Funkcje potęgowe, wykładnicze i logarytmiczne. 1 Przypomnienie

Funkcje potęgowe, wykładnicze i logarytmiczne.
mgr Zofia Makara
17 listopada 2003 roku
1
Przypomnienie podstawowych pojęć
Definicja 1 Funkcją potęgową nazywamy funkcję opisaną wzorem postaci:
f (x) = xa ,
gdzie a jest dowolną stałą.
Ciekawostka 1 Łatwo zauważyć, że:
• dziedzina funkcji potęgowej zależy od a;
• dla każdego argumentu x > 0 funkcja jest określona;
• dla każdego argumentu x > 0 funkcja jest ciągła.
Definicja 2 Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję opisaną wzorem postaci:
f (x) = ax ,
gdzie a > 0 jest ustaloną liczbą.
Ciekawostka 2 Łatwo zauważyć, że:
• a ∈ (0, 1) - dana funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą;
• a = 1 - dana funkcja wykładnicza jest funkcją stałą;
• a > 1 - dana funkcja wykładnicza jest funkcją rosnącą;
• dla każdego a > 0 i a 6= 1 funkcja jest różnowartościowa;
• dla każdego argumentu x funkcja jest ciągła.
Definicja 3 Funkcją logarytmiczą nazywamy funkcję opisaną wzorem postaci:
f (x) = loga x,
gdzie x > 0, zaś a > 0 i a 6= 1 jest ustaloną liczbą.
1
Ciekawostka 3 Łatwo zauważyć, że:
• funkcja logarytmiczna f (x) = loga x jest funkcją odwrotną do funkcji
wykładniczej f (x) = ax ;
• a ∈ (0, 1) - dana funkcja logarytmicza jest funkcją malejącą;
• a > 1 - dana funkcja logarytmicza jest funkcją rosnącą;
• dla każdego a > 0 i a 6= 1 funkcja jest różnowartościowa;
• dla każdego argumentu x > 0 funkcja jest ciągła.
1.1
Określenie potęgi
Jeżeli a ∈ R oraz n ∈ N ∪ {0} potęgę określa się wzorami:
a0 = 1;
a1 = a;
an = a
· · a};
| ·{z
n
Jeżeli a ∈ R − {0} oraz n ∈ N potęgę określa się wzorem:
a−n =
1
;
an
Jeżeli a ∈ R+ oraz n, m ∈ N potęgę określa się wzorem:
1
m
a n = am n ;
gdzie
1
an =
1.2
√
n
a = b ⇔ bn = a;
Własności działań na potęgach
• ax · ay = ax+y ;
• ax : ay =
ax
ay
= ax−y ;
• (a · b)x = ax · bx ;
x
• (a : b)x = ( ab )x = ax · bx = ( abx );
• (ax )y = ax·y ;
2
1.3
Określenie logarytmu
Jeśli x ∈ R+ 0, zaś aıR+ −{1} jest ustaloną liczbą, wówczas logarytm określa
się wzorem:
loga x = b ⇔ ab = x
1.4
Własności logarytmu
Jeśli x ∈ R+ 0, zaś a, b ∈ R+ − {1} jest ustaloną liczbą, wówczas logarytm
spełnia następujące twierdzenia:
• loga (x · y) = loga x + loga y;
• loga ( xy ) = loga x − loga y;
• loga (xp ) = p loga x;
• loga x =
logb x
logb a ;
z czego można wyciągnąć następujące wnioski:
• loga x = − log 1 x;
a
• loga x = log 1 a;
x
i własności:
Własność 1 Jeśli x ∈ R+ , zaś aıR+ − {1} jest ustaloną liczbą, wówczas:
loga x = loga y ⇔ x = y;
Własność 2 Jeśli x ∈ R+ , zaś a ∈ (0; 1) jest ustaloną liczbą, wówczas
loga x < loga y ⇔ x > y;
Własność 3 Jeśli x ∈ R+ 0, zaś a ∈ (1; ∞) jest ustaloną liczbą, wówczas
loga x < loga y ⇔ x < y;
1.5
Przykłady funkcji potęgowych
1
1.6
Wykresy funkcji wykładniczych
2
1.7
Wykresy funkcji logarytmicznych
3
1
rysunki przedstawiane w DL
Wykresy funkcji wykładniczych są tworzone w programie Mathematica.
3
Wykresy funkcji logarytmicznych są tworzone w programie Mathematica.
2
3
Rysunek 1: Wykres funkcji f (x) = x2 .
Rysunek 2: Wykres funkcji f (x) = x3 .
Rysunek 3: Wykres funkcji f (x) =
4
√
x.
Rysunek 4: Wykres funkcji f (x) = x1 .
Rysunek 5: Wykres funkcji f (x) =
1
x2 .
Rysunek 6: Wykres funkcji f (x) = ( 12 )x .
5
Rysunek 7: Wykres funkcji f (x) = 2x ,.
Rysunek 8: Wykres funkcji f (x) = log 1 x.
2
6
Rysunek 9: Wykres funkcji f (x) = log2 x,.
2
Zadania
2.1
Funkcja potęgowa
Zadanie 1 Obliczyć wartości:
•
12·212 −5·46
;
213
•
2·320 −5·319
;
919
•
(3·220 +14·29 )·52
;
13·84
•
3·5112 −10·5111
;
3·5110
Zadanie 2 Oblicz
• 23 ;
2
• 27 3 ;
• 2−3 ;
1
• 1000 3 ;
• 2·9
• 25 ·
•
−3
2
;
−1
5
· 15 ;
1
·2·25
3
;
53 · 18 ·27
• 0, 008
−1
3
·
1
2
− 4 + (12120 )15 ;
7
√ √ √
6 3 2;
√
√
• 3 6 3 18;
√ √ √
• 4 24 4 27 4 2;
•
•
2
3
· (81 · a + 2 · b);
Zadanie 3 Przedstaw w postaci ab , gdzie a ∈ N , b ∈ W :
√
• 4 2;
√
• 18 2;
√
• 18 3 2;
•
64
√
;
2
• 16
sr
q√
2;
Zadanie 4 Wykonaj działania:
Przykład:
(
x−2 · x5 2
x−2+5 2
x3 2
)
=
(
)
=
(
) = (x3−2 )2 = x1·2 = x2 .
x2
x2
x2
•
a−2 ·a7
a5 ;
•
a3 ·a−1 ·a·a112
;
a115
•
a5 ·b11
c14 ·b7
•
a321 ·b563
s15 ·m100
9
·
c10 ·b2
a4 ·b ;
:
12 3
m−112 ·s560
s5 ·m10 ;
1
• ( (a m·b10 ) ) 3 .
Zadanie 5 Wykonaj działania:
• (2a2 + 3a5 − a4 + a−2 ) · a−3 ;
• (3a−2 − 3a−3 + a−4 + ab3 ) · a3 b2 ;
• (a2 + b3 )(ab + a−1 − b2 ).
Zadanie 6 Rozwiąż równania:
• x
−3
4
=
1
27 ;
1
• x 3 = 18 ;
8
3
• (3x 2 )−1 =
1
24 ;
Zadanie 7 Rozwiąż równania i nierówności:
2
• x 3 + 8 = 9x1 3;
1
• x2 − 5(x2 − 2) 2 = −4;
• x−1 > x−2 ;
• (x − 1)−1 < x;
2.2
Funkcja wykładnicza
Zadanie 8 Sprawdź, który z wykłdaników (m, czy n) jest większy:
• ( 32 )n < ( 23 )m ;
• ( 32 )n < ( 32 )m ;
• ( 13 )n < ( 13 )m ;
• 3n < 3m ;
Zadanie 9 Rozwiąż nierówności:
• 3x < 81;
• ( 12 )x <
1
64 ;
• ( 13 )x < 27;
• (2x+1 )2 < 32;
• 7x < 1;
Zadanie 10 Rozwiąż równania:
• 22x−3 = 4−5 ;
√
• ( 15 )−x+1 = 5 125;
• ( 13 )x−1 · ( 19 )−x+3 < 273 ;
• 2x+2 + 2x = 10;
• 4 · 5x+2 + 75 · 5x = 15 ;
• 13x+2 = 12x+2 ;
• 13x−2 = 12−x+2 ;
9
* 12x+2 = 32x · 2x+2 ;
Zadanie 11 Rozwiąż równania:
1 2
• 2−5x+3 < 4− 2 x ;
1
1
• 3 x + 3 x +2 > 810;
• 3x
2.3
2 −9x+7
> 1;
Funkcja logarytmiczna
Zadanie 12 Oblicz:
• log2 16;
√
• log2 3 2;
• log2 2;
• log2 1;
• log2 4
rq
√
2;
• 2log2 32 ;
• 3log3 11 ;
• 42 log4 2 ;
• 22+3 log2 3 ;
• 42−log2 7 ;
Zadanie 13 Wyznacz a jeśli wiadomo:
• log2 a = 3;
• log 1 a = −3;
3
• log√2 a = 6;
• loga 3 = −1;
• loga 3
q√
3 = 13;
Zadanie 14 Wyznacz dziedzinę funkcji:
• log2 (3x − 1);
• log2 (12x + 6);
10
• log2 (x2 − 1);
• log3 (2x − 4);
x−1
);
• log2 ( 2x+4
• log2 (1 + log2 (2 + log 1 (x2 +5x+6) ));
2
Zadanie 15 Rozwiąż równania:
• log2 (3x − 1) + log2 (3x + 1) = 1;
• log2 (3x − 1) − log2 (x2 ) = 2;
• log2 ( log
2
log2 x+1
2x+3+log2 x−1
= 1;
Zadanie 16 Rozwiąż nierówności:
• log2 [log3 (x + 1)] < 1;
• logx (x2 − 3) − logx (x − 1) > 1;
11