Zestaw 9 - Instytut Matematyki UJ

Zestaw 9
Zad. 1 Za siedmioma górami, za siedmioma rzekami Piękny Książę szuka księżniczki
- kandydatki na żonę. Jednak Zły Czarownik zaczarował wszystkie księżniczki w żabki
i wpuścił je do jednego z czterech stawów. Książę wie, że w każdym stawie jest tyle
samo żab i że w stawie, w którym są księżniczki, stanowią one trzecią część wszystkich
żab. Odczarować księżniczkę może jedynie pocałunek Księcia. Książę wyłowił z jednego
ze stawów żabkę, pocałował i nic. W dodatku żabka wskoczyła z powrotem do stawu.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w tym stawie są w ogóle jakieś księżniczki? Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wyłowiona z tego stawu druga żabka okaże się księżniczką?
Zad. 2 W ”Kolorowej Księdze” czytamy: ”Major A przesłuchiwany stwierdził, ze
zwerbowany agent D w trakcie rozmowy z nim i z kapitanem B na Minorce przyznał, że
posłanka Alexis była szpiegiem. Zeznań tych nie potwierdził pułkownik C, któryt oświadczył, że kapitan B powiedział mu, iż agent D w tej rozmowie zaprzeczył, jakoby posłanka
Alexis była szpiegiem. Kapitana B nie udało się przesłuchać.” Biorąc pod uwagę fakt, iż
oficerowie zwykli mówić prawdę z prawdodpodobieństwem 0, 6, oceń prawdopodobieństwo
zdarzenia, iż posłanka Alexis istotnie była szpiegiem.
Zad. 3 C i D grają w kości standardowymi kostkami sześciennymi. Każdy z nich rzuca
dwiema kostkami. Wygrywa ten z graczy, który wyrzuci większą liczbę oczek. Zmienna
losowa X przypisuje wartość 1 w przypadku wygranej gracza C, −1 w przypadku wygranej
D i 0 w przypadku remisu, zaś zmienna losowa Y jest równa sumie oczek na wszystkich
czterech kostkach liczonej modulo 6. Oblicz wartości oczekiwane zmiennych losowych X
i Y oraz zbadaj ich niezależność.
Zad. 4 Jeden z pracowników Instytutu Matematyki zadaje na egzaminie trzy pytania.
Ocenia każde z nich z osobna w skali 1, 2, 3, 4, 5 i skreśla najwyższą oraz najniższą ocenę.
Ta, która zostanie, jest oceną końcową. Jeżeli prawdopodobieństwo otrzymania dowolnej
oceny jest w przypadku każdego z pytań takie same i równe 15 oraz oceny z poszczególnych
pytań są niezależne, to jak w takim razie wygląda rozkład oceny końcowej i ile wynosi jej
wartość oczekiwana?
Zad. 5 Rycerz wracający z wyprawy krzyżowej postanowił zagrać w kości ze Śmiercią
o życie komediantów wracających z wędrownej trupy. Rycerz ma rzucać sześcienną kością
do gry cztery razy wygrywając, gydy wyrzucił jedno lub sześć oczek, zaś przegrywając
w przeciwnym przypadku. Gdy przegra rzut traci pozostawione monety, zaś gdy wygra,
zatrzymuje je i otrzymuje od Śmierci dodatkowo taką samą liczbę dukatów, jaką postawił.
Za każdym razem musi postawić dokładnie jednego dukata ze swojej puli, na początku
czterodukatowej, oraz wszystkie wygrane w poprzedniej turze. Gdy zakończy się gra,
Rycerz może wykupić od zarazy tylu komediantów, ile będzie miał w owej chwili dukatów.
Jednak gdy przegra rzut dwa razy pod rząd, to choć gra dalej, po zakończeniu całej gry
traci własne życie. Jaka jest oczekiwana liczba komediantów, których Rycerz uratuje od
Śmierci? Jaka jest szansa, że sam jej tym razem uniknie?
Zad. 6 Rzucamy 5 razy monetą. Niech X oznacza serię orłów otrzymanych w tych
rzutach, zaś Y długość najdłuższej serii orłów. (Serią nazywamy każdy układ leżących
koło siebie elementów jednego rodzaju.) Wyznaczyć rozkład wektora losowego (X, Y )
oraz rozkłady brzegowe.
Zad. 7 Sześciu chłopców i sześć dziewczynek ustawiamy losowo w pary. Jaka jest
oczekiwana liczba osób różnej płci?
Zad. 8 Kacper i Melchior grają w następującą grę: losują z odcinka [0, 1] liczby
zgodnie z rozkładem jednostajnym - Kacper dwie niezaleznie od siebie, zaś Melchior
jedną, również niezależnie od liczb, które wylosował Kacper. Następnie Kacper mnoży
dwie swoje liczby przez siebie, zaś Melchior podnosi swoją do kwadratu, a później obaj
podają uzyskane wyniki/ Zwycięża ten, kto poda większą liczbę. Który z nich ma większe
szanse na wygraną?
Zad. 9 W urnie znajduje się 5 kul białych i 3 kule czarne. Losujemy kolejno po dwie
kule bez zwracania. Ile wynosi oczekiwany numer losowania, w którym po raz pierwszy
wylosujemy dwie kule różnego koloru? Jakie jest prawdopodobieństwo, że numer ten
równa się 3, jeżeli obie kule wylosowane za drugim razem były białe?
Zad. 10 W urnie jest 7 kul niebieskich i 3 białe. Losujemy z urny bez zwaracania tak
długo, aż pozostaną w niej kule jednego koloru. Jaka jest oczekiwana liczba kul, które
pozostaną w urnie?
Zad. 11 Pewien człowiek ma dwa pudełka zapałek, w lewej i prawej kieszeni po
jednym. W każdym z nich są cztery zapałki. Wyciągając zapałki na chybił-trafił z jednej
lub drugiej kieszeni, stwierdza w pewnym momencie, że pudełko, do którego sięgnął, jest
puste. Niech zmienna losowa ξ oznacza liczbę zapałek w drugim pudełku. Znajdź Eξ.
Zad. 12 Na stole stoja dwie urny. W pierwszej z nich znajdują się dwie kule: biała
i czerwona. Druga urna jest pusta. Rzucamy symetryczną monetą - gdy wypadnie orzeł,
przenosimy z urny do urny kulę białą, gdy reszka, to przenosimy czerwoną. Doświadczenie
kontynuujemy, dopóki obie kule nie znajdą się w tej samej urnie.
a) Pokaż, że z prawdopodobieństwem 1 doświadczenie zakończy się w skończonym
czasie.
b) Znajdź oczekiwaną długość trwania doświadczenia (mierzoną liczba rzutów monetą).
Zad. 13 Studenci zdają egzamin z rachunku prawdopodobieństwa w dwóch salach dużej i małej. Egzamin trwa trzy godziny. Przy egzaminie obecne są dwie asystentki Abacka i Babacka. Co kwadrans jedna z nich przechodzi z sali, w której się znajduje do
drugiej sali (prawdopodobieństwo, że tą osobą będzie Abacka lub Babacka jest takie samo
dla każdej z nich i wynosi 12 ). Po dwóch godzinach zjawia się na egzaminie wykładowca
Cabacki, który przwebywa kolejno w jednej, a potem w drugiej sali po piętnaście minut,
przy czym salę, do której najpierw idzie, wybiera rzucając symetryczną monetą. Po pół
godzinie Cabacki wychodzi z egzaminu. Wiedząc, że na początku egzaminu w każdej z
sal znajduje się jedna asystentka i tak jest przez pierwszy kwadrans egzaminu, oceń, jak
jest wartośc oczekiwana czasu, w którym studenci siedzący w dużej sali - korzystając z
nieobecności asystentów - będą mogli ”ściągać”?
2