Międzynarodowego Konkursu Matematycznego „PIKOMAT”

XX edycja
Międzynarodowego Konkursu Matematycznego
„PIKOMAT”
rok szkolny 2011/2012
Etap III
Klasa IV
Zadanie 1
Jeśli dodamy cyfry poziomo i pionowo, otrzymamy liczby, które zostały podane po prawej
stronie i na dole. Zamień litery na cyfry od 1 do 9. Te same litery zastępujemy tymi samymi
cyframi.
G
B
A
A
= 11
C
A
H
D
= 16
D
H
K
C
= 20
L
D
C
M
= 26
= 19 = 15 = 18 = 21
Zadanie 2
Czterech kuzynów Jacek, Wojtek, Tomek i Paweł spotkało się u swoich dziadków
w Sosnowcu. KaŜdy z nich przyjechał z innego miasta, a mianowicie z Łowicza, Gliwic,
Leszna i śywca. Wiadomo, Ŝe Jacek i kuzyn z śywca spotkali się juŜ wcześnie rano, na
dworcu kolejowym w Sosnowcu, w dniu planowanej wizyty u dziadków i Ŝaden z nich nigdy
nie był ani w Łowiczu, ani w Lesznie. Ponadto Tomek nie mieszka w śywcu, a do Sosnowca
przyjechał godzinę później niŜ kuzyn z Łowicza. Pawłowi pobyt u dziadków podobał się
bardziej niŜ kuzynowi z Łowicza. Ustal, z jakich miast pochodzą poszczególni chłopcy.
Zadanie 3
Marcin napisał na tablicy pewną liczbę naturalną. Kuba pomnoŜył ją przez jedną z liczb:
6 albo 7. Następnie Michał do liczby otrzymanej przez Kubę dodał jedną z liczb: 6 lub 7.
W końcu Dawid od liczby otrzymanej przez Michała odjął jedną z liczb: 6 albo 7 i otrzymał
w wyniku liczbę 91. Jaką liczbę napisał na tablicy Marcin?
Zadanie 4
Prostokąt podzielono na 7 kwadratów (tak jak pokazuje rysunek). Jaką długość ma bok
największego kwadratu, jeŜeli wiadomo, Ŝe jeden z boków prostokąta ma długość 26 cm oraz
wszystkie długości boków kwadratów wyraŜają się liczbami naturalnymi?
Klasa V
Zadanie 1
Krzysiu urodził się w tym samym roku co kaŜdy z jego serdecznych kolegów z klasy. JeŜeli
dodamy liczbę dnia i liczbę miesiąca z daty urodzin kaŜdego z kolegów Krzysia, to w kaŜdym
przypadku otrzymamy liczbę 35. Ilu maksymalnie kolegów moŜe mieć Krzysiu, przy
załoŜeniu, Ŝe Ŝaden z nich nie urodził się w tym samym dniu? Jakie mogły być daty ich
urodzenia? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 2
W zapisie
3☼☼3 : ☼1 = ☼3
zamień symbole ☼ na cyfry, aby otrzymać równość prawdziwą.
Zadanie 3
Z prostokąta, którego długość jednego boku jest równa 72 cm a długość drugiego boku jest
mniejsza niŜ 100 cm, wycięto pewną liczbę kwadratów o boku x, a następnie pewną liczbę
kwadratów o boku y i otrzymano kwadrat (rys.). Jaką długość moŜe mieć bok powstałego
w ten sposób kwadratu?
72 cm
x
x
mniej niŜ
100 cm
x
x
y
y y y y y y y
x
Zadanie 4
JeŜeli pewną liczbę naturalną mniejszą od 100 pomnoŜymy przez kaŜdą z jej cyfr, to suma
otrzymanych liczb jest równa 900. Jaka to liczba?
Klasa VI
Zadanie 1
Pewnego razu podczas pobytu w górskim schronisku zgasło nagle światło. Zapaliłem wtedy
dwie jednakowej długości świece – grubszą, która w całości zuŜywa się w ciągu 5 godzin
oraz cieńszą, która w całości zuŜywa się w ciągu 4 godzin. Siedziałem przy tych świecach
wraz ze swymi towarzyszami wędrówki nucąc przy akompaniamencie gitary wesołe piosenki.
Gdy światło znów zabłysło stwierdziłem, Ŝe to co zostało z jednej ze świec, jest cztery razy
dłuŜsze niŜ to, co zostało z drugiej. Ile czasu nie było elektrycznego światła?
Zadanie 2
W puste kratki wpisz dwie takie cyfry tak, aby NWD(888, 5) miał największą moŜliwą
wartość. Swoje rozwiązanie uzasadnij.
Zadanie 3
Ola jest członkiem czteroosobowej rodziny. Suma lat wszystkich osób jest równa 100. Ola
jest o 4 lata starsza od swego brata Maćka, a ich tata jest o 6 lat starszy od ich mamy. Ola to
marzycielka. Pewnego razu zapragnęła cofnąć czas o całkowitą liczbę lat do takiego
momentu, w którym byłaby 6 razy młodsza od swojej mamy. I stało się coś niesamowitego.
Ktoś pewnie wsłuchał się w prośby Oli i cofnął czas o 5 lat. Ile lat mają po cofnięciu czasu
poszczególni członkowie tej rodziny?
Zadanie 4
Prostokątną kartkę papieru podzielono na kwadrat i prostokąt. W małym prostokącie znowu
dokonano podziału na kwadrat i prostokąt. Sytuację powtórzono kilkakrotnie, w wyniku czego
otrzymano 9 róŜnych kwadratów i jeden prostokąt o wymiarach 1 cm × 2 cm. Oblicz pole
powierzchni karki.
Klasa I
Zadanie 1
Michał to miłośnik jazdy na rowerze. Mieszka on w pięknej, malowniczej, pokrytej
pagórkami i ruinami zamków miejscowości. Pewnego razu wybrał się na wycieczkę
rowerową z miejsca swego zamieszkania na wzgórze zamkowe. Trasa składała się z odcinka
prostego i płaskiego oraz z podjazdu na wzgórze. Na płaskim odcinku – w obie strony –
Michał jechał z prędkością 20 km/h, podjazd na wzgórze pokonał z prędkością 14 km/h, zaś
ze wzgórza zjeŜdŜał z prędkością 35 km/h. Wiedząc, Ŝe wycieczka rowerowa trwała
3 godziny, z czego 30 minut zajął Michałowi odpoczynek na wzgórzu zamkowym, oblicz jaka
była odległość od miejsca zamieszkania Michała do wzgórza zamkowego.
Zadanie 2
Na polu pana Maćka wylądowało UFO. W przeciągu kilku sekund przed statkiem
kosmicznym pojawiła się grupa dziwnie wyglądających istot. Pan Maciek szybko ich sobie
obejrzał, a następnie policzył. Zdarzenie to było inspiracją dla pana Maćka do sformułowania
następującego zadania, dla swego syna Wojtka – notabene gimnazjalisty z pierwszej klasy:
„Na polu wylądowali kosmici. Przybyszy z kosmosu było więcej niŜ jeden, a kaŜdy z nich
miał co najmniej dwie ręce i co najmniej jeden palec u kaŜdej reki. Wszyscy przybysze mieli
po tyle samo palców. Łączna liczba palców przybyszy jest zawarta miedzy 200 a 300. JeŜeli
będziesz wiedział, ile w sumie wszystkich palców u rąk mają kosmici, to będziesz
jednocześnie znał liczbę przybyszy. Ilu było kosmitów, którzy nawiedzili moje pole?”. PomóŜ
Wojtkowi rozwiązać ten problem.
Zadanie 3
Masz do dyspozycji kwadrat o boku długości 12 cm. Rozcinasz go na mniejszy kwadrat oraz
8 jednakowych trójkątów prostokątnych tak, jak pokazano na rysunku. Ze wszystkich
elementów powstałych w wyniku tego rozcięcia moŜesz łatwo zbudować siatkę ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego. Jaką objętość będzie miał model ostrosłupa wykonanego na
podstawie tej siatki?
Zadanie 4
Pewien pszczelarz – matematyk z zamiłowania – zebrawszy miód z uli postanowił rozlać go
do wcześniej przygotowanych 24 dzbanów. Do pełna napełnił 5 dzbanów, 11 dzbanów do
połowy, a pozostałe pozostały puste. PoniewaŜ w międzyczasie pojawiło się u niego trzech
jego dorosłych wnuków, więc dał im do rozwiązania następujący problem: „Podzielcie
między siebie miód i dzbany tak, aby kaŜdy z was otrzymał 8 dzbanów z jednakową
zawartością w nich miodu. JednakŜe, Ŝeby było zabawnie, nie wolno wam przelewać miodu
z dzbana do dzbana.” Jak mają to zrobić wnukowie pszczelarza-matematyka?
Klasa II
Zadanie 1
Pięciu serdecznych przyjaciół: Janek, Marek, Józek, Marian i Darek są posiadaczami
wspaniałych jachtów i kaŜdy z nich jest Ŝonaty. Jacht kaŜdego z panów nosi imię Ŝony innego
z nich. Jacht Janka nazywa się BoŜena od imienia Ŝony Marka. Jacht Marka nazywa się
Małgorzata, jacht Darka – ElŜbieta, a Mariana – Teresa. Małgorzata jest Ŝoną pana, którego
jacht nazywa się imieniem Ŝony Józka. śona Darka ma na imię Lidia. Kto jest męŜem
ElŜbiety?
Zadanie 2
Dany jest dowolny trapez ABCD. Odcinek łączący środki ramion tego trapezu rozcina go na
dwie figury o polach równych 4 cm2 i 6 cm2. Oblicz pola figur, na które przekątna rozcina ten
trapez.
Zadanie 3
Magda, Kasia, Jacek i Kuba uczęszczają do tego samego gimnazjum w Będzinie. Średnia
wieku Magdy i Jacka jest o 1 rok większa niŜ średnia wieku Kasi i Kuby. Gdyby Magda była
starsza od Kuby o tyle, o ile Kasia jest starsza od Jacka, to średnia wieku chłopców byłaby
równa średniej wieku dziewcząt. Kto jest starszy i o ile lat: Kasia czy Jacek, Magda czy
Kuba?
Zadanie 4
Kolejne boki czworokąta mają długości 1 cm, 5 cm, 5 cm i 7 cm. Jakie maksymalne pole
moŜe mieć ten czworokąt?
Klasa III
Zadanie 1
Trójkąt równoboczny ABC o boku długości 3 cm zgięto wzdłuŜ linii ML w taki sposób, Ŝe
1
wierzchołek C znalazł się w punkcie K na boku AB, przy czym AK = AB i otrzymano
3
trójkąt KLM. Oblicz długość odcinka ML.
C
M
A
L
K
B
Zadanie 2
Czterej panowie Stanisław, Antoni, Kazimierz i Franciszek, myśliwi z koła łowieckiego
„Darz bór”, wzięli udział w polowaniu, podczas którego ustrzelono łącznie po czternaście
sztuk kaŜdego z czterech rodzajów zwierzyny: królików, zajęcy, baŜantów i kuropatw. KaŜdy
z panów ustrzelił czternaście sztuk zwierzyny, lecz nie miał dwu jednakowych liczb zwierząt
z róŜnych gatunków, a jednocześnie upolował przynajmniej jedną sztukę z kaŜdego gatunku.
śadnych dwóch myśliwych nie ustrzeliło tej samej liczby zwierząt tego samego gatunku.
Wiadomo ponadto, Ŝe u kaŜdego z myśliwych wystąpił róŜny zestaw liczb obrazujących
wyniki polowania. Pan Kazimierz ustrzelił dwa razy więcej królików niŜ pan Franciszek,
a pięć razy mniej baŜantów niŜ pan Antoni. Największy odstrzał w jednym gatunku miał pan
Stanisław i były to zające. Po ile sztuk kaŜdego z gatunków zwierząt ustrzelili poszczególni
myśliwi?
Zadanie 3
Trzy okręgi o róŜnych promieniach są styczne zewnętrznie oraz są styczne do jednej prostej.
Oblicz promień x najmniejszego okręgu wiedząc, Ŝe promienie większych okręgów są dane
i wynoszą: R i r. Sporządź odpowiedni rysunek.
Zadanie 4
Pewne małŜeństwo ma dwie córki i dwóch synów. Średnia wieku córek jest większa niŜ
23 lata, a średnia wieku kobiet w tej rodzinie jest mniejsza niŜ 31 lat. Średnia wieku synów
jest mniejsza niŜ 18 lat, natomiast średnia wieku męŜczyzn w tej rodzinie jest większa niŜ
29 lat. Ustal, kto jest starszy: mama czy tata. Jaką najmniejszą liczbą całkowitą moŜe być
wiek ojca? Jaką największą liczbą całkowitą moŜe być wiek matki?
Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Katarzyna śak
Informacje o przebiegu konkursu moŜna znaleźć w Internecie pod adresem:
http://www.ssodelta.edu.pl