6 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne.

MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
6
6.1
rok ak. 2009/2010
kierunek: Automatyka i Robotyka
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne.
Funkcje wykładnicze oraz ich własności.
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcje f określona wzorem
f (x) = ax ,
(1)
gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
Df = R,
f (x) ∈ Rf = R+ = (0, +∞).
Dla a ∈ (0, 1) funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą, natomiast dla a ∈ (1, +∞) jest funkcją
rosnącą.
Y
Y
y = ax
y = ax
0<a<1
1
1
X
a>1
X
Wykres funkcji wykładniczej nazywamy krzywą wykładniczą.
1
1 x
Ponieważ a = x =
, dla a < 0 i a 6= 1, więc krzywe wykładnicze y = ax i y =
a
a
symetryczne względem osi OY .
−x
6.2
x
1
a
są
Równania i nierówności wykładnicze.
Równaniem wykładniczym (nierównością wykładniczą) nazywamy takie równanie (nierówność),
którego niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi.
Równaniem wykładniczym jest na przykład równanie typu: af (x) = ag(x) , gdzie a ∈ R \ {1} a
f (x) i g(x) są dowolnymi funkcjami zmiennej rzeczywistej.
2
Przykłady równań wykładniczych: 5x −1 = 25, 22x − 5 · 2x = 6, itp.; patrz np. lista VIII
zadanie 8.2.
2
Przykłady nierówności wykładniczych: 5x −1 < 25, 22x − 5 · 2x > 6, itp.; patrz np. lista VIII
zadanie 8.10.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
22
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
kierunek: Automatyka i Robotyka
rok ak. 2009/2010
Schemat rozwiązywania równań wykładniczych wygląda następująco:
• ustalamy dziedzinę
• sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z
równości podstaw wynika równość wykładników
• rozwiązujemy równanie
• sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie
• podajemy odpowiedź
W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:
• ustalić dziedzinę
• sprowadzić obie strony nierówności do tych samych podstaw albo przekształcamy do innej
nierówności, którą potrafimy rozwiązać
• wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio nierówność:
dla a > 1
an > am ⇐⇒ n > m
an < am ⇐⇒ n < m
analogicznie dla porównań „>” czy też „6”;
dla 0 < a < 1
an > am ⇐⇒ n < m
an < am ⇐⇒ n > m
analogicznie dla porównań „>” czy też „6”
• rozwiązujemy otrzymaną nierówność i sprawdzamy, czy rozwiązania należą do dziedziny
• udzielamy odpowiedzi
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
23
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
6.3
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
rok ak. 2009/2010
kierunek: Automatyka i Robotyka
Funkcje logarytmiczne oraz ich własności.
Definicja 1. Logarytmem liczby x > 0 przy podstawie a ∈ (0, 1)∪(1, +∞) nazywamy wykładnik
potęgi y, do której należy podnieść podstawę a, żeby otrzymać x.
Mamy więc
loga x = y ⇔ ay = x dla x > 0 i a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
Z definicji logarytmu wynikają następujące własności:
loga a = 1, dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
(2)
loga 1 = 0, dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
(3)
Jeżeli x > 0, y > 0 i a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), to
loga (x · y) = loga x + loga y.
x
loga
= loga x − loga y.
y
loga xα = α loga x,
dla α ∈ R.
logb x
,
dla b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
loga x =
logb a
1
,
dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
loga x =
logx a
a = blogb a ,
dla a > 0, b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcje f określona wzorem
f (x) = loga x,
gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
Df = R+ = (0, +∞),
(10)
f (x) ∈ Rf = R.
Funkcja logarytmiczna jest funkcją malejącą dla a ∈ (0, 1), natomiast dla a ∈ (1, +∞) jest
funkcją rosnącą.
Y
Y
y = loga x
y = loga x
a>1
0<a<1
1
1
X
X
Wykres funkcji wykładniczej nazywamy krzywą logarytmiczną.
Ponieważ loga x = − log 1 x, dla a < 0 i a 6= 1, więc krzywe logarytmiczne y = loga x i y = log 1 x
a
a
są symetryczne względem osi OX.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
24
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
rok ak. 2009/2010
kierunek: Automatyka i Robotyka
Uwaga 2. Funkcja logarytmiczna i funkcja wykładnicza są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.
Y
Y
y = ax
y
=
log
x
a
y = ax
0<a<1
a>1
1
1
y = loga x
X
1
6.4
1
X
Równania i nierówności logarytmiczne.
Równaniem logarytmicznym (nierównością logarytmiczną) nazywamy równanie (nierówność), w
którym niewiadoma występuje w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.
Przykłady równań logarytmicznych: log5 (x2 − 1) = 25, log22 x − 5 · log2 x = 6, itp.; patrz np.
lista IX zadania 9.12., 9.15.
Przykłady nierówności logarytmicznych: log5 (x2 − 1) < 25, log22 x − 5 · log2 x > 0, itp.; patrz np.
lista IX zadania 9.13., 9.16.
Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego (nierówności logarytmicznej) powinno się:
• ustalić dziedzinę
• sprowadzić obie strony równania (nierówności) do tych samych podstaw albo przekształcić
do innego równania (innej nierówności), które (którą) potrafimy rozwiązać
• wykorzystując własności funkcji logarytmicznej przekształcić równanie (nierówność) tzn:
dla a > 1
loga n > loga m ⇐⇒ n > m
loga n 6 loga m ⇐⇒ n 6 m
dla 0 < a < 1
loga n > loga m ⇐⇒ n 6 m
loga n 6 loga m ⇐⇒ n > m
• rozwiązać otrzymane równanie (otrzymaną nierówność) i sprawdzić, czy rozwiązania należą
do dziedziny
• podać odpowiedź.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
25