1 wyróżnień: Podkreślenia i klamry a aan nn Nawiasy
Transkrypt
1 wyróżnień: Podkreślenia i klamry a aan nn Nawiasy
We wzorach matematycznych można używać różnego rodzaju wyróżnień : - podkreślenie - \underline{… } umieszczenie poziomej kreski nad wyrażeniem \overline{… } umieszczenie poziomych klamer nad \overbra ce{… } I pod wyrażeniem \unde rbrace {… } Czasami po prostu możemy chcieć umieścić jakiś znaczek nad literą, np. tyldę nad dużym A i jest wtedy polecenie \tilde i $\widetilde{A+B}$ – gdy chcemy nad większą ilością znaków um ieścić tyldę. A jeśli chcemy mieć normalne litery a nie matematyczne, to piszemy: $\widetilde{\textrm{ Ala }}$ RM od Roman, od antykwy. $$ \unde rline {x+y}+\overline{x-y}=5 $$ Podkreślenia i klamry Matematycy lubią używać różnych sposobów wyróżnień. Najprostsze z nich to podkreśle nie otrzymywane komendą \underline{...}, umieszczenie poziomej kreski nad wyrażeniem otrzymywane komendą \overline{...} oraz umieszczanie poziomych klamer nad i pod wyrażeniem komendą \overbrace {...} i \unde rbrace {...}. Zastosowanie tych instrukcji pokazuje przykład. Przy kład 3. n1 n2 ...nk a a ... a n $\underline{x+y} + \overline{x-y} =5,$ $\overbrace{n_l+n_2+ \dots n_k} \quad \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_n $ Sposób pisania wszelkiego rodzaju znaków matematycznych można znaleźć w tabelach umieszczanych w każdym podręczniku do L ATEX-a. Nawiasy Do składu różnych ograniczników np. nawiasów okrągłych, kwadratowych i sześciennych (klamrowych) można używać symboli z klawiatury lub specjalnych poleceń. Nawiasy okrągłe i kwadratowe wpisujemy bezpośrednio z klaw iatury natomiast naw ias klamrowy m usimy poprzedzić znakiem rozpoczynającym każdą komendę czyli \. Tak więc nawias klamrowy 1 otrzymamy pisząc \{ i \}. Sposób wprowadzania innych ograniczniki można znaleźć w tabelach dowolnego podręcznika. LATEX ma również zdefiniowanych kilka komend, które w ustalony sposób powiększają znaki nawiasów. Są to: \big, \Big, \bigg i \Bigg. Przy kład 4. Poniżej um ieściliśmy znaki nawiasów okrągłego i klamrowego, otwierających i zamykających, najpierw wielkości bieżącego fontu a następnie powiększone instrukcjami \big, \Big, \bigg i \Bigg odpow iednio. Możemy również skorzystać z tego, że LATEX potrafi sam dobrać odpowiednio duży na wias. Należy wtedy rodzaj nawiasu poprzedzić komendą \left jeśli chcemy lewy nawias i komendą \right jeśli chcemy nawias prawy. Polecenia \left i \right zawsze występują parami i gdy użyliśmy jednego z nich, drugi musi też pojawić się w tej samej linii wzoru. Jeśli jednak nie chcemy mieć znaku naw iasu zamy kającego w tej samej linii wzoru co otwierający należy na końcu linii umieścić polecenie \r ight. a na początku następnej \left. i dopiero nawias zamy kający w odpowiednim m iejscu drugiej linii. \left(lewy nawias) i komenda \right(prawy nawias) wtedy latex sam dobierze rozmiar nawiasu np. do całki, to środowisko jakby. $$\left\{ \int_a^b f(x) dx=b^2-a^2\right\}$$ Poniżej jeśli zrobimy tak jak napisałam, to będziemy mieć w pierwszej linii otworzony nawias I na końcu linii żaden naw ias nie będzie zam knięty, a w drugiej linijce nie będzie otwartego nawiasu, ale będzie zam knięty. Na początku chcieliśmy { a na końcu ). Po to są te kropki. $$\left\{ \int_a^b f(x) dx=b^2-a^2\right. $$ $$\left. \int_a^b f(x) dx=b^2-a^2\right\)$$ Ułamki Polecenie \frac{}{} tworzy we wzorach eksponowanych ułamek, w którym czcionka w liczniku i m ianow niku jest takiej samej wielkości jak w całym dokumencie. Wzór matematyczny w linii tekstu jest zapisany w postaci ułam ka odpowiednio zmniejszonymi czcionkam i, by za bardzo nie wystawał nam z linii tekstu. Pakiet amsmath dostarcza nam polecenia \tfra c{}{} i \dfrac{}{} które dają nam możliwość wyboru wielkości ułam ka (pierwsze ułamek wielkości tekstu, drugie - takiej wielkości jak we wzorze eksponowanym). Bo czasami chcemy mieć większy lub m niejszy ułamek w naszej linii. 2 Przy kład 8. Możemy w linii tekstu napisać duży ułamek 2x 4 przy pomocy y 3 polecenia $\dfrac{2x-4}{y-3}$ i będzie wyglądał brzydko, ale czasami tak chcemy. Będzie wyglądał tak m niej w ięcej jak w Wordzie tutaj wyżej, bo Latex by go ładnie zmniejszył. zamiast małego ułam ka 2 x 4 produkowanego y 3 przez polecenie $$\frac{2x-4}{ y-3} \quad \tfra c{2x-4}{y-3}$$. I pierwszy ułamek byłby normalny a drugi taki ładny zmniejszony. $$\sum_{n=1}^{\infty}\quad\sum_{k=1}^{100}$$ \infty - nieskończoność $$\prod_k X_k$$ iloczyn po k \bigcup – duży znak sumy zbiorów \cup – mała suma zbiorów \bigcap – duży iloczyn zbiorów \cap mały iloczyn zbiorów $$\int_0^x f(x)dx\quad\int_0^{\fra c{n}{2}}g(y)dy$$ to będę miała całkę I granice jakby obok tej całki, a jak chce mieć granice dokładnie pod I nad znakiem całki to piszę: \int\limits_a^b x dx Jak wpiszemy w texu: Ala ma kota $\int\limits_a^b x dx = 12$ I psa $\int_a^b x dx=12$ to on ładnie zmniejszy te całki by ładnie wyglądały w tekście, poza tym granice pierwszej całki będą idealnie nad znakiem całki, a drugiej całki będą jakby z boku tejże całki. \lim_{n\to\infty} – granica przy n dążącym do nieskończoności tutaj też granica przy lim może być pisana obok znaku lim jak i pod znakiem lim \lim\limits_{n\to\infty} – i tu będzie pod znakiem całki Jeżeli sum ujemy po w ięcej niż jednym wskaźniku wtedy należy postąpić następująco: $$\sum_{\substac{0<i<n\\0<j<m}} K_{ij}(x)\quad \sum{\begin{subarray}{1}i\in A\\0<j<m\e nd{suba rray }} K_{ij}(x)$$ 3 W drugiej wersji jest większy odstęp pomiędzy znakiem sumy a tym co jest pod sumą I jeśli chcemy ten odstęp zmniejszyć, to umieszczamy ujemne spacje czyli \! Możemy też \!\!\! \\ to złamanie linii w środowisku matematycznym Bo odległość tego co ma być pod suma jest automatycznie dobierana do granic sumowania. Symbol Newtona Tak samo jak w przypadku ułam ków symbole Newtona (też z pakietem amsmath) można pisać w dwóch rozmiarach, bez względu na to gdzie się znajdują. Przy kład 9. Można um ieścić duży symbol w tekście \dbinom{}{} zam iast małego a b a b przy pomocy polecenia który w tekście produkuje polecenie \binom{}{}. Można także we wzorze wyeksponowanym napisać mały symbol Newtona poleceniem \tbinom-{}-{} zamiast automatycznie produkowanego dużego poleceniem \binom-{}-{} a b c d a b c d Do nadpisywania znaków nad innym i znakam i służy polecenie \sta ckre l{co nadpisujemy}{do cze go nadpisujemu} Do um ieszczania znaków lub wyrażeń nad lub pod innym i wyrażeniami lub znakam i możemy też użyć poleceń \overset{}{} i \unde rset{}{} odpowiednio. $$ A\overset{p.w.}{\e quiv }B \quad A_n\underset{n\to\infty}{\longrighta rrow} b \quad \overset{\bullet}{M} \quad \overset{\,\bullet}{M} \quad \overset{\;\bullet}{M} \quad \overset{\ \bullet}{M} \quad $$ 4 Tu mamy dodatnie spacje! Chodzi o to w którym miejscu nad literką M będzie kropka, czy na środku czy z prawej czy z lewej itp. Przy kład 6. Teraz będzie przykład w ielokropka w trybie tekstowym ..., a teraz w trybie matematycznym, najpierw kropki na dole czyli \ldots a potem pośrodku xn czyli \cdots a1 , a2 ,..., x1 x2 Macierze i wyznaczniki Do składu macierzy, wyznaczników jak również wyrównywania tekstu w kolumnach moż na użyć środowiska array o następującej składni $$ \begin{array }{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} $$ a11 a12 a 21 a 22 a31 a32 Skoro są dwa c to znaczy ze są dwie kolumny i obie wycentrowane, a piszemy wiersze. Przejście do następnej kolumny to $ i koniec wiersza to\\ czyli zwykłe złamanie w iersza i ostatniego wiersza nie łamiemy, bo i po co, jeśli złam iemy na końcu to będzie dodatkowy dziwny odstęp, ale wtedy kompilator może krzyczeć. W powyższym przykładzie w idać, że środowisko array nale ży umieszczać w trybie matematycznym zawsze, kiedy chcemy zapisać macierz lub wyznacznik. W naw iasie po wywołaniu środowiska umieszczamy parametry określające położenie tekstu w komórce (c - wyśrodkowany, l - wyrównany do lewej, r wyrównany do prawej). Ilość parametrów musi być równa ilości kolumn macierzy. Każdy element macierzy jest oddzie lony od następnego znakiem &, koniec wiersza zaznaczony jest znakiem \\. Jeżeli elementy macierzy mają być um ieszczone pom iędzy nawiasam i wtedy przed otwarciem środowiska umieszczamy \left( (naw iasy okrągłe) a po jego zamknięciu \right). Zamiast naw iasów okrągłych można um ieścić inne naw iasy lub proste kreski, jak w następnym przykładzie. $$ \left[ 5 \begin{array }{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right] $$ I mamy tą macierz co wyżej ale z nawiasami. Przy kład 7. X X a11a12 b21b22 a11a12 X b21b22 a11a12 b21b22 a11a12 X b21b22 $$ \begin{matrix} a+b+c & uv & yz\\ b+c & x & kz \end{matrix} $$ To wygodniejsze środow isko do pisania macierzy, wycentrowane i nie trzeba już pisać ilości kolum n. elementy będą $$ \begin{pmatrix} a+b+c & uv & yz\\ b+c & x & kz \end{pmatrix} $$ Wtedy od angielskiego słowa nawias parentix mamy nasza macierz w okrągłych nawiasach lub jak poniżęj w kwadratowych od brackets $$ \begin{bmatrix} a+b+c & uv & yz\\ b+c & x & kz \end{bmatrix} $$ 6 Poniżej wyznacznik $$ \begin{vmatrix} a+b+c & uv & yz\\ b+c & x & kz \end{vmatrix} $$ Poniżej norma $$ \begin{Vmatrix} a+b+c & uv & yz\\ b+c & x & kz \end{Vmatrix} $$ Wzory wielolinijkowe Do pisania wzorów w kilku liniach mamy w LATEX-u środowisko matematyczne eqnarray które powstało na bazie środowiska array. Otrzymujemy układ równań wyrównany np. do znaku równości: sin x x x7 7! ... x3 3! x5 5! (3) (4) Pisząc: \begin{eqnarray} \sin x & = & x-\frac{x^3}{3!} + \fra c{x^5}{5!}-\\ & & -\frac{x^7}{7!} + \cdots \end{e qnarray} \cdots od central, bo te kropki maja być po środku W środow isku eqnarray (słowo – eqation array, tablica równości) każda linia jest opatrywana kolejnym numerem. Widzimy, że każda z linii ma nume r, ja kby to był oddzielny wzór, ale my prze nieśliśmy część jego niżej, wię c to jest jede n wzór. Jeśli nie chcemy, by któraś z linii była zanumerowana wtedy przed złamaniem jej umieszczamy polecenie \nonumber. Jeżeli nasz w ielolinijkowy wzór ma nie m ieć żadnego numeru, wtedy umieszczamy go w środowisku eqnarray* 7 \begin{eqnarray} \sin x & = & x-\frac{x^3}{3!} + \fra c{x^5}{5!}-\nonumbe r\\ & & -\frac{x^7}{7!} + \cdots \end{e qnarray} = jest otoczone dwoma && bo chodzi o to by nam ładnie wyrównał do tego 1 kolum na tablicy X Y druga kolum na tablicy = = trzecia kolum na 4 2x Pakiet amsmath, wzory wielolinijkowe Pakiet amsmath zawiera definicje wielu pożytecznych poleceń, między innymi środowiska ułatwiające pisanie wielolinijkowych wzorów. Środowisko gather Środow isko gather stosuje się do zapisywania w ielu wzorów jeden pod drugim. Wzory są umieszczane w osobnych liniach, każdy jest wyśrodkowany i zanumerowany. Każda linia, z wyjątkiem ostatniej, ma być zakończona zna kiem \\ .Nie może być pustych linii wewnątrz środowiska. Przy kład 1. x + 2xy — y = 3 — xy 3x — 2y + 13 = 2 — x x + y — 1 = 3xy (3) (1) (2) \begin{gather} X^2+2xy-y ^2=3-xy\\ 3x-2y^3+13=2-x^2\\ x+y-l=3xy \end{gather} NIE MOŻE BYĆ PUSTYCH LINII WEW NĄTRZ ŚRODOW ISKA!!! Jeżeli chcemy, aby któraś z linii nie m iała numeru, wówczas przed jej złamaniem um ieszczamy polecenie \notag lub \nonum ber. Jeśli nie chcemy numerować żadnej z linii, wówczas używamy środowiska gather* Środowisko multline W środowisku multline kolejne linie wzoru rozmieszczane są w taki sposób, że pierwsza jest dosunięta do lewego marginesu, ostatnia do prawego a środkowe w miarę możliwości wycentrowane. Wzór jest numerowany jednym numerem umieszczonym w ostatniej linii. Jeśli nie chcemy numerować wzoru to umieszczamy go w środowisku z gwiazdką (multline*). Każda linia, z wyjątkiem ostatniej, ma być zakończona znakiem \\. Nie może być pustych linii wewnątrz środowiska. 8 Przykład 2. \begin{multline} x_l+x_2+x_3 +2k(x_l+x_2+x_3)+3z(x_l+x_2+x_3)\\ +x_4+x_5+x_6+x_7 -4y(x_l+x_2+x_3)\\ +x_8+x_9 -z(x_l+x_2+x_3 ) \end{multline} Środowisko align Środowisko align pozwala na napisanie wzorów wyrównanych w kolumnach. Odstępy między kolumnami są dopasowywane przez program według z góry zadanych reguł. WYSTĘPUJE TYLKO JEDEN &! Przykład 3. x +y +z 2x — 3y + z y —4z = 23 = x — 4y — 1 = 21 (5) (6) (7) \begin{align} x+y+z &= 23\\ 2x-3y+z &=x^2-4y^2-1\\ Y^4-4z^2 &=21 \end{align} Czyli znów przy pomocy & przechodzimy do następnej kolumny,. Znak & wskazuje miejsce wyrównywania, każda linia musi być złamana znakiem \\. Każda linia jest opatrzona numerem. Jeśli nie chcemy w ogóle numerować wzoru, wtedy mamy do dyspozycji formę align*, natomiast gdy chcemy zanumerować tylko jedną linię, wtedy w pozostałych, przed zakończeniem linii umieszczamy polecenie \nonumber lub \notag.. W tym środowisku występuje tak jakby tylko jedna duża, ale za to ładnie wyglądająca kolumna. TO JEST ŚRODOWISKO MATEMATYCZNE Środowisko alignat Środowisko alignat również pozwala na rozmieszczenie wzorów w wyrównanych kolumnach, jednak, inaczej niż w przypadku align, samo nie decyduje o wielkości odstępu między wyrównywanymi kolumnami. Użytkownik musi tę odległość podać sam. Należy również podać, w ilu kolumnach będziemy um ieszczać i wyrównywać wyrażenia. Każda linia jest zaopatrzona w numer, jeśli nie chcemy w 9 ogóle numerować wzoru, wtedy mamy do dyspozycji formę alignat*, natomiast gdy chcemy zanumerować tylko jedną linię, wtedy, jak w innych środowiskach, przed zakończeniem linii umieszczamy polecenie \nonumber lub \notag. Środowisko to jest szczególnie użyteczne gdy chcemy uzyskać kilka kolumn z krótkimi, wyrównanymi równościami. TU STOSUJEMY WSZĘDZIE & GDZIE TEGO POTRZEBA Przykład 4. f(x) = x + 2y h(x) =x +1 g(x) = x — y k{x) = y (8) (9) \begin{alignat}{2} f(x) &= x+2y & \qquad g(x)&= x-y \\ h(x) &= x^2+1 & \qquad k(x) &= y^2 \end{alignat} Uwaga: Jeżeli wyrównywanych jest n kolumn w środowisku wówczas musimy umieścić w każdej linii 2n-1 znaków &. alignat, to Aligned, gathered Środowisko aligned i gahered są podobne do align i gather lecz traktuje wielolinijkowy wzór jako jedną całość, a nie jako poszczególne linie jak wcześniej. Aligned i gathered NIE SĄ SAME W SOBIE ŚRODOWISKAMI MATEMATYCZNYMI I DOPIERO wymagają umieszczenia w środowisku matematycznym numerowania quation lub nienumerowanym czyli pomiędzy znakami dwóch dolarów bo te środowiska nie są numerowane. Ponieważ wszystkie linie wzoru są t traktowane jak jedno wyrażenie, możliwe jest umieszczenie obok siebie dwóch wielolejkowych wzorów jak również łączenie obu tych środowisk, tak jak w poniższych przykładach. Staramy się w całym dokumencie składać wzory tak samo w tym samym środowisku. $$ \begin{aligned} x&=4\\ y&=2x\\ z&=3x-y \end{aligned} \textrm{\qquad gdy \quad} \begin{gathered} x>0\\ y>3\\ z<y-x \end{gathered} 10 $$ I tu już w tym układzie jeśli nie chcemy mieć numerka to nie mamy, nie potrzebujemy nonumber bo jest w środowisku $$ czyli nienumerowanym. Split Środowisko Split stosujemy , gdy musimy zapisać bardzo długi niemieszczący się w jednej linii wzór. Środowisko matematyczne zawierające go traktuje Split jako jedną równość, generuje wiec tylko jeden numer. Środowisko Split musi być umieszczone w innym środowisku matematycznym, takim jak np. equation, align, gather. Czyli jak chcemy numer to umieszczamy to w środowisku numerującym itp. \begin{equation} \begin{split} &(x_1x_2x_3x_4)^2\\ &(x_5x_6x)^2+(x_8x)^2 \end{split} \end{equation} Gdy mamy & na początku linii jak wyżej to dociągnie ładnie do lewej strony, bez nich będzie wyrównywał do prawej. Środowisko cases Pozwala ono na napisanie poniższego przykładu: f ( x) x gdy x 5 0 gdy 0 x (10) 5 x dla pozostalych \begin{equation} f(x)= \begin {cases} x &\text{gdy $x>5$}\\ 0 &\text{gdy $0\ge x\ge 5$}\\ -x &{dla pozostałych}\\ \end{cases} \end{equation} Czyli napisaliśmy \text zamiast \textrm 11