Rozwiązanie zadania pierwszego

Schemat rozwiazywania zadania pierwszego z tematu 5: Wybór
Treść: Znajdź funkcje popytu dla następujących funkcji użyteczności:
Żeby wyprowadzić funkcje popytu musimy znaleźć najlepsze koszyki dóbr (takie, które dają
najwyższą użyteczność) przy danym ograniczeniu budżetowym.
Podpunkt 1. Funkcja Cobba-Douglasa ( 𝑈 = 𝑋1𝐶 𝑋2𝐷 ).
W przypadku funkcji Cobba-Douglasa optymalny wybór będziemy obserwować wtedy, gdy:
|MRS| =
𝑝1
𝑝2
,
Z ograniczenia budżetowego wiemy, że 𝑋2 =
𝑋1 =
𝐶𝑚
(𝐶+𝐷)𝑝1
czyli
𝑚−𝑝1 𝑋1
,
𝑝2
𝐶 𝑋2
𝐷 𝑋1
=
𝑝1
𝑝2
więc funkcja popytu wygląda tak:
(analogicznie dla 𝑋2 ).
Podpunkt 2. Dobra komplementarne ((𝑈 = min{𝑎𝑋1 , 𝑏𝑋2 }).
W przypadku dóbr komplementarnych najlepsze koszyki to te, które spełniają równość
𝑎𝑋1 = 𝑏𝑋2 (najłatwiej zobaczyć to rysując wykres).
𝑎
Funkcje popytu uzyskujemy podstawiając 𝑋2 = 𝑏 𝑋1 ∶
𝑋1 =
𝑏𝑚
𝑏𝑝1 +𝑎𝑝2
(analogicznie dla 𝑋2 ).
𝑏𝑚
Jeśli cena dobra pierwszego jest równa 0, to ilość dobra będzie wynosiła 𝑎 𝑝 (będzie to również
2
punkt przecięcia odwróconej funkcji popytu z osią OX).
Podpunkt 3. Doskonałe substytuty ((𝑈 = 𝑎𝑋1 + 𝑏𝑋2 ).
W przypadku doskonałych substytutów rozważamy trzy przypadki:
𝑝
a) |MRS| > 𝑝 1 (𝑐𝑧𝑦𝑙𝑖
2
𝑋1 ;
b) |MRS| =
𝑝1
𝑝2
𝑎
𝑏
(𝑐𝑧𝑦𝑙𝑖
𝑝
> 𝑝 1 ) – najlepszy będzie koszyk brzegowy; konsumowane będzie tylko
2
𝑎
𝑏
=
𝑝1
)
𝑝2
– funkcja popytu I ograniczenie budżetowe maja takie same
nachylenia, w rozwiązaniu pokrywają się i wszystkie koszyki z tej krzywej będą tak samo
pożądane przez konsumenta;
𝑝
𝑎
𝑝
c) |MRS| < 𝑝 1 (𝑐𝑧𝑦𝑙𝑖 𝑏 < 𝑝 1 ) – najlepszy będzie koszyk brzegowy; konsumowane będzie tylko
2
𝑋2 .
2
Funkcja popytu:
𝑝
0 jeżeli |MRS| < 𝑝 1
2
𝑋1 =
[0;
𝑚
𝑝1
𝑚
] jeżeli
𝑝1
|MRS| =
jeżeli |MRS| >
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
Podpunkt 4. Preferencje quasi-liniowe ( 𝑈 = 100𝑋1 + 𝑋2 − 0,5𝑋12 ).
𝑝
Przy preferencjach quasi-liniowych również korzystamy z równości |MRS| = 𝑝 1 .
2
𝑝
𝑝
W tym konkretnym przypadku: 100 − 𝑋1 = 𝑝 1 . To oznacza, że 𝑋1 = 100 − 𝑝 1 - 𝑋1 jest
2
2
niezależne od dochodu m – to oznacza, że konsument zawsze będzie nabywał tyle samo tego
dobra! Przykładem takiego dobra może być sól czy chleb.
𝑋2 wyliczamy z ograniczenia budżetowego.