Analiza jakościowa rozwiązań równań różniczkowych - E-SGH

Transkrypt

Stabilność w sensie Lapunowa
Stabilność rozwiązań układów liniowych
Analiza jakościowa rozwiązań równań
różniczkowych
Jacek Kłopotowski
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
18 maja 2016
Jacek Kłopotowski
Analiza jakościowa rozwiązań równań różniczkowych
Wprowadzenie
Równania różniczkowe w modelach ekonomicznych często służą do
analizy zmian wartości zmiennych ekonomicznych w zależności od
upływu czasu. Ten problem będzie tematem rozważań w
niniejszym wykładzie.
Zmienną niezależną (zgodnie z jej interpretacją jako zmienną
reprezentującą czas) oznaczać będziemy dalej przez t. Zajmiemy
się badaniem własności rozwiązań tzw. układów
autonomicznych, czyli będziemy rozważali równania różniczkowe
postaci x0 = F (x), gdzie odwzorowanie F określone na niepustym
podzbiorze przestrzeni Rn nie zależy od zmiennej t. Zakładamy
również, że istnieją rozwiązania x (t) układu x0 = F (x) określone
dla t ∈ (a, ∞).
Jacek Kłopotowski
Przedłużenie rozwiązania
Definicja
Niech funkcje x1 (t), t ∈ (a, b), x2 (t), t ∈ (c, d) będą
rozwiązaniami równania x0 = F (x). Mówimy, że rozwiązanie x2 (t),
t ∈ (c, d) jest przedłużeniem rozwiązania x1 (t), t ∈ (a, b) wtedy
i tylko wtedy, gdy (a, b) ⊂ (c, d) oraz x2 (t) = x1 (t), dla t ∈ (a, b).
Przedłużenie rozwiązania nie musi być wyznaczone jednoznacznie.
Przykład
Wyznaczymy rozwiązanie równania różniczkowego x 0 =
warunkiem początkowym x(1) = 0.
Jacek Kłopotowski
3√
3
2 x
z
Przedłużenie rozwiązania cd
Rozwiązanie
Jednym z rozwiązań jest
na przykład funkcja stała x1 (t) ≡ 0
określona w otoczeniu 21 , 23 punktu t0 = 1. Rozwiązanie to
można oczywiście przedłużyć na przedział (−∞, ∞) przyjmując
x̃1 (t) ≡ 0 dla t ∈ (−∞, ∞). Zauważmy jednak, że funkcja
(
x̃2 (t) =
0
q
dla t < 2,
3
(t − 2) dla t 2,
√
również jest rozwiązaniem równania x 0 = 32 3 x i spełnia warunek
x̃1 (1) = 0, jest więc również przedłużeniem rozwiązania x1 (t) ≡ 0.
Jacek Kłopotowski
Przedłużenie cd
Jeśli odwzorowanie F jest różniczkowalne w sposób ciągły, to
przedłużenie każdego rozwiązania szczególnego równania
x0 = F (x) jest wyznaczone jednoznacznie. W tym przypadku
pisząc o rozwiązaniu szczególnym x(t) określonym dla t ∈ (a, b)
będziemy przyjmowali, że (a, b) oznacza maksymalny przedział
określoności funkcji x(t), czyli że każde przedłużenie rozwiązania
x(t) pokrywa się z x(t).
Jacek Kłopotowski
Definicja stabilności
Definicja
Niech F : X → Rn , gdzie X ⊂ Rn jest zbiorem otwartym, będzie
odwzorowaniem różniczkowalnym w sposób ciągły, t0 ∈ R.
Rozwiązanie x? (t), t ∈ (a, ∞), gdzie a < t0 , równania
różniczkowego x0 = F (x) spełniające warunek początkowy
x(t0 ) ∈ X , nazywamy stabilnym w sensie Lapunowa dla t t0
(lub po prostu stabilnym) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej
liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że dla dowolnego
rozwiązania x(t), określonego w pewnym otoczeniu (t0 − r , t0 + r )
punktu t0 , z warunku kx(t0 ) − x? (t0 )k < δ wynika, że rozwiązanie
x(t):
a) jest określone dla t ∈ (t0 − r , ∞),
b) spełnia warunek kx(t) − x? (t)k < ε dla t t0 .
Jeśli dodatkowo lim kx(t) − x? (t)k = 0, to rozwiązanie x? (t),
t→∞
t ∈ (a, ∞), nazywamy asymptotycznie stabilnym.
Jacek Kłopotowski
Przykład
Przykład
Zbadamy, w zależności od wartości a ∈ R, stabilność i
asymptotyczną stabilność rozwiązania równania różniczkowego
x 0 = ax spełniającego warunek początkowy x ? (0) = x0? .
Jacek Kłopotowski
Punkt równowagi
Definicja
Jeśli funkcja stała x(t) ≡ x? spełnia równanie x0 = F (x), to
nazywamy ją rozwiązaniem stacjonarnym, punkt x? ∈ Rn
nazywamy wówczas punktem równowagi.
Definicja
Punkt równowagi x? nazywamy stabilnym (odpowiednio
asymptotycznie stabilnym), jeśli funkcja x(t) ≡ x? jest
rozwiązaniem stabilnym (odpowiednio asymptotycznie stabilnym).
Jacek Kłopotowski
Punkt równowagi
Definicja
Jeśli funkcja stała x(t) ≡ x? spełnia równanie x0 = F (x), to
nazywamy ją rozwiązaniem stacjonarnym, punkt x? ∈ Rn
nazywamy wówczas punktem równowagi.
Definicja
Punkt równowagi x? nazywamy stabilnym (odpowiednio
asymptotycznie stabilnym), jeśli funkcja x(t) ≡ x? jest
rozwiązaniem stabilnym (odpowiednio asymptotycznie stabilnym).
Jacek Kłopotowski
Definicja stabilności punktu równowagi
Badając stabilność punktu równowagi x? możemy przyjąć t0 = 0, w
tym przypadku definicja stabilności jest postaci.
Definicja
Mówimy, że punkt równowagi równania różniczkowego x0 = F (x)
jest punktem stabilnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby
ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że dla dowolnego rozwiązania x(t),
określonego w pewnym otoczeniu (−r , r ) punktu 0, z warunku
kx(0) − x? k < δ wynika, że rozwiązanie x(t):
a) jest określone dla t ∈ (−r , ∞),
b) spełnia warunek kx(t) − x? k < ε dla t t0 .
Jeśli dodatkowo lim x(t) = x? , to mówimy, że punkt równowagi x?
t→∞
jest asymptotycznie stabilny.
Jacek Kłopotowski
Model Walrasa
Przykład
Niech p = p(t) oznacza cenę pewnego towaru w chwili t, gdzie
t ∈ h0, ∞), Q = Q(p) – jego podaż, zaś D = D(p) – popyt.
Przyjmujemy, że Q, D są liniowymi funkcjami ceny p, czyli
Q(p) = ap − b, D(p) = −cp + d, gdzie a > 0, b 0, c > 0,
d 0. Zakładamy, że wzrost ceny towaru jest wprost
proporcjonalny do różnicy między popytem D(p) a podażą Q(p),
tzn cena p spełnia warunek
dp
= k(D(p) − Q(p)),
dt
gdzie k > 0 oraz p(0) = p0 . Wykażemy, że cena równowagi p ?
(cena spełniająca warunek D(p) = Q(p)) jest punktem równowagi
asymptotycznie stabilnym.
Jacek Kłopotowski
Równanie logistyczne
Wzrost pewnej populacji w czasie możemy scharakteryzować przez
podanie dwóch liczb: współczynnika urodzeń b oraz współczynnika
zgonów d. Otrzymujemy wówczas równanie wzrostu populacji
y 0 = ry , gdzie r = b − d. Przyjmując warunek początkowy
y (0) = y0 , gdzie y0 > 0, otrzymujemy rozwiązanie y (t) = y0 e rt
nazywane wykładniczym prawem wzrostu. Z otrzymanego
rozwiązania wynika, że wzrost populacji jest nieograniczony (gdy
b > d). Wynik ten jest sprzeczny z rzeczywistością, gdyż
ograniczone są zasoby środowiska z których korzysta badana
populacja.
Jacek Kłopotowski
Równanie logistyczne cd
Zmodyfikujemy równanie, zakładając że współczynnik zgonów jest
proporcjonalny do liczebności populacji, tzn d = ay , gdzie a > 0.
Otrzymujemy wówczas równanie (nazywane równaniem
logistycznym) postaci y 0 = y (b − ay ). Równanie ma dwa punkty
b
równowagi y = 0, y = .
a
Jacek Kłopotowski
Krzywa logistyczna – przykład
Przykład
Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania logistycznego
y 0 = y (4 − 2y )
i wyznaczymy rozwiązania szczególne dla warunków początkowych:
a) y (0) = 1,
b) y (0) = 12 .
Jacek Kłopotowski
Krzywa logistyczna cd
Rozwiązaniem ogólnym równania logistycznego jest funkcja
y (t) =
b
be bt
=
,
a + e −bt Cb
Cb + ae bt
której wykres nazywamy krzywą logistyczną. Uwzględniając
warunek początkowy y (0) = y0 , otrzymujemy
= y10 − ba , zatem
C = −yy00a+b
b
y (t) =
b
y0
be bt
y0 be bt
.
=
b + ay0 (e bt − 1)
− a + ae bt
Rozwiązanie stacjonarne y (t) ≡ 0 jest niestabilne, zaś rozwiązanie
b
stacjonarne y (t) ≡ jest asymptotycznie stabilne.
a
Jacek Kłopotowski
Krzywa logistyczna – wykres
Na rysunku przedstawiony jest wykres krzywej logistycznej dla
b = 4, a = 2, y0 = 1.
2
y
1
-2
-1
0
1
2
t
Rysunek: Krzywa logistyczna dla b = 4, a = 2, y0 = 1
Jacek Kłopotowski
Krzywa logistyczna – wykres
Na rysunku przedstawiony jest wykres krzywej logistycznej dla
b = 4, a = 2, y0 = 12 .
2
y
1.5
1
0.5
-2
-1
0
1
2
t
Rysunek: Krzywa logistyczna dla b = 4, a = 2, y0 =
Jacek Kłopotowski
1
2
Klasyfikacja punktu równowagi dla układów dwóch równań
Twierdzenie o stabilności rozwiązań układów liniowych
jednorodnych
Zajmiemy się obecnie układami równań liniowych. Z postaci
rozwiązania ogólnego układu jednorodnego wynika bezpośrednio
następujące twierdzenie.
Twierdzenie
Rozwiązanie x? (t) ≡ 0 układu jednorodnego x0 = Ax jest stabilne
(odpowiednio asymptotycznie stabilne) wtedy i tylko wtedy, gdy
części rzeczywiste wszystkich wartości własnych macierzy A są
niedodatnie (odpowiednio – ujemne).
Jacek Kłopotowski
Układ dwóch równań
Zajmiemy się analizą rozwiązań układu jednorodnego dwóch
równań różniczkowych
(
x10 = a11 x1 + a12 x2 ,
x20 = a21 x1 + a22 x2 .
Rozwiązaniem układu są funkcje
x1 (t) = C1 x11 (t) + C2 x12 (t),
x2 (t) = C1 x21 (t) + C2 x22 (t).
Krzywą#w przestrzeni R2 o przedstawieniu parametrycznym
"
x 1 (t)
, gdzie t ∈ R, nazywamy orbitą. Rugując z rozwiązań
x2 (t)
zmienną niezależną t równanie orbity możemy zapisać w postaci
O(x1 , x2 ) = 0.
Jacek Kłopotowski
Przykład
Przykład
(
Wyznaczymy równania orbit dla dla rozwiązań układu
4
x10 = −x2 ,
x20 = −x1 .
x2
2
-4
-2
0
2
4
x1
-2
-4
Rysunek: Orbity o równaniu x12 − x22 = 4
Jacek Kłopotowski
Przykład
Przykład
(
Wyznaczymy równania orbit dla dla rozwiązań układu
4
x10 = −x2 ,
x20 = −x1 .
x2
2
-4
-2
0
2
4
x1
-2
-4
Rysunek: Orbity o równaniu x12 − x22 = 4
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Podamy teraz pełną klasyfikację punktu równowagi x? = 0 dla
układu dwóch równań i naszkicujemy orbity rozwiązań
"
# x1 (t), x2 (t).
x1 (t)
Strzałki na rysunkach wskazują ruch punktu
przy rosnącej
x2 (t)
wartości t.
"
#
a11 a12
Załóżmy, że macierz A =
jest nieosobliwa (obie wartości
a21 a22
własne są różne od zera). Wielomian charakterystyczny macierzy A
ma postać
"
#
a − λ a12
det 11
= λ2 − (a11 + a22 ) λ + a11 a22 − a12 a21 =
a21 a22 − λ
= λ2 − trAλ + det A
oraz ∆ = (trA)2 − 4 det A.
Jacek Kłopotowski
Rysunek poglądowy
1
1
0
-1
2
-1
Rysunek: Wykres rozwiązania i orbity
Jacek Kłopotowski
Dwie różne rzeczywiste wartości własne ujemne
Obie wartości własne są ujemne. Punkt równowagi jest stabilny i
asymptotycznie stabilny, nazywamy go węzłem stabilnym.
x2
x1
Rysunek: λ1 < 0, λ2 < 0
Jacek Kłopotowski
Dwie różne rzeczywiste wartości własne dodatnie
Obie wartości własne są dodatnie. Punkt równowagi jest
niestabilny, nazywamy go węzłem niestabilnym.
x2
x1
Rysunek: λ1 > 0, λ2 > 0
Jacek Kłopotowski
Dwie różne rzeczywiste wartości własne różnych znaków
Jedna wartość własna jest dodatnia, a druga jest ujemna. Punkt
równowagi nie jest stabilny, nazywamy go siodłem.
x2
x1
Rysunek: λ1 < 0, λ2 > 0
Jacek Kłopotowski
Jedna podwójna rzeczywista wartość własna
Wartość własna będąca pierwiastkiem podwójnym jest ujemna i
ma krotność geometryczną równą dwa. Punkt równowagi jest
asymptotycznie stabilny, nazywamy go stabilnym węzłem
gwiaździstym.
x2
x1
Rysunek: λ < 0, krotność geometryczna 2
Jacek Kłopotowski
Wartość własna będąca pierwiastkiem podwójnym jest dodatnia i
ma krotność geometryczną dwa. Punkt równowagi jest niestabilny,
nazywamy go węzłem gwiaździstym niestabilnym.
x2
x1
Rysunek: λ > 0, krotność geometryczna 2
Jacek Kłopotowski
Wartość własna będąca pierwiastkiem podwójnym jest ujemna i
ma krotność geometryczną jeden. Punkt równowagi jest
asymptotycznie stabilny, nazywamy go stabilnym węzłem
zdegenerowanym.
x2
x1
Rysunek: λ < 0, krotność geometryczna 1
Jacek Kłopotowski
Wartość własna będąca pierwiastkiem podwójnym jest dodatnia i
ma krotność geometryczną jeden. Punkt równowagi jest niestabilny,
nazywamy go zdegenerowanym węzłem niestabilnym.
x2
x1
Rysunek: λ > 0, krotność geometryczna 1
Jacek Kłopotowski
Dwie zespolone sprzężone wartości własne
Część rzeczywista ujemna. Punkt równowagi jest asymptotycznie
stabilny, nazywa się go ogniskiem stabilnym.
x2
x1
Rysunek: λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ, gdzie α < 0
Jacek Kłopotowski
Część rzeczywista dodatnia. Punkt równowagi jest niestabilny,
nazywamy go ogniskiem niestabilnym.
x2
x1
Rysunek: λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ, gdzie α > 0
Jacek Kłopotowski
Część rzeczywista równa zeru. Punkt równowagi jest stabilny, ale
nie jest asymptotycznie stabilny. Punkt równowagi nazywamy
centrum.
x2
x1
Rysunek: λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ, gdzie α = 0
Jacek Kłopotowski
Uwaga końcowa
Podając klasyfikację punktów równowagi zakładaliśmy, że macierz
układu A jest nieosobliwa, czyli obie wartości własne są różne od
zera. W przypadku, gdy co najmniej jedna z wartości własnych jest
równa zeru orbity są prostymi.
Jacek Kłopotowski

Analiza jakościowa rozwiązań równań różniczkowych - E-SGH

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rozwiązywanie numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych

teoria dystrybucji

STRAIL Vorderseite 210x297mm 4c pl

1 matematyka iv ects 2) 4,0 - Wydział Budownictwa i Inżynierii

Zagadnienia z przedmiotów ogólnych

Nr wniosku: 197691, nr raportu: 19255. Kierownik (z rap.): prof. dr