docWykład Analiza jakościowa równań różniczkowych - E-SGH
download 
Reklamacja Transkrypt
Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych - E-SGH
Stabilność Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficyna Wydawnicza WSM, Warszawa 2005. Jacek Kłopotowski 21 maja 2012 Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność Definicja Niech y0 = F (x, y) będzie równaniem różniczkowym. Rozwiązanie y? = y? (x) układu nazywamy stabilnym w sensie Lapunowa przy x x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje taka δ > 0, że dla każdego rozwiązania y = y(x) tego układu spełniony jest warunek ky(x0 ) − y? (x0 )k < δ ⇒ ^ ky(x) − y∗ (x)k < ε. xx0 Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność Definicja Rozwiązanie y? = y? (x) nazywamy asymptotycznie stabilnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest stabilne w sensie Lapunowa i dla każdego rozwiązania y = y(x) spełniony jest warunek lim ky(x) − y∗ (x)k = 0. x→∞ Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność Przykład Rozważmy równanie różniczkowe y 0 = ay . Rozwiązaniami równania spełniającymi warunek początkowy odpowiednio y0 = y (x0 ), y0? = y ? (x0 ) są funkcje y (x) = y0 e a(x−x0 ) , y ? (x) = y0? e a(x−x0 ) . Zauważmy, że |y (x) − y ? (x)| = y0 e a(x−x0 ) − y0? e a(x−x0 ) = |y0 − y0? | e a(x−x0 ) . Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność Przykład cd Jeśli a ¬ 0, to dla x x0 mamy |y (x) − y ? (x)| ¬ |y0 − y0? |, a więc spełniony jest warunek Lapunowa (z δ = ε). Ponadto, dla a < 0, mamy lim |y (x) − y ? (x)| = lim |y0 − y0? | e a(x−x0 ) x→∞ x→∞ == |y0 − y0? | lim e a(x−x0 ) = 0. x→∞ Jeśli a > 0, to żadne rozwiązanie nie jest stabilne w sensie Lapunowa. Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność Przeanalizujemy obecnie układ jednorodny dwóch równań " # a a różniczkowych y0 = Ay, gdzie A = 11 12 . Rozwiązanie a21 222 układu jest postaci " y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) = C1 " # " # " # y11 (x) y (x) + C2 12 , y21 (x) y22 (x) # y (x) y (x) gdzie wektory 11 , 12 są liniowo niezależne dla każdego y21 (x) y22 (x) x ∈ R. Zatem mamy y1 (x) = C1 y11 (x) + C2 y12 (x), y2 (x) = C1 y21 (x) + C2 y22 (x). Krzywą w przestrzeni R2 o przedstawieniu parametrycznym (y1 (x), y2 (x)), gdzie x ∈ R nazywamy orbitą. Rugując z rozwiązań zmienną niezależną x otrzymujemy równanie orbity postaci H(y1 , y2 ) = 0. Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność Analiza jakościowa układu dwóch równań o stałych współczynnikach. Zbadamy zachowanie się punktu (y1 (x), y2 (x)) leżącego na orbicie H(y1 , y2 ) = 0, gdy x → +∞. Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność " # a a Załóżmy, że macierz A = 11 12 jest nieosobliwa (obie a21 a22 wartości własne są różne od zera). Wielomian charakterystyczny macierzy A ma postać " # a −λ a12 = λ2 − (a11 + a22 ) λ + a11 a22 − a12 a21 = det 11 a21 a22 − λ = λ2 − trAλ + det A oraz ∆ = tr2 A − 4 det A. Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność Rozważamy następujące przypadki. I. Oba pierwiastki są rzeczywiste, czyli ∆ > 0. Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność I a) Oba pierwiastki są ujemne. Orbity są pokazane na rysunku 1.3. Położenie równowagi jest stabilne i asymptotycznie stabilne. Punkt równowagi jest nazywany w tym przypadku stabilnym węzłem. Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność I b) Oba pierwiastki są dodatnie. Orbity przedstawione są na rysunku 1.4. Położenie równowagi jest niestabilne. Punkt równowagi nazywa się niestabilnym węzłem. y2 y1 Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność I c) Jeden pierwiastek jest dodatni, a drugi jest ujemny. Punkt równowagi nazywa się siodłem. y2 y1 Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność Na jednej z prostych rozwiązanie przy x → ∞ oddala się od punktu równowagi, na drugiej się przybliża. Na innych orbitach rozwiązanie przybliżają się do punktu (0, 0), ale potem się od niego oddala. Położenie równowagi nie jest stabilne. Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność II. ∆ < 0. Wielomian charakterystyczny ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ. Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność II a) trA = a11 + a22 < 0. Jedna z orbit przedstawiona jest na rysunku 1.6. Punkty na orbitach przy x → ∞ zbiegają do punktu (0, 0). Położenie równowagi jest stabilne i asymptotycznie stabilne. Punkt równowagi nazywa się ogniskiem stabilnym. y2 y1 Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność II b) trA = a11 + a22 > 0. Jedna z orbit przedstawiona jest na rysunku 1.7. Punkty na orbitach przy x → ∞ oddalają się od punktu (0, 0). Położenie równowagi jest niestabilne. Punkt równowagi nazywa się ogniskiem niestabilnym. y2 y1 Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność II c) trA = a11 + a22 = 0. Orbity przedstawione są na rysunku 1.8. Położenie równowagi jest stabilne, ale nie jest asymptotycznie stabilne. y2 y1 Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność III. ∆ = 0. Możliwe są cztery przypadki. Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność III a) Macierz A ma jeden pierwiastek podwójny λ < 0 i dwa liniowo niezależne wektory własne. Układ równań można sprowadzić do dwóch niezależnych równań. Orbity przedstawione są na rysunku 1.9. Położenie równowagi jest asymptotycznie stabilne. Punkt równowagi nazywa się węzłem gwiaździstym stabilnym. y2 y1 Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność III b) Macierz A ma jeden pierwiastek podwójny λ > 0 i dwa liniowo niezależne wektory własne. Układ równań można sprowadzić do dwóch niezależnych równań. Orbity przedstawione są na rysunku 1.10. Położenie równowagi jest niestabilne. Punkt równowagi nazywa się węzłem gwiaździstym niestabilnym. y2 y1 Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność III c) Macierz A ma jeden pierwiastek podwójny λ < 0 i jeden wektor własny. Układu nie można sprowadzić do dwóch niezależnych równań. Orbity przedstawione są na rysunku 1.11. Położenie równowagi jest asymptotycznie stabilne. Punkt równowagi nazywamy stabilnym węzłem zdegenerowanym. y2 y1 Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Stabilność III d) Macierz A ma jeden pierwiastek podwójny λ > 0 i jeden wektor własny. Układu równań nie można sprowadzić do dwóch niezależnych równań. Orbity przedstawione są na rysunku 1.12. Położenie równowagi jest niestabilne. Punkt równowagi nazywamy niestabilnym węzłem zdegenerowanym. y2 y1 Jacek Kłopotowski Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
