Bryły obrotowe

Bryły obrotowe
Zad. 1:
Przekrój stoŜka płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek stoŜka i cięciwę podstawy jest
trójkątem równobocznym o polu 16 3 . Płaszczyzna przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy stoŜka kąt 45°. Oblicz objętość i cosinus kąta rozwarcia stoŜka (pole powierzchni całkowitej).
80 6
Odp.: V =
π , cos α = − 41 , P = 40 + 16 10 π .
3
(
)
Zad. 2*:
Z punktu leŜącego na powierzchni kuli poprowadzono trzy równej długości cięciwy, przy
czym dowolne dwie z nich są nachylone do siebie pod kątem α. Znajdź stosunek długości
cięciwy do promienia kuli. Oblicz wartość tego stosunku dla α = 60°.
Odp.: Stosunek długości cięciwy do promienia kuli wynosi 2 1 − 43 sin 2
stosunek ten wynosi
2
3
α
2
. Dla α = 60°
6.
Zad. 3:
Z walca o średnicy 2 m wycięto wpisany weń graniastosłup prosty trójkątny w taki sposób,
Ŝe podstawa graniastosłupa jest wpisana w podstawę walca. Miary dwóch kątów podstawy
graniastosłupa są równe 45° i 60°, a przekątna ściany bocznej o najmniejszym polu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz ile papieru trzeba zuŜyć na oklejenie
wszystkich czterech brył.
Odp.:
[ π(3 + 6 ) + 2(1 +
2
3
)]
2 + 3 m2 .
Zad. 4:
Średnica kuli wpisanej w stoŜek jest dwa razy krótsza od wysokości stoŜka. Oblicz stosunek
pola powierzchni kuli do pola powierzchni całkowitej stoŜka i stosunek objętości kuli do objętości stoŜka.
Odp.: Oba stosunki są równe 21 .
Zad. 5: (profil matematyczno-fizyczny)
Wiedząc, Ŝe cos 36° ⋅ cos 72° = 41 , oblicz cos36°, a następnie znajdź objętość bryły otrzymanej
w wyniku obrotu pięciokąta foremnego o boku długości a wokół osi symetrii.
Odp.: cos 36° =
1+ 5
,V=
4
38 5 + 85 3
πa .
24
Zad. 6: (profil matematyczno-fizyczny)
W sześcian, którego krawędź ma długość a, wpisano kulę K1. Kula K2 jest styczna do trzech
ścian sześcianu i zewnętrznie styczna do kuli K1. Znajdź objętości kul K1 i K2. WykaŜ, Ŝe objętość kuli K2 stanowi mniej niŜ 2% objętości kuli K1.
V
3
Odp.: V1 = 16 πa 3 , 2 = 2 − 3 ≈ 1,92% .
V1
(
)
146
Zad. 7:
W stoŜek wpisano ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość a, a kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ma miarę 2α. Oblicz objętość stoŜka.
Odp.: V = 121 πa 3 ctgα .
Zad. 8:
Tworząca stoŜka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α, a wysokość jest
równa H.
a) Znajdź pole powierzchni całkowitej tego stoŜka.
b) Wiedząc, Ŝe płaszczyzna równoległa do płaszczyzny podstawy stoŜka dzieli jego powierzchnię całkowitą na dwie części o równych polach, znajdź pole otrzymanego przekroju
oraz wysokość stoŜka ściętego.
1 + cos α
Odp.: a) P = πH 2 ctgα
; b) P = 21 πH 2 ctg 2 α(1 + cos α ) , wysokość stoŜka ściętego
sin α

1 + cosα 
.
wynosi H 1 −
2


Zad. 9:
Pole przekroju osiowego stoŜka wynosi 3 3 cm 2 , a tworząca stoŜka jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz:
a) objętość tego stoŜka;
b) pole powierzchni całkowitej stoŜka;
c) objętość walca, którego jedna podstawa zawiera się w podstawie stoŜka, brzeg drugiej podstawy - w powierzchni bocznej stoŜka, a stosunek średnicy walca do długości jego wysokości
jest równy 2.
27 3 3 − 5
Odp.: a) V = 3 3π cm 3 ; b) P = 9 + 6 3 π cm 2 ; c) V =
π cm 3 .
4
(
)
(
)
Zad. 10:
Przekątna przekroju osiowego walca tworzy z podstawą walca kąt 30°. Jaką długość powinna
mieć ta przekątna, aby objętość walca była równa objętości bryły otrzymanej w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 i 4 dookoła przeciwprostokątnej?
Odp.: 83 0,2 (objętości rozwaŜanych brył są równe 9,6π).
Zad. 11*:
Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w stoŜek do objętości kuli opisanej na nim, wiedząc,
Ŝe kąt przy wierzchołku przekroju osiowego stoŜka ma miarę α.
3


sin 2 α
 .
Odp.: 
α
α 
 2 sin 2 (1 + sin 2 ) 
Zad. 12:
W kulę wpisano stoŜek, w którym tworząca jest równa średnicy podstawy. Oblicz stosunek
objętości tej kuli do objętości stoŜka.
Odp.: 329 .
147
Zad. 13:
Jeden z wierzchołków trójkąta równobocznego jest jednocześnie wierzchołkiem paraboli
y = x2, a pozostałe dwa leŜą na jej ramionach. Oblicz objętość bryły otrzymanej w wyniku
obrotu trójkąta wokół prostej y = 3.
Odp.: V = 6 3π
(wierzchołki trójkąta mają współrzędne (0, 0),
(
) (
)
3 , 3 , − 3 , 3 ).
Zad. 14:
Producent kosmetyków wypuścił na rynek nowe perfumy w szklanych flakonikach w kształcie kuli o promieniu 2 cm, umieszczonych na kwadratowej podstawce o boku 8 cm. Na podstawkę nakładana jest przykrywka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o
krawędzi podstawy równej długości boku podstawki, przylegająca do szklanego pojemnika.
Dodając 6% na odpady, oblicz, ile takich przykrywek moŜna otrzymać z 1 m2 materiału.
Odp.: 88 przykrywek.
Zad. 15: (profil matematyczno-fizyczny)
Tworząca stoŜka jest nachylona do podstawy pod kątem α. W stoŜek ten wpisano kulę, a następnie poprowadzono płaszczyznę styczną do kuli i równoległą do podstawy stoŜka. Oblicz
stosunek pól, na jakie płaszczyzna ta podzieliła powierzchnię boczną stoŜka.
2
S − S'  1 + cos α 
Odp.:
− 1.
=

 sin 2 α 
S'
Zad. 16:
Na kuli opisano stoŜek. Stosunek pola podstawy stoŜka do pola powierzchni kuli wynosi
Oblicz:
a) miarę kąta rozwarcia stoŜka;
b) stosunek objętości kuli do objętości stoŜka;
c) stosunek pola powierzchni całkowitej stoŜka do pola powierzchni kuli.
Odp.: a) 60°; b) 49 ; c) 94 .
3
4
.
Zad. 17:
Pole trójkąta prostokątnego wynosi 150 cm2, a stosunek długości przyprostokątnych jest
równy 3 : 4. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły otrzymanej w wyniku obrotu tego trójkąta wokół przeciwprostokątnej.
Odp.: V = 1200π cm3, P = 420π cm2.
Zad. 18:
Trójkąt o bokach 6, 8 i 10 obraca się wokół najdłuŜszego boku. Oblicz objętość otrzymanej
bryły.
Odp.: V = 150π.
148