Logika matematyczna - darmowy e

Transkrypt

Logika matematyczna
Przedmowa
To opracowanie jest napisane głównie z myślą o uczniach szkół średnich pragnących zrozumieć logikę matematyczną, ale i studenci pierwszego roku informatyki znajdą tu informacje dla siebie (m.in. funktory XOR oraz NOR),
o których w szkole średniej się nie wspomina. Opracowanie to tłumaczy wszystkie pojęcia od podstaw oraz zawiera ćwiczenia do samodzielnego wykonania wraz z odpowiedziami.
Spis tematów
1. Pojęcie zdania prostego i złożonego w logice matematycznej. ......................................................................... 1
— oznaczanie zdań prostych ............................................................................................................................ 3
2. Wartości logiczne zdań prostych. ....................................................................................................................... 3
3. Funktory zdaniotwórcze. .................................................................................................................................... 5
— negacja ......................................................................................................................................................... 6
— koniunkcja .................................................................................................................................................... 9
— alternatywa .................................................................................................................................................. 9
— implikacja ................................................................................................................................................... 10
— równoważność ........................................................................................................................................... 11
4. Rachunek zdań — prawa logiczne (tautologia). ............................................................................................... 12
— metoda zerowo-jedynkowa (tabelkowa) .................................................................................................. 12
— nazwy praw logicznych .............................................................................................................................. 13
— metoda „nie wprost” (apagogiczna) .......................................................................................................... 14
— tworzenie nowych praw logicznych .......................................................................................................... 15
— funktory Xor i Nor ...................................................................................................................................... 16
— sprawdzanie wartości logicznych bardziej rozbudowanych wyrażeń ....................................................... 18
5. Formy zdaniowe. .............................................................................................................................................. 20
— dziedzina formy zdaniowej ......................................................................................................................... 20
Wersja z dnia 30.06.2010
http://matematyka.strefa.pl
Znajdziesz tu wyjaśnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.
Logika matematyczna — strona 1
Temat: Pojęcie zdania prostego i złożonego w logice matematycznej.
Zdanie proste (w sensie matematycznym) — wyrażenie o którym można jednoznacznie powiedzieć,
że jest prawdziwe lub fałszywe np.:
2 + 3 = 18
Liczba 12 jest liczbą nieparzystą.
Liczba −4 jest mniejsza od −1.
— zdanie fałszywe
— zdanie fałszywe
— zdanie prawdziwe
W logice matematycznej występują tylko zdania oznajmujące, czyli takie, które kończą się kropką. Żadne zdanie pytające czy wykrzyknikowe nie jest zdaniem w rozumieniu logiki matematycznej, choć jest zdaniem w rozumieniu
gramatyki języka polskiego.
Pójdziesz ze mną?
Weź to!
Chciałbym byś mi kupiła loda.
— to nie jest zdanie w rozumieniu logiki matematycznej, bo nie jest ono
oznajmujące
— to nie jest zdanie w rozumieniu logiki matematycznej, bo nie jest ono
oznajmujące
— to nie jest zdanie w rozumieniu logiki matematycznej, bo nie można
go jednoznacznie ocenić czy jest ono prawdziwe czy fałszywe, choć
jest zdaniem oznajmującym.
Ćwiczenie: Które z poniższych zdań, są zdaniami w rozumieniu logiki matematycznej? Odpowiedź uzasadnij.
a) Lubisz pływać?
b) Nie rób tego!
c) Kup mi to ciastko.
d) Chcę pojeździć na rowerze.
e) Pozwól mi wyjść do koleżanki.
f) Zegar służy do odmierzania czasu.
g) Kartkę papieru można zgiąć 12 razy na pół.
Odp.: a) Nie, bo nie jest zakończone kropką.
b) Nie, bo nie jest zakończone kropką.
c) Nie, bo nie można o nim jednoznacznie powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe, pomimo tego, że kończy się kropką.
d) Nie, bo nie można o nim jednoznacznie powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe, pomimo tego, że kończy się kropką.
e) Nie, bo nie można o nim jednoznacznie powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe, pomimo tego, że kończy się kropką.
f) Tak, bo kończy się kropką i dodatkowo można o nim jednoznacznie powiedzieć, że jest prawdziwe.
g) Tak, bo kończy się kropką i dodatkowo można o nim jednoznacznie powiedzieć, że jest fałszywe.
Zdanie złożone — zdanie zbudowane z przynajmniej dwóch zdań prostych np.:
Teraz świeci słońce, więc pójdę się poopalać.
W powyższym przykładzie pierwsze zdanie proste jest do słowa „więc”, zaś drugie występuje po słowie „więc”. Oba
zdania proste pogrubiono i wyróżniono kolorem czerwonym.
Oznaczenie zdań prostych
Zdania proste w logice matematycznej oznacza się małymi literami alfabetu angielskiego zaczynając od litery ‫݌‬. Zatem pierwsze zadanie proste występujące w zdaniu złożonym należy oznaczyć literką ‫݌‬, następne literką ‫ݍ‬, kolejne
literką ‫ ݎ‬itd. W logice matematycznej, te literki będziemy nazywać zmiennymi zdaniowymi.
W szczególnych przypadkach, np. w przypadku zadania złożonego:
Teraz świeci słońce lub teraz nie świeci słońce.
matematycznie mamy do czynienia z jednym zdaniem prostym, bo drugie jest zaprzeczeniem pierwszego. Z punktu
widzenia zaś gramatyki języka polskiego, w powyższym zdaniu są 2 zdania proste (oba wyróżniono kolorem niebieskim).
Ćwiczenie: Ile zdań prostych w rozumieniu logiki matematycznej występuje w poniższych zdaniach złożonych?
a) To krzesło jest solidne i dodatkowo jest ono ładne.
b) W wieku 13 lat po raz pierwszy uprawiałam seks i zaczęłam uczyć się języka japońskiego.
c) Mam 17 lat lub 19 lat lub 21 lat.
d) Jestem chłopakiem lub nie jestem chłopakiem lub jestem dziewczyną.
e) Moja dziewczyna jak ma włosy ufarbowane na blond, to wygląda ładniej, niż gdy ma zrobiony balejaż lub splecione w warkocz.
f) Na ogół pijam Coca-Colę, ale gdy nie ma jej na stole, to pijam tylko herbatę lub kawę.
Odp.: a) 2 zdania proste. Są one rozdzielone słowem „i”.
b) 2 zdania proste. Są one rozdzielone słowem „i”.
c) 3 zdania proste. Każde jest rozdzielone słowem „lub”.
d) 2 zdania proste w rozumieniu logiki matematycznej: „jestem chłopakiem” oraz „jestem dziewczyną”, ale 3 zdania proste w rozumieniu gramatyki języka polskiego.
Sformułowanie drugie: „nie jestem chłopakiem” jest zaprzeczeniem sformułowania pierwszego: „jestem chłopakiem”.
e) 4 zdania proste. Są one rozdzielone słowami: „to”, „niż gdy”, „lub”.
f) 4 zdania proste. Są one rozdzielone słowami: „ale gdy”, „to”, „lub”.
Zdanie logiczne — zdanie oznajmujące w którym każde zdanie proste da się jednoznacznie ocenić jako
prawdziwe lub fałszywe.
Przykłady zdań logicznych:
ł
ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ
ᇩᇭᇭᇭᇪᇭ
ᇭᇭᇫ.
Liczba
5 jest większa od 0 lub jemu
równa
ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ
ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ
Teraz czytam opracowanie o logice matematycznej.
ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ
ł
ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ
Zegar
nie służy do odmierzania czasu.
ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ
Temat: Wartości logiczne zdań prostych.
Omówmy teraz bardziej dokładnie logikę matematyczną na przykładzie zdania złożonego:
Skoro ᇣᇤᇥ
2 < 5 i ᇣᇤᇥ
5 < 8, to ᇣᇤᇥ
2 < 8.
Ponieważ powyższe zdanie składa się z trzech zdań prostych, więc można go zapisać krócej:
Skoro ‫ ݌‬i ‫ ݍ‬to ‫ݎ‬.
W zdaniu tym:
‫݌‬: 2 < 5
‫ݍ‬: 5 < 8
‫ݎ‬: 2 < 8.
Dygresja: Po zmiennej zdaniowej (czyli po pierwszej literce) napisany został dwukropek.
Każdemu zdaniu prostemu przypisujemy liczbę 0 jeśli jest ono fałszywe, lub liczbę 1 jeśli jest ono prawdziwe. Wracając się do przykładowych trzech zdań z tematu pierwszego napiszemy:
2 + 3 = 18
Liczba 12 jest liczbą nieparzystą.
Liczba −4 jest mniejsza od −1.
— zdanie fałszywe;
— zdanie fałszywe;
— zdanie prawdziwe;
‫=݌‬0
‫=݌‬0
‫=݌‬1
Przypisywanie zdaniu prostemu tylko jednej z dwóch liczb, tzn. 0 lub 1, jest prawdziwe tylko w logice dwuwartościowej, którą to będziemy się zajmować. W teorii matematycznej istnieje jeszcze logika trójwartościowa, która
uszczegóławia logikę dwuwartościową poprzez dodanie wartości logicznej ½ (półprawda).
Ćwiczenie: Określ wartości logiczne podanych zdań prostych. [Podpowiedź. Oceń, czy podane zdanie proste ma wartość logiczną 0 czy 1.]
a) Mam skończone 16 lat.
b) Liczba 8 jest mniejsza od 0.
c) Biurko to rzeczownik.
d) Lubię pływać.
e) Od czasu do czasu jadam zupę.
f) Pierwiastek stopnia drugiego z liczby −16 jest równy −4.
Odp.: a) Zależnie od Ciebie; b) 0 (fałsz); c) 1 (prawda); d) Zależnie od Ciebie; e) Zależnie od Ciebie; f) 0 (fałsz).
Temat: Funktory zdaniotwórcze.
Znając już z poprzednich tematów podstawy logiki matematycznej wiesz, że w zdania złożone składają się
z przynajmniej dwóch zdań prostych rozdzielonych jakimś słowem lub grupą słów. Przykładowo w zdaniu:
Teraz świeci słońce, więc pójdę się poopalać.
zdania proste (wyróżnione na czerwono) są rozdzielone słowem więc, a na przykład w zdaniu:
Skoro 2 < 5 i 5 < 8, to 2 < 8.
zdania proste są rozdzielone słowami „i” oraz „to” (oba wyróżniono kolorem zielonym). Zdania złożone mogą być
także rozdzielone słowem „lub” np.:
Teraz czytam ten tekst lub myślę o tym co będzie dalej.
Mam 16 lat lub 17 lat lub jestem pełnoletni lub mam fioła na punkcie hip-hopu.
Z punktu widzenia gramatyki języka polskiego zbyt częste powtarzanie jednego słowa lub zwrotu jest błędem. Przykładowo w powyższym zdaniu nauczyciel języka polskiego nakazałby usunięcie jednego słowa „lub” lub zastąpienie
go innym słowem. Tymczasem z punktu widzenia logiki matematycznej w omawianym zdaniu błędu nie ma. W ujęciu matematycznym zdanie złożone składające się np. z 40 zdań prostych może być za każdym razem rozdzielone
słowem „lub” pomimo tego, że słowo to wystąpi aż 39 razy w tym zdaniu.
W logice matematycznej do rozdzielania zdań prostych dość często używa się słowa „więc”.
Ponieważ 2 + 3 = 5 i 3 + 2 = 5 więc dodawanie jest przemienne.
Skoro liczba 2 jest większa od 0, więc jest dodatnia.
lub kilku słów np. „wynika z tego, że” lub „wtedy i tylko wtedy gdy”.
W zbiorze liczb rzeczywistych, pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej
istnieje tylko wtedy, gdy jest on stopnia nieparzystego.
To co występuje w zdaniach złożonych między zdaniami prostymi, nazywa się w matematyce funktorami zdaniotwórczymi. Trzeba tu jednak zaznaczyć, że przykładowo w zdaniu:
„Nieprawda, że lubię pić kawę.”
funktorem zdaniotwórczym jest wyrażenie „nieprawda, że” pomimo tego, że nie stoi ono między zdaniami prostymi.
Funktor zdaniotwórczy — jedno słowo lub kilka słów stojących bezpośrednio przed zdaniem prostym.
W tym temacie funktory zdaniotwórcze wyróżniono kolorem zielonym.
Musisz jednak pamiętać, że funktory zdaniotwórcze występują tylko w tych zdaniach logicznych. Przykładowo słowo
„więc” nie będzie funktorem zdaniotwórczym jeśli zostanie ono użyte np. w zdaniu:
Umiesz to zrobić, więc zrób to!
bo zdanie to nie jest oznajmujące (nie jest zakończone kropką).
Ćwiczenie: Wyróżnij kolorem zielonym funktory zdaniotwórcze w poniższych złożonych zdaniach logicznych.
c) Mam 17 lat lub 19 lat lub 21 lat.
f) Na ogół pijam Coca-Colę, ale gdy nie ma jej na stole, to pijam tylko herbatę lub kawę.
Odp.:
c)
Mam 17 lat lub 19 lat lub 21 lat.
f)
Na ogół pijam Coca-Colę, ale gdy nie ma jej na stole, to pijam tylko herbatę lub kawę.
W logice matematycznej funktory mają swoją nazwę i symbol.
Dla jednego zdania prostego istnieją 4 różne funktory zdaniotwórcze. Funktory te oznaczmy przykładowo symbolami: ߜ , ߜ , ߜ , ߜ . Działanie tych funktorów na jednym zdaniu prostym ‫ ݌‬mogącym przybierać wartość logiczną 0 lub
1 przedstawia poniższa tabelka.
p ࢾ ࢖ ࢾ! ࢖ ࢾ" ࢖ ࢾ# ࢖
૙ 0
0
1
1
૚ 0
1
0
1
Powyższą tabelkę należy rozumieć w taki sposób, że nowa wartość zdania prostego dzięki działaniu funktora:
— ߜ ma zawsze wartość 0, niezależnie od tego, czy zdaniu ‫ ݌‬została przypisana wartość logiczna 0 czy 1
— ߜ ma zawsze wartość zgodną z wartością logiczną zdania ‫ ݌‬tzn. gdy ‫ = ݌‬0, to ߜ = 0, gdy ‫ = ݌‬1, to ߜ = 1
— ߜ ma zawsze wartość przeciwną do wartości logicznej zdania ‫ ݌‬tzn. gdy ‫ = ݌‬0, to ߜ = 1, gdy ‫ = ݌‬1, to ߜ = 0
— ߜ ma zawsze wartość 1, niezależnie od tego, czy zdaniu ‫ ݌‬została przypisana wartość logiczna 0 czy 1.
Największą rolę w logice matematycznej odgrywa funktor oznaczony symbolem ߜ , czyli zmieniający wartość logiczną zdania prostego na przeciwną. Funktor ten nazywa się negacją (zaprzeczeniem) i najczęściej oznacza się go
symbolem „~” lub „Not”. Funktor negacji wymawia się „nieprawda, że”, ale zapis ~‫ ݌‬bywa często czytany w skrócie: „nie ‫”݌‬.
Przypuśćmy więc, że literką ‫ ݌‬oznaczymy zdanie proste:
„Jestem chłopakiem”.
Wówczas zdanie proste oznaczone ~‫ ݌‬będzie brzmieć:
„Nieprawda, że jestem chłopakiem”.
Pisanie, że ~‫ ݌‬brzmi „Jestem dziewczyną.” jest błędne. Aby lepiej zrozumieć o co tu chodzi, przytoczę krótką anegdotkę:
Nauczycielka pyta Jasia:
— Jasiu, czy kwadrat jest prostokątem?
Jaś odpowiada:
— Jam mam fiutka, a pani nie.
Wniosek: To co powiedział Jaś jest poprawne. Nie jest to jednak odpowiedź na pytanie nauczycielki.
W naszym przypadku jest podobnie. Jeśli mamy zdanie „Jestem chłopakiem.” i chcemy jemu zaprzeczyć, to nie możemy pisać „Jestem dziewczyną.” Musimy napisać „Nie jestem chłopakiem.” lub „Nie prawda, że jestem chłopakiem.”. W przeciwnym razie nie mielibyśmy zdania zaprzeczającego lecz zadanie równoważne do zaprzeczającego.
Jeśli literką ‫ ݌‬oznaczymy zdanie proste „Lubię seks.”, to zdanie ~‫ ݌‬będzie brzmieć „Nieprawda, że lubię seks.”
Jeśli literką ‫ ݌‬oznaczymy zdanie proste „Z egzaminu dostałem 90 punktów na 100 możliwych.”, to zdanie ~‫ ݌‬będzie
brzmieć „Nieprawda, że z egzaminu dostałem 90 punktów na 100 możliwych.” Zdanie równoważne zaprzeczeniu
będzie brzmieć: „Na pewno nie dostałem dokładnie 90 punktów.”
Jeśli literką ‫ ݌‬oznaczymy zdanie proste „Z egzaminu dostałem więcej niż 90 punktów na 100 możliwych.”, to zdanie
~‫ ݌‬będzie brzmieć „Nieprawda, że z egzaminu dostałem więcej niż 90 punktów na 100 możliwych.” Zdanie równoważne do zaprzeczenia będzie brzmieć: „Z egzaminu dostałem dokładnie 90 punktów lub mniej.”
Ćwiczenie: Napisz negację (zaprzeczenie) podanego zdania oraz zdanie równoważne do zaprzeczenia.
a) Mam 5 zł.
b) Mój wujek ma na imię Stanisław.
c) Lubię czytać.
d) Ważę więcej niż 100 kg.
e) Lubię kolor czerwony i niebieski.
f) Mam BMW lub Audi. [Zgadnij który z tych samochodów posiadam.]
Odp.:
Negacja:
Zdanie równoważne negacji:
a)
Nieprawda, że mam 5 zł.
Nie mam dokładnie 5 zł.
b)
Nieprawda, że mój wujek ma na imię Stanisław.
Mój wujek ma inne imię niż Stanisław.
c)
Nieprawda, że lubię czytać.
Nie lubię czytać.
d)
Nieprawda, że ważę więcej niż 100 kg.
Ważę dokładnie 100 kg lub mniej.
e)
Nieprawda, że lubię kolor czerwony i niebieski.
Nie lubię koloru czerwonego i niebieskiego.
f)
Nieprawda, że mam BMW lub Audi.
Nie mam BMW i nie mam Audi.
Przyjmijmy teraz, że mamy dane dwa zdania proste: ‫ ݌‬i ‫ ݍ‬rozdzielone funktorem zdaniotwórczym.
Jeśli funktor stoi między dwoma zdaniami prostymi to nazywa się on dwuargumentowym. Podobnie jak funktory
jednoargumentowe może on przybierać wartości logiczne 0 lub 1 zależnie od wartości logicznych zdań prostych.
W logice matematycznej funktorów dwuargumentowych jest dokładnie 16. Oznaczmy je symbolami:
∆, ∆ , …, ∆$ i zobaczmy wyniki jakie one dają:
࢖
ࢗ
p Δ1 q
p Δ2 q
p Δ3 q
p Δ4 q
p Δ5 q
p Δ6 q
p Δ7 q
p Δ8 q
p Δ9 q
p Δ10 q
p Δ11 q
p Δ12 q
p Δ13 q
p Δ14 q
p Δ15 q
p Δ16 q
૙
૙
૚
૚
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
p Nor q
p Xor q
p|q
p And q
p⇔q
oznaczenie:
p⊻q
p Or q
p⇒q
p∧q
p∨q
Ciekawostka: Patrząc wierszami na powyższe liczby wypisane na białym tle, widać, że w wierszu pierwszym mamy na przemian liczby 0 i 1. W wierszu drugim mamy na
przemian po dwa 0 i po dwie 1. W wierszu trzecim mamy na przemian po 4 zera i po 4 jedynki, zaś w ostatnim wierszu mamy kolejno 8 zer i 8 jedynek. Taki
sposób uporządkowania liczb nie jest przypadkowy. Bazuje on na tzw. dwójkowym systemie zapisywania liczb (system binarny) i pozwala na wypisanie wszystkich wartości funktorów bez obawy że przez przypadek nastąpi błąd w wypełnianiu tej tabelki. Mało tego. Dzięki takiemu sposobowi wypełniania tabelki, dostajemy wszystkie wartości funktorów zaczynając od kolumny z samymi zerami, a kończąc na kolumnie z samymi jedynkami.
Jak widać funktory mają swoje oznaczenia, a niektóre z nich także nazwy. Oto one:
Δ — funktor Nor
Δ — funktor alternatywy wykluczającej: ⊻ (funktor Xor)
Δ% — funktor dysjunkcji: |
Δ& — funktor koniunkcji: ∧ (funktor And)
Δ' — funktor równoważności: ⇔
Δ — funktor implikacji: ⇒
Δ( — funktor alternatywy: ∨ (funktor Or)
Jeśli chodzi o funktory dwuargumentowe (czyli te z powyższej tabelki), to największe znaczenie w logice matematycznej odgrywają tylko te które zostały oznaczone symbolami: Δ& , Δ', Δ, Δ(.
Jak na razie po przeczytaniu tego tematu, wiesz, że są 4 funktory jednoargumentowe i jest 16 funktorów dwuargumentowych, czyli, że razem jest ich 20. Co ciekawe, aż 18 z tych 20-stu funktorów można zdefiniować używając wyłącznie dwóch pozostałych tj. funktora negacji i alternatywy.
Wniosek: Cała logika matematyczna opiera się wyłącznie na jednoargumentowym funktorze negacji oraz
dwuargumentowym funktorze alternatywy.
Aby nie utrudniać sobie życia, dla wygody bardzo często używa się także funktora koniunkcji, implikacji oraz równoważności, choć każdy z nich można zastąpić używając tylko negacji i alternatywy.
Jeśli chcesz umieć perfekcyjnie logikę matematyczną, nie musisz wszystkiego co napisałem wykuwać na pamięć.
Wystarczy, że zapamiętasz tylko ten fragment poprzedniej tabelki:
࢖
ࢗ
૙
૙
૙
૚
૚
૙
૚
૚
oznaczenie:
nazwa:
p Δ9 q
p Δ10 q
p Δ12 q
p Δ15 q
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
p∧q
p⇔q
p⇒q
p∨q
koniunkcja równoważność implikacja alternatywa
oraz, że negacją wartości logicznej 0 jest wartość logiczna 1 i odwrotnie. To dosłownie wszystko co musisz umieć na
pamięć.
Koniunkcja
Koniunkcja — zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem koniunkcji: ∧.
)*+
+*+,-
ฎ
‫ ݌‬ᇧᇧᇤᇧ
∧ ᇧᇧᇥ
‫ݍ‬
ᇣᇧ
+*+,-
Funktor koniunkcji wymawiamy: „i”, czyli powyższy zapis ‫ ݍ ∧ ݌‬czytamy: „pe i ku”.
Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są prawdziwe.
Przykład:
ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ
ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ
ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ
w wakacje jest ciepło i co
roku w Polsce pada śnieg .
Na ogół luty ma 28 dni i zazwyczaj
ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ
./0120
Gdyby choćby jedno z powyższych zdań prostych nie było prawdziwe lub nie można byłoby jednoznacznie określić
czy jest ono prawdziwe czy fałszywe, wówczas koniunkcja tych wszystkich zdań prostych byłaby fałszywa (miałaby
wartość logiczną 0).
Przykład:
/ł
ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ
ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇫ
w wakacje jest ciepło i co
roku pada śnieg .
Na ogół luty ma 28 dni i zazwyczaj
ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ
34 567 879: ;<=567 > ?4;@A6756@ B4C6D6 A=:7A=:EF;578,>6ęF 567 A4ż5= 4F756=ć 87C4 >=?:4śF6 B4C6F;578.
GHść ą LM Młą
ń MO.
Ostatnie zdanie proste w powyższym przykładzie nie daje się jednoznacznie określić słowem „prawda” lub „fałsz”.
Chodzi o to, że nie jest sprecyzowane, czy chodzi o opady śniegu na całej kuli ziemskiej, czy tylko o jakiś jej rejon. Jak
wiadomo na równiku śnieg nigdy nie pada, a na przykład na Syberii pada co roku.
Negacją funktora koniunkcji (nie negacją koniunkcji) jest funktor alternatywy — patrz punkt 3) na stronie 13.
Alternatywa
Alternatywa — zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem alternatywy: ∨.
)*+
PQRQ
ฎ
‫݌‬
∨
‫ݍ‬
ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
PQR
Funktor alternatywy wymawiamy: „lub”. Alternatywa jest fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są fałszywe — we wszystkich pozostałych przypadkach jest prawdziwa. To samo można też wypowiedzieć w sposób równoważny:
Alternatywa jest prawdziwa, gdy przynajmniej jedno zdanie proste jest prawdziwe.
Przykład:
ł
ᇩᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇫ
liczbie 28 .
Liczba 28 jest większa lub równa
ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ
./0120
Negacją funktora alternatywy (nie negacją alternatywy) jest funktor koniunkcji — patrz punkt 3) na stronie 13.
Implikacja
Implikacja — zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem implikacji: ⇒.
)*+
SP+,-
ฎ ᇧᇧᇥ
‫݌‬
⇒
‫ݍ‬
ᇣᇧᇧᇧᇤᇧ
SP+,-
Jeśli funktor implikacji stoi pomiędzy dwoma zdaniami prostymi p i q, to do przeczytania powstałego w ten sposób
zdania złożonego, użyjemy jednego ze sformułowań:
— ‫ ݌‬implikuje ‫ݍ‬
— ‫ ݌‬pociąga ‫ݍ‬
— z ‫ ݌‬wynika ‫ݍ‬
— jeżeli ‫ ݌‬to ‫ݍ‬
Spójrz teraz na ostatnią tabelkę, a dokładniej na kolumnę z implikacją. Zauważ, że wartości implikacji można łatwo
zapamiętać. Implikacja jest fałszywa (ma wartość logiczną 0) tylko wtedy, gdy pierwsze zdanie logiczne (poprzednik)
jest prawdziwe, a drugie (następnik) fałszywe — w pozostałych przypadkach jest prawdziwa. Innymi słowy implikacja nie pozwala otrzymać z prawdy fałszu.
Z prawdy nie może wynikać fałsz.
lub inaczej:
W przypadku implikacji, jeśli poprzednik jest prawdziwy, to następnik nie może być fałszywy.
Na potwierdzenie tego podam teraz kilka przykładów:
2 = 3 /ሺ ሻ ⇒ ᇣᇤᇥ
ᇣᇤᇥ
4=9
)ł
−3
ᇣ
ᇧᇤ=
ᇧᇥ
3 /ሺ
)ł
ሻ
⇒ ᇣᇤᇥ
9 = 9 — z fałszu może wynikać prawda
)ł
2 = 2 /ሺ
ᇣᇤᇥ
R
— z fałszu może wynikać fałsz
R
ሻ
⇒ ᇣᇤᇥ
4=4
— z prawdy może wynikać prawda (o ile przekształcenia są wykonane prawidłowo)
R
No i został tylko przypadek gdy z prawdy wynika fałsz. Jest z nim tylko jeden problem. Nie istnieje żadne prawdziwe
zdanie logiczne, które po poprawnych przekształceniach dałoby zdanie fałszywe. Zatem „z prawdy nie może wynikać
fałsz”.
W przypadku implikacji, ważna jest kolejność zdań prostych. Mianowicie zapis: ‫ ݍ ⇒ ݌‬to nie to samo co ‫݌ ⇒ ݍ‬.
Można natomiast symbol implikacji odwrócić, ale wówczas trzeba odwrócić także kolejność zdań prostych. Innymi
słowy zamiast pisać ‫ ݍ ⇒ ݌‬można napisać ‫݌ ⇐ ݍ‬, a zamiast pisać ‫ ݌ ⇒ ݍ‬można pisać ‫ݍ ⇐ ݌‬. Tę odwróconą implikację nazywamy „implikacją w lewo” lub „implikacją odwrotną”, a tę standardową „implikacją w prawo” lub „implikacją prostą” lub krócej „implikacją”. Jeśli mówimy tylko słowo „implikacja” to zawsze mamy na myśli implikację
w prawo, a jeśli chcemy powiedzieć, że chodzi nam o implikację w lewo, to zawsze musimy dopowiedzieć „w lewo”.
Zdania proste w implikacjach: ‫ ݍ ⇒ ݌‬oraz ‫ ݍ ⇐ ݌‬można zaprzeczyć. Otrzymamy wówczas implikacje o nowych nazwach:
~‫ — ݍ~ ⇒ ݌‬implikacja przeciwna (równoważna implikacji odwrotnej)
~‫ — ݍ~ ⇐ ݌‬implikacja przeciwstawna (równoważna implikacji prostej)
Jeśli w zdaniu logicznym oprócz funktora implikacji występuje funktor alternatywy lub koniunkcji lub negacji, to implikacja jest najsilniejsza z nich. Oznacza to, że to właśnie implikacja, a nie koniunkcja czy alternatywa rozbija dane
wyrażenie na lewą i prawą stronę pomimo tego, że nie ma nawiasów. Innymi słowy oba poniższe zapisy są sobie
równoważne:
‫ݍ ∧ ݌~ ⇒ ݍ ∨ ݌‬
ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ ⇒ ሺ~‫ݍ ∧ ݌‬ሻ
Równoważność
Równoważność — zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem równoważności ⇔.
)*+
óRRżś,
ฏ ᇧᇥ
‫݌‬
⇔
‫ݍ‬
ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧ
óRRżść
Funktor równoważności wymawiamy: „wtedy i tylko wtedy, gdy …”. Jego symbol nie bez powodu przypomina nałożone na siebie symbole implikacji w lewo i prawo. Funktor ten można bowiem zastąpić koniunkcją implikacji w lewo
i prawo:
‫ ≡ ݍ ⇔ ݌‬ሺ‫ݍ ⇐ ݌‬ሻ ∧ ሺ‫ݍ ⇒ ݌‬ሻ
Te 3 kreseczki w powyższym zapisie czytaj „jest równoważne”. Jest to symbol tzw. kongruencji.
Zauważmy, że podstawie tabelki (2 strony wcześniej) mamy, że równoważność jest prawdziwa tylko wtedy, gdy
wszystkie zdania proste mają tę samą wartość logiczną, tj. gdy wszystkie są fałszywe lub wszystkie są prawdziwe.
Jeśli w zdaniu logicznym oprócz funktora równoważności występują inne funktory np. negacji, koniunkcji czy alternatywy, to funktor równoważności jest najsilniejszy z nich, i to właśnie on, a nie żaden z pozostałych funktorów rozbija dane wyrażenie na stronę lewą i prawą. Generalnie chodzi o to, że nie musimy stosować nawiasów w sytuacjach
gdy występuje tylko jeden funktor równoważności. Przykładowo rzecz ujmując, oba poniższe zapisy są sobie równoważne:
‫ݍ ∧ ݌~ ⇔ ݎ ⇒ ݍ ∨ ݌‬
൫ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ ⇒ ‫ݎ‬൯ ⇔ ሺ~‫ݍ ∧ ݌‬ሻ
Silniejszy od funktora równoważności jest funktor kongruencji oznaczany symbolem: ≡. Symbol kongruencji stosujemy wtedy, gdy chcemy zapisać, że dwie równoważności są sobie równoważne.
Temat: Rachunek zdań — prawa logiczne (tautologia).
Na początku tego opracowania napisałem, że w logice matematycznej zdania proste oznacza się małymi literkami
z alfabetu angielskiego zaczynając od literki ‫݌‬, ‫ݍ‬, ‫ݎ‬, … . Od teraz prawie wszystkie zdania zarówno proste jak i złożone będziemy zapisywać tylko symbolicznie.
Z poprzednich tematów wiemy już, że symbol ~ oznacza negację — zaprzecza zdaniu przed którym stoi. Przykładowo zapis ~‫ ݌‬zaprzecza zdaniu ‫݌‬, zaś zapis ~ሺ~‫݌‬ሻ zaprzecza zaprzeczeniu zdania ‫݌‬. Przypuśćmy, że zdanie ‫ ݌‬brzmi:
Jestem chłopakiem.
więc zdanie ~‫ ݌‬będzie brzmieć:
Nie jestem chłopakiem.
[Równoważnie: „Jestem dziewczyną.”]
zaś ~ሺ~‫݌‬ሻ będzie brzmieć:
Nieprawda, że nie jestem chłopakiem.
[Równoważnie: „Nieprawda, że jestem dziewczyną.” czyli „Jestem chłopakiem.”]
Wniosek: Skoro osoba mówiąca powyższe zdanie najpierw zaprzecza temu że jest chłopakiem, a potem znowu temu zaprzecza, więc w wyniku końcowym dostajemy zdanie początkowe, czyli, że jest chłopakiem.
Z punktu widzenia logiki matematycznej, zaprzeczenie zaprzeczenia jest równoważne zdaniu wyjściowemu. Symbolicznie zapisuje się to w taki sposób:
~ሺ~‫݌‬ሻ ⇔ ‫݌‬
a poprawność tego zapisu sprawdza się rozpatrując wszystkie możliwe wartości zdania logicznego ‫݌‬. Ponieważ
opracowanie to dotyczy logiki dwuwartościowej, więc zdanie ‫ ݌‬może przybierać tylko jedną z dwóch wartości tj.
może być albo równe 0 albo 1. Wystarczy więc zrobić maluteńką tabelkę (metoda zerowo-jedynkowa) i zauważyć,
że niezależnie od tego czy ‫ ݌‬jest równe 0 czy 1, wynik końcowy zawsze wychodzi równy 1.
Metoda zerowo-jedynkowa (tabelkowa)
Aby zrobić tabelkę nawet do tak krótkiego wyrażenia: ~ሺ~‫݌‬ሻ ⇔ ‫ ݌‬trzeba najpierw się zastanowić co w tej tabelce
będzie. Na początek rzuca się nam w oczy to, że w zapisie tym występuje tylko jedno zdanie proste ‫( ݌‬po obu stronach równoważności). Tak więc pierwsza kolumna tabelki będzie zawierać wszystkie możliwe wartości zdania ‫( ݌‬będą tylko dwie). Dodatkowo widzimy, że mamy zaprzeczenie zdania ‫( ݌‬to będzie druga kolumna) oraz zaprzeczenie
zaprzeczenia (kolumna 3-cia). Później widzimy równoważność (cały zapis), który to trzeba będzie umieścić w ostatniej tj. w czwartej kolumnie. Mamy więc taką tabelkę:
‫~ ݌~ ݌‬ሺ~‫݌‬ሻ ~ሺ~‫݌‬ሻ ⇔ ‫݌‬
0
1
Aby uzupełnić tę tabelkę, trzeba na pamięć znać co robi funktor negacji (ta falująca kreseczka) oraz funktor równoważności (⇔). Wszystko to było omówione w poprzednim temacie. Mimo to, przypomnę, że negacja zmienia wartość logiczną 0 na 1, a wartość 1 na 0. Równoważność zaś daje wynik 1 jeśli to co jest po lewej stronie symbolu ⇔
ma taką samą wartość logiczną jak to co jest po stronie prawej. Wiedzą to, możemy uzupełnić powyższą tabelkę:
‫~ ݌~ ݌‬ሺ~‫݌‬ሻ ~ሺ~‫݌‬ሻ ⇔ ‫݌‬
0
1
0
1
1
0
1
1
Analiza powyższej tabelki:
Niezależnie od tego, czy zdanie proste ‫ ݌‬przyjmuje wartość logiczną 0 czy 1, w ostatniej kolumnie wyszły same jedynki (każda jedynka to symboliczny zapis słowa „prawda”). Oznacza to, że zawsze zaprzeczenie zaprzeczenia jest
równoważne zdaniu początkowemu.
Zdanie złożone np. takie jak w ostatniej kolumnie powyższej tabelki, które zawsze jest prawdziwe niezależnie od
wartości logicznych zdań prostych w nim występujących, nazywamy prawem logicznym lub krócej tautologią.
Prawo logiczne (tautologia) — zdanie złożone, które przyjmuje zawsze wartość logiczną 1 niezależnie
od wartości logicznych zdań prostych.
Każde prawo logiczne trzeba udowodnić, tzn. pokazać jego prawdziwość w każdym przypadku. W tym celu najczęściej stosuje się tzw. metodę „zerowo-jedynkową”, czyli robi się odpowiednią tabelkę do której wpisuje się tylko
liczby 0 lub 1. Przykład takiej tabelki wraz z opisem został zaprezentowany nieco wyżej.
Prawa logiczne można dowodzić także metodą „nie wprost”, ale na ogół za pomocą tabelki można dowód skończyć
dużo szybciej.
Nazwy praw logicznych
Prawa logiczne miewają także swoje nazwy:
prawo logiczne
l.p.
nazwa prawa logicznego
(wyrażenie które jest zawsze prawdziwe)
1.
~ሺ~‫݌‬ሻ ⇔ ‫݌‬
prawo podwójnego przeczenia
2.
~ሺ‫݌~ ∧ ݌‬ሻ
prawo wyłączonej sprzeczności
3.
‫݌~ ∨ ݌‬
4.
‫ ∧ ݌‬ሺ‫ݎ ∨ ݍ‬ሻ ⇔ ሺ‫ݍ ∧ ݌‬ሻ ∨ ሺ‫ݎ ∧ ݌‬ሻ
prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy
5.
‫ ∨ ݌‬ሺ‫ݎ ∧ ݍ‬ሻ ⇔ ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ ∧ ሺ‫ݎ ∨ ݌‬ሻ
prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji
6.
~‫݌~ ⇒ ݍ‬
7.
ሺ‫ݍ ⇒ ݌‬ሻ ∧ ሺ‫ݎ ⇒ ݍ‬ሻ ⇔ ሺ‫ݎ ⇒ ݌‬ሻ
8.
~ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ ⇔ ሺ~‫ݍ~ ∧ ݌‬ሻ
prawo de Morgana
9.
~ሺ‫ݍ ∧ ݌‬ሻ ⇔ ሺ~‫ݍ~ ∨ ݌‬ሻ
prawo de Morgana
prawo wyłączonego środka
prawo kontrapozycji
prawo przechodniości implikacji
Niektóre prawa logiczne nie mają nazw. Oto przykłady takich praw:
1) ‫ ⇒ ݌‬ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ
2) ሺ‫ݍ ⇒ ݌‬ሻ ⇔ ሺ~‫ݍ ∨ ݌‬ሻ
— to prawo jest bardzo ważne. Wyucz się go na pamięć.
3) ~ሺ‫ݍ ⇒ ݌‬ሻ ⇔ ሺ‫ݍ~ ∧ ݌‬ሻ
Spostrzeżenie: Dostawienie negacji przed implikacją w punkcie 2) sprawia, że zdania proste zmieniają swoje wartości na przeciwne i dodatkowo funktor alternatywy zmienia się w funktor koniunkcji.
Wykażmy teraz za pomocą metody zerowo-jedynkowej (czyli za pomocą tabelki), że pierwsze z powyższych wyrażeń
jest prawem logicznym.
Analiza zapisu tego wyrażenia:
1. Mamy dwa zdania proste: ‫ ݌‬i ‫ݍ‬, czyli będziemy potrzebować dwie kolumny (po jednej do każdego zdania prostego), oraz 5 wierszy (wiersz pierwszy będzie zawierać nagłówki kolumn, zaś 4 pozostałe wszystkie możliwe
przypadki dla tych dwóch zdań prostych: oba zdania są fałszywe, pierwsze zdanie jest fałszywe a drugie
prawdziwe, pierwsze zdanie jest prawdziwe a drugie fałszywe, oba zdania są prawdziwe).
2. Widzimy, że po prawej stronie funktora implikacji jest alternatywa dwóch zdań, więc musimy zarezerwować
sobie 3-cią kolumnę na tę właśnie alternatywę ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ.
3. Została już tylko implikacja, więc ostatnią tj. 4-tą kolumnę tabelki rezerwujemy na wartości tejże implikacji.
Robimy więc tabelkę:
‫ ݍ ݌‬ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ ‫ ⇒ ݌‬ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ
0 0
0
1
0 1
1
1
1 0
1
1
1 1
1
1
Opis uzupełniania tabelki:
— do kolumny drugiej wpisaliśmy na przemian 0 lub 1
— do kolumny pierwszej wpisaliśmy na przemian po dwa zera i po dwie jedynki
— kolumnę 3-cią uzupełniamy w oparciu o dwie pierwsze kolumny, pamiętając o tym, że alternatywa dwóch zdań
jest fałszywa (równa 0) tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są fałszywe
— kolumnę ostatnią uzupełniamy w oparciu o kolumnę 1-wszą i 3-cią (kolejność jest ważna bo mamy implikację),
pamiętając o tym, że w przypadku implikacji z prawdy nie może wynikać fałsz.
Ponieważ w ostatniej kolumnie wyszły samej jedynki, więc wykazaliśmy, że wyrażenie ‫ ⇒ ݌‬ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ jest tautologią.
Za pomocą tej samej metody udowodnij, że wyrażenia: ~ሺ‫ݍ ⇒ ݌‬ሻ ⇔ ሺ‫ݍ~ ∧ ݌‬ሻ oraz ሺ‫ݍ ⇒ ݌‬ሻ ⇔ ሺ~‫ݍ ∨ ݌‬ሻ są także
prawami logicznymi.
Metoda nie wprost (apagogiczna)
Jak wcześniej napisałem metoda zerowo-jedynkowa nie jest jedyną za pomocą której można sprawdzać, czy podane
wyrażenie jest prawem logicznym. Inną metodą (nie tabelkową) jest „metoda nie wprost”. Polega ona na tym, że jako krok pierwszy stawiamy hipotezę o, że dane wyrażenie jest fałszywe. Zatem w naszym przypadku hipoteza brzmi:
„Wyrażenie ‫ ⇒ ݌‬ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ jest fałszywe.”
Jeśli jest ona prawdziwa, to lewa strona tego wyrażenia (w tym przypadku jest nią tylko zdanie ‫ )݌‬musi być prawdziwa, a prawa fałszywa. Tylko w takim przypadku implikacja jest fałszywa (zgodna z hipotezą). Ponieważ lewa strona jest prawdziwa, więc wiemy, że ‫ = ݌‬1. Zatem to samo ‫ ݌‬ale z prawej strony funktora implikacji też ma wartość
logiczną 1, a to oznacza, że alternatywa ‫ ݍ ∨ ݌‬jest prawdziwa, co jest sprzeczne z wcześniej poczynionym założeniem, że jest ona fałszywa.
Wniosek: Postawiona hipoteza jest błędna, więc wyrażenie ‫ ⇒ ݌‬ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ jest zawsze prawdziwe (jest tautologią).
Aby można było lepiej zrozumieć co robiliśmy w powyższym dowodzie, wykonam teraz schemat:
R
)ł
ᇩณᇭᇪ
ᇫ jest fałszywe.”
ฎ
„Wyrażenie ᇣᇤᇥ
‫݌( ⇒ ݌‬
∨ᇭ‫)ݍ‬
T
Teraz wyraźnie widać, że czerwona jedynka i czerwone słowo „fałsz” są ze sobą w sprzeczności, bo alternatywa jest
fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste ją tworzące są fałszywe.
Metodę nie wprost bardzo często wykorzystuje się wtedy, gdy trzeba wykazać prawdziwość czegoś dla nieskończenie wielu elementów jakiegoś zbioru.
Ćwiczenie: Sprawdź (dowolną metodą), czy poniższe wyrażenia są prawami logicznymi.
a) ~ሺ‫ݍ ∧ ݌‬ሻ ⇔ ሺ~‫ݍ~ ∨ ݌‬ሻ
b) ~ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ ⇔ ሺ~‫ݍ~ ∧ ݌‬ሻ
c) ሾሺ‫ݍ ∧ ݌‬ሻ ∨ ‫ݎ‬ሿ ⇔ ሾሺ‫ݎ ∨ ݌‬ሻ ∧ ሺ‫ݎ ∨ ݍ‬ሻሿ
d) [(‫])ݎ ∧ ݍ( ∨ )ݎ ∧ ݌([ ⇔ ]ݎ ∧ )ݍ ∨ ݌‬
Tworzenie nowych praw logicznych
Nowe prawa logiczne możemy tworzyć w oparciu o te, które już znamy. Wystarczy wykorzystać znaną z czasów
gimnazjum metodę podstawiania tj. napisać dowolne wyrażenie zamiast dowolnej wybranej przez siebie literki
(zmiennej zdaniowej). Jako przykład rozpatrzmy najpierw prawo które już dobrze znamy tj. prawo podwójnego
przeczenia:
~ሺ~‫݌‬ሻ ⇔ ‫݌‬
i zamiast każdej literki ‫( ݌‬w tym przypadku nie możemy wybrać innej, bo jest tylko jedna) napiszmy jakiekolwiek wyrażenie które przyjdzie nam do głowy np. ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ. Otrzymamy wóczas nowe wyrażenie:
~൫~ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ൯ ⇔ ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ
które po sprawdzeniu np. metodą zerowo-jedynkową także okaże się tautologią. Mało tego. Zamiast literki ‫ ݌‬można
napisać wyrażenie zawierające np. 20 literek i to co otrzymamy, również będzie tautologią.
Taki sposób otrzymywania nowych tautologii dotyczy każdego prawa logicznego, a nie tylko przytoczonego wyżej prawa podwójnego przeczenia.
Zobaczmy jeszcze tę metodę podstawiania na przykładzie jednego z dwóch praw de Morgana. Na początku mamy:
~ሺ‫ݍ ∧ ݌‬ሻ ⇔ ሺ~‫ݍ~ ∨ ݌‬ሻ
i zamiast literki ‫ ݌‬napiszmy np. ሾ‫ ⇒ ݌‬ሺ‫ݎ ∧ ݍ‬ሻሿ, a zamiast literki ‫ ݍ‬napiszmy np. ሾ‫ݎ ∧ ݌ ∨ ݎ‬ሿ. Otrzymujemy zatem nowe, znacznie bardziej rozbudowane wyrażenie:
~ሺሾ‫ ⇒ ݌‬ሺ‫ݎ ∧ ݍ‬ሻሿ ∧ ሾ‫ݎ ∧ ݌ ∨ ݎ‬ሿሻ ⇔ ሺ~ሾ‫ ⇒ ݌‬ሺ‫ݎ ∧ ݍ‬ሻሿ ∨ ~ሾ‫ݎ ∧ ݌ ∨ ݎ‬ሿሻ
które po sprawdzeniu np. metodą zerowo-jedynkową (tabelkową) także okaże się tautologią.
Funktory Nor i Xor
Na początku tego opracowania pisałem, że wszystkie funktory jendo- i dwuargumentowe można zdefiniować używając wyłącznie funktora negacji i alternatywy. Nie wykazywałem jednak tego, bo nie znaliśmy jeszcze ani metody
tabelkowej, ani metody „nie wprost”. Teraz już je znamy, więc na początek wykażmy prawdziwość takiego wyrażenia:
ሺ‫ ݌‬Nor ‫ݍ‬ሻ ⇔ ~ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ
Jak wiadomo (patrz tabelka na stronie 8) funktor Nor jest prawdziwy tylko wtedy, wszystkie zdania proste są fałszywe, zaś alternatywa jest fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są fałszywe. Zaprzeczając alternatywie
(patrz wyrażenie po prawej stronie funktora równoważności), dostajemy dokładnie to, co mamy po stronie lewej
funktora równoważności i to bez wykonywania tabelki. Jeśli jednak chcesz na upartego pokazać prawdziwość tego
wyrażenia za pomocą tabelki, to trzeba ją zrobić tak:
‫ ݌ ݍ ݌‬Nor ‫~ ݍ ∨ ݌ ݍ‬ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ ሺ‫ ݌‬Nor ‫ݍ‬ሻ ⇔ ~ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ
0 0
1
0
1
1
0 1
0
1
0
1
1 0
0
1
0
1
1 1
0
1
0
1
Zobaczmy teraz, jak za pomocą alternatywy i negacji rozpisać funktor Xor. Jak wiadomo z tabelki zamieszczonej na
stronie 8, wyrażenie ‫ ݍ ݎ݋ܺ ݌‬jest prawdziwe tylko wtedy, gdy pierwsze zdanie proste jest fałszywe, a drugie jest
prawdziwe. Robimy więc tabelkę:
‫ ݌ ݍ ݌‬Xor ‫~ ݍ~ ∨ ݌ ݍ~ ݍ‬ሺ‫ݍ~ ∨ ݌‬ሻ ሺ‫ ݌‬Xor ‫ݍ‬ሻ ⇔ ~ሺ‫ݍ~ ∨ ݌‬ሻ
0 0
0
1
1
0
1
0 1
1
0
0
1
1
1 0
0
1
1
0
1
1 1
0
0
1
0
1
Ćwiczenie: Metodą prób i błędów ustal w jaki sposób wykorzystując tylko funktor alternatywy i negacji, można zastąpić funktory ∆ , ∆( , ∆$ , ∆U , ∆% zamieszczone w tabelce na stronie 8.
Zróbmy teraz coś innego. Spróbujmy funktory: alternatywy, koniunkcji, implikacji oraz równoważności zastąpić funktorem Nor oraz negacją. Na początek zauważmy, że bezpośrednio z tabelki ze strony 8, widać, że:
A: ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ ⇔ ~ሺ‫ ݌‬Nor ‫ݍ‬ሻ
Powyższą równoważność oznaczmy sobie czerwoną literą A, byśmy później mogli łatwo do niej wrócić, i alternatywą
już nie zaprzątajmy sobie głowy — uzyskaliśmy już to co chcieliśmy.
Przejdźmy do rozpisania koniunkcji. Na początek zauważmy, że na podstawie prawa de Morgana (strona 13) mamy:
~ሺ‫ݍ ∧ ݌‬ሻ ⇔ ሺ~‫ݍ~ ∨ ݌‬ሻ
Negując obie strony tej równoważności dostajemy:
~൫~ሺ‫ݍ ∧ ݌‬ሻ൯ ⇔ ~ሺ~‫ݍ~ ∨ ݌‬ሻ
Na podstawie prawa podwójnego przeczenia (strona 13), widzimy, że lewa strona jest samą koniunkcją. Mamy więc:
ሺ‫ݍ ∧ ݌‬ሻ ⇔ ~ሺ~‫ݍ~ ∨ ݌‬ሻ
Pozostaje nam już tylko prawą stronę powyższej równoważności zapisać za pomocą funktora Nor. W myślach
oznaczmy ~‫ ݌‬za pomocą literki ܽ, zaś ~‫ ݍ‬za pomocą literki ܾ. Mamy wówczas:
ሺ‫ݍ ∧ ݌‬ሻ ⇔ ~ሺܽ ∨ ܾሻ
i na podstawie zapisu oznaczonego wcześniej literą A, mamy:
ሺ‫ݍ ∧ ݌‬ሻ ⇔ ܽ Nor ܾ
Cofając podstawienie, zamiast literki ܽ piszemy ~‫ ݌‬i zamiast literki ܾ piszemy ~‫ݍ‬. Otrzymujemy zatem:
B: ሺ‫ݍ ∧ ݌‬ሻ ⇔ ~‫ ݌‬Nor ~‫ݍ‬
Pozostaje już do rozpisania tylko implikacja i równoważność. Zajmijmy się implikacją. Z wcześniejszych tematów tego opracowania, wiemy, że:
ሺ‫ݍ ⇒ ݌‬ሻ ⇔ ( ~‫݌‬
‫) ݍ‬
ด ∨ณ
ᇣᇧᇤᇧᇥ
V
0: ~W X VY
Cofając podstawienie, otrzymujemy:
C: ሺ‫ݍ ⇒ ݌‬ሻ ⇔ ~ሺ~‫ ݌‬Nor ‫ݍ‬ሻ
Została już tylko równoważność o której wiemy, że to jednoczesna implikacja w obie strony, czyli, że:
ሺ‫ݍ ⇔ ݌‬ሻ ⇔ ൫ሺ‫ݍ ⇒ ݌‬ሻ ∧ ሺ‫ݍ ⇐ ݌‬ሻ൯
Zamiast ሺ‫ݍ ⇒ ݌‬ሻ napiszmy literkę ܽ i zamiast ሺ‫ݍ ⇐ ݌‬ሻ napiszmy literkę ܾ. Mamy więc:
ሺ‫ݍ ⇔ ݌‬ሻ ⇔ ሺܽ ∧ ܾሻ
ሺ‫ݍ ⇔ ݌‬ሻ ⇔ ᇣᇧ
(~ܽ
Norᇧ~ܾ)
ᇧᇧᇤᇧ
ᇧᇥ
Z
ሺ‫ݍ ⇔ ݌‬ሻ ⇔ ൫~ሺ‫ݍ ⇒ ݌‬ሻ Nor ~ሺ‫ݍ ⇐ ݌‬ሻ൯
ሺ‫ݍ ⇔ ݌‬ሻ ⇔ ൫~ሺ‫ݍ ⇒ ݌‬ሻ Nor ~ሺ‫݌ ⇒ ݍ‬ሻ൯
ሺ‫ݍ ⇔ ݌‬ሻ ⇔ ቀ~൫~ሺ~‫ ݌‬Nor ‫ݍ‬ሻ൯ Nor ~൫~ሺ~‫ ݍ‬Nor ‫݌‬ሻ൯ቁ
D: ሺ‫ݍ ⇔ ݌‬ሻ ⇔ ൫ሺ~‫ ݌‬Nor ‫ݍ‬ሻ Nor ሺ~‫ ݍ‬Nor ‫݌‬ሻ൯
Ćwiczenie: Funktory ∆ i ∆% (patrz tabelka na stronie 8) zastąp funktorem Nor oraz negacją.
[Odp. ሺ‫ݍ ݎ݋ܺ ݌‬ሻ ⇔ ሺ‫ݍ~ ݎ݋ܰ ݌‬ሻ;
ሺ‫ݍ | ݌‬ሻ ⇔ ~(~‫ ݌‬Nor ~‫)ݍ‬. Podpowiedzi: Rozpisz Xor za pomocą alternatywy (tabelka na stronie 16), a potem tę alternatywę zastąp funktorem Nor (patrz A). Aby rozpisać funktor ∆଼ najpierw na podstawie tabelki ze strony 8, zauważ, że jest on negacją koniunkcji. Potem na podstawie B zastąp otrzymaną koniunkcję funktorem Nor.]
Ćwiczenie: Sprawdź za pomocą tabelki, czy na pewno powyższe wyrażenia oznaczone czerwonymi literami A, B, C,
D oraz te z ćwiczenia powyższego są tautologiami.
Odpowiedzi:
Sprawdzanie wartości logicznych bardziej rozbudowanych wyrażeń
No i dobiegamy już końca. Jedną z ostatnich rzeczy o jakiej należy wiedzieć jest to, że im więcej zdań prostych ma
dane wyrażenie, tym więcej przypadków trzeba sprawdzić. Aby nie ominąć żadnego dobrze jest wypisywać wartości
logiczne zdań prostych w porządku jaki panuje w systemie dwójkowym (binarnym). Nie wnikając w szczegóły zapisywania liczb w systemie dwójkowym, powiem tylko tyle, że chodzi tu o to by w ostatnim zdaniu prostym wypisywać
na przemian 0 i 1, w przedostatnim wypisywać na przemian po 2 zera i po 2 jedynki, w kolejnej kolumnie po 4 zera
i po 4 jedynki, potem po 8 zer i po 8 jedynek itd. zależnie od tego ile zdań prostych będzie w danym wyrażeniu. Zobaczmy tabelkę wszystkich wartości dla 4-ch zdań prostych:
‫݌‬
‫ݍ‬
‫ݎ‬
‫ݏ‬
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
Zauważmy, że wypisując wartości tym systemem, doszliśmy od wiersza z samymi zerami do wiersza
z samymi jedynkami. Innymi słowy mamy pewność, że nic nie ominęliśmy.
Spostrzeżenie:
Ilość przypadków jaką trzeba rozważyć w metodzie zerowo-jedynkowej wyraża się wzorem 2 , gdzie ݊ to liczba zdań prostych. Gdybyśmy więc mieli 10 zdań
prostych, to trzeba byłoby sprawdzić 2' = 1024 przypadki.
Aby nie przeciągać, sprawdźmy metodą zerowo-jedynkową, czy wyrażnie:
ሺ‫ݍ ∨ ݌‬ሻ ∧ ‫ ∨ ݌ ⇒ ݎ‬ሺ‫ݎ ∧ ݍ‬ሻ
jest tautologią. Na początek zauważamy, że mamy 3 zdania proste, więc będziemy musieli rozważyć 2 przypadków. Robimy więc tabelkę mającą 9 wierszy (bo jeden z będzie jest przeznaczony na
nagłówki kolumn) i wypisujemy wszystkie możliwości tych 3-ch zdań prostych. Potem dopisujemy już tylko pozostałe
wyrażenia składowe. Mamy więc tabelkę:
[
\
‫ ݍ ∨ ݌ ݎ ݍ ݌‬ᇩᇭ
‫ ݎ ∧ ݍ‬ᇩᇭᇭᇪᇭ
L⇒P
ሺ‫ ݌‬ᇭᇪᇭ
∨ ‫ݍ‬ሻ ᇭᇫ
∧‫ݎ‬
‫ ∨ ݌‬ሺ‫∧ ݍ‬ᇭᇫ
‫ݎ‬ሻ
0 0 0
0
0
0
0
1
0 0 1
0
0
0
0
1
0 1 0
1
0
0
0
1
0 1 1
1
1
1
1
1
1 0 0
1
0
0
1
0
1 0 1
1
1
0
1
1
1 1 0
1
0
0
1
0
1 1 1
1
1
1
1
1
na podstawie której widzimy, że badane przez nas wyrażenie nie jest tautologią (w ostatniej kolumnie nie wyszły
same jedynki). Uzupełniając ostatnią kolumnę trzeba było pamiętać głównie o tym, że prawdy która jest w kolumnie
przedostatniej, nie może wynikać fałsz w kolumnie 5-tej. W przypadku implikacji kolejność wyrażeń jest ważna. Dla
nie pomylenia tego, wprowadziłem do tabelki nowe oznaczenia. Literką L oznaczyłem lewą stronę końcowej implikacji, zaś literką P stronę prawą. Takie wprowadzanie nowych oznaczeń jest dozwolone, a stosuje się go głównie gdy
dane wyrażenie jest dość długie lub w celu nie pogubienia się przy wypełnianiu tabelki.
Temat: Formy zdaniowe.
Forma zdaniowa to wyrażenie które będzie można ocenić w kategorii „prawda / fałsz” jeśli zamiast każdej literki
w nim występującej napiszemy jakąś wartość (nie koniecznie liczbę).
Dla przykładu rozpatrzmy taką formę zdaniową:
Liczba 3݊ jest dodatnia.
i zauważmy, że nie możemy ocenić jej wartości logicznej (0 lub 1), bo nie wiemy jaką liczbą jest ݊. Jeśli zaś zamiast ݊
napiszemy jakąś liczbę, to nasza forma zdaniowa przestanie być formą zdaniową, a stanie się wyrażeniem logicznym
o którym będziemy mogli jednoznacznie powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.
Przykłady innych form zdaniowych:
— Liczba 7݇ jest podzielna przez 3.
— ‫ ݔ‬pisała kryminały. [W tym przypadku zamiast ‫ ݔ‬należy podstawić nazwisko kobiety, a nie liczbę.]
— Star Trek to film ‫ݕ‬. [W tym przypadku zamiast ‫ ݕ‬należy podstawić np. fajny, fantastyczny, przygodowy, itp.]
— Jaś Fasola jest ‫ݍ‬. [W tym przypadku zamiast ‫ ݍ‬należy napisać np. cechę charakteru tej postaci.]
Forma zdaniowa może zawierać więcej niż jedną literkę (zmienną zdaniową). Przykłady takich form to:
— Dziś wieczorem najpierw będę oglądać ‫ݐ‬, a potem uprawiać ‫ݏ‬. [Zamiast literki ‫ ݐ‬można napisać np. słowo
„mecz”, zaś zamiast literki ‫ ݏ‬można przykładowo napisać „jogging”.]
— W klasie IV szkoły podstawowej uczyłam się ݀ i z zachowania miałam ‫ݓ‬.
— Moja koleżanka jest ݂, ale jej chłopak to ℎ i ‫݌‬.
Podobnie jak równanie funkcji oznaczamy małą literką ݂ lub ݃, tak formę zdaniową oznaczamy małą grecką literą φ
(wymawiaj: fi) lub ψ (wymawiaj: psi). Tak samo jak przy funkcjach, tak i przy formie zdaniowej należy dorzucić nawias, a w nim zmienne które zawiera ona zawiera np.:
߮ሺ‫ݐ‬, ‫ݏ‬ሻ = Dziś wieczorem najpierw będę oglądać ‫ݐ‬, a potem uprawiać ‫ݏ‬.
߮ሺ݀, ‫ݓ‬ሻ = W klasie IV szkoły podstawowej uczyłam się ݀ i z zachowania miałam ‫ݓ‬.
߮ሺ݂, ℎ, ‫݌‬ሻ = Moja koleżanka jest ݂, ale jej chłopak to ℎ i ‫݌‬.
߮ሺ‫ݍ‬ሻ = Jaś Fasola jest ‫ݍ‬.
Jak więc widać, zamiast literek występujących w formie zdaniowej możemy podstawiać różne wyrażenia (także liczby). Wszystkie te wyrażenia którymi można zastąpić literki w formie zdaniowej nazywamy dziedziną formy zdaniowej.
Rozpatrzmy jeszcze raz formę zdaniową:
߮ሺ‫ݍ‬ሻ = Jaś Fasola jest ‫ݍ‬.
i zastanówmy się, czy podane niżej wyrażenie należy do jej dziedziny:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
kobietą
mądry
przystojny
bystry
niski
krzesłem
— tak, bo po napisaniu tego wyrażenia zamiast zmiennej ‫ ݍ‬otrzymamy zdanie fałszywe.
— tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić „prawda / fałsz”.
— nie, bo otrzymane zdanie byłoby pozbawione sensu.
Jak widać spośród wyrażeń które należą do dziedziny można wyodrębnić te które sprawiają że forma zdaniowa
zmienia się w zdanie fałszywe oraz takie, które sprawiają, że forma zdaniowa staje się prawdziwa.
Jeśli wyrażenie wstawione do formy zdaniowej zamiast jej zmiennej sprawi, że stanie się ona zdaniem prawdziwym, to wówczas mówimy, że spełnia ono tę formę zdaniową.
Możemy zatem powiedzieć, że wyrażenie z powyższego podpunktu a) nie spełnia tamtej formy zdaniowej, bo rzeczą oczywistą jest to, że Jaś Fasola nie jest kobietą.

Logika matematyczna - darmowy e

Transkrypt

Podobne dokumenty

samodzielność dziecka

Zdanie. Zaprzeczenie zdania

Język polski

test konkursowy (pobierz)

Elementy rachunku zdań i kwantyfikatorów Izolda Gorgol wyciąg z

Test kwalifikacyjny 2005 – Studia dzienne