KOLOKWIUM 1A z PROBA 8.04.2014 Imię i nazwisko

KOLOKWIUM 1A z PROBA
8.04.2014
Imię i nazwisko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Przed zaplanowanymi na dziś i jutro meczami o zwycięstwo w tegorocznej
piłkarskiej Lidze Mistrzów walczy jeszcze 8 klubów – trzy hiszpańskie, dwa
angielskie, dwa niemieckie i jeden francuski. 21 marca zostały one losowo
podzielone na cztery pary ćwierćfinałowe. Obliczyć, jakie było przed owym
losowaniem prawdopodobieństwo zdarzeń:
a) A – ani jeden zespół hiszpański nie wylosuje innego zespołu hiszpańskiego;
b) B – przynajmniej w jednej parze spotkają się drużyny z jednego
kraju.
2. Katniss Everdeen i Robin Hood uczestniczą w turnieju łuczniczym. Najpierw jednocześnie strzelają do celu po jednym razie i jeśli jedno z nich
trafi, a drugie chybi, to zawody kończą się. Jeśli oboje trafią lub oboje
chybią, znów strzelają po jednym razie i tak dalej aż do skutku. Jakie
jest prawdopodobieństwo wygranej Katniss, jeśli trafia ona z prawdopodobieństwem k, a Robin z prawdopodobieństwem r? Obliczyć to prawdopodobieństwo dla k = 4/5, r = 5/6. Wyniki poszczególnych strzałów są
niezależne.
3. Niech X(ω) będzie losowym punktem przedziału [0; 3] (zakładamy, że gęstość X jest stała na tym przedziale). Niech następnie
1 − 2X gdy 0 ¬ X ¬ 1
Y =
7 − X 2 gdy 1 < X ¬ 3
Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej Y. Obliczyć P (Y < 0).
KOLOKWIUM 1B z PROBA
8.04.2014
Imię i nazwisko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Przed zaplanowanymi na dziś i jutro meczami o zwycięstwo w tegorocznej
piłkarskiej Lidze Mistrzów walczy jeszcze 8 klubów – trzy hiszpańskie,
dwa angielskie, dwa niemieckie i jeden francuski. Dokładnie cztery z tych
klubów pochodzą ze stolic odpowiednich krajów. 21 marca zespoły losowo
podzielono na cztery pary ćwierćfinałowe. Obliczyć, jakie było przed owym
losowaniem prawdopodobieństwo zdarzeń:
a) A – dokładnie jeden zespół angielski wylosuje zespół niemiecki;
b) B – w żadnej parze nie spotka się drużyna stołeczna z niestołeczną.
2. Katniss Everdeen i Robin Hood uczestniczą w turnieju łuczniczym, strzelając na przemian do celu. Zawody odbywają się aż do skutku – kto pierwszy
chybi, przegrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej Katniss, jeśli
trafia ona z prawdopodobieństwem k, a Robin z prawdopodobieństwem
r? Obliczyć to prawdopodobieństwo dla k = 4/5, r = 3/4. Wyniki poszczególnych strzałów są niezależne, a pierwszego strzelca wyznacza rzut
rzetelną monetą.
3. Niech X(ω) będzie losowym punktem przedziału [0; 3] (zakładamy, że gęstość X jest stała na tym przedziale). Niech następnie
1 − 2X gdy 0 ¬ X ¬ 2
Y =
7 − X 2 gdy 2 < X ¬ 3
Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej Y. Obliczyć P (Y > 0).