego ⃗u × ⃗v równa jest polu równoległoboku
rozpi˛etego na wektorach ⃗u i ⃗v (rys. 5.4).
z
w
v
Á
y
u
x
⃗ = ⃗u × ⃗v.
Rysunek 5.4: Iloczyn wektorowy w
⃗ nazyDefinicja 5.12. Iloczynem mieszanym uporzadkowanej
˛
trójki wektorów ⃗u, ⃗v, w
wamy liczb˛e
⃗ ) := (⃗u × ⃗v) ◦ w
⃗.
(⃗u, ⃗v, w
Własność 5.5 (Wzór na obliczanie iloczynu mieszanego). Jeśli ⃗u = ( x1 , y1 , z1 ), ⃗v =
⃗ = ( x3 , y3 , z3 ), to
( x2 , y2 , z2 ) oraz w
x y z 1 1 1 ⃗ ) = x2 y2 z2 .
(⃗u, ⃗v, w
x3 y3 z3 ⃗,
Twierdzenie 5.4 (Własności iloczynu mieszanego). Niech dane b˛eda˛ wektory ⃗u, ⃗v, w
⃗r oraz liczba α. Wtedy:
⃗ ) = (⃗v, w
⃗ , ⃗u) = (⃗
1. (⃗u, ⃗v, w
w, ⃗u, ⃗v),
⃗ ) = −(⃗v, ⃗u, w
⃗ ),
2. (⃗u, ⃗v, w
⃗ ) = (⃗u, ⃗v, w
⃗ ) + (⃗r, ⃗v, w
⃗ ),
3. (⃗u +⃗r, ⃗v, w
⃗ ) = α(⃗u, ⃗v, w
⃗ ),
4. (α⃗u, ⃗v, w
⃗ leża˛ w jednej płaszczyźnie ⇔ (⃗u, ⃗v, w
⃗) = 0
5. wektory ⃗u, ⃗v, w
50
⃗ )| ≤ ||⃗u|| · ||⃗v|| · ||⃗
6. |(⃗u, ⃗v, w
w||, przy czym równość zachodzi ⇔ wektory te sa˛
wzajemnie prostopadłe.
⃗ jest
Własność 5.6. Wartość bezwzgl˛edna iloczynu mieszanego trójki wektorów ⃗u, ⃗v, w
równa obj˛etości równoległościanu rozpi˛etego na tych wektorach.
z
w
v
y
u
x
⃗.
Rysunek 5.5: Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów = ⃗u, ⃗v, w
5.2
Równania płaszczyzny
Twierdzenie 5.5. Niech dany b˛edzie pewien niezerowy wektor ⃗n = [ A, B, C ] oraz
punkt P0 = ( x0 , y0 , z0 ). Wówczas równanie płaszczyzny π przechodzacej
˛ przez punkt
P0 i prostopadłej do wektora ⃗n jest postaci:
π : A( x − x0 ) + B(y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0.
(5.1)
Dowolny punkt P należy do płaszczyzny π wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrz˛edne
spełniaja˛ równanie (5.1).
Równanie (5.1) nazywa si˛e równaniem normalnym płaszczyzny π, zaś wektor ⃗n wektorem normalnym tej płaszczyzny.
Własność 5.7. Każde równanie postaci
Ax + By + Cz + D = 0,
gdzie A2 + B2 + C2 > 0 tzn. A, B, C nie sa˛ jednocześnie zerami przedstawia płaszczyzn˛e.
51
Twierdzenie 5.6. Niech dany b˛edzie pewien punkt P0 = ( x0 , y0 , z0 ) oraz wektory
⃗u = [ a1 , b1 , c1 ], ⃗v = [ a2 , b2 , c2 ] nierównoległe. Wówczas płaszczyzna π równoległa do
wektorów ⃗u, ⃗v i przechodzaca
˛ przez punkt P0 może być opisana za pomoca˛ zależności



 x = x0 + sa1 + ta2 ,
π=



y = y0 + sb1 + tb2 ,
s, t ∈ R.
(5.2)
z = z0 + sc1 + tc2
Równanie (5.2) nazywa si˛e równaniem parametrycznym płaszczyzny.
Własność 5.8. Równanie płaszczyzny przechodzacej
˛ przez trzy niewspółliniowe punkty
P1 = ( x1 , y1 , z1 ), P2 = ( x2 , y2 , z2 ), P3 =
x
x
1
π:
x2
x3
( x3 , y3 , z3 ), ma postać:
y z 1 y1 z1 1 = 0.
y2 z2 1 y3 z3 1 Definicja 5.13. Niech l b˛edzie kraw˛edzia˛ (czyli prosta˛ b˛edac
˛ a˛ cz˛eścia˛ wspólna)
˛ dwu
nierównoległych płaszczyzn π1 i π2 . Wówczas p˛ekiem płaszczyzn wyznaczonym przez
te dwie płaszczyzny nazywamy zbiór wszystkich płaszczyzn zawierajacych
˛
kraw˛edź
l.
Twierdzenie 5.7. Niech dane b˛eda˛ dwie nierównoległe płaszczyzny π1 i π2 o równaniach
π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
Wówczas, dowolna płaszczyzna π należy do p˛eku płaszczyzn wyznaczonego przez te
płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy ma równanie
π : λ1 ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 )) + λ2 ( A2 x + B2 y + C2 z + D1 ) = 0,
gdzie λ1 , λ2 sa˛ pewnymi liczba rzeczywistymi nierównymi jednocześnie zero.
5.3
Równania prostej
Twierdzenie 5.8. Równanie prostej l przechodzacej
˛ przez punkt P0 = ( x0 , y0 , z0 ) równoległej do wektora ⃗v = [ a, b, c] jest postaci
l : ( x, y, z) = ( x0 , y0 , z0 ) + t[ a, b, c],
t ∈ R,
lub równoważnie



 x = x0 + at
l:
y = y0 + bt



z = z0 + ct
t∈R
52
(5.3)
Równanie (5.3) nazywa si˛e równaniem parametrycznym prostej.
Twierdzenie 5.9. Równanie prostej l przechodzacej
˛ przez punkt P0 = ( x0 , y0 , z0 ) równoległej do wektora ⃗v = [ a, b, c], a, b, c ̸= 0 jest postaci:
l:
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
a
b
c
(5.4)
Równanie (5.4) nazywa si˛e kierunkowym równaniem prostej, wektor ⃗v wektorem
kierunkowym prostej, natomiast współczynniki a, b, c – współczynnikami kierunkowymi prostej.
Niech dane b˛eda˛ dwie nierównoległe płaszczyzny π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i π2 :
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. Wówczas cz˛eść wspólna obu płaszczyzn jest oczywiście
prosta,˛ zatem jest ona opisana za pomoca˛ układu

 A x+B y+C z+D = 0
1
1
1
1
l:
 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
(5.5)
Równanie (5.5) nazywa si˛e równaniem kraw˛edziowym prostej l.
Własność 5.9. Wektor ⃗v kierunkowy prostej l (czyli wektor równoległy do prostej l) o
równaniu kraw˛edziowym

 A x+B y+C z+D = 0
1
1
1
1
l:
 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
jest postaci:
⃗v = [ A1 , B1 , C1 ] × [ A2 , B2 , C2 ].
5.4
Wzajemne położenie punktów, prostych i płaszczyzn
Definicja 5.14. Rzutem prostokatnym
˛
punktu P na płaszczyzn˛e π nazywamy taki
punkt p′ tej płaszczyzny, że
PP′ ⊥ π
53
Własność 5.10 (Wzór na odległość punktu od płaszczyzny). Odległość punktu P0 =
( x0 , y0 , z0 ) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si˛e wzorem
d( P0 , π ) =
| Ax0 + By0 + Cz0 + D |
√
A2 + B2 + C 2
Własność 5.11. Niech dane b˛eda˛ dwie płaszczyzny π1 , π2 o równaniach:
π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
Wówczas:
(a)
π1 ⊥ π2 ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0,
(b) π1 ∥ π2 ⇔ współczynniki A1 , B1 , C1 sa˛ proporcjonalne do współczynników A2 , B2 , C2 .
W szczególności, gdy A2 , B2 , C2 ̸= 0, to
π1 ∥ π2 ⇔
(c)
cos ](π1 , π2 ) = √
A1
B
C
= 1 = 1,
A2
B2
C2
| A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 |
√
A21 + B12 + C12 · A22 + B22 + C22
o ile A21 + B12 + C12 > 0 i A22 + B22 + C22 > 0.
Własność 5.12 (Wzór na odległość mi˛edzy dwiema płaszczyznami). Odległość mi˛edzy dwiema równoległymi płaszczyznami π1 , π2 o równaniach
π1 : Ax + By + C + D1 = 0,
wyraża si˛e wzorem:
d ( π1 , π2 ) = √
π2 : Ax + By + Cz + D2 = 0
| D1 − D2 |
.
A2 + B2 + C 2
Dodatek
Wartości funkcji trygonometrycznych
α=
0
π
6
sin α
0
cos α
1
2√
1
3
2
π
4
√
2
√2
2
2
π
3
√
3
2
1
2
π
2
π
3 π2
1
0
−1 0
0
−1 0
2π
1
Znak funkcji trygonometrycznych
I
II
III
IV
sin
+
+
−
−
cos
+
−
−
+
Wzory redukcyjne
sin (−α) = − sin α
sin (2kπ + α) = sin α
cos (−α) = cos α
cos (2k + α) = cos α
)
−
α
= cos α
2
(π
)
cos 2 − α = sin α
sin
sin (π − α) = sin α
sin (π + α) = − sin α
cos (π − α) = − cos α
cos (π + α) = − cos α
)
(
sin 3 π2 − α = − cos α
(
)
cos 3 π2 − α = − sin α
(
)
sin 3 π2 + α = − cos α
(
)
cos 3 π2 + α = sin α
sin (2π − α) = − sin α
cos (2π − α) = cos α
sin
(π
)
+
α
= cos α
2
(π
)
cos 2 + α = − sin α
54
(π
Indeks
algorytm
kolumna
- Gaussa, 12
- niewiadomych, 17
- bezwyznacznikowy znajdowania ma-
- wyrazów wolnych, 17
cierzy odwrotnej, 15
kombinacja liniowa, 34
argument liczby zespolonej, 27
Laplace’a rozwini˛ecie, 10
- główny, 27
liczba
baza przestrzeni liniowej, 35
- przeciwna, 24
- kanoniczna (standardowa), 36
- zespolona, 23
cz˛eść
macierz, 1
- rzeczywista liczby zespolonej, 26
- blokowa, 3
- urojona liczby zespolonej, 26
- diagonalna, 3
- dołaczona
˛
układu, 17
długość wektora, 44
- główna układu, 17
dopełnienie algebraiczne, 9
- jednostkowa, 3
iloczyn
- kwadratowa, 2
- liczb zespolonych, 24
- nieosobliwa, 14
- macierzy, 6
- odwracalna, 13
- macierzy przez liczb˛e, 5
- odwrotna, 13
- mieszany trójki wektorów, 49
- osobliwa, 14
- skalarny pary wektorów, 46
- przekształcenia liniowego, 39
- wektorowy pary wektorów, 47
- trójkatna
˛
iloraz liczb zespolonych, 25
- - dolna, 2
- - górna, 2
jadro
˛
przekształcenia liniowego, 38
- transponowana, 7
jednostka urojona, 25
- zerowa, 2
jedynka zespolona, 23
55
INDEKS
moduł liczby zespolonej, 26
56
- płaszczyzny
- - normalne, 50
obraz przekształcenia liniowego, 38
– parametryczne, 51
odwrotność liczby zespolonej, 24
otoczka liniowa, 34
- prostej
- - kierunkowe, 52
- zbioru, 34
- - kraw˛edziowe, 52
płaszczyzna zespolona, 23
- - parametryczne, 52
p˛ek płaszczyzn, 51
równość liczb zespolonych, 23
pierwiastek liczby zespolonej, 28
reguła prawej dłoni, 48
podprzestrzeń liniowa, 31
rozproszona postać bazowa macierzy, 20
- rozpi˛eta na wektorach (generowana
przez wektory, 35
postać
rozwiazanie
˛
układu, 17
- bazowe, 22
rzad
˛ macierzy, 19
- algebraiczna liczby zespolonej, 26
rzut prostokatny,
˛
52
- bazowa macierzy, 20
- trygonometryczna liczby zespolonej, 27
przekształcenie liniowe, 37
przestrzeń
- euklidesowa, 31, 43
- liniowa, 30
- - n−wymiarowa, 36
Sarrusa metoda, 9
sprz˛eżenie liczby zespolonej, 26
stopień macierzy kwadratowej, 2
suma
- macierzy, 4
twierdzenie
- - nieskończenie wymiarowa, 36
- Cramera, 18
- - zerowymiarowa, 37
- Kroneckera-Capellego, 21
- zerowa, 31
punkt, 43
punkty
- współpłaszczyznowe, 45
- wspóliniowe, 45
różnica
- macierzy, 4
- wektorów, 30
równanie
układ
- m równań z n niewiadomymi, 17
- Cramera, 18
- jednorodny, 18
- niejednorodny, 18
- sprzeczny, 17
- wektorów
- - liniowo zależnych, niezależnych,
34
- - o orientacji przeciwnej, 47
INDEKS
- - o orientacji zgodnej, 47
- współrz˛ednych, 45
57
zbiór wektorów liniowo zależnych, niezależnych, 34
- - lewoskr˛etny, 45
zero zespolone, 23
- - prawoskr˛etny, 45
zwrot wektora, 44
własności
- długości wektorów, 45
- iloczynu skalarnego, 47
- iloczynu wektorowego, 48
wektor, 30
- kierunkowy prostej, 52
- normalny płaszczyzny, 50
- swobodny, 44
- zaczepiony, 43
- zerowy, 30
- zerowy (zaczepiony), 44
wektory
- liniowo niezależne, 32
- liniowo zależne, 32
- majace
˛ ten sam kierunek, 44
- równoległe, 45
wersory osi, 46
współczynniki kierunkowe prostej, 52
wymiar przestrzeni liniowej, 36
wyznacznik macierzy kwadratowej, 8
wzór
- na obliczanie
- - iloczynu mieszanego, 49
- - iloczynu skalarnego, 46
- - iloczynu wektorowego, 48
- na odległość
- - mi˛edzy dwiema płaszczyznami,
53
- - punktu od płaszczyzny, 53

Algebra liniowa z geometri ˛a analityczn ˛a dla studentów

Transkrypt

Podobne dokumenty

Lista zadań z matematyki nr 3 NE FiR

Macierz odwrotna

Tablice i macierze. Własności, generacja, operacje na

Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu Matematyka MAP3032