Część IV

–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki
dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Biotechnologia
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Funkcja kwadratowa
4. Funkcja kwadratowa
Niech a, b, c ∈ R, a ̸= 0. Funkcję określoną wzorem
f (x) = ax2 + bx + c
nazywamy funkcją kwadratową. Wyrażenie ax2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, a liczbę
∆ = b2 − 4ac jego wyróżnikiem.
Równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 (a ̸= 0)
• Jeśli ∆ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste postaci x1 =
b
• Jeśli ∆ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie postaci x0 = − 2a
.
• Jeśli ∆ < 0, to równanie nie ma rozwiązania w zbiorze R.
√
−b− ∆
,
2a
x2 =
√
−b+ ∆
.
2a
Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c
• Jeśli ∆ > 0, to ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
• Jeśli ∆ = 0, to ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 .
Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c
b
∆
Jeśli p = − 2a
, q = − 4a
, to
ax2 + bx + c = a(x − p)2 + q
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Położenie wykresu zależy od wyróżnika ∆ i współczynnika a. Współrzędne wierzchołka paraboli to W = (p, q).
19
Funkcja kwadratowa
Wzory Viete’a
Jeśli trójmian kwadratowy y = ax2 + bx + c (a ̸= 0) ma dwa pierwiastki x1 , x2 , to
x1 + x2 = − ab ,
x1 · x2 = ac .
4.1. Przykładowe zadania
1. Przedstawić trójmian kwadratowy y = 2x2 − 3x − 2 w postaci iloczynowej.
Rozwiązanie:
Korzystając z odpowiednich wzorów mamy: ∆ = 25, zatem x1 =
Stąd y = a(x − x1 )(x − x2 ) = 2(x + 12 )(x − 2).
3−5
4
= − 12 , x2 =
3+5
4
= 2.
Odpowiedź: 2(x + 12 )(x − 2).
2. Przedstawić trójmian kwadratowy y = x2 + 4x + 7 w postaci kanonicznej.
Rozwiązanie:
b
∆
∆ = b2 − 4ac = −12, p = − 2a
= −2, q = − 4a
= 3,
2
2
y = (x − p) + q = (x + 2) + 3
Odpowiedź: (x + 2)2 + 3.
3. Znaleźć sumę oraz iloczyn pierwiastków równania x2 − 2x − 7 = 0.
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzorów Viete’a mamy: x1 + x2 = − ab = 2, x1 · x2 =
c
a
= −7.
Odpowiedź: x1 + x2 = 2, x1 · x2 = −7.
4. Dla trójmianu kwadratowego y = x2 + 3x + 2 obliczyć x21 + x22 (skorzystać ze wzorów Viete’a).
Rozwiązanie:
Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Stąd a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab.
Zatem x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 .
Korzystając ze wzorów Viete’a x1 + x2 = − ab oraz x1 · x2 = ac otrzymujemy
x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2 · x1 x2 = (− ab )2 − 2 ac = (− 31 )2 − 2 · 21 = 9 − 4 = 5
Odpowiedź: 5.
5. Rozwiązać równanie kwadratowe x2 + x − 12 = 0.
Rozwiązanie:
∆ = b2 − 4ac = 49, x1 =
√
−b− ∆
2a
= −4, x2 =
√
−b+ ∆
2a
Odpowiedź: x ∈ {−4, 3}.
6. Rozwiązać równanie kwadratowe 4x2 + 4x + 1 = 0.
Rozwiązanie:
b
∆ = b2 − 4ac = 0, x0 = − 2a
= − 12
Odpowiedź: x = − 12 .
20
=3
Funkcja kwadratowa
7. Rozwiązać równanie kwadratowe x2 + 5x + 5 = 0.
Rozwiązanie:
∆ = b2 − 4ac = −16 < 0
Odpowiedź: Nie ma rozwiązania w zbiorze R.
8. Rozwiązać nierówność kwadratową x2 − 4x − 5 < 0.
Rozwiązanie:
∆ = b2 − 4ac = 36, x1 =
√
−b− ∆
2a
= −1, x2 =
√
−b+ ∆
2a
=5
5
-1
x
Odpowiedź: x ∈ (−1, 5).
9. Rozwiązać nierówność kwadratową x2 + 6x + 9 6 0.
Rozwiązanie:
b
∆ = b2 − 4ac = 0, x0 = − 2a
= −3,
-3
x
Odpowiedź: x = −3.
10. Rozwiązać nierówność kwadratową 2x2 + x + 3 > 0.
Rozwiązanie:
∆ = b2 − 4ac = 1 − 24 = −23
y
0
x
Odpowiedź: x ∈ R.
11. Rozwiązać nierówność kwadratową −x2 + 2x + 3 6 0.
Rozwiązanie:
∆ = b2 − 4ac = 16, x1 =
√
−b− ∆
2a
= 3, x2 =
√
−b+ ∆
2a
-1
= −1
3
x
Odpowiedź: x ∈ (−∞, −1] ∪ [3, +∞).
21
Funkcja kwadratowa
12. Rozwiązać nierówność kwadratową −x2 + 2x − 1 > 0.
Rozwiązanie:
b
∆ = b2 − 4ac = 0, x0 = − 2a
=1
1
x
Odpowiedź: x ∈ ∅.
13. Rozwiązać nierówność kwadratową −x2 − 2x − 5 < 0.
Rozwiązanie:
∆ = b2 − 4ac = −16 < 0, nie ma miejsc zerowych
y
0
x
Odpowiedź: x ∈ R.
4.2. Zadania
Narysować wykres funkcji:
1. f (x) = (x + 1)2 − 1.
5. f (x) = |(x − 1)2 − 3| − 1.
9. f (x) = (x + 3)2 − 4.
2. f (x) = x2 + 3.
6. f (x) = −2x2 + 3x − 1.
10. f (x) = | − x2 + x − 7| − 1.
3. f (x) = |x2 + 2x − 1|.
7. f (x) = −3|1 − (x − 1)2 |.
11. f (x) = |1 − (x − 1)2 |.
4. f (x) = 2 − |x2 + 2x − 3|.
8. f (x) = 3x2 − 2|x| − 1.
Zapisać wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej:
12. f (x) = −x2 − 6x + 3.
16. f (x) = x2 + x + 41 .
20. f (x) = − 31 x2 − 31 x +
13. f (x) = 4x2 − 16x + 15.
17. f (x) = 4x2 + 8x + 13.
21. f (x) = x2 − x + 1.
14. f (x) = 2x2 − 2x + 34 .
18. f (x) = −3x2 − 2x + 43 .
22. f (x) = −x2 + 23 x − 19 .
15. f (x) = −4x2 − 4x + 7.
19. f (x) = 5x2 − 10x − 4.
5
12 .
Zapisać wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:
23. f (x) = 2x2 − 3x + 1.
27. f (x) = 9x2 − 6x + 1.
31. f (x) = 4x2 + 13x + 3.
24. f (x) = 3x2 + 5x − 2.
28. f (x) = 2x2 − 8x + 6.
32. f (x) = x2 + 2x − 1.
25. f (x) = 12 x2 + 3x + 4.
29. f (x) = 8x2 − 2x − 1.
33. f (x) = −9x2 − 3x + 2.
26. f (x) = −2x2 + 7x + 4.
30. f (x) = x2 − 2.
Znaleźć współrzędne wierzchołka paraboli danej równaniem:
34. y = x2 + 4x + 5.
22
35. y = x2 + 5x + 6.
36. y = 14 x2 − x + 41 .
Funkcja kwadratowa
Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji:
37. f (x) = x2 − 2x − 2.
38. f (x) = −x2 − 4x + 1.
39. f (x) = 5x2 + 3x − 54 .
40. x2 − 4x + 4 = 0.
46. x4 − 9x2 + 8 = 0.
41. x2 − 4x + 5 = 0.
47. x4 − 2x2 − 8 = 0.
52. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12.
√
53. (x − 3) − 2 x − 3 − 3 = 0.
42. 9x2 + 3x − 2 = 0.
48. |3x + x2 | = 2.
54. |x2 − 9| + |x2 − 4| = 5
43. |x2 − 3| = 1.
49. 3x2 = |5x + 2|.
55. |2x2 − 3| = |3x2 − 7|.
44. |x2 − 7x + 8| = 2.
50. 4 − |x2 − 5x + 4| = x.
56. (|x| − 1)2 − |3x − 1| = 2.
45. x2 + |x| − 2 = 0.
51. x2 − 1 = 1 − |x|.
Rozwiązać równanie:
Rozwiązać nierówność:
57. x2 − 3 > 0.
62. 3x2 − 8x − 3 > 0.
67. |x2 + 6x − 1| > 15.
58. 2x − x2 < 0.
63. −x2 + 6x − 9 > 0.
68. |x2 − 6| 6 10.
59. x2 + x + 1 > 0.
64. |x2 − 3x − 1| > x + 1.
69. |x2 − 5| > 4.
60. −x2 + 6x − 10 > 0.
65. |x2 − 6| > x.
70. x4 − 5x2 + 4 < 0.
61. −2x2 + 5x − 2 > 0.
66. x|x| − 4x + 3 < 0.
Dane jest równanie 2x2 − 3x − 7 = 0. Nie wyznaczając rozwiązań tego równania x1 , x2 obliczyć:
71. |x1 |2 + |x2 |2 .
72. |x1 |3 + |x2 |3 .
73. |x1 − x2 |.
74.
1
(x1 )2 ·x2
+
1
(x2 )2 ·x1
.
75. Dla jakich wartości parametru m równanie 2x2 − (m − 1)x + m + 1 = 0 ma pierwiastki spełniające
warunek |x2 − x1 | = 1?
Rozwiązać równanie i zbadać liczbę rozwiązań w zależności od parametrów m i n:
76. x2 − m2 = 2mx + 1.
78. x2 + 2mx = n.
80. mx2 + 3x − m = 0.
77. x2 − mx + m = 1.
79. x2 − mx + mn = n2 .
81. (m−1)x2 +(2m−1)x−1 = 0.
82. Zapisać wyrażenie x4 + 1 w postaci iloczynowej.
83. Wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji f (x) = 1 +
1
2
√
4x2 − 4x + 1.
Rozwiązać algebraicznie i graficznie układ równań:
{
84.
x + y − 4x − 2y + 1 = 0.
2
{
85.
{
86.
x2 − 4x + 3 = 3y
2
x2 + y 2 − 2x + 4y = 4
x2 + y 2 − x + y = 12 .
x2 − y 2 + 48 = 0
xy − 7 = 0.
{
87.
x + y = 1.
{
88.
{
89.
x2 + y 2 = 4
y = x2 − 4x + 3
x − y − 1 = 0.
y = x2 + 2x + 1
x2 + 4x + y + 3 = 0.
{
90.
x2 + y 2 = 13.
{
91.
{
92.
xy = 6
y 2 − |xy| + 2 = 0
8 − x2 = (x + 2y)2 .
x − |y + 1| = 1
10 − x2 = y
23