Obliczanie procentu z danej liczby - darmowy e

Transkrypt

Obliczanie procentu z danej liczby
Przedmowa
Początek tego opracowania jest napisany z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozumieją o co chodzi w procentach, a pozostała część jest przeznaczona dla gimnazjalistów oraz osób starszych
które chcą sobie przypomnieć wszystko na ich temat. Prawie wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione „na
chłopski rozum” z zachowaniem poprawności matematycznej.
Pełną wersję tego opracowania znajdziesz tu:
http://matematyka.strefa.pl/procenty_i_promile.pdf
Spis tematów
1. Obliczanie procentu z danej liczby ................................................................................................................................ 2
— w pamięci ............................................................................................................................................................... 2
— z definicji................................................................................................................................................................. 5
— z proporcji .............................................................................................................................................................. 8
— Zadania tekstowe. ................................................................................................................................................. 9
Wersja z dnia: 06.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Jak obliczyć procent z danej liczby? Jak się oblicza procenty? Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf (bezpłatne opracowanie). Download go.
Procenty — strona 1
Temat: Obliczanie procentu z danej liczby.
W tym podtemacie pokażę Ci jak obliczyć np. 15% z liczby 24 kg lub 123% z liczby 425 cm itp.
Jak to zrobić w pamięci?
Na początek zacznijmy od banału, czyli na przykład od obliczenia 50% z liczby 8. Z wiedzy jaką już masz, wiesz, że
50% to inaczej czyli połowa. Zatem 50% (połowa) z liczby 8 to 4.
Inne przykłady:
50% z liczby 8 to 4
50% ze 120 cm to 60 cm
Jeśli liczba z której obliczasz procent ma dopisaną jednostkę (miano), to tę samą jednostkę trzeba dopisać w wyniku końcowym. W tym przypadku są to centymetry. Zawsze musi być zgodność jednostek.
50% z 40 kg to 20 kg
Jeśli liczba z której obliczasz procent ma dopisaną jednostkę (miano), to tę samą jednostkę trzeba dopisać w wyniku końcowym. W tym przypadku są to kilogramy. Zawsze musi być zgodność jednostek.
50% z 60 MB to 30 MB
Jeśli liczba z której obliczasz procent ma dopisaną jednostkę (miano), to tę samą jednostkę trzeba dopisać w wyniku końcowym. W tym przypadku są to megabajty. Zawsze musi być zgodność jednostek.
itd.
Ćwiczenie:
Oblicz w pamięci. Podaj tylko wynik.
a) 50% z liczby 400
b) 50% z liczby 80
c) 50% z liczby 1000
d) 50% z liczby 40
e) 50% z liczby 1200
d) 50% z 10 ha
e) 50% z 38 m3
[Odp.: a) 200, b) 40, c) 500, d) 20, e) 600.]
Ćwiczenie:
a) 50% ze 120 g
b) 50% z 8 cm
c) 50% z 16 litrów
[Odp.: a) 60 g, b) 4 cm, c) 8 litrów, d) 5 ha, e) 19 m3.]
Łapiesz? Pewnie tak, bo to łatwe. Przejdźmy teraz do obliczania 25% z danej liczby, czyli do obliczania połowy z 50%.
Przypuśćmy, że chcesz obliczyć ile wynosi 25% z liczby 12.
1. Obliczasz ile wynosi 50% z liczby 12. Jest to 6, bo 50% to połowa danej liczby.
2. Zauważasz, że 25% to połowa 50%, więc obliczasz połowę z powyższego wyniku. Jest to liczba 3.
Wniosek: Aby obliczyć 25% z danej liczby wystarczy daną liczbę podzielić przez 4 (lub pomnożyć ją przez ).
Jak więc szybko w pamięci obliczyć 25% z 40 cm? Zgodnie z tym co jest napisane linijkę wyżej, wystarczy 40 cm podzielić przez 4. Zatem 25% z 40 cm to 10 cm. A ile wynosi 25% z 6 kg? Jak podzielić 6 kg na 4? Da się? Tak, da się.
Najpierw zamieniasz daną liczbę kilogramów na jednostkę mniejszą np. na gramy (otrzymujesz 6000 g) i dopiero teraz dzielisz otrzymaną liczbę przez 4 dostając 1500 g, czyli 1,5 kg.
Czy obliczanie 25% z 6 kg można było wykonać bez zamieniania kilogramów na gramy? Tak, można było. Wystarczy
ło od razu te 6 kg podzielić przez 4. Wynik wówczas wyszedłby w postaci ułamka kg. Taki zapis nie jest jednak ładny, bo w życiu codziennym np. w sklepie nie używa się ułamków zwykłych. Można więc pokusić się o zamianę tego
ułamka na ułamek dziesiętny, co daje 1,5 kg. Jak widać wynik wyszedł ten sam co poprzednio, ale trzeba było umieć
sprawnie posługiwać się ułamkami zwykłymi i dziesiętnymi, co nie każdemu dobrze idzie.
Ćwiczenie:
a) 25% z liczby 400
b) 25% z liczby 80
d) 25% z 60 cm
e) 25% z 1 t
[Odp.: a) 100, b) 20, c) 250, d) 15 cm, e) 250 kg bo 1 tona równa się 1000 kg.]
No dobrze. Umiesz już w pamięci obliczać 50% i 25% z danej liczby. A jak obliczyć np. 75% z danej liczby? Nic trudnego. Najpierw obliczasz ile wynosi 25% z danej liczby, a potem otrzymany wynik mnożysz przez 3, bo 75% to tyle samo co 3 razy 25%.
Wniosek: Aby obliczyć 75% z danej liczby, wystarczy podzielić ją przez 4 i otrzymany wynik pomnożyć przez 3.
Spostrzeżenie: Powyżej napisane zdanie jest równoważne pomnożeniu danej liczby przez ułamek .
Wniosek z powyższego spostrzeżenia: Mnożenie liczby przez jest równoważne pomnożeniu danej liczby przez 3
i podzieleniu otrzymanego wyniku przez 4.
Przykład: Oblicz 75% z 300 kg.
a) Dzielisz 300 kg przez 4. Dzięki temu obliczasz ile wynosi 25% z 300 kg. Dostajesz że jest to 75 kg.
b) Mnożysz otrzymany powyżej wynik przez 3, bo 75% = 3 ⋅ 25%. Dostajesz 225 kg.
Ćwiczenie:
a) 75% z liczby 400
b) 75% z liczby 80
d) 75% z 60 cm
e) 75% z 1 t
[Odp.: a) 300, b) 60, c) 750, d) 45 cm, e) 750 kg bo 25% z 1 tony to 250 kg.]
Umiejąc obliczać 25% z danej liczby, automatycznie umiesz obliczać np. 125% z danej liczby, oraz 150%, 175%,
200%, 225%, 250%, 275%, itd. Wystarczy tylko obliczone 25% pomnożyć przez odpowiednią liczbę.
Przykład: Oblicz 125% z 60 kg.
a) Dzielisz 60 kg przez 4. Dzięki temu obliczasz ile wynosi 25% z 60 kg. Dostajesz że jest to 15 kg.
b) Mnożysz otrzymany powyżej wynik przez 5, bo 125% = 5 ⋅ 25%. Dostajesz 75 kg.
Przykład: Oblicz 150% z 20 km.
a) Dzielisz 20 km przez 4. Dzięki temu obliczasz ile wynosi 25% z 20 km. Dostajesz że jest to 5 km.
b) Mnożysz otrzymany powyżej wynik przez 6, bo 150% = 6 ⋅ 25%. Dostajesz 30 km.
Spostrzeżenie: 150% = 3 ⋅ 50%, więc powyższy wynik można też było otrzymać wykonując takie obliczenia:
Oblicz 150% z 20 km.
a) Dzielisz 20 km przez 2. Dzięki temu obliczasz ile wynosi 50% z 20 km. Dostajesz że jest to 10 km.
b) Mnożysz otrzymany powyżej wynik przez 3, bo 150% = 3 ⋅ 50%. Dostajesz 30 km.
Ten sam wynik, prawda? A obliczenia łatwiejsze do wykonania w pamięci. Jak więc łatwo obliczyć 250% z danej liczby? Wystarczy zauważyć, że250% = 5 ⋅ 50% i postępować jak wyżej, wykonując w podpunkcie b) mnożenie przez
5.
Ćwiczenie:
a) 225% z liczby 400
b) 225% z liczby 80
c) 225% z liczby 1000
d) 225% z 60 cm
e) 225% z 1 t
[Odp.: a) 900, b) 180, c) 2250, d) 135 cm, e) 2250 kg.]
A jak najłatwiej obliczyć 300% z danej liczby? Też to proste. Wystarczy zauważyć, że 300% = 3 ⋅ 100%. Ponieważ
100% to dana liczba, więc by obliczyć 300% z niej, wystarczy pomnożyć ją przez 3. Można też dopatrzeć się tego, że
300% = 6 ⋅ 50% i postępować jak przy obliczaniu 50% z danej liczby, wykonując w podpunkcie b) mnożenie przez
6. Można też zauważyć, że 300% = 12 ⋅ 25% i postępować jak przy wyliczaniu 25% z danej liczby, wykonując
w podpunkcie b) mnożenie przez 12. Nie ma znaczenia jaki sposób obliczania 300% wybierzesz. Wynik końcowy
zawsze wyjdzie Ci taki sam. Równie dobrze możesz 300% rozpisać w jeszcze inny sposób niż ja podałem, a wynik
końcowy i tak się nie zmieni.
Ćwiczenie:
a) 300% z liczby 5
b) 300% z liczby 10
c) 300% z 40 cm
d) 300% z 80 dag
e) 300% z 1,7 m
[Odp.: a) 15, b) 30, c) 120 cm, d) 240 dag, e) 5,1 m.]
Umiesz już obliczać 25%, 50%, 75%, 100%, 125%, 150%, itd. z danej liczby. A jak obliczyć np. 5% z danej liczby? Nic
trudnego. Wystarczy zauważyć, że 5% = 25% ∶ 5 lub 5% = 50% ∶ 10 lub 5% = 75% ∶ 15 lub
5% = 100% ∶ 20 itd. Najszybszy sposób na obliczenie 5% z danej liczby to ten, który wykorzystuje dzielenie 100%
przez 20, bo 100% to dana liczba.
Wniosek: By obliczyć 5% danej liczby, wystarczy tę liczbę podzielić przez 20.
Przykład: Oblicz 5% z 60 m.
a) 60 m dzielisz przez 20. Dostajesz 3 m.
Banalne prawda?
Ćwiczenie:
a) 5% z 20 mm
b) 5% z liczby 80
c) 5% ze 120 g
d) 5% ze 100 zł
e) 5% z 600 zł
[Odp.: a) 1 mm, b) 4, c) 6 g, d) 5 zł, e) 30 zł.]
A jak obliczyć np. 1% z danej liczby? Nic trudnego. Wystarczy zauważyć, że 1% = 5% ∶ 5 lub 1% = 25% ∶ 25 lub
1% = 50% ∶ 50 lub 1% = 100% ∶ 100 itd. Najszybszy sposób na obliczenie 1% z danej liczby to ten, który wykorzystuje dzielenie 100% przez 100, bo 100% to dana liczba.
Wniosek: By obliczyć 1% danej liczby, wystarczy daną liczbę podzielić przez 100.
Przykład: Oblicz 1% z 700 zł.
a) 700 zł dzielisz przez 100. Dostajesz 7 zł.
Idiotycznie łatwe. Przyznasz mi rację, co nie?
Ćwiczenie:
a) 1% z 200 m
b) 1% z liczby 400
c) 1% z 1200 g
d) 1% ze 100 zł
e) 1% z 1 zł
[Odp.: a) 2 m, b) 4, c) 12 g, d) 1 zł, e) 1 gr bo 1 zł to 100 gr.]
Jak obliczyć np. 17% z danej liczby? Wystarczy zauważyć, że 17% = 1% ⋅ 17.
Przykład: Oblicz 17% z 50 zł.
a) Dzielisz 50 zł przez 100. Dzięki temu obliczasz ile wynosi 1% z 50 zł. Dostajesz że jest to 50 gr.
b) Mnożysz otrzymany powyżej wynik przez 17, bo 17% = 17 ⋅ 1%. Dostajesz 850 gr czyli 8,50 zł.
Ćwiczenie:
a) 17% z 200 m
b) 17% z liczby 400
c) 17% z 1200 g
d) 17% ze 100 zł
e) 17% z 1 zł
[Odp.: a) 34 m, b) 68, c) 204 g, d) 17 zł, e) 17 gr bo 1 zł to 100 gr.]
Umiejąc obliczać 1% z danej liczby umiesz automatycznie obliczać: 2%, 3%, 4%, …, 23%, 24%, …, 99%, 100%, 101%
a nawet 1027% z danej liczby. Wystarczy postępować analogicznie do powyższego przykładu, wykonując w podpunkcie b) odpowiednie mnożenie.
Ćwiczenie:
a) 3% z 200 m
b) 19% z liczby 400
c) 103% z 1200 g
d) 217% ze 100 zł
e) 1004% z 1 zł
[Odp.: a) 6 m, b) 76, c) 1236 g, d) 217 zł, e) 10,04 zł lub równoważnie 1004 gr.]
Rachunkowe obliczanie procentu z danej liczby
Niby wszystko łatwe. Zastanów się jednak czy łatwe też będzie obliczenie np. 17% z liczby 102 lub z liczby np.
523,19? Da się w ogóle to obliczyć? Oczywiście, że się da. Nim Ci powiem jak to zrobić zauważ pewną rzecz. Gdy
powyżej pisywałem sformułowania: „z liczby”, „ze”, „z”, to za każdym razem w myślach zastępowałem je mnożeniem, bo żadne inne działanie nie dałoby oczekiwanego wyniku. Zobacz. Jeśli chcesz obliczyć np. 50% z liczby 8, to
wiesz, że wynik końcowy ma Ci wyjść równy 4, bo 50% to połowa danej liczby. Matematycznie jednak, użyte sformułowanie (wyróżnione wyżej kolorem zielonym) musisz zastąpić jakimś działaniem matematycznym. Trzeba tylko zastanowić się, czy będzie to dodawanie, odejmowanie, dzielenie lub mnożenie. Przeprowadźmy więc próby jaki wynik
wyszedłby nam, gdybyśmy ów sformułowanie zastąpili kolejno dodawaniem, odejmowaniem, dzieleniem, mnożeniem.
— nie wyszedł wynik 4, czyli zamiast sfor. „z liczby” nie wolno używać dodawania
50% + 8 = + 8 = 8భమ
— nie wyszedł wynik 4, czyli zamiast sfor. „z liczby” nie wolno używać odejmowania
50% − 8 = − 8 = −7భమ
50% ∶ 8 = ∶ 8 = ⋅ = — nie wyszedł wynik 4, czyli zamiast sfor. „z liczby” nie wolno używać dzielenia
50% ⋅ 8 = ⋅ 8 = ⋅ = 4
— wyszedł wynik 4, czyli zamiast sformułowania „z liczby” trzeba używać mnożenia
Proste, prawda? Wystarczyło tylko zamienić procent na ułamek i pomnożyć go przez daną liczbę. Zobacz przykłady:
a) 25% z 60 kg =
⋅ 60 kg = ⋅ 60 kg = 15 kg
b) 125% z 80 kg = ⋅ 80 kg = ⋅ 80 kg = 100 kg
c) 17% z liczby 102 = ⋅ 102 =
d) 211% ze 150 cm =
⋅
= 17,34
⋅ 150 cm = 316,5 cm
Spostrzeżenia:
— w podpunkcie a) skróciłem ułamek przez 25 dostając ułamek — w podpunkcie b) skróciłem ułamek przez 25 dostając ułamek — w podpunkcie d) wymnożyłem liczbę 211 przez 150 (analogicznie do podpunktu poprzedniego) i otrzymany wynik podzieliłem przez liczbę która była pod kreską ułamkową, czyli w tym przypadku przez 100.
Przypominam, że:
— jeśli w liczbie całkowitej nie jest napisany przecinek, to domyślnie jest on usytuowany za ostatnią cyfrą
— przy dzieleniu liczby całkowitej lub ułamka dziesiętnego przez 100 przecinek przesuwamy o 2 miejsca w lewo,
bo liczba 100 ma 2 zera.
Jak widzisz, by dobrze umieć działania na procentach, musisz perfekcyjnie umieć działania na ułamkach dziesiętnych. Spróbuj teraz samodzielnie wykonać poniższe ćwiczenia.
Ćwiczenie:
Oblicz.
a) 25% z liczby 800
e) 16% z 3000 mm
b) 15% z liczby 200
f) 26% z 18 kg
c) 45% z liczby 65
g) 120% z 45 cm
d) 1% z liczby 70
h) 180% z 40 MB
[Odp.: a) 200 b) 30 c) 29,25 d) 0,7 e) 480 mm = 48 cm f) 4,68 kg g) 54 cm h) 72 MB.]
Jeśli obliczasz procent z danej liczby na własne potrzeby (nie na pracy klasowej, nie na egzaminie itp.) to możesz
używać kalkulatora. Wówczas dostaniesz ten sam wynik, ale dużo szybciej. Przykładowo, by za pomocą kalkulatora
obliczyć 19% z liczby np. 152 możesz wykonać jedną z dwóch poniższych czynności:
a) wstukać na kalkulatorze liczbę 19, nacisnąć klawisz „%”, wcisnąć klawisz „×” (mnożenie) i wpisać liczbę 152
b) wstukać na kalkulatorze ułamek 0,19 wcisnąć klawisz „×” i wpisać liczbę 152
oraz nacisnąć klawisz „=”. W obu przypadkach dostaniesz wynik 28,88. Mam pytanie. Dlaczego w podpunkcie b)
mogę napisać ułamek 0,19? Bo 19% = = 0,19 (przesunięcie przecinka o 2 miejsca w lewo).
Ten drugi sposób jest lepszy, bo choć mnożenie jest przemienne, to niektóre kalkulatory tego nie wiedzą i ignorują
wciskanie klawisza „%”. W niektórych kalkulatorach by dostać poprawny wynik trzeba najpierw:
c) wstukać liczbę 152, a dopiero potem klawisz „×” i dopisać 19% (lub 0,19).
Ćwiczenie:
Korzystając ze swojego kalkulatora oblicz 18% z liczby 35 wykorzystując wszystkie 3 powyższe sposoby.
[Odp.: 6,3.]
Ćwiczenie:
Zamieniając procent na ułamek dziesiętny, oblicz przy pomocy kalkulatora:
a) 25% z liczby 800
e) 16% z 3000 mm
b) 15% z liczby 200
f) 26% z 18 kg
c) 45% z liczby 65
g) 120% z 45 cm
d) 1% z liczby 70
h) 180% z 40 MB
[Podpowiedź. W podanej liczbie procentów przesuń przecinek o 2 miejsca w lewo i dodatkowo skasuj symbol %. Przykładowo w podpunkcie a) zamiast
25% wstukaj na kalkulatorze ułamek 0,25. Odp.: a) 200 b) 30 c) 29,25 d) 0,7 e) 480 mm = 48 cm f) 4,68 kg g) 54 cm h) 72 MB.]
Jeśli podany procent jest wyrażony ułamkiem dziesiętnym, to by wykonać działania jak w powyższym ćwiczeniu, też
trzeba przesunąć przecinek o 2 miejsca w lewo. Przypuśćmy, że chcesz obliczyć przy pomocy kalkulatora:
14,8% z liczby 168
Przesuwasz więc przecinek o 2 miejsca w lewo (powstanie Ci liczba 0,148), kasujesz symbol %, a sformułowanie
„z liczby” tak samo jak poprzednio zastępujesz mnożeniem. Zatem:
%
14,8% z liczby 168 =
ᇩᇪᇫ
0,148
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
ᇧᇥ
⋅ 168 = 24,864
ę Zobacz inne przykłady:
ż
57,6% zᇩᇭᇪᇭᇫ
liczby 200 = 0,576 ⋅ 200 = 115,2
126,17% z liczby 571 = 1,2617 ⋅ 571 = 720,4307
4,11% z liczby 15 = 0,0411 ⋅ 15 = 0,6165
Ćwiczenie:
Zamieniając procent na ułamek dziesiętny, oblicz przy pomocy kalkulatora:
a) 11,5% z liczby 800
e) 16,4% z 3000 mm
b) 1,5% z liczby 200
f) 0,26% z 18 kg
c) 4,52% z liczby 6,5
g) 0,008% z 45 km
d) 1,02% z liczby 70,4
h) 180,5% z 40 MB
[Podpowiedź. W podanej liczbie procentów przesuń przecinek o 2 miejsca w lewo i dodatkowo skasuj symbol %. Przykładowo w podpunkcie a) zamiast
11,5% wstukaj na kalkulatorze ułamek 0,115. Odp.: a) 92 b) 3 c) 0,2938 d) 0,71808 e) 492 mm f) 0,0468 kg g) 0,0036 km = 3,6 m h) 72,2 MB.]
Obliczanie tego typu przykładów (w których procent jest zapisany za pomocą ułamka dziesiętnego) można też wykonywać bez używania kalkulatora, choć nie jest to przyjemne, bo trzeba zamieniać ułamek dziesiętny na zwykły.
Przykłady zamieniania procentów wyrażonych ułamkiem dziesiętnym na ułamek zwykły:
ć ę
8,14% =
ᇩᇭ
ᇭᇪᇭ
ᇭᇫ
8,14
⋅ 100
814
407
=
=
100 ⋅ 100
10000 5000
8,14% = 8% = 8 ∶ 100 =
407 1
407
⋅
=
50 100 5000
Jak widzisz, obie metody dały ten sam wynik, ale ani w pierwszym przypadku ani w drugim taka zamiana do fajnych
nie należy. Lepiej więc w tego typu przypadkach używać kalkulatora tak, jak to zostało wyżej pokazane. No dobrze,
ale choć jeden tego typu.
ć ę
5,1% z liczby 240,25 =
Ćwiczenie:
ć ę
ᇩᇭᇪ⋅ᇭ
ᇫ 240,25
ᇩᇭᇭᇭᇪᇭ
ᇭᇫ
5,1
10
⋅ᇭ100
51 24025 1225275
⋅
=
⋅
=
= 12,25275
100 ⋅ 10
1 ⋅ 100
1000 100
100000
Nie używając kalkulatora oblicz podany procent z danej liczby.
a) 4,8% z 16,5 kg
b) 2,14% z liczby 704,1
c) 0,8% z 2,15 t
[Odp.: a) 0,792 kg = 792 g b) 15,06774 c) 0,0172 t.]
Ćwiczenie:
Oblicz 12,5% z kwoty 1450 zł. [Odp.: 181,25 zł.]
Jedna z ostatnich rzeczy jaka została do omówienia w tym podtemacie, to ułamki dziesiętne okresowe. Jeśli nie pamiętasz, to przypominam, że ułamek dziesiętny:
— 0,333333333… mający za przecinkiem nieskończenie wiele trójek, można w skrócie zapisać: 0,(3)
— 0,666666666… mający za przecinkiem nieskończenie wiele szóstek, można w skrócie zapisać: 0,(6)
— 0,999999999… mający za przecinkiem nieskończenie wiele dziewiątek, można w skrócie zapisać: 0,(9)
W oparciu o wzory matematyczne lub niektóre metody wyliczeniowe, można wykazać, że:
0, ሺ6ሻ = ,
0, ሺ3ሻ = ,
0, ሺ9ሻ = 1
choć dużo łatwiej to osiągnąć zamieniając ułamek zwykły na dziesiętny okresowy. Wzorów o których mowa oraz
metod zamieniających ułamki dziesiętne okresowe na zwykłe nie będę tu pisać, bo opracowanie to dotyczy procentów a nie sposobów zamiany ułamków.
W tym podtemacie nie będę też przypominać jak zamienia się ułamki zwykłe oraz dziesiętne na procenty, bo zrobiłem to wcześniej. Po prostu wyucz się na pamięć, że:
ሺ3ሻ %,
0, ሺ3ሻ = 33,
ᇣᇤᇥ
ሺ6ሻ %,
0, ሺ6ሻ = 66,
ᇣᇤᇥ
భయ
0, ሺ9ሻ = 100%
మయ
Przykład: Oblicz 33,(3)% z liczby 120.
a) Zamieniasz podany procent na ułamek zwykły. 33, ሺ3ሻ% = .
b) Mnożysz powyższy ułamek zwykły przez daną liczbę. ⋅ 120 = 40
W dwóch etapach masz już wynik, że 33,(3)% z liczby 120 to 40. Dość łatwe, prawda?
Ćwiczenie: Oblicz.
a) 33,(3)% z liczby 90
e) 66,(6)% z liczby 90
[Odp.: a) 30 b) 100 c) 20 d)
ଶ଴଴
ଷ
b) 33,(3)% z liczby 300
f) 66,(6)% z liczby 300
e) 60 f) 200 g) 40 h)
c) 33,(3)% z liczby 60
g) 66,(6)% z liczby 60
d) 33,(3)% z liczby 200
h) 66,(6)% z liczby 200
ସ଴଴
ଷ
]
Wykorzystanie proporcji do obliczania procentu z danej liczby
Najpierw przypomnę, że proporcja to równość dwóch ułamków. Przykładowo zapis = jest proporcją, bo te ułam
ki są sobie równe. Można to sprawdzić stosując jedną z poniższych metod:
— mnożąc licznik pierwszego ułamka przez 2 i mianownik także przez 2 (rozszerzanie ułamka)
— dzieląc licznik drugiego ułamka przez 2 i mianownik również przez 2 (skracanie ułamka)
— wykonując mnożenie po skosie tj. sprawdzając czy 3 razy 8 daje tyle samo co 4 razy 6
Czasami można się zetknąć z zapisem o którym już wiadomo, że jest proporcją, ale jedna z liczb nie jest znana (trzeba będzie ją wyliczyć). Przykładem takiej proporcji jest:
3
‫ݔ‬
=
5 20
Wiemy, że powyższy zapis jest proporcją, ale ile musi wynosić ‫ ݔ‬by nie było fałszu? Jak to wyliczyć? Patrząc na mianowniki tych ułamków (czyli na liczby pod kreskami ułamkowymi), wnioskujesz, że liczbę 5 trzeba pomnożyć przez 4,
bo wówczas dostaniesz drugi mianownik, czyli liczbę 20. Skoro mianownik pierwszego ułamka pomnożony został
przez 4, to i jego licznik też trzeba pomnożyć przez 4. Zatem ‫ = ݔ‬12.
No dobra. A co z proporcją taką:
3
‫ݔ‬
=
5 11
Nic trudnego. Wystarczy obliczyć, że mianownik został pomnożony przez 2,2 (bo jest to wynik działania 11 : 5), więc
i licznik też trzeba pomnożyć przez 2,2. Zatem ‫ = ݔ‬6,6. Proste? Chyba nie do końca. Da się łatwiej? Oczywiście, że
się da. Wystarczy zastosować mnożenie po skosie (iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych):
3 ⋅ 11 = 5‫ݔ‬
33 = 5‫ ݔ‬/: 5
6,6 = ‫ݔ‬
To nie jest wszystko co należy wiedzieć o proporcji, ale wystarczy to do tego, by za pomocą proporcji móc rozwiązywać niektóre zadania z procentów.
Zasada rozwiązywania zadań za pomocą proporcji jest taka, że najpierw wypisujesz dane z treści zadania (procenty
pod procentami), a następnie na ich podstawie układasz w myślach odpowiednią proporcję. Potem wyliczasz z niej
potrzebną niewiadomą (w dowolny sposób) — najszybciej jest zastosować mnożenie po skosie.
Przykłady
Ile wynosi 8% z liczby 40?
Ile wynosi 12,4% z liczby 60?
Ile wynosi 120% z liczby 36,8?
Wypisujesz dane z zadania:
100% — 40
8%
— x
Układasz w myślach proporcję:
100% 40
=
‫ݔ‬
8%
Skracasz w myślach symbole % oraz liczbę 100 z liczbą 8 przez 4. Otrzymujesz w myślach nową proporcję
równoważną powyższej:
100% — 60
12,4% — x
100% — 36,8
120% — x
100% 60
=
‫ݔ‬
12,4%
100% 36,8
=
‫ݔ‬
120%
Skracasz w myślach symbole %. Otrzymujesz w myślach nową proporcję równoważną powyższej:
100 60
=
12,4
‫ݔ‬
25 40
=
2
‫ݔ‬
Skracasz w myślach symbole % oraz liczbę 100 z liczbą 120 przez 20. Otrzymujesz w myślach nową proporcję równoważną powyższej:
5 36,8
=
6
‫ݔ‬
Rozwiązujesz ją wykonując mnożenie po skosie:
25‫ = ݔ‬80 /: 25
‫ = ݔ‬3,2
100‫ = ݔ‬744 /: 100
5‫ = ݔ‬220,8 /: 5
‫ = ݔ‬7,44
Przypominam, że przy dzieleniu przez 100 wystarczy
przesunąć przecinek o 2 miejsca w lewo.
‫ = ݔ‬44,16
A teraz zobacz ile miejsca zajmie rozwiązanie tego samego zadania bez używania proporcji tj. wcześniejszym
podanym przeze mnie sposobem.
8% ⋅ 40 = 0,08 ⋅ 40 = 3,2
12,4% ⋅ 60 = 0,124 ⋅ 60 = 7,44
120% ⋅ 36,8 = 1,2 ⋅ 36,8 = 44,16
Zastosowałem przesuwanie przecinka (strona 6).
Ten sam wynik wyszedł? Który sposób jest krótszy? Który daje mniejsze prawdopodobieństwo popełnienia
błędu w obliczeniach?
Uwaga. Wiele osób nazywa zapis:
100% — 40
8%
— x
proporcją. Nie jest to prawda. Są tylko dane, które posłużą do ułożenia w myślach proporcji.
Zadania tekstowe
Zadanie: Mleko zawiera 2% tłuszczu. Ile gramów tłuszczu jest w 8 kg mleka?
Analiza zadania
Na podstawie pytania z treści zadania, wnioskujesz, że trzeba zamienić kilogramy na gramy:
8 kg = 8000 g
Rozwiązanie
2% z liczby 8000 g = 0,02
ถ ⋅ 8000 g = 160 g
%
Odp.: W 8 kg mleka 2%-towego jest 160 gramów tłuszczu.
Zadanie: Sad babci ma 240 m2 powierzchni. 85% jego powierzchni zajmują jabłonie. Ile metrów kwadratowych
zajmują w tym sadzie jabłonie?
Rozwiązanie
85% z liczby 240 m = 0,85 ⋅ 240 m = 204 m
Odp.: Jabłonie w tym sadzie zajmują 204 m2.
Ćwiczenie:
Masło zawiera 80% tłuszczu. Ile gramów tłuszczu jest w 250 g masła? [Odp. 200 g.]
Ćwiczenie:
Smalec zawiera 95% tłuszczu. Ile gramów tłuszczu jest w 245 g masła? [Odp. 232,75 g.]
Ćwiczenie:
Do 12 kg 24%-towej solanki dosypano 120 g soli. Ile kilogramów soli jest w tym roztworze? [Podpowiedź. Solanka to woda z solą. Stężenie procentowe solanki określa ile procent całego roztworu stanowi sól. Odp.: 3 kg.]
Ćwiczenie:
W liczbie trzycyfrowej cyfrą dziesiątek jest 5. Cyfra jedności stanowi 40% cyfry dziesiątek, a cyfra setek
60% cyfry setek. Jaka to liczba? [Odp. 352.]
Ćwiczenie:
W liczbie trzycyfrowej cyfrą jedności jest 8. Cyfra dziesiątek stanowi 25% cyfry jedności, a cyfra setek
150% cyfry dziesiątek. Jaka to liczba? [Odp. 328.]
Ćwiczenie:
W liczbie czterocyfrowej dwie środkowe cyfry tworzą liczbę 36. Cyfra jedności stanowi 300% cyfry setek, a cyfra jedności 66,(6)% cyfry dziesiątek. Co to za liczba? [Odp. 9364.]
Ćwiczenie:
W pierwszych 20% roku 2009 leżał śnieg. Przez ile początkowych dni 2009 roku leżał śnieg? [Odp. 73.]
Ćwiczenie:
W 2011 roku Polska miała 379 powiatów z czego mniej więcej 17,15% stanowiły miasta na prawach
powiatu. Ile miast na prawach powiatu było w Polsce w 2011 roku? [Odp. 65.]
Ćwiczenie:
Korzeń buraka cukrowego zawiera od 17% do 21% sacharozy (cukru). Oblicz ile najmniej i ile najwięcej
można otrzymać sacharozy z korzenia buraka cukrowego ważącego 180 gramów. [Odp. Od 30,6 g do 37,8 g.]
Ćwiczenie:
Masa Marsa wynosi ok. 6,42 ⋅ 10 t. Masa Ziemi stanowi ok. 931% masy Marsa. Ile mniej więcej ton
waży Ziemia? [Odp. 59,7702 ⋅ 10ଶ଴ t ≈ 6 000 000 000 000 000 000 000 t.]
Zadanie: Sad babci ma 546 m2 powierzchni. 42% jego powierzchni zajmują grusze. Ile arów zajmują w tym sadzie
grusze?
Przypomnienie
Z ubiegłych lat nauki zapewne wiesz, że:
100 m2 = 1 a
Zauważ, że po obu stronach jest cyfra 1, i że po stronie prawej zniknęły 2 zera. Zatem wnioskujesz, że
zamieniając metry kwadratowe na ary należy skreślić 2 ostatnie zera, co w ułamkach dziesiętnych jest
równoważne przesunięciu przecinka o 2 miejsca w lewo.
Rozwiązanie
42% z liczby 546 m = 0,42
ถ ⋅ 546 m = 229,32 m = 2,2932
ᇣᇧᇤᇧᇥ a
%
ę
Odp.: Grusze w tym sadzie zajmują 2,2932 a.
Ćwiczenie:
Tata Konrada po przejechaniu swym samochodem 16,8% zaplanowanej trasy musiał się zatrzymać bo
w jednym z kół zabrakło powietrza. Ile metrów przejechał nim się zatrzymał, jeśli cała jego trasa miała
mieć długość 8 km? [Odp. 1344 m.]
Ćwiczenie:
Ilu minutom jest równe 146% doby? [Odp. 2102,4 min (2102 min 24 s).]
Ćwiczenie:
972% z 3 minut to ile sekund? [Podpowiedź: Ile sekund jest w 3 minutach? Odp. 1749,6 s.]
Ćwiczenie:
W klasie jest 21 uczniów. Dwie siódme wszystkich uczniów to chłopcy. 33,(3)% chłopców oraz 20%
dziewczynek to ateiści. Ilu ateistów jest w tej klasie? [Odp. 5 ateistów (2 chłopaków i 3 dziewczyny).]
Ćwiczenie:
W szkole jest 600 uczniów, z czego 48% stanowią chłopcy. Ile dziewczyn uczy się w tej szkole? [Odp. 312.]
Ćwiczenie:
W jaki sposób dziadek rozdzielił 75 ha pól uprawnych między 3 synów, jeśli najstarszy syn dostał 32%
całej ziemi i 1 ha, a średni 40% powierzchni jaką otrzymał najstarszy syn i jeszcze 5 ha. Ile hektarów pola otrzymał każdy z synów? [Odp. 25 ha, 25 ha, 25 ha.]
Ćwiczenie:
Waga netto pewnego produktu wynosi 46 kg. Jego tara jest równa 8% wagi brutto. Ile brutto waży ten
produkt? [Podpowiedź: n + t = b. Odp. 50 kg.]
Zadanie: Kasia rok temu ważyła 80 kg. Teraz waży o 25% mniej niż rok temu. Ile kilogramów obecnie waży Kasia?
Analiza zadania
Najpierw musisz się dowiedzieć o ile kilogramów schudła Kasia. W tym celu obliczasz 25% z liczby 80 kg.
Rozwiązanie
25% z liczby 80 kg = ⋅ 80 kg = 20 kg
— tyle kilogramów schudła Kasia w ciągu roku
80 kg − 20 kg = 60 kg
— tyle kilogramów teraz waży Kasia
Odp.: Kasia teraz waży 60 kg.
Powyższe zadanie można też było rozwiązać jednoetapowo, układając równanie:
ฑ
80 kg − 25%
⋅ 80
kg = 60 kg
ᇣᇧ
ᇧᇧᇤᇧ
ᇧᇧᇥ
Skąd w powyższym zapisie wziął się minus? Ano stąd, że Kasia schudła, czyli ubyło jej wagi. Gdyby przytyła, to trzeba
byłoby napisać plus.
Spostrzeżenie
Skoro wagę Kasi sprzed roku przyjmujesz jako 100%, to pomniejszając jej wagę o 25% sprawisz, że zostanie 75% jej
wagi. Zatem to samo zadanie można było rozwiązać jeszcze w taki sposób:
75% z liczby 80 kg =
3
⋅ 80 kg = 60 kg
4
Wniosek: Powyższy sposób jest szybszy i daje mniejsze prawdopodobieństwo pomylenia się w obliczeniach.
Gdyby się uprzeć i chcieć to zadanie liczyć z proporcji, to trzeba wykonać jedną z dwóch poniższych metod:
— za pomocą schematu:
100% —
25% —
80
‫ݔ‬
wyliczyć ile kilogramów schudła, a potem otrzymany wynik odjąć od 80 kg
— zauważyć, że gubiąc 25% swej wagi, pozostanie jej 75% tej wagi i od razu ułożyć schemat:
100% — 80
.
75% — ‫ݔ‬
Zadanie: Na kolonię pojechało 45 dzieci. 40% spośród nich stanowili chłopcy. Ile dziewczynek pojechało na tę kolonię?
Analiza zadania
Skoro chłopcy stanowili 40% wszystkich dzieci, to dziewczynki stanowiły 60% wszystkich dzieci. Razem
zawsze musi być 100%.
Rozwiązanie
bez używania proporcji
z układaniem proporcji
[To co jest napisane szarą czcionką można wykonać w myślach.]
60% z liczby 45 =
60
3
⋅ 45 = ⋅ 45 = 27
100
5
100% — 45
60% — ‫ݔ‬
%
%
=
!
To są wypisane dane z treści zadania.
To jest proporcja na podstawie powyższych danych.
Symbole % oraz liczby 100 i 60 zostały skrócone ze sobą.
=
!
5‫ = ݔ‬135 /: 5
Tak wygląda proporcja po skróceniach.
Zostało zastosowane mnożenie po skosie.
‫ = ݔ‬27
Odp.: Na tę kolonię pojechało 27 dziewczynek.
Zadanie: 48% zakładów bukmacherskich na mecz Legii Warszawa z Wisłą Kraków typowało zwycięstwo Legii Warszawa i dokładnie tyle samo zwycięstwo Wisły Kraków. Wszystkich zakładów bukmacherskich na ten mecz
zawarto 8000. Na ilu zakładach obstawiony był remis?
Analiza zadania
Skoro 48% zakładów typowało zwycięstwo Legii, 48% zwycięstwo Wisły, to 4% było na remis. Razem musi być zawsze 100%.
Rozwiązanie
4% z liczby 8000 =
4
1
⋅ 8000 =
⋅ 8000 = 320
100
25
Odp.: Remis był obstawiony na 320 zakładach.
Ćwiczenie:
Na przystanku z autobusu wysiało 10% jego pasażerów. Ilu osób pozostało w autobusie jeśli tuż przed
przystankiem w autobusie znajdowało się 20 pasażerów? [Odp. Zostało 18 pasażerów i 1 kierowca, czyli 19 osób.]
Ćwiczenie:
Ciasto w piekarniku ma się piec 2 godziny, a piecze się już 65% tego czasu. Przez ile minut ma się jeszcze ono piec? [Podpowiedź. Najpierw wyraź 2 godziny w minutach. Ile procent czasu jeszcze pozostało skoro już minęło 65%? Odp. 42 min.]
Ćwiczenie:
Tata Czarka stracił na posiadaniu akcji 98,4% kwoty którą zainwestował. Ile pieniędzy mu zostało, jeśli
na zakup akcji przeznaczył 1500 zł? [Podpowiedź. Skoro stracił 98,4%, to ile procent mu zostało? Z jakiej kwoty? Odp. 24 zł.]
Ćwiczenie:
W szkole jest 600 uczniów, z czego 48% stanowią chłopcy. Ile dziewczyn uczy się w tej szkole? Zadanie
rozwiąż nie obliczając ilu chłopców uczy się w tej szkole. [Odp. 312.]
Lubisz rozwiązywać zadania za pomocą proporcji? Spróbuj za ich pomocą rozwiązać zadanie poniższe, a gwarantuję
Ci, że proporcji w zadaniach z procentami Ci się odechce.
Zadanie: Firma kosmetyczna w poprzednim miesiącu wyprodukowała 1.200.000 sztuk kosmetyków. Do krajów Europy Zachodniej wysłała 12% tego co wyprodukowała. Do U.S.A. 282% tego co do Europy Zachodniej. Do
Australii trafiło 70% tego co zostało wysłane U.S.A. i Europy Zachodniej. Pozostała część trafiła do R.P.A.
Ile sztuk kosmetyków trafiło do krajów Europy Zachodniej, U.S.A., Australii i R.P.A?
Rozwiązanie
wyprodukowano
‫ = ݓ‬1.200.000
do Europy Zachodniej ݁ = 12% z liczby ‫= ݓ‬
do U.S.A.
do Australii
do R.P.A.
12
⋅ 1.200.000 = 144.000
100
‫ = ݑ‬282% z liczby ݁ =
282
⋅ 144.000 = 406.080
100
ܽ = 70% z liczby ሺ݁ + ‫ݑ‬ሻ =
70
⋅ ሺ144.000 + 406.080ሻ = 385.056
100
‫ ݓ = ݎ‬− ݁ − ‫ ݑ‬− ܽ = 1.200.000 − 144.000 − 406.080 − 385.056 = 264.864
Odp.: Do Europy Zachodniej trafiło 144000 sztuk kosmetyków, do U.S.A. 406080 sztuk, do Australii 385056,
a do R.P.A. trafiły 264864 sztuki.
Zadanie: W klasie I a chłopcy stanowią 80% liczby dziewcząt. Jaki jest stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców
w tej klasie?
Oznaczenia
c — liczba chłopców
d — liczba dziewcząt
Analiza zadania
Stosunek dwóch liczb, to ułamek uzyskany z podzielenia pierwszej z tych liczb przez drugą, przy czym
wynik musi być zapisany za pomocą dwukropka. Pamiętaj, że dzielenie nie jest przemienne. Kolejność
dzielonych liczb jest ważna. By wiedzieć w jakiej kolejności podzielić dwie liczby, dokładnie przeczytaj pytanie z treści zadania.
"
Z treści zadania wiesz, że c = 80%d oraz, że trzeba obliczyć # . Zatem w mianowniku (podkreską ułamkową) zamiast literki c piszesz 80%d.
Rozwiązanie
bez układania proporcji
z układaniem proporcji
݀
݀
1
100 100 5
=
= = 1 ⋅
=
= =5∶4
ܿ 80%݀ 80
80
4
[W drugim ułamku niewiadome d zostały ze sobą skrócone i dodatkowo zapis
procentowy został zamieniony na ułamek zwykły.]
100% —
80% —
"
#
=
%
%
݀
ܿ
==5∶4
[W tym zadaniu ułożenie proporcji było szybsze niż sposób po lewej
stronie, ale rzadko to się zdarza.]
Odp.: Stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców wynosi 5 : 4.
Wynik powyższego zadania należy interpretować w ten sposób, że na każde 5 dziewcząt przypada dokładnie 4-ch chłopców. Oznacza to, że gdyby w klasie było 15
dziewcząt, to chłopców byłoby dokładnie 12-stu, czyli klasa liczyłaby 27 uczniów. Poprawna jest również interpretacja odwrotna, tj. na każdych 4-ch chłopców przypada
dokładnie 5 dziewcząt. Oznacza to, że gdyby w klasie było 12-stu chłopców, to dziewcząt byłoby dokładnie 15. Zatem klasa liczyłaby 27 osób.
Ćwiczenie:
W pewnej loterii fantowej liczba losów wygrywających jakąkolwiek nagrodę stanowi 0,1% losów przegrywających. Jaki jest stosunek losów wygrywających jakąkolwiek nagrodę do liczby losów przegrywających? [Odp. 1 : 1000.]
Ćwiczenie:
Długość trasy którą Sandra przejechała rowerem stanowi 62% długości która pozostała jej do przejechania. Jaki jest stosunek długości trasy która pozostała do przejechania do długości trasy już przejechanej przez Sandrę? [Odp. 50 : 31.]
Jeśli należysz do osób święcie przekonanych, że jedyny słuszny sposób rozwiązywania zadań z procentami jest poprzez ułożenie proporcji, bo np. Twój nauczyciel matematyki tak preferuje, to pokaż mu poniższe zadanie i każ rozwiązać go wyłącznie z proporcji. Może zmieni zdanie, że układanie proporcji jest najlepszą metodą.
Zadanie: W pewnym gimnazjum chłopcy stanowią 42% wszystkich uczniów tej szkoły. Dziewcząt jest o 76 więcej niż
chłopców. Ilu uczniów liczy ta szkoła?
Oznaczenia
ܿ — liczba chłopców
݀ — liczba dziewczynek
‫ — ݑ‬liczba wszystkich uczniów tego gimnazjum (‫ ܿ = ݑ‬+ ݀)
Dane
ܿ = 42%‫ ݑ‬więc
݀ = 58%‫( ݑ‬razem zawsze musi być 100%)
݀ = ܿ + 76
Rozwiązanie
[Do powyższego równania zamiast ݀ piszemy 58%‫ ݑ‬i zamiast ܿ piszemy 42%u, bo tak jest w linijce wyżej. To co poniżej jest napisane szarą czcionką, możesz
wykonać w myślach.]
58%‫ݑ‬
ᇣᇤᇥ = 42%‫ݑ‬
ᇣᇤᇥ + 76
"
#
ᇣᇧ
ᇧᇧᇧᇤᇧ
ᇧᇧᇧᇥ = 76
58%‫ݑ‬
− 42%‫ݑ‬
%$
16%‫ = ݑ‬76
16
‫ = ݑ‬76
100
25
4
‫ = ݑ‬76 /⋅
25
4
‫ = ݑ‬475
Odp.: To gimnazjum liczy 475 uczniów.
Ćwiczenie:
W pewnym gimnazjum chłopcy stanowią 72% wszystkich uczniów tej szkoły, zaś dziewcząt jest o 55
mniej niż chłopców. Ilu uczniów liczy ta szkoła? [Odp. 125]
Ćwiczenie:
Anita, Martyna i Norbert mają razem 36 lat. Wiek Anity stanowi 200% wieku Norberta. Wiek Martyny
stanowi 75% wieku Anity. Ile lat ma Anita, Martyna i Norbert? [Podpowiedź. Skoro wiek Anity stanowi 200% wieku Norberta (jest 2 razy starsza od Norberta), to wiek Norberta stanowi ile procent wieku Anity? Odp. A = 16 lat, M = 12 lat, N = 8 lat.]
Ćwiczenie:
Ania, Michał i Natalia mają razem 58 lat. Wiek Anity stanowi 150% wieku Michała. Wiek Natalii stanowi
45% sumy lat Ani i Michała. Ile lat ma Ania, Michał i Natalia? [Podpowiedź. Procenty pozamieniaj na ułamki zwykłe.
Odp. A = 24 lat, M = 16 lat, N = 18 lat.]
Ćwiczenie:
Dany jest trójkąt i kwadrat. Suma ich pól wynosi 56 cm2. Pole kwadratu stanowi 60% pola trójkąta. Ile
wynoszą pola tych figur? [Podpowiedź. Skoro wiesz, że ܲ௧ + ܲ௞ = 56 cmଶ, więc zamiast ܲ௞ napisz 60%ܲ௧ . Odp. ܲ௧ = 35 cmଶ, ܲ௞ = 21 cmଶ.]
Zadanie: Michalina ma obecnie 6 lat, a jej brat Gabriel 14 lat. Za ile lat wiek Michaliny będzie równy 75% wieku Gabriela?
Oznaczenia
M — wiek Michaliny;
‫ ܯ‬+ ‫ — ݔ‬wiek Michaliny za ‫ ݔ‬lat
G — wiek Gabriela;
‫ ܩ‬+ ‫ — ݔ‬wiek Gabriela za ‫ ݔ‬lat
Dane
‫ = ܯ‬6, ‫ = ܩ‬14
Rozwiązanie
‫ ܯ‬+ ‫ = ݔ‬75%
ถ (‫ ܩ‬+ ‫)ݔ‬
6+‫= ݔ‬
6+‫= ݔ‬
3
⋅ ሺ14 + ‫ݔ‬ሻ
4
[Po prawej stronie ułamek ¾ trzeba wymnożyć
przez wszystko co jest w nawiasie.]
42 3
+ ‫ݔ‬
4 4
3
42
‫ݔ‬− ‫=ݔ‬
−6
4
4
1
‫ = ݔ‬4,5 /⋅ 4
4
‫ = ݔ‬18
[Zauważ, że ułamek 42/4 jest równy 10,5.]
Odp.: Za 18 lat wiek Michaliny będzie stanowić 75% wieku Gabriela.
Jeśli chcesz powyższe zadanie rozwiązać za pomocą proporcji, to dane z zadania musisz wypisać tak: 100%
75%
— ‫ܩ‬+‫ݔ‬
.
— ‫ܯ‬+‫ݔ‬
Ćwiczenie:
Marta ma obecnie 10 lat, a jej brat Patryk 20 lat. Za ile lat wiek Marty będzie równy 60% wieku Patryka? [Odp. Za 5 lat.]
Ćwiczenie:
1 kg pomarańczy kosztuje o 33,(3)% mniej niż 1 kg bananów. Paulina kupiła 1,5 kg bananów i 2 kg pomarańczy za co zapłaciła 8,50 zł. Ile kosztuje kilogram pomarańczy? [Odp. 2 zł.]

Obliczanie procentu z danej liczby - darmowy e

Transkrypt

Podobne dokumenty

rolety - Sieradzka TV Media

ZADANIA MATEMATYCZNE DO PRACY Z UCZNIEM

Świętochłowice, dn. 12.09.2016 r.

Teleturniej "Jeden z dziesięciu":

H. Gospodarka w Ameryce Południowej

Zadania 3

Przemek Iwańczak Odpowiedzi do testu Maj 2002 Odpowiedzi do