lista_zad_nr_9_IB 2013-14

Wydział PPT; kierunek: InŜ. Biomedyczna. Lista nr 9 do kursu Fizyka. Rok. ak. 2013/14
Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz listy zadań do kursu są dostępne na
stronie wykładowcy www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda i stronach prowadzących zajęcia. Student jest
zobowiązany do wydrukowania ww. tabel i przynoszenia na zajęcia. Lista nr 9 ma na celu zdobycie
przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań
dotyczących statyki, spręŜystości i hydrodynamiki z wykorzystaniem dotychczas zbytych kompetencji.
Zadania nie rozwiązane na zajęciach, poprzedzone symbolem (S) lub krótko omówione mogą być
treściami sprawdzianów.
83. Dziecko o masie m spoczywa na desce o długości L podtrzymywanej przez rodziców w pozycji poziomej. Wyznacz wartości sił F1 i F2.
84. (S) Zawodnik o masie m = 65 kg wykonuje skok do wody z niewaŜkiej trampoliny o długości L = 5 m. Wyznacz wartości sił F1 i F2, jeśli d = 1,5m.
85. Trzej męŜczyźni niosą belkę. Jeden podtrzymuje ją na końcu. Dwaj pozostali
podtrzymują poziomą poprzeczkę, na której wspiera się belka. CięŜar belki dzieli się
równo między niosących. W jakiej odległości od swobodnego końca belki znajduje
się poprzeczka?
86. (S) Kot o
masie m wędruje od lewego do
prawego końca
jednorodnej deski o masie M =
7kg i dł. L =
4m podpartej w dwóch
miejscach, jak na rys. Lewy pkt. wsparcia znajduje
się w odległości 0,44m od
lewego a drugi 1,5m od prawego brzegu deski.
Gdy kot znajdzie się na
prawym końcu deski, ona zaczyna przechylać się. Wyznacz masę m kota. Jak wartości sił F1 i F2 zaleŜą od odległości x
kota od lewego końca deski?
87. (S) Jednorodna drabina o cięŜarze W i
długości l oparta jest o idealnie gładką pionową ścianę. Pod jakim kątem ϑ naleŜy postawić drabinę, aby nie ślizgała się, jeśli współczynnik tarcia
między drabiną a podłogą wynosi µ = 0,4?
PokaŜ, Ŝe drabina pozostanie w spoczynku, jeśli spełniona będzie nierówność tgϑ≥(1/2µ).
89. (S) Jednorodna
zamocowana jest do
jest
podwieszona
rysunku po lewej
naciąg liny N i sił P
nych przez ścianę
odległości d = 2m
człowiek o cięŜarze
platformy W2 =
= 8m, kąt α = 53o.
88. Rysunki po lewej stronie przedstawiają uproszczony schemat anatomicznej
budowy stopy człowieka stojącego na palcach oraz model mechaniczny tej pozycji
(Tibla - kość piszczelowaa, tendon – ścięgno). Znaleźć siłę FA naciągu ścięgna
Achillesa oraz siłę F z jaką kość piszczelowa działa na kości śródstopia u
człowieka w opisanej pozycji. Przyjąć M = 70kg, d = 4,5cm, D = 3d.
pozioma
rampa
pionowej ściany i
liną,
jak
na
stronie. Obliczyć
oraz T wywierana rampę, jeśli w
od ściany stoi
W1 = 600N, cięŜar
200N, jej długość l
90. (S) Wyobraź sobie, Ŝe po drabinie z zad. 87. i kącie ϑ = 51o zaczyna
wchodzić człowiek o masie M (patrz rys. po prawej stronie). Dla jakiej
wartości d drabina zacznie się zsuwać i dlaczego? Ws-ka: Patrz zadanie 96.
91. (S) Jednorodna belka o masie m = 1,23kg, dł. L = 1,76 m z połoŜoną na
niej masą M = 2,13 kg spoczywa poziomo na dwóch wagach – dynamometrach. Wyznacz wskazania dynamometrów.
92. (S) Himalaista o masie 95kg odpadł od ściany, zawisł na linie o długości
15m i średnicy 9,6mm, rozciągniętej o 2,8cm. Obliczyć napręŜenie liny i
moduł Younga.
93. Jaką maksymalną wysokość moŜe mieć granitowy słup o stałym
przekroju, aby nie pękł pod własnym cięŜarem? Wytrzymałość granitu na
ściskanie wynosi 17 · 107 N/m2, a jego gęstość 2,7 · 103 kg/m3.
1
94. (S) Rysunek (a) po prawej stronie przedstawia człowieka na wózku inwalidzkim, który na swej
drodze napotyka krawęŜnik o wysokości h = 10cm. Niechaj całkowita masa człowieka z wózkiem
wynosi M = 1500N, a promień duŜych kół r = 35cm [patrz rys. (b)]. Wyznacz wartości sił F z jakimi
człowiek działa na obręcze, w chwili czasu, gdy wartość siły z jaką płaska powierzchnia działa na
wózek w punkcie B [rys. (c) i (d)] jest równa zeru; wówczas wózek zaczyna obracać się wokół
punktu A, a rys. (d) przedstawia diagram sił przyłoŜonych do niego. Ws-ka: NaleŜy policzyć
moment sił działających na wózek względem punktu A.
95. (S)Wysokie i niskie obcasy. Studentka moŜe na uczelni
chodzić w płaskim obuwiu [rys. (a) po prawej stronie], ale
wychodząc na waŜne spotkanie zakłada wysokie szpilki
[rys. (b)]. ZałóŜmy, Ŝe studentka waŜy w = 500N, a podłoga,
poprzez obuwie, oddziaływuje na stopę studentki w punktach A i B. Wyznacz wartości sił FA i FB dla obu rodzajów
obuwia.
96. (S) Zbyszko z Bogdańca waŜący 800 N chce uwolnić
osadzoną w zamku przez krzyŜaków Danusię Jurandównę
ze Spychowa. Rysunek poniŜej pokazuje jednorodną drabinę
o długości L = 5m, cięŜarze 180 N ustawioną nad fosą pod
kątem 53,1o do poziomu opartą górną częścią o idealnie
gładki mur (krzyŜacy posmarowali mur zwierzęcym starym
i śmierdzącym sadłem) i rycerza na drabinie. Zbyszko
znieruchomiał po przebyciu po drabinie drogi L/3, poniewaŜ obawia się, Ŝe wpadnie do fosy, gdy
drabina zacznie ślizgać się po murze i po poziomym gruncie. NaleŜy obliczyć: a) wartości sił tarcia
fs i normalnej n2 działających na dolny fragment drabiny; b) minimalną wartość współczynnika
tarcia drabina-grunt, przy której drabina będzie stabilna; c) wartość wypadkowej siły działającej na
dolny fragment drabiny.
Rozwiązanie
Zajmiemy się najpierw wyznaczeniem wartości sił tarcia f s i normalnej n2 działających na dolny fragment drabiny. Ze
względu na idealną gładkość murów zamku, na górny koniec drabiny działa siła n1 normalna do muru. Rys. b)
reprezentuje diagram sił przyłoŜonych do drabiny. Pierwsze dwa warunki stabilności statycznej układu mają postacie:
(1)
∑ Fx = 0 = f s + ( −n1 )
∑F
= 0 = n2 + ( −800N) + ( −180N). (2)
Trzecie równanie opisujące równowagę statyczną otrzymamy z warunku zerowania się wypadkowego momentu sił
liczonego względem punktu B ∑τ B = 0 = n1 ⋅ ( 4m ) − (180N ) ⋅ (1,5m ) − ( 800N ) ⋅ (1m ) + n2 ⋅ ( 0m ) + f s ⋅ ( 0m ) . (3)
i
y
Z równania (2) wyznaczamy n2 = 980N , a z równania (3) n1 = 268N i z (1) ostatecznie obliczamy f s = n1 = 268N.
Teraz moŜemy wyznaczyć współczynnik tarcia statycznego z warunku µmin = f s n2 = 268N 980N = 0, 27. Wartość siły
FB = FB = f s i + n2 j, gdzie i oraz j są wersorami i FB = FB =
(
( 268 )
2
+ ( 980 )
2
) N = 1020N. Wektor F
B
tworzy z osią
poziomą OX kąt, którego tgΘ = n2 f s = 980N 268 N → Θ = 75o.
Jaka powinna być najmniejsza wartość współczynnika tarcia statycznego, przy której Zbyszko bezpiecznie
przemieści się po drabinie? Aby odpowiedzieć na tak postawione pytanie rozwaŜmy połoŜenie Zbyszka w najwyŜszym
punkcie drabiny. ZauwaŜmy, Ŝe równania (1) i (2) nie ulegają zmianom, a równanie (3) przyjmuje postać
∑τ B = 0 = n1c ⋅ ( 4m ) − (180N ) ⋅ (1,5m ) − (800N ) ⋅ ( 4m ) + n2c ⋅ ( 0m ) + f1c ⋅ ( 0m ) , co pozwala obliczyć wartość
n1c = 867,5N
µ
oraz
najmniejszą
dopuszczalną
wartość
współczynnika
tarcia
= f n = n n = 867,5N 980N = 0,8852. Widzimy, Ŝe podczas wchodzenia Zbyszka po drabinie rośnie wartość
siły normalnej n1. W tym zadaniu nie ma, przy zadanej długości drabiny, moŜliwości zmniejszenia współczynnika tarcia.
Być moŜe sprzyja temu zastosowanie przez giermka Zbyszko dłuŜszej drabiny?
c
min
c
1
c
2
c
1
c
2
2
97. Rysunek obok przedstawia poziomą sosnową belkę o masie 25 kg i długości 3,6 m,
której prostokątny przekrój poprzeczny ma wymiary 9,5 cm i 14 cm. Dwa filary dachu
(niepokazanego na rys.) są postawione pionowo na belce. Maksymalne napręŜenie
ścinające dla drzewa sosnowego wynosi σmax = 5·106 N/m2. Przyjmując za wartość
współczynnika bezpieczeństwa κ = 5, wyznacz maksymalne wartości mas filarów i dachu, tj. siły FL z jakimi filary mogą bezpiecznie działać na sosnową belkę.
Ws-ka: Maksymalną wartość siły maxFL naleŜy wyznaczyć ze wzoru
max
FL ≤ (pole przekroju)· σmax/κ i porównać ją z wartością |FL| obliczoną z warunku
równowagi momentów wszystkich sił liczonych względem np. jednego z punktów podparcia belki.
98. (S) Gęstość powietrza w warunkach normalnych wynosi 1,2 kg/m3. Oblicz cięŜar tego powietrza w sali o podłodze
4 m na 5 m i wysokość 3 m. Jakie ciśnienie wywiera ciśnienie atmosferyczne na powierzchnię tego pomieszczenia?
Oszacuj wartość parcia wywieranego na Twoją dłoń przez powietrze?
99. (S) W otwartym zbiorniku wody o kwadratowym dnie o boku 2 m woda ma wysokość 12 m. Oblicz całkowite
ciśnienie wywierane na dno zbiornika. Oblicz róŜnicę ciśnień na dnie zbiornika wynikającą z wypełnienia go wodą.
100. (S) Paradoks hydrostatyczny – patrz fotografia po prawej stronie. W
pojemniku w kształcie stoŜka (rys. z prawej strony) o promieniu podstawy r i
wysokości h znajduje się ciecz o gęstości ρ. CięŜar tej cieczy wynosi więc Q =
πr2hgρ/3, ale parcie tej cieczy na dno naczynia jest równe F = πr2hgρ = 3Q.
Spróbuj wyjaśnić/zinterpretować przytoczone rezultaty liczbowe. Patrz strona:
http://oceanografia.cicese.mx/oscar/cursos/Wilson1995.pdf
101. (S) W rurce w kształcie litery U znajdują się dwa rodzaje cieczy: woda o
gęstości 998 kg/m3 i oliwa o nieznanej gęstości ρ. Znane są: l = 135 mm, d =
12,3 mm. Oblicz ρ.
102. Co moŜna powiedzieć o siłach oddziaływania wody
na pionowe zapory w przypadkach przedstawionych graficznie po prawej stronie?
103. Co wskaŜe waga, gdy do naczynia z wodą
umieszczonego na wadze zanurzysz palec dłoni?
104. W szklane wody pływa kawałek lodu. Jaka część lodu znajduje się pod
wodą? Gęstość lodu 917 kg/m3, wody 998 kg/m3. Co stanie się z poziomem
wody, gdy lód stopnieje? A co, gdy na lodzie początkowo połoŜymy kamyk, który po
stopieniu się lodu upadnie na dno szklanki?
105. (S) Legenda głosi, Ŝe król zlecił Archimedesowi wykonanie ekspertyzy
korony wykonanej przez złotnika. Archimedes postąpił w następujący sposób: Najpierw zwaŜył koronę
w powietrzu i zanotował 7,84 N, a następnie w wodzie i zapisał 6,84 N. Gęstość
złota wynosi 19 300 kg/m3. Jakiej odpowiedzi udzielił Archimedes królowi? Jaką
wagę zanotowałby Archimedes zanurzonej w wodzie korony, gdyby była zrobiona ze szczerego złota?
106. Równanie Siri – wyznaczanie procentowej
zawartości tłuszczu w ciele człowieka. Ciało człowieka waŜy w powietrzy Q = 740 N, a po zwaŜeniu
w wodzie, waŜy W = 34,3 N. PokaŜ, Ŝe objętość
ciała tego człowieka wyraŜa się wzorem V = (Q –
W)/(ρwody · g) = 6,99·10-2 m3, a gęstość jego ciała
liczona jest ze wzoru ρ = Q·ρwody/ (Q – W) = 1050
kg/m3. Gęstość tkanki tłuszczowej człowieka ρt =
3
3
900 kg/m , a mięśniowej 1100 kg/m . ZałóŜmy, Ŝe x określa część masy M ciała przypadająca na tkankę tłuszczową, tj.
całkowita masa tłuszczu w ciele wynosi x·M. Oznaczmy przez Vt i Vm objętości tkanki, odpowiednio, tłuszczowej oraz
mięśniowej. Objętość ciała człowieka V = mt/ρt +mm /ρm = xM/ρt +(1 – x)M/ρm. PokaŜ, Ŝe gęstość ciała tego człowieka
1 ρ ρ 
ρt
4950kg/m3
ρ = 1  x ρ t + (1 − x ) ρ m  ⇒ x =  m t  −
=
− 4,5 = 0,214.
ρ  ρm − ρt  ρm − ρt
ρ
Po zadaniu wyszukiwarce hasła Siri equation(s), więcej np. na stronach: http://nutrition.uvm.edu/bodycomp/uww/siri.html;
http://en.wikipedia.org/wiki/Body_fat_percentage, http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs12603-010-0112-z#page-1.
107. (S) Idealna ciecz o gęstości 850 kg/m3 jest pompowana poprzez cylindryczną rurkę tłokiem o wydajności 9,5
litra/s. Pierwszy przekrój rurki ma średnicę 8.0 cm. Z jaką prędkością płynie ciecz w tym fragmencie rurki i jaka jest
wydajność przepływu? Inny fragment rurki ma średnicę 4.0 cm. Z jaką prędkością płynie ciecz w tym fragmencie rurki i
jaka jest wydajność przepływu?
3
108. (S) Rysunek obok ilustruje pionowy wypływ wody z kranu. Pokazane powierzchnie
przekrojów strumienia wody wynoszą A0 = 1,2 cm2 i A = 0,35 cm2. Dlaczego maleje pole
przekroju poprzecznego strumienia? Miejsca połoŜenia przekrojów dzieli odległość
h = 4,5 cm. PokaŜ, Ŝe prędkość przepływu wody w przekroju A0 wyraŜa się wzorem
v0 = A[2gh/(A02–A2)]1/2 i wynosi 28,6 cm/s, a wydajność wody wypływającej z tego kranu wyraŜa się wzorem v0·A0 i wynosi 34 cm3/s.
109. Woda przepływa węŜem straŜackim o średnicy 9,6 cm z
prędkością 1,3 m/s. Na końcu węŜa woda wypływa przez gaśnicę
o średnicy 2,5 cm. Wyznacz wartość v2. ZałóŜmy, Ŝe ciśnienie
wody w węŜu wynosi 350 kP. Jakie jest ciśnienie wody w
ono mniejsze od 350 kP?
wylewce i dlaczego jest
110. (S) Woda jest dostarczana do domu rurą o średnicy 2 cm z prędkością przepływu 1,5 m/s
pod całkowitym ciśnieniem 4·105 Pa. Rura o średnicy 1 cm doprowadza wodę do łazienki na
drugim piętrze połoŜonej na wys. 5 m. Wyznacz: prędkość, ciśnienie i wydajność wody w kranie
łazienki.
Rozwiązanie
Z równania ciągłości wyznaczamy prędkość wypływu wody w łazience
v2 =
π (1,0 cm )
2
π ( 0,5 cm )
2
1,5 m/s=6,0 m/s.
Z równania Bernoulliego otrzymujemy kolejno:
1
1
1
2
2
2
2
p2 + ρ gy2 + ρ ( v2 ) = p1 + ρ gy1 + ρ ( v1 ) ⇒ p2 = p1 + ρ g ( y1 − y2 ) + ρ ( v1 ) − ( v2 )  ⇒

2
2
2 
1
p2 = 4,0 ⋅ 105 Pa+ 1,0 ⋅ 103 kg/m 3 36m 2 /s2 − 2,25m 2 /s2  +
2
(
)
+ (1,0 ⋅ 10 kg/m ) ⋅ ( 9,81m/s ) ⋅ ( 0 − 5,0m ) = 3,3 ⋅ 10 Pa.
3
3
2
5
Teraz moŜemy wyznaczyć wydajność kranu w łazience, która określa objętość wody wypływającej z kranu w
czasie jednej sekundy
dVwody
dt
= A2 v2 = π ( 0,5 ⋅ 10−2 m ) ⋅ 6,0m/s=4,7 ⋅ 10−4 m3 /s=0,47 dm 3 /s.
2
ZauwaŜmy, Ŝe po zamknięciu kranu prędkości v1 i v2 są równe zeru i ciśnienie w kranie łazienkowym wynosi
3,5·105 Pa, czyli wzrasta.
111. (S) Rysunek obok przedstawia zbiornik paliwa o polu przekroju A1 wypełniony
paliwem do wysokości h. Przestrzeń nad paliwem wypełnia powietrze pod ciśnieniem p0, a
paliwo wypływa przez otwarty zawór o polu przekroju A2. Wyznaczyć prędkość wypływu
paliwa przez otwarty zawór oraz wydajność wypływu.
Rozwiązanie. Z równania Bernoulliego mamy
p0 + ρ gh + ρ ( v1 ) / 2 = patm. + ρ g ( h2 = 0 ) + ρ ( v2 ) / 2 ⇒
2
2
v22 = v12 + 2 ( ( p0 − patm. ) ρ ) + 2gh = 2  ( p0 − patm. ) ρ + gh  .
dVpaliwa
= A2 v2 . Jeśli p0 = patm. , to v2 = 2gh . ZauwaŜmy, Ŝe
dt
milcząco przyjęliśmy załoŜenie, Ŝe v1 = 0, co oznacza, Ŝe do zbiornika jest dostarczane paliwo, albo v1 ≤ v2, co jest dobrym
przybliŜeniem o ile A1 ≥ A2.
112. (S) Rurka Venturiego słuŜy do pomiaru prędkości przepływu cieczy. ZałóŜmy, Ŝe znamy A1, A2
Wydajność zaworu wynosi
oraz h. Wyznacz v1. Ws-ka: PokaŜ najpierw, Ŝe p1 − p2 =
wykorzystując znaną wartość h, wyznacz v1 =
ρ v12 ( A1 A2 ) − 1 2,
2


a następnie,
2
2 gh ( A1 A2 ) − 1 .


Wrocław, 30 listopada 2013
W. Salejda
4