Część IV
Transkrypt
Część IV
– Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Funkcja kwadratowa 4. Funkcja kwadratowa Ogólna postać trójmianu kwadratowego y = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ̸= 0 Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy ∆ = b2 − 4ac Równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 (a ̸= 0) • Jeśli ∆ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste postaci x1 = b • Jeśli ∆ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie postaci x0 = − 2a . • Jeśli ∆ < 0, to równanie nie ma rozwiązania w zbiorze R. √ −b− ∆ , 2a x2 = √ −b+ ∆ . 2a Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego y = ax2 + bx + c • Jeśli ∆ > 0, to y = a(x − x1 )(x − x2 ). • Jeśli ∆ = 0, to y = a(x − x0 )2 . Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego y = ax2 + bx + c y = a(x − p)2 + q, b ∆ gdzie p = − 2a , q = − 4a . Wykresem trójmianu kwadratowego jest parabola. Położenie wykresu zależy od ∆ i a. Współrzędne wierzchołka paraboli to W = (p, q). 16 Funkcja kwadratowa Wzory Viete’a Jeśli trójmian kwadratowy y = ax2 + bx + c (a ̸= 0) ma dwa pierwiastki x1 , x2 , to x1 + x2 = − ab , x1 · x2 = c a Przykładowe zadania 1. Przedstawić trójmian kwadratowy y = x2 + 4x + 7 w postaci kanonicznej. Rozwiązanie: b ∆ = −2, q = − 4a = 3, ∆ = b2 − 4ac = −12, p = − 2a 2 2 y = (x − p) + q = (x + 2) + 3. 2. Rozwiązać równanie kwadratowe x2 + 5x + 6 = 0. Rozwiązanie: ∆ = b2 − 4ac = 25 − 24 = 1, x1 = √ −b− ∆ 2a = −3, x2 = √ −b+ ∆ 2a = −2 Odpowiedź: x ∈ {−3, −2}. 3. Rozwiązać równanie kwadratowe x2 − 4x + 4 = 0. Rozwiązanie: b ∆ = b2 − 4ac = 0, x0 = − 2a =2 Odpowiedź: x = 2. 4. Rozwiązać równanie kwadratowe x2 + 5x + 5 = 0. Rozwiązanie: ∆ = b2 − 4ac = −16 < 0 Odpowiedź: Nie ma rozwiązania w zbiorze R. 5. Rozwiązać nierówność kwadratową x2 − 4x − 5 < 0. Rozwiązanie: ∆ = b2 − 4ac = 36, x1 = √ −b− ∆ 2a = −1, x2 = √ −b+ ∆ 2a 5 -1 =5 x Odpowiedź: x ∈ (−1, 5). 6. Rozwiązać nierówność kwadratową x2 + 6x + 9 6 0. Rozwiązanie: b ∆ = b2 − 4ac = 0, x0 = − 2a = −3, -3 x Odpowiedź: x = −3. 17 Funkcja kwadratowa 7. Rozwiązać nierówność kwadratową 2x2 + x + 3 > 0. Rozwiązanie: ∆ = b2 − 4ac = 1 − 24 = −23 y 0 x Odpowiedź: x ∈ R. 8. Rozwiązać nierówność kwadratową −x2 + 2x + 3 6 0. Rozwiązanie: ∆ = b2 − 4ac = 16, x1 = √ −b− ∆ 2a = 3, x2 = √ −b+ ∆ 2a = −1 3 -1 x Odpowiedź: x ∈ (−∞, −1] ∪ [3, +∞). 9. Rozwiązać nierówność kwadratową −x2 + 2x − 1 > 0. Rozwiązanie: b ∆ = b2 − 4ac = 0, x0 = − 2a =1 lub −(x2 − 2x + 1) > 0 −(x − 1)2 > 0 (x − 1)2 < 0 1 x Odpowiedź: x ∈ ∅. 10. Rozwiązać nierówność kwadratową −x2 − 2x − 5 < 0. Rozwiązanie: ∆ = b2 − 4ac = −16 < 0, nie ma miejsc zerowych. y 0 Odpowiedź: x ∈ R. 18 x Funkcja kwadratowa 11. Dla trójmianu kwadratowego y = x2 + 3x + 2 obliczyć x21 + x22 (skorzystać ze wzorów Viete’a). Rozwiązanie: Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Stąd a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab. Zatem x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 . Korzystając ze wzorów Viete’a x1 + x2 = − ab oraz x1 · x2 = ac otrzymujemy x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2 · x1 x2 = (− ab )2 − 2 ac = (− 31 )2 − 2 · 21 = 9 − 4 = 5 Odpowiedź: 5. Zadania Narysować wykres funkcji: 1. f (x) = −4x2 + 16. 7. f (x) = 1 − |x2 − 2|. 2. f (x) = 4 − x2 . 8. f (x) = 2|x2 − 5x|. 3. f (x) = −3(x − 2)2 . 9. f (x) = |x2 − 5x + 6| + 2. 4. f (x) = −2x2 − |x| + 3. 10. f (x) = | − x2 + x − 7| − 1. 5. f (x) = |4x2 − 3|. 11. f (x) = −3|1 − (x − 1)2 |. 6. f (x) = 2(x + 5)2 − 1. 12. f (x) = −2|x2 − 1|. Znaleźć postać kanoniczną: 13. f (x) = x2 − 34 x + 7 16 . 17. f (x) = −x2 + 8x − 3. 14. f (x) = 3x2 − 6x + 9. 18. f (x) = 2x2 − 8x + 11. 15. f (x) = −x2 − 7x + 6. 19. f (x) = 21 x2 − 4x − 7. 16. f (x) = −7x2 + 3x + 4. Zapisać trójmiany kwadratowe w postaci iloczynowej: 20. f (x) = −x2 + x + 12. 23. f (x) = −5x2 + 3x + 8. 21. f (x) = x2 − 8x + 12. 24. f (x) = x2 + 8x + 16. 22. f (x) = 8x2 − 14x + 3. 25. f (x) = − 31 x2 + 5x + 18. Rozwiązać równanie: 26. x(x − 4) + 3x + 7 = 3(x + 1). 31. (x − 4)2 = (x + 4)(2x − 1). 27. x2 − 15x − 26 = (7 − x)(x + 7) − (x + 5)2 . 32. (x + 1)(2x + 3) = 4x2 − 22. 28. x3 + 4x2 − 3 = x(x − 2)2 + 7x. 33. 2(3x + 1) + x(x + 3) = 8x. 29. 8 − 4x = 2 + 5x − 3x2 . 34. (3x − 5)(2x − 5) − x2 = 2x − 3. 30. (x + 3)2 − (x + 4)2 = 3x2 . 19 Funkcja kwadratowa Rozwiązać nierówność: 35. −8 > x2 + 6x. 40. x(x + 19) 6 3(18 + 5x). 36. (x − 3)(2x − 5) < 4x2 − 2x − 20. 41. x2 < −4(x + 1). 37. (2x − 2)(x − 3) < (x − 4)(x + 2). 42. 4x2 − 1 < (2x − 1)(x + 3). √ √ 43. 3x2 − 4x + 3 < 0. 38. 2x(x − 10) > 4(x − 8). 39. x + 3 > (x − 2)2 . Rozwiązać równanie: 44. |x2 − 4x − 12| = 7x. 49. |x2 − 1| = 2|x2 − 3|. 45. |x2 − x| = x − 1. 50. ||x2 − 1| − 3| = 2. 46. 2x2 + |x| = 1. 51. (|x| − 1)2 − |3x − 1| = 2. 47. |x2 − 9| + |x2 − 4| = 5. 52. (x − 1)|x + 1| − 3 = 0. 48. |x2 − 4x| = 6 − |x|. 53. x2 + 6|x − 3| = 1. Rozwiązać nierówność: 54. |x2 − 4x + 3| < 2. 56. x|x − 1| − 5x − 14 < 0. 55. x2 − 7|x| + 6 6 0. 57. x2 − 2x 6 5|x − 1| − 7. 58. Dla jakich wartości parametru m równanie 2x2 − mx + 18 m2 + m = 0 ma dwa pierwiastki ujemne? 59. Dla jakich wartości parametru m równanie (m+1)x2 −4mx+m+1 = 0 ma dwa różne pierwiastki? 60. Dla jakich wartości parametru m równanie (m + 1)x2 + 2x + 1 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków? 61. Dla jakich wartości parametru m równanie x2 + (2m − 3)x + (m − 2)2 = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste? 62. Dla jakich wartości parametru m równanie (m + 2)x2 − 4x + 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania? 63. Dla jakiej wartości parametru m funkcja f (x) = −x2 + mx − m2 + 2m − 1 ma wartość ujemną dla każdej rzeczywistej wartości zmiennej x? 64. Dla jakiej wartości parametru m funkcja f (x) = mx2 + 2(m − 1)x + m − 2 ma stały znak? 65. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x2 + (3m − 1)x + 4 = 0 spełniają warunek x21 + x22 = 1? 66. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x2 + mx + m − 2 = 0 spełniają warunek (2x1 + x2 )(2x2 + x1 ) = 1? Rozwiązać układ równań: { 67. { 68. 20 x2 − 2x − 3 = y 1 − 2x = y 2x + xy + 2y = −13 x − 2xy + y = 46 { 69. x2 + 4x + y + 3 = 0 { 70. x2 + 2x + 1 = y 2x2 − y + 3 = 0 2x − y − 4 = 0 { 71. { 72. x2 − 4x + 3 = y x−y−1=0 |x2 − 4| = y |x − 2| + 2x = y