Perkolacja przewodnictwa

Perkolacja przewodnictwa
Daniel Dziob, Urszula Górska
1. Zjawisko perkolacji
Opis układów nieuporządkowanych, modelowanie procesów przypadkowych czy przejść
fazowych stanowią jedne z najbardziej problematycznych zjawisk w fizyce. Równocześnie to
one dostarczają najwięcej informacji na temat rzeczywistego zachowania się systemów
biologicznych. Teoria perkolacji daje ogólny opis, który stara się sprostać tego typu
zagadnieniom [1]. Zajmuje się ona efektem zmiennego zakresu wzajemnych oddziaływań
w układach nieuporządkowanych o stochastycznej geometrii i może być stosowana do bardzo
szerokiego zakresu zjawisk fizycznych. Opisuje m.in. rozprzestrzenianie się choroby
w populacji, komunikację lub przewodnictwo sieci oporników, wreszcie przepływ cieczy
w ośrodku porowatym czy przejście do fazy szkła [2]. Może być także używana w przypadku
badań transportu elektronowego i przeskoków o zmiennej długości [1].
Perkolacja jest typowym zjawiskiem krytycznym, świetnie nadającym się do opisu takich
zjawisk jak przejścia fazowe. Stanowi ona przejście fazowe II rodzaju, w którym zbiór
początkowo niezależnych obiektów nagle formuje większą strukturę poprzez łączenie,
sklejanie, reakcje chemiczne itp. Następuje stopniowy wzrost koncentracji wiązań
mikroskopowych, czemu towarzyszy gwałtowna zmiana parametrów makroskopowych [3].
Występuje wtedy ostre przejście, w którym pojawia się lub znika daleko zasięgowa spójność
układu.
Najprostszy opis perkolacji zakłada model regularnej sieci, w której zachodzi przepływ
płynu. Nadaje się on do stosowania przy analizie właściwości sieci o różnych wymiarach
i strukturze przestrzennej. W jednym wymiarze może to być przykładowo układ okrągłych
ramek o określonej średnicy, połączonych rurkami o jednakowych otworach [2]. Sytuację taką
dla układu jednowymiarowego przedstawia Rys.1.
Rys. 1. Układ okręgów o określonej średnicy połączonych rurkami o jednakowych średnicach i
długościach. Opracowanie własne na podstawie [2].
Cały układ o długości L składa się tutaj z jednakowych okręgów połączonych rurkami.
Odległość pomiędzy środkami poszczególnych okręgów wynosi a . W tej sytuacji liczba
styków miedzy okręgami jest równa
L
a liczba samych okręgów N
a
L
1 . Następnie,
a
zarówno w połączeniach rurek, jak i w samych okręgach umieszcza się zawory. Ciecz
przepływa z jednej strony układu do drugiej. Oczywiste jest, że jej przepływ w układzie
jednowymiarowym
jest
możliwy
jedynie
wtedy,
gdy
wszystkie
zawory zarówno
w połączeniach rurek jak i w okręgach są otwarte. Jeden zamknięty zawór w połączeniach
rurek lub okręgach powoduje, że ciecz przestaje płynąć w sieci. Na tej podstawie widać, że
ścieżka dla przeciekania płynu w układzie jednowymiarowym występuje jedynie w sytuacji,
gdy wszystkie połączenia jakie w nim występują pozostają nienaruszone.
Okręgi można oczywiście układać w dowolny sposób w dwóch lub trzech wymiarach,
również włączając w nie zawory. Zakładając regularną sieć takich połączeń np. na planie
sześciokąta (Rys.2), chcemy doprowadzić do przepływu płynu pomiędzy jej skrajnymi
końcami. Początkowo, gdy tylko niektóre zawory są otwarte, przepływ ten jest zablokowany.
Kiedy zaczniemy stopniowo odkręcać zawory, w pewnym momencie dojdziemy do sytuacji,
w której przepływ ten będzie wreszcie możliwy. Dla każdego podobnego obiektu
geometrycznego z periodyczną siecią połączeń miejsce połączeń nazywamy węzłami a odcinki
łączące pary węzłów – wiązaniami [4]. Dlatego też wyróżnia się zwykle perkolację dla
węzłów oraz perkolację dla wiązań w zależności od tego, które ze wspomnianych obiektów
będą stopniowo odblokowywane lub uszkadzane. Rozpatrując perkolację dla węzłów,
zakładamy, że wszystkie wiązania pozostają nieuszkodzone. Natomiast węzły mogą być
uszkodzone lub nie. Co istotne, ich odblokowywanie lub wyłączanie zachodzi w sposób
przypadkowy. Można również rozważać perkolację węzłowo - wiązaniową, gdzie zakłada się
możliwość przypadkowego przecinania połączeń zarówno w miejscach węzłów jak i wiązań.
2
Rys. 2. Ścieżka perkolacji dla węzłów w sieci dwuwymiarowej. Zaczerpnięto z [2] str. 7.
Rysunki 2 i 3 ilustrują sieć dwuwymiarową, w której zachodzi proces perkolacji dla
węzłów. Poszczególne ilustracje (3a, 3b i 3c) obrazują stopniowy wzrost liczby zapełnionych
węzłów przedstawionych jako czarne kropki. Położone najbliżej siebie zapełnione węzły
tworzą klastry [1] dla tej sieci. Jeżeli chcemy, aby płyn przepływał w jednego końca sieci na
drugi, potrzebujemy pewnej określonej liczby otwartych zaworów, czyli w tym przypadku
węzłów. Nie jest konieczne, aby cała sieć została zapełniona. Musi jednak istnieć jeden klaster
rozciągający się pomiędzy skrajnymi brzegami sieci, jak na Rys. 2 czy Rys. 3c. W omawianej
sieci 2D ciecz zaczyna płynąć, gdy stosunek liczby przypadkowo zapełnionych węzłów do
całkowitej ich liczby osiąga pewną krytyczną wartość. Istnieje więc granica, po przekroczeniu
której sieć zaczyna przepuszczać ciecz. Nazywamy ją progiem perkolacyjnym. Jego istnienie
związane jest z krytycznym zjawiskiem transportu, zwanym przejściem perkolacyjnym, kiedy
pojawiają się oddziaływania daleko zasięgowe i daleko zasięgowa spójność układu. Droga,
zapewniająca przepływ z jednej do drugiej strony danego układu określana jest natomiast jako
nieskończona ścieżka perkolacyjna. Może istnieć także analogiczna sytuacja odwrotna, kiedy
zjawiska zanikają po przekroczeniu określonej granicy, która również stanowi próg
perkolacyjny.
3
Rys. 3. Perkolacja dla węzłów na sieci kwadratowej. Ten sam obszar sieci został przedstawiony
dla trzech różnych koncentracji zapełnionych węzłów, kolejno: a) 0,25, b) 0,5 i c) 0,75. Średni
rozmiar klastra, oznaczony jako s w przypadku a) bliski jest jedności, następnie rośnie
w miarę wzrastania ilości połączeń. W progu perkolacji powstaje pierwszy klaster
o nieskończonym rozmiarze s
, rozciągający się pomiędzy najdalszymi końcami sieci.
Zaczerpnięto z [1] str. 142.
Teoria perkolacji wymaga jeszcze dwóch istotnych założeń. Przede wszystkim sieć
połączeń powinna dotyczyć układu o nieskończonych rozmiarach [1,5]. Nawiązując do
przywołanego na początku przykładu sieci jednowymiarowej (z okręgami i zaworami) oznacza
L
to ( )
a
. Wtedy dopiero próg perkolacji może być sparametryzowany z odpowiednią
4
dokładnością matematyczną. Dla układu skończonego, można obserwować różne granice
powstawania/ zaniku spójności. W efekcie daje to pewien rozrzut tych wartości.
Kolejną kwestią jest założenie o przypadkowości obsadzeń [3]. Oznacza ono, że węzły
mogą być dowolnie (przypadkowo) zapełniane, zawory otwierane lub zamykane. Idąc dalej,
zwykle wprowadza się funkcję prawdopodobieństwa istnienia każdego z węzłów lub wiązań.
Jeżeli p nazwane zostanie stosunkiem liczby nie uszkodzonych węzłów/ wiązań do ich
całkowitej liczby, wtedy prawdopodobieństwo P ( p ) będzie prawdopodobieństwem perkolacji.
W sytuacji, gdy w danej sieci nie istnieją żadne połączenia, wówczas
p
0.
Warto
przypomnieć, że nieskończony klaster nie musi od razu wypełniać całej sieci. Koncentracja
wiązań p może ciągle rosnąć po przekroczeniu krytycznej wartości p* czyli wartości p
w progu perkolacji. Mówi się, że powyżej p* ścieżka perkolacyjna istnieje, zaś poniżej p*
przestaje ona istnieć i zanika wtedy daleko zasięgowa spójność układu [1].
2. Perkolacja a przewodnictwo w materiałach biologicznych
Chcąc zobrazować zjawisko perkolacji przewodnictwa najlepiej posłużyć się, używanym
często modelem sieci komunikacyjnej o połączeniach [1,3,6], stanowiących jednostkowe
przewodniki. W tym przypadku próg perkolacyjny odpowiada pojawieniu się lub zanikaniu
przewodnictwa elektrycznego między dwoma granicznymi elektrodami. Jeśli zaczniemy
stopniowo przecinać połączenia i oznaczymy liczbę nie przeciętych wiązań przez p , to
oczywiste jest, że natężenie prądu I ( p) będzie spadać w miarę zmniejszania się p , aż do
osiągnięcia pewnej krytycznej koncentracji wiązań przy której I ( p) zaniknie. Stanowi to
ilustrację ważnego pytania w teorii perkolacji przewodnictwa, mianowicie jaka część połączeń
lub wiązań musi zostać przecięta w celu przerwania przewodnictwa elektrycznego w układzie.
Parametr, o którym mowa czyli
( p ) - makroskopowe przewodnictwo sieci odzwierciedla
zależności natężenia prądu od koncentracji. Można przyjąć, że jego zachowanie jest bardzo
zbliżone do funkcji prawdopodobieństwa perkolacji P ( p ) : poniżej progu tzn. dla p
p*
wynosi on zero, zaś powyżej p* - wykazuje monotoniczny wzrost. W badaniach będących
przedmiotem poniższej pracy przyjmuje się, że
( p ) zastępuje P ( p ) .
Dla klasycznej sieci perkolacyjnej przewodnik – izolator przewodnictwo całego układu
zmienia się na skutek gwałtownego zanikania ciągłości elektrycznej w progu perkolacji.
5
Zgodnie z powyższym rozważaniem dla ( p
p* ) przewodnictwo
( p ) również dąży do zera.
Dlatego można zapisać [1,2,3,5], że w pobliżu progu perkolacji:
( p) ~ ( p p* ) ; p
gdzie: p - miara ciągłości układu,
- przewodnictwo,
p*
(1)
- wykładnik krytyczny, a gwiazdka
(*) oznacza wartości w progu perkolacji.
Różne systemy biologiczne o wzrastającej złożoności od błon biologicznych, bielm
nasion [7] po drożdże i algi [8,9] były przedmiotem licznych badań związanych
z zagadnieniem procesu perkolacji przewodnictwa. Okazało się, że wykazują one przejście
perkolacyjne przy bardzo niskim poziomie nawodnienia. Wartość uwodnienia w tych
systemach starano się powiązać z właściwościami danej sieci i tym, w jaki sposób przyłącza
ona wodę. Jako miarę ciągłości układu przyjmuje się w takich przypadkach stopień
uwodnienia h . Parametr ten jest wyrażany jako stosunek masy wody w próbce do suchej masy
tej próbki
h
mw
m0
(2)
gdzie mw to masa wody, a m0 - masa suchej próbki.
Masa wody oznacza zawartość wody w próbce i wyrażana jest ona jako mw
m m0 , gdzie m
jest masą całej próbki. Warto w tym miejscu dodać, że materiały biologiczne oprócz wody
zgromadzonej na powierzchni mogą także zawierać w swoich strukturach wodę związaną. Taką
wodę bardzo trudno usunąć. Dlatego termin „sucha próbka” powinien być rozumiany jako
określający próbkę w równowadze wilgotnościowej z otoczeniem.
Przy niskim poziomie uwodnienia próbka posiada dużą porowatość. Z rozważań
modelów geometrycznych wysoko porowatych materiałów wynika, że można mówić
o proporcjonalności poziomu uwodnienia do prawdopodobieństwa zajętych miejsc w sieci
wody. Stąd poziom uwodnienia jest proporcjonalny do przewodności, zgodnie z zależnością:
*
(h h* )t ; h h*
(3)
gdzie t - krytyczny wykładnik, odzwierciedlający wymiary sieci, a gwiazdka (*) oznacza
wartości w progu perkolacji.
Wykładniki krytyczne są wielkościami charakterystycznymi dla zjawisk krytycznych
np. krytycznego zjawiska transportu. Opisują one zachowanie układu w obszarze, określanym
jako krytyczny, w pobliżu progu perkolacji. Poszczególne wykładniki krytyczne, związane
z różnymi zjawiskami krytycznymi, przyjmują uniwersalne wartości dla sieci dwu-, trzy6
i więcej wymiarowych [3]. Wykładnik
t , który pojawia się w równaniu (3) jest
charakterystyczny dla funkcji przewodnictwa
( p ) blisko progu perkolacji i dla sieci 2D
przyjmuje wartość teoretyczną t 1,1 [1,3]. Dodatnia wartość wykładnika opisuje własności
sieci powyżej progu perkolacji.
3. Widmo dielektryczne
Właściwości dielektryka znajdującego się w polu elektrycznym opisywane są przez
wielkość zwaną zespoloną przenikalnością dielektryczną
[10]. Dla zmiennego pola
elektrycznego jest ona funkcją częstości. Wyznacza właściwości elektryczne ośrodka i można
ją opisać zależnością:
( )
gdzie
i
(4)
( ) i ( )
oznaczają odpowiednio część rzeczywistą i urojoną przenikalności
dielektrycznej, a
jest częstością.
Część rzeczywista wyznaczana jest zgodnie ze wzorem:
C( )
C0
(5)
gdzie C0 jest pojemnością pustego kondensatora. Natomiast część urojona zwana jest inaczej
współczynnikiem strat dielektrycznych [3] i daje się opisać zależnością:
0
1 n
MW
(6)
PE
0
gdzie
0
jest przenikalnością dielektryczną próżni,
0
- przewodnictwem właściwym próżni,
- częstotliwością.
Interesujący sygnał, pochodzący od przewodnictwa, stanowi część
0
1 n
. Natomiast
PE
jest
0
wkładem, jaki może ujawnić się w związku ze zjawiskiem polaryzacji elektrod przy niskich
częstotliwościach, a
MW
jest związany z efektem Maxwella – Wagnera, widocznym zwykle
przy wyższych częstotliwościach.
Wszystkie znane materiały stałe wykazują w bardzo szerokim zakresie niskich częstości
zależność empiryczną sformułowaną przez Jonshera [11,12] jako uniwersalna odpowiedź
dielektryczna. Można ją przedstawić odpowiednimi zależnościami dla składowych stałej
dielektrycznej:
7
( )
(i )n 1
(7)
( )
(i )k
(8)
1
gdzie dla próbek biologicznych wykazano, że n  k i n
0 [11].
Bibliografia
[1] R. Zallen, Fizyka ciał amorficznych, PWN, Warszawa, 1994
[2] K. Sangwal, Zjawisko perkolacji, http://edu.pollub.pl/pliki/labfizyka/labEM_15.pdf, data
dostępu 25.07.11
[3] D. Stauffer and A. Aharony, Introduction to Percolation Theory, 2nd ed. (Taylor and
Francis, London, 1994).
[4] K. Odwald, Teoria perkolacji w chemii,
www.chem.umk.pl/INF/chemometria/Teksty/Odw_lic.pdf, data dostępu 26.07.11
[5] K. Weron, Modele sieciowe fizyki statystycznej – perkolacja,
http://www.ift.uni.wroc.pl/~kweron/lectures/mk1_perkolacja.pdf, data dostępu 26.07.11
[6] W. Ganczarek, Wprowadzenie do teorii perkolacji,
http://smp.if.uj.edu.pl/~ganczarek/prezentacje/perkolacja_osknf_2008.pdf, data dostępu
26.07.11
[7] J. K. Mościciki, D. Sokołowska, D. Dziob, U. Górska, B. Kiełtyka, Evolution of electric
conductivity in naturally dehydrating lightly wetted hydrophilic fumed silica powder, w
przygotowaniu.
[8] D. Sokołowska, A. Król-Otwinowska and J. K. Mościcki, Water-network percolation in
hydrated yeasts, Phys. Rev.E, 70, 052901 (2004)
[9] D. Sokołowska, A. Król-Otwinowska, M. Białecka, L. Fiedor, M. Szczygieł, J. K.
Mościcki, Water-network percolation in hydrated blue-green algae in vivo, J. Non-Cryst.
Solids, 353, 4541 (2007)
[10] A. Z. Hrynkiewicz, E. Rokita, Fizyczne metody badań w biologii, medycynie i ochronie
środowiska, Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 285, 321 (1999).
[11] A. K. Jonsher, Universal relaxation law, Chelsea Dielectric Press, London 1996.
[12] T. Hilczer, Dielektryki, www.staff.amu.edu.pl/~zfd/p_hil/dielektryki14.ppt, data dostępu
7.08.11
8