powiedzmy

Praca. Siły zachowawcze i niezachowawcze. Pole Grawitacyjne.
PRACA

Rozważmy sytuację, gdy w krótkim czasie działająca siła spowodowała przemieszczenie ciała o bardzo małą wielkość Δs
Wtedy praca wykonana przez siłę przy takim małym przemieszczeniu wyrazi się przez iloczyn skalarny siły i przemieszczenia:
 
ΔW=F⋅Δs
1) Sens fizyczny pracy. Jeżeli wypadkowa siła działająca na ciało jest różna od zera, to wiemy, że prowadzi ona do przyspieszenia ciała, czyli do zmiany prędkości ciała.
Iloczyn skalarny 
 
F⋅Δs

F⋅Δs = ΔEk =E kk −E kp

jest równy zmianie wielkości fizycznej, którą nazywamy energią kinetyczną ciała. E k =
Ekp jest energią kinetyczną początkową a Ekk ­ końcową
mv 2
2

2) We wzorze definiującym pracę występuje iloczyn skalarny. Zatem wykonana praca zależy nie tylko od działającej siły i przemieszczenia, lecz także od kąta pomiędzy wektorem siły i wektorem przemieszczenia.
Widzimy tutaj trudność zdefiniowania pracy, gdy przemieszczenie występuje w długim czasie działania siły (wtedy może zmieniać się wartość siły oraz jej kierunek względem przemieszczenia)


ΔW=F⋅Δs =FΔs cos α
3) Gdy przemieszczenie następuje o skończoną wartość, powiedzmy od punktu 1 do punktu 2 (rys), wtedy tor po którym nastąpiło przemieszczenie możemy podzielić na tak małe części, że możemy przyjąć, iż przemieszczenie na każdej z tych części ma stały kierunek, a siła ma stały kierunek i stałą wartość. Pozostaje jeszcze obliczyć pracę na każdym takim odcinku toru i wysumować po wszystkich odcinkach. Zatem pracę przy przemieszczeniu ciała z punktu 1 do 2 możemy zapisać wzorem:

2

W 1− 2=∑ F i⋅Δs i
i
1
SIŁY ZACHOWAWCZE I NIEZACHOWAWCZE
4) Okazuje się, że dla pewnych rodzajów sił, dla wartości wykonanej pracy nie ma znaczenia czy ciało przemieści się po torze oznaczonym na rysunku jako A, czy po jakimś innym, powiedzmy ozn. przez B.
Siły, dla których praca nie zależy od drogi, po której następuje przemieszczenie ciała, a jedynie od położenia początkowego i końcowego, nazywamy siłami zachowawczymi. Pozostałe określamy mianem sił niezachowawczych.
1
5) Jakie są dalsze konsekwencje (zalety) takiego rozróżnienia sił?
A
B
2
Otóż dla sił zachowawczych (oznaczmy je przez Fz) możemy wprowadzić pewną funkcję, która będzie charakteryzowała ciało w punkcie 1 i w punkcie 2, a praca tej siły przy przemieszczeniu od punktu 1 do 2 będzie równa różnicy wartości tej funkcji w punkcie 1 i 2.
Tą funkcję nazywamy energią potencjalną ciała i ozn. Ep .
W 1−2=E p1 −E p2=−ΔE p
(Szczegółowa postać wzoru na funkcję energii potencjalnej, będzie zależała od rodzaju siły zachowawczej)
6) Siły, które nie posiadają wyżej omówionej własności, nazywamy siłami niezachowawczymi (oznaczmy je przez Fnz)
Przykładem siły niezachowawczej jest siła tarcia kinetycznego. Wartość tej siły jest równa:
F T =fF N
, gdzie f­współczynnik tarcia, FN – siła nacisku.
Siła ta jest styczna do toru i przeciwnie skierowana do przemieszczenia, więc praca tej siły zależy w sposób oczywisty od długości drogi.
POLE GRAWITACYJNE
Prawo powszechnego ciążenia opisuje siłę z jaką oddziałują dwie masy punktowe oddalone o r. Kierunek i zwrot siły grawitacji, bo tak ją określamy, jest przedstawiony na rysunku.
F 12 =G
m1 m2
r

F 12
2

F 21
(Siła ta będzie miała taką samą postać, jeżeli masy m1 i m2 mają kształt kulisty z równomiernie rozłożoną masą). G jest stałą grawitacji a r odległością między masami (w przypadku ciał kulistych – między środkami tych mas).
Możemy powiedzieć, że obiekt posiadający masę wytwarza wokół siebie pole grawitacyjne i za pośrednictwem tego pola oddziaływuje na inny obiekt obdarzony masą, który znajduje się w pewnej od niego odległości. W takim przpadku wygodnie jest wprowadzić pewną wielkość, która będzie charakteryzowała to pole, a ciało będące przyczyną tego pola nazwać źródłem pola grawitacyjnego.
Jeżeli ciało o masie M jest źródłem pola i w tym polu umieścimy ciało o niwielkiej masie m, to możemy zdefiniować wielkość, którą nazwiemy natężeniem pola grawitacyjnego:

γ=
Ponieważ dla ciała na powierzchni planety (Ziemi)

F
m
F=G
Mm
=Q=mg
R2
To wartość natężenia pola grawitacyjnego jest równa przyspieszeniu grawitacyjnemu na powierzchni planety (Ziemi).
γ=g=G
M
R2
Siła grawitacyjna jest siłą zachowawczą. Energia potencjalna ciała o masie m znajdującego się w polu grawitacyjnym Ziemi (lub innej planety) można wyrazić wzorem:
E p=−G
Mm
r
Przyjęto, że energia potencjalna ciała w nieskończoności jest równa 0.
Jeżeli ciało porusza się w młej odległości od powierzchni planety (Ziemi), wtedy możemy posłużyć się przybliżonym wzorem na energię potencjalną w postaci:
E p=mgh
Gdzie h jest wysokością, na której znajduje się ciało liczonej względem powierzchni Ziemi lub innego, zbliżonego do powierzchni Ziemi (planety), poziomu odniesienia.
Ciało, któremu nadamy prędkość na powierzchni Ziemi (planety) może spaść na Ziemię (planetę), może zacząć okrążać Ziemię po orbicie o stałym promieniu lub opuścić zupełnie pole przyciągania ziemskiego. Prędkość jaką należy nadać ciału, by okrążało Ziemię po orbicie o stałym promieniu, nazywamy pierwszą prędkością kosmiczną a by opuściło pole przyciągania ziemskiego – drugą prędkością kosmiczną. Pierwszą i drugą prędkość kosmiczną możemy wyrazić poniższymi wzorami:
v I=  gR
v II =  2gR
Zadanie 1. Ciało o masie m rozpędzono do prędkości v, działając stałą siłą F, jak na rys. Jaką drogę przebyło ciało i jaką pracę wykonała siła tarcia? Współczynnik tarcia wynosi f.

F
α
Zaznaczamy pozostałe siły działające na ciało:

Siła reakcji podłoża
FR
Siłę F rozkładamy na składową poziomą Fs i pionową Fn:

F

F
α
Fn = F sinα
FT
α
Fs = F cosα
Fg = mg
Siła tarcia
Siła ciężkości
Składowe pionowe sił równoważą się:
F R F n=F R F sinα=F g=mg
Składowe poziome sił nie równoważą się – w kierunku poziomym działa siła wypadkowa równa Fs – FT, która na drodze s wykonuje pracę równą energii kinetycznej nabytej przez ciało:
Siła tarcia równa jest iloczynowi współczynnika tarcia i siły nacisku (równej sile reakcji podłoża) :
W= ΔE k =
mv 2
2
F s −F T s=
F T =f ⋅F R =f⋅ mg−F sin α 
mv 2
2
mv 2
[ F cos α−f mg−F sin α ] s=
2
2
mv
s=
2[ F cos α−f mg−F sin α ]
Praca wykonana przez siłę tarcia:  ⋅s =F ⋅s⋅cos 1800=−f⋅ mg−F sin α 
W =F
T
T
T
mv 2
2⋅[ F cos α−f  mg−F sin α  ]
Zadanie 2. Zakładając, że masa księżyca jest n razy mniejsza od masy Ziemi, obliczyć ile razy dłużej spada ciało z tej samej wysokości na księżycu w stosunku do Ziemi. Przyjąć gęstość masy Ziemi i księżyca jako jednakowe.
h=
tk
t
gt 2
2
=
h=
 

g
=
gk
M
R
=
Mk
Rk
G
G
gk t
k2
2
M
1
Rk
R
R
= n
=n2⋅ k
Mk
R
R
Rk
3
=n ⇒
tk
t


1
2
1
1
2
3
  =n
−
=n ⋅ n
1
3
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1) Jaką pracę należy wykonać aby wepchnąć masę m po równi na odległość s ze stałą prędkością:
a) gdy nie ma tarcia
b) gdy współczynnik tarcia wynosi f. Kąt nachylenia równi wynosi α. Przyjąć m=1000kg, s=100m, g=10m/s2, f=0.1, α=300.
2) Pocisk o masie 10g lecący z prędkością 400m/s przebija drewnianą masywną płytę i wylatuje z prędkością 350m/s. Jaka średnia siła oporu działa na pocisk w płycie?
3) Człowiek o masie m znajdujący się w obszarze równikowym Ziemi podskoczył z prędkością vo do góry i wzniósł się maksymalnie na wysokość h. Promień Ziemi wynosi R. Oblicz masę Ziemi. Uwzględnij, że Ziemia obraca się (okres obrotu wynosi T).
4) Oblicz promień orbity satelity geostacjonarnego Ziemi. Dany jest promień Ziemi R oraz g na powierzchni Ziemi.
5)Obliczyć masę planety, wiedząc że jej księżyc odległy o d i mający masę m okrąża ją w czasie T.