zestaw 1

Egzamin, I termin
Deterministyczne Modele
26 stycznia 2012
Badań Operacyjnych
gr. <i
Jesień 2011
Imię, nazwisko i numer indeksu:
Zadanie
Punkty do zdobycia
1
2
3
Łącznie
10
10
5
25
Punkty uzyskane
1. (Rycerz nieistniejący) Dzielny rycerz Agilulf wyrusza na ratunek wdowy Priscilli
i jej współtowarzyszek. Aby ratunek był możliwie najbardziej skuteczny musi czym
prędzej dostać się z posterunku (węzeł 1) do zamku, w którym więzione są niewiasty
(węzeł 10). Rysunek 1 przedstawia możliwe trasy przejścia.
(1p.)
(a) Zdefiniuj zmienne decyzyjne.
(1p.)
(b) Zdefiniuj funkcję celu rozważanego problemu.
(2p.)
(c) Podaj warunki ograniczające zadania.
(3p.)
(d) Podaj najkrótszą drogę do Priscilli.
(3p.)
(e) W obszarze wyrażonym przez węzeł 9 grasuje stado niedźwiedzi. Przejście przez
ten obszar możliwe jest tylko przy wsparciu Gurdulu. Wizyta węzła 9 musi być
poprzedzona odwiedzeniem miejsca stacjonowania „giermka” wyrażonego przez
węzeł 7. Podaj proszę i krótko skomentuj nowy warunek programu uwzględniający nowy postulat. Jaka jest nowa najkrótsza droga?
Rysunek 1: Możliwe drogi Agilulfa
32
18
1
7
9
7
19
2
12
4
7
4
3
2
6
8
9
14
2
12
5
8
3
2
8
22
10
3
22
6
5
10
2. (Dream Team) Trener Jacek chce wyselekcjonować 7 graczy do „drużyny marzeń.”
Ograniczył wybór do 10 graczy. Dla każdego gracza, Jacek zebrał i wyskalował odpowiednio niektóre statystyki (1 najlepsze, 5 najgorsze) dotyczące graczy. Dodatkowo,
gracze mogą grać tylko na niektórych pozycjach. Pozycje, na których może grać każdy z graczy oraz statystyki dotyczące asyst, punktów, obrony oraz zbiorek znajdują
się w tabelce poniżej.
Trener Jacek wie, że aby stworzyć dobra drużynę pewne założenia muszą być spełnione:
1. Przynajmniej dwóch graczy musi umieć grać na obronie, przynajmniej czterech
graczy musi umieć grać na ataku i przynajmniej dwóch graczy musi umieć grać
w pomocy
2. Maksymalny (czyli najgorszy) średni ranking dotyczący asyst, punktów, obrony oraz zbiorek w drużynie 7 zawodników musi być lepszy niż 4 (pamiętaj 1
jest najlepszy, 5 jest najgorszy)
3. Jeśli gracz 4 i 6 grają razem, wtedy gracz 5 nie może być w drużynie. (Kwestie
dopasowania miedzy graczami)
4. Gracze 3 i 9 musza być wybrani razem, ponieważ, że są najbardziej efektywni,
kiedy grają ze sobą (zatem albo obaj albo żaden nie powinien być wybrany)
5. Gracz 4 lub 3 (lub obaj) musza być wybrani, ponieważ są tymi, którzy przyciągają fanów.
Przy tych ograniczeniach trener Jacek chce maksymalizować łączną zdolność punktowa „drużyny marzeń.”
(1p.)
(a) Podaj zmienne decyzyjne problemu.
(1p.)
(b) Zdefiniuj funkcję celu.
(3p.)
(c) Zapisz ograniczenia 1, 2, 3, 4 i 5. Jakie jeszcze ograniczenia potrzebujesz?
(3p.)
(d) Rozwiąż problem i podaj optymalne wartości zmiennych decyzyjnych i funkcji
celu.
(1p.)
(e) Które ograniczenia 1-5 sa wiążące a które nie?
(1p.)
(f) Jeśli dodam dodatkowe ograniczenie, to czy optymalna wartość funkcji celu się
nie poprawi, czy nie pogorszy? (nie lepsza, czy nie gorsza zdolność punktowa).
Page 2
(3 (bonus))
(g) Jakie ograniczenia nalożyłbyś/łabyś a jakie wyeliminował/ła, aby skorzystać z
własności unimodularności w tym problemie?
GRACZ POZYCJA ASYSTY PUNKTY ZBIÓRKI OBRONA 1 O 3 4 2 1 2 P 2 1 3 4 3 O‐A 4 2 2 4 4 A‐P 1 3 3 1 5 O‐A 5 2 1 2 6 A‐P 4 1 2 3 7 O‐A 3 5 3 1 8 O‐P 2 3 4 1 9 A 2 2 2 5 10 O‐A 3 3 1 2 Page 3
(5p.) 3. (Najkrótsza droga) Rysunek 2 przedstawia graf, w którym łuki oznaczone są odległością pomiędzy wierzchołkami. Znajdź najkrótszą drogę pomiędzy wierzchołkiem
A i H przy pomocy algorytmu Dijkstry: na grafie zaznacz kolejność rozwiązanych
wierzchołków.
Rysunek 2: Problem najkrótszej drogi
13
B
3
5
A
2
3
D
2
C
2
6
2
3
F
4
5
Page 4
G
6
E
6
H