Zapisz jako PDF

Bryła sztywna (2)
Bąk
Równowaga
Rozważmy bąk podparty wirujący do okoła pionowej osi. Z zasady zachowania mementu pędu
wynika, że jeśli zapewnimy znikanie momentów sił to kierunek momentu pędu pozostanie stały
niezależnie od działających sił i ruchu postępowego. Zjawisko to nosi nazwę efektu żyroskopowego.
Bąk wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze. Momenty działających sił są równe zero
(zarówno względem środka masy S jak i punktu podparcia O).
Moment pędu jest więc stały, jeśli przyjmiemy, że bąk jest symetryczny stała będzie też orientacja osi
obrotu
Czy jest to równowaga trwała?
Moment sił
Gdyby bąk nie wirował (
) to ustawienie pionowe byłoby stanem równowagi nietrwałej.
Wychylenie z tego położenia powodowałoby powstanie wypadkowego momentu sił oraz niezerowej
siły wypadkowej, które powodowałyby wywrócenie bąka.
Rozważmy wirujący bąk, którego oś jest nachylona do kierunku pionowego.
Moment siły ciężkości względem punktu podparcia O dany jest przez:
a wartość momentu siły ciężkości:
gdzie
- odległość środka ciężkości od punktu podparcia
- kąt odchylenia osi od pionu
Moment siły
ciężkości.
Precesja
skierowany jest poziomo, prostopadle do osi bąka (kierunku
) i kierunku siły
W przypadku gdy bąk wiruje, przyłożony moment siły powoduje zmianę całkowitego momentu pędu:
Zakładamy, że wektor momentu pędu pokrywa się z osią obrotu
natomiast wektor momentu siły jest zawsze do niej prostopadły
Tym samym działający moment siły nie zmienia wartości momentu pędu, wartość ta pozostaje stała
Zmienia się natomiast kierunek momentu pędu, a więc i kierunek osi obrotu. Zjawisko to nazywamy
precesją.
W małym przedziale czasu
moment pędu zmieni się o:
Zmiana ta będzie skierowana poziomo, prostopadła do kierunku momentu pędu. Spowoduje to obrót
poziomej składowej o kąt
Częstość z jaką wektor
będzie zakreślał stożek, czyli częstość precesji, dana jest więc wzorem:
Częstość precesji maleje ze wzrostem momentu pędu (częstości ruchu wirowego bąka) - im szybciej
bąk wiruje tym wolniej zmienia się kierunek .
Częstość precesji nie zależy od kąta pochylenia osi bąka!
Żyroskop
Równowaga
Żyroskop w równowadze
Żyroskop jest to oś mogąca swobodnie zmieniać swój kierunek w przestrzeni i wirująca wokół tej osi
bryła (najczęściej obręcz lub dysk).
Żyroskop który wykorzystaliśmy na wykładzie przypominał wagę: ciężar obracającego się dysku jest
zrównoważona przez odpowiednio dobrane ciężarki (patrz rysunek).
Jeśli żyroskop jest w równowadze przy
to będzie także w równowadze dla
Precesja
Jak zachowa się żyroskop gdy zwiększymy lub zmniejszymy "przeciwwagę" ?
Zwiększone obciążenie
Zmniejszone obciążenie
W obu przypadkach nastąpi precesja, czyli obrót osi obrotu żyroskopu w płaszczyźnie poziomej.
Jeśli obciążenie zostanie
zwiekszone
precesja zgodnie z ruchem wskazówek zegara (patrząc os góry)
zmniejszone
precesja przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (odpowiada to precesji bąka)
Częstość precesji żyroskopu
jest proporcjonalna do dodanej lub brakującej masy
Paradoks ?
Nie wirujący bąk (
) wychylony z położenia równowagi wywraca się. Także nie zrównoważony
żyroskop, jeśli nie jest rozkręcony (
) opada.
Z drugiej strony doświadczenie pokazuje, że jeśli
(zaniedbując siły tacia) nigdy się nie wywrócą.
Czy jest to słuszne dla dowolnie małych wartości
to bąk i żyroskop podlegają precesji i
?
Z doświadczenia wiemy, że nie ! Wirujący bąk wywraca się zanim prędkość kątowa jego ruchu
wirowego spadnie do zera.
Nasze dotychczasowe rozważania precesji nie były ścisłe, dla małych momentów pędu musimy
uwzględnić dodatkowe efekty...
Niech moment pędu zrównoważonego żyroskopu wynosi
.
Co się dzieje gdy zdejmiemy jeden ciężarek ?
Wartość całkowitego moment pędu nie ulega zmianie, gdyż moment siły ciężkości jest prostopadły
do .
Powoduje jednak obrót żyroskopu z częstością
względem pionowej osi. Ale oznacza to pojawienie
się dodatkowej składowej momentu pędu związanej z tym obrotem
Aby całkowity moment pędu nie uległ zmianie, oś żyroskopu musi się nachylić o kąt:
Jeśli moment pędu
jest duży to kąt ten
i
można pominąć.
Jednak gdy pod wypływem oporów ruchu prędkość wirowania spada,
wywraca się...
Nutacja
maleje, żyroskop/bąk
Nutacja
Idealna precesja, gdy koniec ramienia żyroskopu porusza się ruchem jednostajnym po okręgu,
zachodzi tylko przy szczególnym wyborze warunków początkowych.
W ogólnym przypadku na precesję nakładają się oscylacje ramienia żyroskopu wokół położenia
"stacjonarnej precesji". Nazywamy je nutacją.
Charakter tych dodatkowych oscylacji zależy od warunków początkowch. Zazwyczaj są mało
widoczne i szybko zanikają w czasie (tłumienie związane z oporami ruchu). Ich amplituda rośnie dla
małych wartości
Tensor momentu bezwładności
Moment pędu
Do tej pory rozpatrywaliśmy wyłącznie ruch obrotowy bryły względem ustalonej osi. Naogół była to
oś symetrii bryły, lub oś do niej równoległa. Jednak w ogólnym przypadku problem jest dużo bardziej
skomplikowany
Przykład I
Rozważmy dwa ciężarki przymocowane do wirującej osi.
Jeśli ciężarki są zamocowane symetrycznie, w jednej płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu, to oś
obrotu jest osią symetrii bryły i moment pędu będzie równoległy do osi obrotu
Jeśli jednak ciężarki będą rozsunięte wzdłuż osi obrotu to oś ta nie będzie się pokrywała z osią
symetrii. Moment pędu
będzie prostopadły do wektorów opisujących pozycję ciężarków względem środka ciężkości
nie będzie równoległy do osi obrotu
Przykład II
Rozważmy dysk wirujący wokół osi nachylonej do osi symetrii
więc
Prędkość kątową możemy rozłożyć na składową równoległą i prostopadła do osi symetrii
Moment bezwładności dysku jest różny dla obrotu wokół osi symetrii i wokół osi do niej prostopadłej:
Moment pędu dysku możemy policzyć osobno dla każdej składowej
Widzimy, że kierunek momentu pędu różny jest od kierunku prędkości kątowej jeśli tylko nie jest ona
skierowana równolegle lub prostopadle do osi symetrii
Definicja tensora
W ogólnym przypadku bryła sztywna może nie mieć żadnej osi symetrii. Jak wtedy wyznaczyć
moment pędu, znając prędkość kątową ?
Zdefinicji momentu pędu:
Z definicji bryły sztywnej:
Otrzymujemy:
gdzie korzystamy z tożsamości wektorowej:
Widzimy więc, że kierunek
opisanych przez .
zależy od kierunku
jak i położeń poszczególnych elementów bryły
Rozpisując na składowe:
Otrzymujemy (na przykładzie
Widzimy, że
Podobnie:
):
zależy w ogólności od waszystkich skladowych prędkości kątowej!
Wyrażenie na składowe
możemy zapisać w postaci macierzowej:
gdzie wprowadzoną macierz nazywamy tensorem momentu bezwładności i oznaczamy
Składowe tensora momentu bezwładności to współczynniki bezwładności
Ogólny wzór na współczynnik bezwładności ma postać (
lub (w przypadku ciągłego rozkładu masy)
gdzie
to tzw. delta Kroneckera:
dla
dla
Przykład
)
Cztery masy rozmieszczone w rogach sześcianu:
Tensor momentu bezwładności wynosi
Osie główne
W ogólnym przypadku wszystkie współczynniki bezwładności mogą być różne od zera (tensor jest
symetryczny ⇒ 6 niezależnych wielkości)
Okazuje się jednak, że w każdym przypadku można tak obrócić osie układu odniesienia, żeby
elementy pozadiagonalne znikały (diagonalizacja tensora):
Układ w którym tensor momentu bezwładności jest diagonalny definiuje nam osie główne bryły
(kierunki własne tensora)
Jeśli bryła ma oś symetrii to będzie ona jedną z osi głównych !
Po diagonalizacji pozostają tylko 3 współczynniki diagonalne
W układzie osi głównych wyrażenie na moment pędu
,
,
(wartości własne tensora)
Dla obrotu wokół osi głównej moment pędu jest zawsze równoległy do osi obrotu
np.
⇒
Przykład
Dla czterech mas rozmieszczone w rogach sześcianu osie główne odpowiadają osiom symetrii
wyznaczonego przez te masy prostokąta
Tensor bezwładności w układzie osi głównych:
Osie X', Y' i Z są osiami głównymi :
oś X' - najmniejszy moment bezwładności
oś Y' - największy moment bezwładności
oś Z - pośredni moment bezwładności
Bryła swobodna
W przypadku bryły wirującej swobodnie (stała wartość ) stabilny ruch obrotowy (stały kierunek
wektora ) możliwy jest tylko wokół osi głównych o największym i najmniejszym momencie
bezwładności!
W przypadku obrotu wokół osi głównej o pośrednim momencie bezwładności ruch będzie niestabilny
(odpowiada to równowadze chwiejnej).
Energia kinetyczna w układzie osi głównych:
Jeśli więzy narzucają obrót ze stała prędkością kątową to ciało przyjmie ułożenie odpowiadające
maksymalnej energii kinetycznej, czyli obraca się wokół osi o największym momencie bezwładności.
Odpowiada to też maksymalnej wartości momentu pędu.
W układzie obracającym się siła odśrodkowa dąży do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi obrotu.
Stabilny jest stan odpowiadający minimum energii potencjalnej (siły odśrodkowej).
Siła odśrodkowa
odpowiadająca jej energia potencjalna wyraża się więc wzorem
Minimum energii potencjalnej odpowiada maksimu energii kinetycznej.
W układzie laboratoryjnym masa "oddala się" od osi zgodnie z zasadą bezwładności.